2023～2024学年第一学期高三期中数学调研试卷【含答案】

2023~2024学年第一学期高三期中调研试卷

数学2023.11

注意事项

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题〜第8题）、多项选择题（第9题〜第12题）、填空题（第

13题〜第16题）、解答题（第17题〜第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题

结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定

位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫

米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.下列条件中，使得“a>b”成立的充分不必要条件是

A.同>wB.—>—C.a2>b2D.\na>h\b

ab

2.已知集合4=3/-6犬+5<0}，B={x|x<a},且A8=4，则实数”的取值范围为

A.(l,+oo)B.[3,+oo)C.[5,+oo)D.(5,+oo)

7T47T

3.已知cos(a——)二一，则sin(―+a)的值为

4.已知a,力是两个单位向量，且<a,>>=60°,若c=2a-则cos<a,c>=

A.1B@1D.B

C.一

2233

AB边上的高等于更

5.在△4BC中，A=。,AB，则sinC=

3

A币B.叵C,史D,巫

14141414

6,已知曲线>=〃e'+xlnx在点(l,〃e)处的切线方程为y=2x+〃，则

A.a=e~\b=-lB.a=e~\b=1C.a=e,b=-lD.a=e，力=1

7.满足{4磁k〃}={y|y=磁k〃}的实数对小，〃构成的点(也〃)共有

A.1个B.2个C.3个D.无数个

8.已知4=$出=+8$々，人=144一；，c=log32+log43,则

1313"一‘十。

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有

多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得。分.请把

正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

9.已知复数z满足z(6+i)=-2i,则

A.Iz|=1

B.z的虚部为由

2

C.z3+1=0

D.z2=z

TT

10.函数f(x)=tan(2x—),则

4

TT

A.f(x)的一个周期为W

B./(x)是增函数

C./(x)的图象关于点(即,0)对称

O

D.将函数y=tan2x的图象向右平移7;T个单位长度可得到/*)的图象

11.在棱长为2的正方体ABCZJ-A耳GR中，E,F分别为棱43,A4,的中点，点P在对角线

AB上，则

A.三棱锥P—C所体积为1

6

7

B.点P到平面CE尸的距离为士

3

C.AP+RP的最小值为2小2+四

D.四面体BCEF外接球的表面积为14万

12.对于数列｛4｝,若存在正数使得对一切正整数〃，都有则称数列｛4｝为有界

数列；若这样的正数M不存在，则称数列｛4｝为无界数列.下列说法正确的有

A.等比数列｛4｝的公比为4,若@<1,则｛《,｝是有界数列

B.若数列｛%｝的通项4=2声，则｛4｝是有界数列

C.若正项数列｛%｝满足：4,=9-523),则｛(｝是无界数列

一2

D.若数列包,｝满足：-+—++—=—'—,且4€(0,1),则｛4｝是有界数列

Cl\。2an

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13.已知等差数列｛〃,,｝的前”项和为S“，若4=2,5S()-6S,=30,则一=▲.

14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角

形A8C,若4尸=3,sin/ACF=殛，则A£>£下的面积为▲.

14—

15.如图，一个半径为3的半圆，C、。两点为直径A8的三等分点，E、F两点为弧AB上的三

等分点，则.

16.已知函数/(xhp-x2卜3,若|向<〃，且/(a)=/(〃)，则m的取值范围为▲,的

取值范围为▲.(本小题第一空2分，第二空3分)

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知函数/(x)=2sin^cos^+\Z3cos-^.

(1)求/(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合：

(2)若/(x)的图象向右平移加。">0)个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m的最小值.

▲▲▲

18.(本小题满分12分)

在①/BAC的平分线长为9：②。为BC中点，AD=—；③AH为边上的高，AH工叵

5219

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c,已知6=2,2cosA=3-48sB.

(1)求c;

(2)若,求NBAC的大小.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

▲▲▲

19.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-TWC。中，底面MCD是直角梯形，AD//BC,AD^IBC,ND48=90",

平面•平面ABCD,AC1BD,ABYPD,BC=\,PD=母.

>

(1)求证：P£>_L平面4?C£>；/

(2)求二面角Z)—PC—8的余弦值.

20.(本小题满分12分)

已知函数/(x)满足+2x.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)若关于x的不等式〃x)>(2-a)x+l在(0,小)上恒成立，求实数〃的取值范围.

21.(本小题满分12分)

已知S,为数列｛%｝的前”项和，«.=1,Se+S“=2/+2"+l.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若4=1,%+(-1)他=可，求数列｛2｝的前“项和刀,.

▲▲▲

22.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=or2+(a-2)x-lnx.

(1)若/(x)在区间(1,2)上有极值，求实数。的取值范围；

(2)当0<“<1时，求证:f(x)有两个零点玉，了2(-1)，且ra)+r(w)<o.

▲▲▲

2023~2024学年第一学期高三期中调研试卷

数学参考答案及评分建议2023.11

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.

题号12345678

答案DCDBDACB

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

题号9101112

答案ADACBCDABD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.20;14.百；15.1;16.(-6,6)，(-3,3)

四、解答题：本大题共6小题，共计70分.

17.(本小题满分10分)

解：(1)因为/(x)=sin5+&cos5=2sin号+竽，....................................2分

当尹畀一尹2杭4eZ即x=4"一竽3eZ时,F(x)取得最小值-2,............4

分

所以f(x)的最小值为一最此时x的取值集合为{x|x=4E-竽4Z}.............5

分

(2)设/⑴的图象向右平移机(相>0)个单位后得到函数g(x),则g(x)=2sin(为典+争,

因为g(x)为偶函数，所以g(—x)=g(x)，即sin号-号+争=sin(-5-勺+孕，

所以sinacos(-3+专)=0恒成立，所以一3+与=^+Z兀,％wZ,..................8分

所以加=一1一22兀,keZ,....................................................9分

又因为〃2>0,所以％扁=苧................................................1°分

18.(本小题满分12分)

解：(1)由。=2及2cosA=3-a8s3得Z?cosA=3—QCOSB,BPbcosA+acosB=3,.....2分

由余弦定理得5廿_a?+a,-产=3,...................................4分

2bc2ac

所以c=3...................................................................5分

(2)若选①，记/胡/胡C的平分线交优于〃，则有％睦=5.。+528,

6分

即^bcsmlO=^-b-ADsin0+^c-ADs\n0>...............................................................................7分

即6sin2，=弓sin，+gsin。BPsin10=sin,所以2sin6cose=sind,........................9分

因为。€（0,乡，所以sin"O从而cosO=±即。=生，..........................11分

所以/R4c吟.............................................................12分

若选②，由于，为比中点，所以AO=a（AB+AC）,.....................................................6分

->2-2

BP4AD=AB'+AC+2AB-AC,...........................................................................................7分

又因为卜*亭，网=3,陷=2,所以A8.AC=-3,.............................................9分

即卜@JAC|-COSN8AC=_3,所以cosN3AC=-;，.........................................................11分

又因为NBACw（O,;r）,所以NBAC=竽......................................12分

若选③，由于4〃为比1边上的高，

在/^△区4”中，BH2=AB2-AH2=9--^^-=-!^,所以B”=丝胆，..........7分

19x191919

在RZiCA“中，C42=AC2-A，2=4-^^^=黑，所以C〃=^^,....................9分

19x191919

所以BC=B”+C〃=M,

由余弦定理得cosNBAC=用捅''[Be?=y-甲=-J,........................................11分

2ABAC2x3x22

又因为N84Ce（0,万），所以NBAC=爷......................................12分

19.（本小题满分12分）

解：(1)因为平面PE)3L平面MS,平面9平面[比次砂，ACA.BD,ACu平面47(力

所以4d平面板，..........................................................1分

又因为P£)u平面所以4CJL/%...............................................................................2分

又因为45_LPD,AC\]AB=A,ACu平面ABCZ),ABu平面AB8,

所以如_L平面他CD,................................................................................................................4分

由（1）知如_L平面43C£>,

又力〃u平面ABCD,48u平面ABCD,

所以如，助，PDVAB,

过A引公〃PQ,则有4Z_L4〃，AZA.AB,

又因为/ZMB=90°,BPABYAD,

以4为原点，以AB为x轴，以4)为y轴，以AZ为z轴建立空间直角坐标系，……5分

设AB=r(f>0),则A(0,0,0),即,0,0),C(r,l,O),。(0,2,0),2(0,2,夜)，

所以4C=Q,1,O)，丽=(T,2,0),9=(0,0,四),

由于AC_L8£>,所以而•丽=0,

所以r=2,即£=夜，........................................................7分

从而C(四,l,0),则皮=(0,-1,0),..............................................8分

设平面PDC的一个法向量为〃=(x,y,z)，则有，DP=0,即1亚z=0,

n-DC=0,1&R-y=0,

取X=l,解得卜=由，即〃=(1,&,O),.......................................9分

[z=0,

同理，可求得平面PBC的一个法向量为蔡=(1,0,1),............................10分

所以|COS<>1=1•产1产|=迫................................................11分

N/3-V26

设二面角O-PC-8的平面角为，，。为钝角，

所以二面角O-PC-8的平面角余弦值为一些....................................12

6

分

20.(本小题满分12分)

解:(1)因为/(x)=，-V+2x,所以r(x)=e»-2x+2,................................1分

令机(x)-f'(x)=ex-2x+2>贝!I加(x)=e*-2,

当xs(T»,ln2)时，m\x)<0；当xs(In2,~KO)时，，m'(x)>0.

所以ni(x)在(-co,In2)上单调递减，在(In2,+oo)上单调递增.

所以777(x)inin=m(ln2)=2(2-ln2)>0,................................................3分

即((外>0恒成立，

所以/U)的单调递增区间为无单调递减区间...........................5分

(2)由题意/(外>(2-a)x+1在区间(0,+oo)上恒成立,

即e*-x2+2x>2x-or+l恒成立，即。>：+工一]在区间(。，+0°)上恒成立，............6分

令g(x)=2+x/，xe(0,心)，只需a>g(x)M，.....................................7分

有g0A-^+l-g^QTXHl-e'),xe(0,a),..............................8分

XXX

令；!(x)=x+l-e，，xefO,-P»),有“(x)=l-e*WO,从而/i(x)W〃(0)=0,...............9分

所以当xe(0,l)时，g(r)>0；当xe(L+<»)时，g，(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,m)上单调递减，.............................10分

所以g(x)11ml=g6=2-e,.......................................................11分

所以“>2-e,....................................................................12分

21.(本小题满分12分)

解：⑴法一：当〃=1时，S,+S,=5,即1+24=5,由4=1,得%=3,

2

由S„+l+S“=2/+2〃+1,得Sn+S,-=2(〃-I)+2(〃—1)+1(〃22),

两式相减得:%+4=4〃(22).又见+4=4,满足上式.

所以当时，4+1+%=4〃，.............................................1分

又当〃》2时，«„+«„.!=4(n-l),

两式相减得：4”-4T=4(〃N2),................................................2分

所以数列｛%｝的奇数项是以4=1为首项，4为公差的等差数列，

所以。“=4+与X4=1+2(〃-1)=2〃-1(n为奇数),................................3

分

数列｛%｝的偶数项是以外=3为首项，4为公差的等差数列，

所以a“=q+■^•x4=l+2(〃-l)=2"-l(n为偶数),................................4

分

所以4=2N-1,即他“｝的通项公式是4=2〃-l....................................5分

法二：因为SN+S“=2〃2+2”+1,所以S“「5+1)Z=_(S,,-〃2)==(-1)-(5,-I2),......2分

因为S/『=o,所以臬一"二。，即s,=”2,.......................................3分

22

当〃22时，a„=S„-S„,l=n-(n-l)=2n-l,.................................4分

当〃=1时，q=l适合上式，所以｛凡｝的通项公式是4=2〃-1......................5分

(2)因为2+|+(—1)"〃=〃"，所以:

当”=2K〃eN*)时，=au_,=2(2^-l)-l=4k-3....①

当"=2k(neN*)时，b2lt+l+b2k=a2k=2x2k-l=4k-l...②

①、②两式相减得：为3+仇i=2(%21),.........................................6分

因为々=1,4+々=2,所以4=1,

因为=2供》1),所以当“为奇数时，b”=l,............................7分

当葭为偶数时，=4-=2(〃-1)-1=2〃-3,

所以2=a,i+1=2"-3+1=2〃-2,8分

1,“为奇数

所以2=9分

2〃-2,〃为偶数

(i)当〃为偶数时，

日(2+2“-2)..

2

1,=(4+4++h„_l)+(b2+h4++b„)=^xl+^——-----=ln+ln.........]0分

(ii)当〃为奇数时，

%=。+1—包+1=4+1-々+1=g("+l)2+/(〃+1)]-[2(〃+1)-2]-a”+1•......11分

+为奇数

八，•一]；/+口，〃为偶数.

22.(本小题满分12分)

2

解：(1)f(x)=ax+(a-2)x-lnxfXG(1,2)

所以尸(x)=2ax+q_2,；m=(2x+l)("),....................1分

XXX

①当aWO时，f'(x)<0

所以f(x)在(1,2)上单调递减，所以/(x)在(1,2)上无极值点，..................2分

②当。>0时，当xe(O,f时，Ax)<0;当xe(5,+8)时，g'(x)>0,

所以/(x)在(0,少上单调递减，在(5,行)上单调递增.

所以Ax)的极小值点为《，无极大值点，

因为为x)在(1,2)上有极值,所以^e(l,2),

a

所以|<a<l.............................................................4分

(2)当0<a<l时，rerhCx+iyT),x>0

由⑴知：/(x)极小=/(5)=-1吟-5+1,0<a<l,>1

令f=5，r>l,则f(r)=-lnr-f+l

因为/'⑺=-：T<0，，€(1，也)恒成立，所以/⑺在(1，叱)上单调递减

所以")</⑴=0即/”)极小=/(少<0,.......................................5分

0^j/(i)=-r+--lni=4+-+l-->0,

eeeeeee

由(1)知：f(x)在(0,9上单调递减，且/(»/(少<0,

所以f(x)在(0。)上存在唯一的零点项，使/(占)=0,.............................6分

g|jfej/(3)=9+3(a-2)_ln3=3+3,[n3；

aaaaaa

Xln1<|-l,O<a<l,所以娉)>3+1=4>0,

由