河北省唐山市迁安市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 含解析

2023-2024学年第一学期期中教学质量检测九年级数学试卷

注意事项：1.本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上.

3.考生务必将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效

一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1~6小题各3分，7~16小题各2分.在每个小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.己知:=］，那么上7的值是（）

b5a+b

A.1B.-C.-D.-

2757

2.如图，从点A观测点。的仰角是（）

A水平地面8

A./DCEB./DABZDCAZACD

3.用配方法解方程Y-4x=5时，需要在方程两边同时加上（

4.在“课后延时”活动中，体育兴趣小组选出人数相等的甲、乙两班学生参加了一分钟跳绳测验，两班的平均数和

方差分别为福=120个，豆=120个；s看=42,4=56,那么成绩较为整齐的是（）

A.甲班B.乙班C.两班一样整齐D.无法确定

5.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若

线段8c=2,则线段的长是（）

6.如图，己知点A（3,3）,3（3,1）,反比例函数y=&（人/0）图象的一支与线段AB有交点，贝蛛的值可能为（）

X

A

A.10B.-6C.8D.2

7.在“双减政策”的推动下，某中学课后作业时长明显减少.经过两个学期的两次调整，由原来每天作业平均时长

为90分钟，调整为每天作业平均时长为60分钟.设这两次该校每天作业平均时长的下降率为无，则可列方程为（）

A.60（1+x）2=90B.60（1+/）=90

C.90（1-%）2=60D.90（1-%2）=60

8.已知反比例函数y=J则下列描述不正确的是（）

A.图象位于第一、三象限B.图象必经过点4）

c.图象不可能与坐标轴相交D.y随x的增大而减小

9.王老师在“读红色经典，传红色基因”活动中，随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如

表，则下列说法错误的是（）

每周课外阅读时间（小时）2468

学生数（人）2341

A.样本容量是10B.众数是1C.中位数是5D.平均数是4.8

10.关于x的一元二次方程尤2一2"+/一4=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.实数根的个数与实数。的取值有关

11.图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图,图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点0,ABCD,根据图2

中的数据可得x的值为（）

.6

X128单应，米

图1图2

A.0.64B.1C.0.8D.1.08

12.如图，在坡度为1:2的山坡上种树,要求相邻两棵树之间的水平距离AC为4米，则斜坡上相邻两树之间的坡

面距离为（）

AC

A.2米B.2石米C.4斯米D.8米

13.五名同学捐款数分别是5,3,6,5,10（单位：元），捐3元的同学后来又追加了。元.追加后的5个数据与

之前的5个数据相比，中位数和众数均没有发生变化，贝壮的值为（）

A.1B.2C.1或2D.3

14.如图，四边形OCDE是边长为2的正方形，即尸是边长为2的正三角形，点G,X分别是边。E,DC的中点,

在点RD,G,X四个点中，位于同一反比例函数图像上的两个点是（）

A.点厂和点GB.点厂和点。C.点尸和点反D.点G和点X

15.将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片ABC上，则tanB的值等于（）

A.2B.—C.—D.—

243

16.有一题目：“如图，在四边形的A3CO中，AB//CD,NB=NC=90。,AB=2,BC=7,CD=6.当一ABP与.PCD

相似时，求BP的长.”

嘉嘉的结果为：2尸=3或4.

而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，2尸还应有另一个不同的值.”，下列判断正确的是（）

7

A.淇淇说的对，且B尸的另一个值是'B.淇淇说的不对，2尸就等于3或4

4

C.嘉嘉求的结果不对，8尸应等于3或5D.两人都不对，应有4个不同值

二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18-19小题各4分，每空2分）

17.计算：2sin300-tan45。=.

18.根据表中的数据，写出。的值为,6的值为.

x结果2n

19.如图，在平面直角坐标系xOy中，点M(1,3),N(4,3),己知点N在反比例函数y=上的图象上，以点。为位

X

似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的"倍得到线段

(1)左的值为;

(2)若在线段MN上总有在反比例函数y=4图象上的点，则n的最大值为.

X

三、解答题(本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.在实数范围内定义一种新的运算“※之其规则为：3=0^.

(1)根据这个运算规则，计算2※(-4)的值；

⑵求关于x的方程(工+5必3=0的解.

21.某公司欲招聘一名英语翻译，对甲、乙、丙三人的口语成绩、面试成绩、笔试成绩三项进行了测试，各项满分

均为100分，成绩高者被录用，三人的成绩如下表：

应聘者口语成绩面试成绩笔试成绩

甲879090

乙938487

丙m9384

(1)如果公司将口语成绩、面试成绩、笔试成绩的平均数作为最终成绩，结果甲与丙的成绩相同，求机的值;

(2)若将甲、乙、丙的三项测试成绩，按照扇形统计图各项所占之比，分别计算三人各自的综合成绩，并判断录用结

果.

22.为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为35cm.如图，2D为桌面，嘉琪同学眼睛

P看作业本A的俯角为53。，身体离书桌距离8c=9cm,眼睛到桌面的距离PC=24cm.

(1)通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求；

(2)为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离BC和眼睛到桌面的距离PC保持不变的情况下,

需将作业本沿方向移动到点E处，求作业本移动的距离AE.(结果精确到0.1cm)(参考数据：cos37°«0.8,

24

cos47°一,tan47°«1.07.)

35

23.已知：如图，在YABCO中，N为BC上一点、,且BN=2CN,连接AN并延长，交OC的延长线于点P.

(1)求证：AABNs^PDA；

(2)若AB=8,求£＞尸的长；

⑶若BMN的面积为4,则ZXDM的面积为

k—4

24.已知：如图是反比例函数＞=——图象的一支，

⑴求上的取值范围；

⑵若该函数图象上有两点M(2,。)，N(6,b),则ab(填或“=")，并求出人与。的关系式;

(3)若一次函数y=；x+l的图象与该反比例函数图象，交于点4(4,〃?)，与x轴交于点8,连接

①求出小、上的值;

②在该反比例函数图象的这一分支上，是否存在点P,使得.尸的面积等于，AQB的面积的一半，若存在请求出

点尸的坐标，若不存在请说明理由.

25.如图1,有一块长方形空地，长比宽多10m,用代数式表示空地的面积.

菜地菜地

菜地菜地

图1图2

⑴老师在黑板上的板书为:x(x-10),请根据老师的板书，写出x的实际意义：，

⑵若空地的面积为200m2,则空地的长为m；

(3)在(2)的条件下，计划在长方形空地上修建两条宽度相同，且分别与长方形空地的边平行的小路，余下的四块

小长方形空地种菜.如图2,如果四块菜地的面积和为144m2,求小路的宽为多少m.

3

26.如图1和图2,在「ABC中，AB=AC=10,sinC=y,点M在AB上，且AM=4,点P从点M出发沿折线

以每秒2个单位匀速运动，同时点。从点C出发以每秒1个单位向点A运动，连接PQ,其中一个点到达终点时，

另一个点也随之停止运动.设运动时间为r秒.

⑴当点P在上时，BP=(用含/的代数式表示)；

⑵当点P在上运动时，

①点P与点4的最短距离为,此时，的值为;

②求出点P到直线AC的距离(用含r的代数式表示)；

(3)在整个运动过程中，当PQ与ABC的一边平行时，求出『的值；

(4)当点尸在上运动时，是否存在某一时刻，使得=若存在，直接写出f的值，若不存在，请说明理

由.

参考答案与解析

1.B

【分析】本题考查了比例的性质，由已知可知b=g。，代入计算即可求值.

【详解】解：•••)=，,

b5

b=一〃,

2

a_a_a2

a+ba+lala7，

22

故选：B.

2.B

【分析】本题主要考查了仰角的识别，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，根据仰角的定义进行解答便可.熟记

仰角的定义是解题的关键.

【详解】解：从点A观测点。的视线是AO,水平线是AB,

从点A观测点D的仰角是.

故选：B.

3.B

【分析】本题考查配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，配方的方法，“两边同时加上一次项系数一半的

平方”.

22

【详解】解：X-4X+2=5+4,

故选：B.

4.A

【分析】本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越

大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动

越小，数据越稳定.

根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案.

【详解】解：甲、乙两个班的平均分相同，而年＜$3

因此甲班的成绩比较整齐，

故选：A.

5.D

【分析】根据平行线分线段成比例进行求解即可，掌握相关知识是解题的关键.

【详解】解：,・,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成，

・・・AB=2BC=4.

故选：D.

6.C

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，正确的理解题意，根据数形结合思想解

题的关键.

k

把点A(3,3),3(3,1)代入y=—(%。0),即可得到女的值，从而得结论.

x

【详解】解：由图可知：k〉0,

k

・・・反比例函数y=—(左。0)图象的一支与线段AB有交点，且点43,3),5(3,1),

x

.•中巴8(3,1)代入y=与得，k=3,

X

k

把A(3,3)代入y=t得，k=3x3=9,

x

满足条件的k值的范围是34k<9.

故选：C.

7.C

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

利用经过两个学期的两次调整后每天作业平均时长=原来每天作业平均时长x(l-这两次该校每天作业平均时长的下

降率)2,即可列出关于尤的一元二次方程，此题得解.

【详解】解：根据题意得：90(1-%)2=60.

故选：C.

8.D

3

【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，根据上>0可判断A；当x=1时，y=4,可判断B；根据XHO可

判断C；当x<0或x>0时，V随x的增大而减小可判断D,熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键.

【详解】解：A、左>0,.,.图象位于第一、三象限，则正确，故不符合题意；

B、当尤=|时，>=百=4,.•.图象必经过点则正确，故不符合题意；

C、xwO,.•.图象不可能与坐标轴相交，则正确，故不符合题意；

D、当x<0或彳>。时，》随x的增大而减小，则错误，故符合题意；

故选D.

9.B

【分析】本题考查了众数、平均数、样本的容量、中位数，根据相关的定义，逐项分析判断即可求解.

【详解】解：A项，样本容量是2+3+4+1=10,故该选项正确，不符合题意；

B项，6出现的次数最多，则众数是6,故该选项不正确，符合题意；

C项，中位数是第5个和第6个数的平均数即5,故该选项正确，不符合题意；

/7xO_i_zlxQ_i_Axd.-4-R,x1

D项，平均数是<"=4.8,故该选项正确，不符合题意；

故选：B.

10.C

【分析】本题考查判别式与根的个数的关系.熟练掌握A>0时，方程有两个不相等的实数根，是解题的关键.

【详解】解：•••△=(-2a)2-4xlx("-4)

=44—4a2+16

=16>0,

・・・方程x2-2ax+a2-4=0有有两个不相等的实数根，

故选C.

11.A

【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，由ABCD,可得出，CODSMOA,进而得出兽=廿_,解

1.21.6-x

出即可得出结论.熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键.

【详解】解：AB//CD,

：qCODsBOA,

.0.8_x

,,L2-1.6—x'

3%=3.2—2x,

/.x=0.64,

故选：A.

12.B

【分析】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题.由坡度为1:2,可得BC:AC=1:2,又由AC=4米，即

可求得BC,再利用勾股定理求得坡面距离4B的长.

【详解】解：••坡度为1:2,

,BC1

••=一，

AC2

AC=4米，

2C=2米，

ZACB=90°,

AB=y/AC2+BC2=A/42+22=2后(米).

故选：B.

13.C

【分析】本题主要考查中位数和众数的知识，熟练练据中位数“一组数从小到大排列之后最中间的数为这组数的中

位数”和众数“一组数中出现最多的数为这组数的众数”的基本概念是解题的关键.

根据中位数和众数的概念做出判断即可.

【详解】解：根据题意知，追加前5个数据的中位数是5,众数是5,

・；a=l时，追加后5个数据的中位数是5,众数为5,

a=2时，追加后5个数据的中位数是5,众数为5,

。=3时，追加后5个数据的中位数是6,众数为5和6,

•'.a的值为1或2,

故选：C.

14.D

【分析】结合平面直角坐标系，得到各个点的坐标，其中横纵坐标乘积相等的点即为同一反比例函数图象上的点.

【详解】依题意：点G(l,2),F(l,2+V3),。(2,2),"(2,1),

1x2=2x1,

.,.点G和点”位于同一反比例函数图像上.

故选择：D

【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.

15.B

【分析】本题考查的是求解锐角的正切，本题先利用平行线的性质把转化到已知直角三角形中，从而可得答案，

熟练的利用平行线的性质进行等角的转换是解本题的关键.

【详解】解：如图，先标注顶点，•••£?/〃BC,

NEFH=NB,

EH1

在RtZ\ES中，tanNEFH=—=-,

故选B.

16.A

【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，设BP=加，则CP=7-〃z,分类讨论：当=时，则

YAPBSYPDC；当=时，则VAP8SVDPC,利用相似比即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及

性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键.

【详解】解：设3。=加，贝IJCP=7—加，

当/A尸8=/尸。。时，

ZB=ZC=90°,

:NAPBKPDC,

BPAB

,•而一而'

BPCP=ABCD=2x6=12,

:.x(j-x)=\2,

解得玉=3,x2=4,

5P=3或4；

当/APB=NO尸。时，

ZB=ZC=90°,

:NAPBsVO尸C,

.BPAB_21

,cF-CD-6-3?

3BP=CP,

3x=7-x,

解得％=，7，

4

7

综上所述，BP=3或4或一,

4

故选A.

17.0

【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可得到答案.

【详解】解：2sin30°-tan45°=2x1-l=1-1=0,

故答案为：0.

【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

18.8-1

【分析】题目主要考查求代数式的值及解一元二次方程，理解题意，结合表格求解是解题关键.

【详解】解：当工二〃时，2x+l=b,即2〃+l=Z?,

当尤=2时，x1+2x=a即a=8,

当不二〃时，%2+2%=—1,即〃2+2〃+1=0,

解得〃=—1,

b=2x(―1)+1=—1,

故答案为：①8；②-1.

19.(1)12

k

【分析】本题考查了反比例函数的性质，位似图形的性质，正确求出直线OM与双曲线>=强在第一象限的交点是

解题的关键.

(1)根据反比例函数的图像上点的坐标特征计算；

k

(2)求出直线0M与双曲线>=生在第一象限的交点，根据位似变换的性质解答即可.

【详解】(1)N(4,3)在反比例函数>=人的图象上,

：.k=12,

故答案为：12；

设直线OM的解析式为：>=依,

点M的坐标为(1,3),

3=〃xl,

解得：。=3,

直线的解析式为：>=3%,

y=3x

玉=-2x2=2

解方程组12,得

%=-6%=6

1o

•，直线OM与双曲线>在第一象限的交点为(2,6),

X

〃的最大值为2.

20.(1)-12

(2)再=—8,x2=—2

【分析】本题考查了一元二次方程的解，有理数的混合运算，

(1)根据定义的新运算进行计算，即可解答；

(2)根据定义的新运算可得(x+5『-32=0,然后利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答;

准确熟练地进行计算是解题的关键.

【详解】⑴解：2※(-4)=2?-(-4『

=4-16

=—12,

，2※(-4)的值为一12；

(2)v(x+5)5K3=0

(X+5)2-32=0

(x+5+3)(x+5-3)=0

.•・1+5+3=0或x+5-3=0

••X]——8,%2=-2f

故方程@+5怦3=。的解为玉=-8,2=-2.

21.(l)m=90

(2)丙被录用

【分析】此题考查了扇形统计图、算术平均数和加权平均数,

(1)根据甲的平均成绩等于丙的平均成绩列方程计算即可；

(2)扇形统计图各项所占之比，分别计算三人各自的综合成绩，然后比较即可得到结论.

关键是能根据统计图获得实际问题中的信息，并能通过求解加权平均数对问题进行分析.

87+90+90m+93+84

【详解】(1)解：根据题意得,

33

解得根=90；

，用的值为90；

18001

(2)“口语成绩”所占比例为:

360°-2

120。_1

面试成绩”所占比例为:

360°-3

60°_1

“笔试成绩”所占比例为:

360°-6

厂•口语成绩、面试成绩、笔试成绩的比为3:2:1,

BAATw+d87x3+90x2+90x1/八、

甲的成绩为：----臣干-----=88.5(分),

7M卡厚在93x3+84x2+87x1/八、

乙的成绩为：----^―,-----=89(分)，

3+2+1

主在90x3+93x2+84x1/八、

丙的成绩为：----^―,-----=90(分)，

3+2+1

90>89>88.5,

录用丙.

22.(1)距离不符合最佳要求

(2)作业本移动的距离AE«7.7cm

【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用一仰角俯角问题，勾股定理，熟练掌握仰俯角的概念是解题关键.

(1)根据三角函数的定义列式计算即可;

(2)根据勾股定理求出AC的长，再利用三角函数求出移动后的俯角，再求出EC的长，即可求出最后结果.

【详解】(1)解：如图，在RtZ\P4C中，

ZACP=90°,APAC=53°,

.-.ZAPC=90°-53°=37°,

pc

cosZAPC=——,

PA

PC

...cos37°=——，

PA

24

...0.8«——，

PA

AP=30cm<35cm,

...距离不符合最佳要求；

(2)在RtZ\R4C中，PC=24cm,AP=30cm,

AC=y]AP--PC2=,3()2-242=18cm，

为了符合最佳要求，PE=35cm,

pc24

在RtZXEPC中，cosZEPC=—=—,

PE35

・•・ZEPC«47°,

FC

tan47°=—

PC

FC

A1.07«——

24

・•・EC=25.68,

・•・=25.68-18®7.7cm.

23.⑴见解析

(2)DP=12

(3)9

【分析】(1)根据平行四边形的性质和平行线的性质可得NAOP=NABC,ZBAP=ZAPD,即可得出结论；

(2)根据平行线分线段定理可得答=簧，再由BN=2CN,AB=S,求得CP=4,再根据平行四边形的性质即

可求解；

(3)根据相似三角形的判定与性质可得以”=(网］,再根据平行四边形的性质和BN=2CN,可得净”

SDMA{ADJSDMA9

即可求解.

【详解】(1)证明：：四边形A8CD是平行四边形，

，ZADP=ZABC,ABCD,

，ZBAP=ZAPD,

/\ABNS/\PDA；

(2)解：・・・A5CD,

.ABBN

^~CP~~CN9

•;BN=2CN,

.AB。

CP

*.*AB=8,

CP=4f

・・・四边形A3CQ是平行四边形，

・・・AB=CD=8f

・・・。尸=8+4=12；

(3)解：VAD//BC,

：.丛BMNS^DMA,

.SBMN」BN\

9

SDMA(AD)

・・・四边形ABC。是平行四边形，

・•・AD=BC,

又•：BN=2CN,

22

BN=—BC=—AD,

33

(2Y

AD

.SBMN=(BN34

、_=

''SDMAIA刃AD9

\7

・・,.3MN的面积为4,

44

••S_9，

uDMA1

•・,q口DMA--Q,

【点睛】本题考查平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质及平行线的性质，熟练掌握相

似三角形的判定与性质是解题的关键.

24.(1)%>4

(2)>；a=3b

(3)①%=3,k=16；②存在，点P的坐标为(8,：

【分析】（1）根据反比例函数图象在第一象限，可得反比例函数的系数大于零，由此即可求解；

（2）将点M（2,a）,N（61）代入反比例函数进行计算即可求解；

（3）①将点A（4,〃z）代入一次函数可求出用的值，即点A的坐标，再代入反比例函数即可求出左的值；②根据题意

可算出点8的坐标，设，尸08的高为"根据498=：5人/4。8即可求解；

【详解】（1）解：,•反比例函数图象在第一象限，

：.k-4>0,

：.k>4.

（2）解：：M（2,a）,N（6,b）在反比例函数y=—的图象上，

•*.k-4=2a=6b,

a=3b,

：.a>b,

故答案为：>.

(3)解：①•・•A(4,m)在函数y=；x+l的图象上

・，・勿=；x4+1=3,则A(4,3),

,、“一

：A(4,3)在函数y=—4的图象上，

X

...3二"4,

**4

16-412

・》二16,则反比例函数解析式为户——=—,

xx

••tn=3,左=16；

②当y=0时，O=L+1,

2

••x=-2,

・・・B(—2,0),则08=2,且A(4,3),

•*,^^AOB=-X2X3=3,

**$4POB=5，设；.尸05的|Wj为用，

.1,12

・・一x20x/z=—x3,

22

:♦h=。,

2

3

・・・尸点的纵坐标为5,

将y=93代入反比例函数得39=1上2，

22x

x=8,

••・存在点p,11.

【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数，几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算

方法是解题的关键.

25.(1)长方形的长

(2)20

(3)小路的宽为2m

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用；

(1)根据题意和长方形面积公式进行解答即可；

(2)根据题意得出尤(x-10)=200,解方程即可;

(3)设小路的宽为四，根据四块菜地的面积和为144m"列出方程，解方程即可.

解题的关键是根据等量关系，列出方程.

【详解】(1)解：：长方形空地的面积为x(x-10),长比宽多10m,

表示长方形的长.

故答案为：长方形的长.

(2)解：；空地的面积为200m2,

尤(x-10)=200,

解得：xj=20,x2=-10(不符合题意舍去)，

故答案为：20.

(3)解：设小路的宽为加，根据题意得：

(20-y)(10-y)