2023-2024学年上海市高二年级下册开学考试数学模拟试题1（含解析）

2023-2024学年上海市高二下册开学考试数学模拟试题

一、填空题

1.已知集合”={-3,T,0,l,2},8={x|W>l},则/n8=.

【正确答案】{-3,2}

将A中元素逐个代入判断|x|>1是否成立即可得解.

【详解】将A中元素逐个代入卜|>1,符合的有-3、2,即Zc8={-3,2}.

故答案为.{-3,2}

本题考查了描述法表示集合和集合的交集运算，属于基础题.

2.函数y=1的定义域为.

【正确答案】（-8,0]

【分析】由根式的性质，结合指数函数单调性及指对数关系求自变量范围，即得定义域.

【详解】由题设出-120,故Eogj=0,故定义域为（-8,0].

故（-8,0]

3.设向量）=（2,1）,"是与£方向相反的单位向量，则工的坐标为.

【正确答案】卜芈,

【分析】根据相反向量、向量模的概念，求得2相反向量的坐标及模长，即可求"的坐标.

【详解】由Z相反向量为（-2,-1）且模长为指，

4.复数3-4i的虚部是.

【正确答案】-4

【分析】利用复数的相关概念即可得解.

【详解】由复数虚部的概念，易知复数3-4i的虚部为-4.

故答案为.-4

5.已知sina=,则cos2a的值为.

7

【正确答案】-

【分析】应用二倍角余弦公式求值即可.

17

【详解】由cos2a=l-2sin2a=l-2x—=-.

故：

6.在所有由1,2,3,4,5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取

出的数是奇数的概率为.

3

【正确答案】-##0.6

【分析】根据古典概型的概率公式即可解出.

【详解】任意一个数，共有5种可能，而这个数是奇数的可能有3种，所以任取一个数，则

取出的数是奇数的概率为尸=1.

故].

7.已知公差为d(dR0)的等差数列其中Y=a。，则马二幺=__________.

a5

3

【正确答案】一二##-0.75

4

4

【分析】由题干条件得到q=-；〃，从而求出答案.

【详解】由题意得：(q+2d)2=q(q+d),解得：(3q+44)d=0,

4

因为dwO,所以q=-§d,

Q]—+%—%—2d—2d3

则^一不方二包+J了，

3

故

4

8.已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的

___________倍.

【正确答案】2

【分析】求出底面半径扩大为原来的2倍，从而得到侧面积扩大为原来的2倍.

【详解】设圆柱的高为力，底面半径为，则体积为Q%,体积扩大为原来的4倍，则扩大

后的体积为4口2〃，因为高不变，故体积4兀/〃=兀(",即底面半径扩大为原来的2倍,

原来侧面积为2箱力,扩大后的圆柱侧面积为27t-2泌=4兀心,故侧面积扩大为原来的2倍.

故2

9.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和8,系统A和系统8在任

意时刻发生故障的概率分别为上和?，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

【正确答案】15##0.2

【分析】根据相互独立事件概率的乘法公式和互斥事件的加法公式列方程即可求解.

【详解】由题意可得：?-P)+—%+

]49I

整理可得：1-而P=W，解得：P=飞,

故答案为♦

10.直线/过点尸(1,3),且在两坐标轴上的截距相等，则直线/的方程为

【正确答案】y=3x或x+y-4=0

【分析】分截距为0和不为0两种情况讨论即可.

【详解】错解：因为直线/过点P0,3),且在两坐标轴上的截距相等，

设直线/的方程为±+上=1,则L+]=1,所以。=4,

故直线/的方程为:+4=1,

44

即x+>-4=0.

错因：错误原因是忽略直线/过原点，截距为零的情况.

正解：

若直线/过原点，满足题意，此时直线/的方程为y=3x；

若直线/不过原点，设直线/的方程为'+上=1,

aa

13

则±+1=1,所以。=4,

故直线/的方程为;+4=1，即》+k4=0.

44

综上，直线/的方程为N=3x或x+y-4=0.

故>=3x或x+y-4=0.

II.将函数y=/(x)的图象关于y轴对称，得到V=g(x)的图象，当函数了=/(》)与^=8(力

在区间句上同时递增或同时递减时，把区间司叫做函数y=/(x)的“不动区间”.若区

间［1,2022］为函数>=|10'的“不动区间”，则实数，的取值范围是.

【正确答案】，。

【分析】求出函数>=的图象关于了轴对称对称的函数的解析式为分

140、f>0两种情况讨论，化简两个函数的解析式，对两个函数在区间［L2022］上的单调性

进行分类讨论，可的关于实数，的不等式(组)，综合可求得实数f的取值范围.

【详解】函数y=|io、—|的图象关于y轴对称对称的函数的解析式为y=|ior-f|,

因为区间［1,2022］为函数y=|10'-J的“不动区间”，

所以，函数N=与函数—|在［1,2022］上的单调性相同，

若比0,则_y=|10、T|=10'T在［1,2022］上单调递增，

y=|10-t-z|=10-1-/在［1,2022］上单调递减，不合乎题意；

若r>0,则y=WT=［l°'T'W,y=WT=［l°-'-'"'一3

若函数y=在［1,2022］上单调递增，则lg”l,可得0<fW10,

此时函数、=|10一'-4在［1,2022］也单调递增，则-lg/41,可得此《，则《4T10；

若函数V=|10'T在口，2022］上单调递减，则1gd2022,可得合仃以，

此时函数了=|1。-'-4在［1,2022］也单调递减，则一lg/22022,可得0<f4］。以⑪，则/不存在.

综上所述，实数r的取值范围是10.

故答案为.，0

12.已知数列｛”“｝的前〃项和为S“（S,片0）,7；为数歹£s.｝的前〃项积，满足S,+Tn=s„-Tn（n

2

为正整数），其中北=4,给出下列四个结论：①勾=2；②见=〃（2〃_1）；③｛4｝为等差数

列；④S”=出■.其中所有正确结论的序号是.

n

【正确答案】①③④

【分析】根据关系式S“+7；,=S,j7；,当”=1时，即可求得q的值；由S,,+?；=$,,名得

北=不。，当〃22时，可得两式相除整理可证明为等差数列，即

可求得S,，从而可求得由此得以判断各结论.

【详解】因为S,+[=5.2（〃eN*）,

所以当〃=1时，S1+7；=S[Z=>2q=4，解得％=2或q=0,

又S,产0,所以4*0,故4=2,故①正确；

s

因为易得s〃，l,所以,

3“T

当心2时，a=,

所以导含、守，则5,=含x『，

所以一^―=^^=（s”T_i）+i=[t_,i）ii]—!—--

——=1

5„-iSi—1Sr—1S.「1"S「1，Sn—1,-1

iii

又----=-----=i»

S,-laA-\

所以｛白[是以S_]=1为首项，1为公差的等差数列，

所以C1=1+（〃1）x1=〃，则S〃一——，

，一1n

n-4-1

经检验，5=4=2满足上式，所以S,=l,故④正确;

n

n+\

所以则？；-a=（〃+1）-〃=1,n>2,

3〃T〃十Li

n

所以忆｝为等差数列，故③正确;

2

当心2时,a=S„-S„_

nxnn—\n(«—1)

又％=2不符合上式,

2,”=1

所以故②错误.

4=14^i),n-r

故①③④.

二、单选题

13.已知Ia>0,b>0,若〃+6=4,则

A./+〃有最小值B.有最小值

c.—+!有最大值

D.^^有最大值

ab

【正确答案】A

【分析】根据基本不等式的性质，即可求解a?+b2有最小值，得到答案.

【详解】由题意，可知a>0,b>0,且a+b=4,

因为”>0,b>0,则4+622疝，即审)2=4,

JW^a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab>16-2x4=8,

当且仅当a=b=2时，等号成立，取得最小值8,

故选A.

本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着

重考查了运算与求解能力，属于基础题.

14.设函数〃x)=asinx+cosx(a为常数)，则“a=0”是“/(x)为偶函数”的()

A.充分非必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

【正确答案】C

【分析】根据定义域为R的函数/(x)为偶函数等价于/(-x)寸(外进行判断.

【详解】解：当a=0时，/(x)=asinx+cosx=cosx,所以/(x)为偶函数；

当fM为偶函数时，f(-x)=f(x)对任意的x恒成立，

/.f（-x）=asin（-x）+cos（-x）=-asinx+cosx,

即Qsinx+cosx=-asinx+cosx,得asinx=0对任意的x恒成立，从而a=0.

从而是"/（x）为偶函数”的充分必要条件.

故选：C.

15.点M（2,l）到直线/:（2/l+l）x+（lT）y+3=0MeR）的距离的最大值为（）

A.|V5B.V5C.3D.3〃

【正确答案】D

【分析】由题意，求得直线所过定点，由两点之间距离公式，可得答案.

【详解】由直线/:（24+l）x+（l-/l）y+3=0,（；leR）,整理可得（2x—y）/l+x+y+3=0,

2x-y=0x=-l

令二3解得

y=-2

点M（2,l）到直线/距离的最大值为点M（2,l）到定点（-1,-2）的距离，则

J（2++（1+2）2=3五,

故选：D.

16./（-2,0）,5（2,0）,C（O,2）,£（-1,0）,尸（1,0）,一束光线从点尸出发射到8c上的点

D,经8c反射后，再经NC反射，落到线段ZE上（不含端点），则£0的斜率的取值范围

是（）

A.°°,2）B.（0,+8）

C.。,+8）D.（4,+oo）

【正确答案】D

【分析】先根据题意求得4-2,0）关于直线BC对称的点为4（2,4），点司-1,0）关于直线/C

的对称点为&（-2,1），点£（-2,1）关于直线8c的对称点为刍（1，4），再数形结合得到点。的

变动范围，从而得到与。＞与户，由此得解.

（O=2k+b\k=-\

【详解】设直线8c方程为y=h+"则、A，解得/、，即8C:y=-x+2,即

\2=h\b=2

BC:x+j/-2=0,

y

1

x+2\x=2/、

设”(一2,0)关于直线BC对称的点为4(x,y),则，，解得］=4'即4(2,4)，

x-2+

4尸=4，

同理可得:

点£(-1,0)关于直线AC:y=x+2的对称点为弱(-2,1),

点E](-2,1)关于直线BC:y=-x+2的对称点为点(1,4),

如图所示:

利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点A时，则其先经过点N；当这束

光线反射后最终经过点E时，则其先经过点

所以点之间为点。的变动范围，

因为打(1,4),尸(1,0),所以直线F即直线FN斜率不存在,而kFN=%=4,

所以《P>%FN=4,即%,€(4,+8).

故选：D

三、解答题

17.如图，设长方体/BCD-44cA中，AB=BC=3,AAt=4.

（1）求异面直线MB与B}C所成角的大小;

（2）求二面角4-4C-B的大小.

【正确答案】（l）arccos^l

9

（2）arccos—

【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；

【详解】（1）解：以。4,DC,。。为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则4（3,0,4）,5（3,3,0）,B,（3,3,4）,C（0,3,0）,

UUU____

48=(0,3,-4),配=(-3,0,-4),

1616

.•.COS（丽配”丝雪

716+9x716+925，

二异面直线4B与8c所成角的大小为arccos石；

(2)解：福=(0,3,0),而=(3,0,0),

设平面48c的一个法向量为5=(x,y,z),

n-A.B=3y-4z=0/、

则｛」_-，令P=4,则斤=0,4,3),

RCB=3x=Q

设平面J,B,C的一个法向量为成=(a,6,c),

fn-A.B.=3b=0

则，令a=4,则/=(4,0,-3),

inBiC=-3a-4c=0

3〈加=£=总而=又二面角4C-8为锐二面角，

9

*'•二面角B、-4c-B的大小为arccos石.

18.在N8C中，有6sin/=acos(5-/),其中a,6,c分别为角48,C的对边.

(1)求角3的大小；

(2)设点。是NC的中点，若80=6,求的取值范围.

【正确答案】(1)B=W；

(2)2^3<a+c<4.

【分析】(1)由正弦定理边角关系将条件转化为asin8=acos(B-^J,应用差角余弦公式

及三角形内角性质求角的大小；

(2)延长到E满足DE=8Z),连接4E,CE,易知/8CE为平行四边形，再应用余弦定

理、基本不等式求上界，结合三角形三边关系求下界，即可得范围.

【详解】(1)在/8C中，由正弦定理三=工，可得bsinZ=asin8,

smAsinB

由bsinN=acos(8—己)，得asinB=acos(3—,即sinB=cos(6—,

所以sinB二3cos8+」sinB,可得tan8=JJ,又。<B,可得4=^.

223

(2)如图，延长8。到E满足。£=8D,连接4E,CE,则48CE为平行四边形,

^[BE=2®NBAE="AB=c,AE=BC=a,

3

.-27r•%、

在B4E中,由余弦定理得：(20y=/+/-Zaccos7,即/+/+ac=12,

可变形为:(a+c)2-ac=12,BPac=(a+c)2-12,

由基本不等式得：ac=(a+c)2-12二工)，即(a+c)?416,得a+c44(当且仅当a=c=2

取等号）.

又AE+4B>BE,有a+c>2有，故"+c的取值范围是2旧<“+。44.

19.已知IN8C的顶点月（5,1）,重心G（3,3）.

（1）求线段8c的中点坐标：

（2）记/8C的垂心为4,若B、，都在直线N=-x上，求//的坐标.

【正确答案】（1）（2,4）

（2）//（5,-5）

【分析】第一问根据顶点到重心的距离与重心到底边中点的距离比为2:1,可得对应的共线

向量解决求8c的中点：根据求NC,设点C的坐标，根据8c的中点可以用C表示8,

根据点C在NC上且点8在8〃上，求出点C的坐标，根据8c与/“垂直求出"，的方程，

然后联立4H与BH.

【详解】（1）设8c中点材卜。,人），

因为G为/8C的重心，且/（5,1）,G（3,3）,

所以刀=2而，即（一2,2）=2（Xo—3,%-3）

所以[与-J,所以5c中点“4）

[%-3=1[%=4

（2）因为5”的方程为歹=—x,且〃为/8C的雍心

所以凝H-kAC=-1即-1=T，所以原C=1

所以直线/C的方程为：y-\=x-5,即y=x-4

所以设点C（Xc，2-4）,又因为8c的中点“（2,4）,设6（%,乙）则

X5+XC=2X2=4（XB=4-xc

j^j?+xc-4=2x4=8[yB=12-xc

又因为点8在直线V=—X上，即12-2=—（4-2）,所以2=8

所以C（8,4）,所以怎C=KC=M=。，则8c边上的高线为X=5

而点〃也在直线B"：J，=-x上，所以点月的坐标即为4"与8〃的交点

即“（5,-5）.

20.第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办.在决赛中，阿根廷队

通过点球战胜法国队获得冠军.

FIFAWORLDCUP

Q/W

（i）扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方

向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向

判断正确也有;的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次

扑到点球的个数X的分布列和期望；

（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球

从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向

另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第〃次传球之前球在甲

脚下的概率为p〃，易知P|=l,P2=0.

①试证明：｛p,,-；）为等比数列；

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为仙，比较与的大小.

【正确答案】（1）分布列见解析；期望为］

（2）①证明见解析；②口0</。

【分析】（1）方法一：先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数

学期望；

方法二：判断X~8（3,£|,结合二项分布的分布列和期望公式确定结论；

（2）①记第〃次传球之前球在甲脚下的概率为p,，则当〃N2时，第n-I次传球之前球在

甲脚下的概率为P.T，由条件确定P,,，P,i的关系，结合等比数列定义完成证明；

②由①求出口。,小。，比较其大小即可.

【详解】（1）方法一：X的所有可能取值为0」,2,3,

在一次扑球中，扑到点球的概率Pg+Zj

X0123

512192241

P

729729729729

%xl+*x2+-Lx3=班:L

E（X）=

7297297297293

方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为p=；x；=1,

门将在前三次扑到点球的个数X可能的取值为0,1,2,3,易知

所以尸（X=A）=C；田”=。』23

故X的分布列为:

X0123

5126481

P

729243243729

所以X的期望E（X）=3xt=；.

（2）①第〃次传球之前球在甲脚下的概率为P“，

则当〃22时，第n-1次传球之前球在甲脚下的概率为p,i,

第n-1次传球之前球不在甲脚下的概率为1-P,T，

贝Pn=P„-\xO+（1-P“_Jxg=Pe-4,

即P"=TP“「H'又巧T=

所以｛p“-是以;为首项，公比为一;的等比数列.

②由①可知P“=!■（-；）+|＞所以四。=|[-；）+：＜；，

…I/,、1122（1丫11

所以/。=弓（|一历。）=3f一不一亍＞?,

故Pio＜价0•

21.设函数/（x）的定义域为R.若存在实数以6、m、“（4*6）使得〃X）+〃2"X）=2"7,

/（x）+/（26-x）=2〃均对任意xeR成立，则称/（x）为“（a,b,m,n）型一Q函数”.

（1）若/（x）是"（0,1,0,0）型一C函数”，求/（2020）的值；

（2）若/（X）是“（0,1,0,1）型―。函数”，求证：函数y=/（x）-x是周期函数：

（3）若“X）是“（”,6,外〃）型—复函数”，且/（x）在R上单调递增，求证:存在正实数c、M,

使得|/（力-蜀4M对任意xeR成立.

【正确答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【分析】（1）由/（x）是"（0,1,0,0）型一。函数“，可得a=O,b=l,机=0,〃=0,结合已知条件,

即可求得/(2020