第31讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（教师版）-高一数学同步讲义

第09讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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课程标准课标解读

1.理解与掌握两角差与和的余弦公式；

2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的

通过本节课学习，要求会利用两角和与差的正弦、余弦、

正弦、正切公式；

正切公式进行三角函数式的求值、化简及证明.

3.能利用两角和与差的正弦、余弦、正切公

式求值(角)、化简、证明等问题的解决.

视知识精讲

*、知识点

1.两角差的余弦公式

(1)公式内容:对于任意角a,B，有cosQa-B)=.cosacosS+sinasin夕.简记为C(“).

(2)公式推导：①利用三角函数线推导.②利用向量法推导.

2.两角和的余弦公式

(1)公式内容：对于任意角a,B，有cos(a+用)=cosacos)ff-sinasinp.简记为C(a+#.

(2)公式推导：

在公式C<*小中，将£用-6来替换，并且注意到cos(一或)=cos^,sin(-/0=-sin4，

于是cos(a+6)=cos[a-(/)]=cosacos(/)+sinasin(/)=cosacosy?-sinasin/J.

即cos(a+/?)=cosacos4一sinasinp.

3.两角和与差的正弦公式

(1)公式内容：对于任意角a,}有sin(a士戒)=sinacosy?icosccsinp.简记为S(a±.).

(2)公式推导：

运用差角的余弦公式及诱导公式，可得

sinQa+B)=cos[-(a+£)]

=cos[(^-a)-fi\=cos(]-«)cos夕+sin(1-a)siny?=sin<xcos/？+cosctsinp.

运用差角的余弦公式C,0+例及诱导公式，可得

JT

sin(a-/D=cos[—-(a-^?)]

7^

=cos[(—-a)+y8]=cos(--a)cos勺sin(]-«)sin^?=sinacos^?-cosasinfi.

4.两角和与差的正切公式

⑶】“土

(1)公式内容：tan(a垓)=tan/?(加小a±p^-+kit,k5).简记为T<前).

1.tanatan尸2

(2)公式推导：

当cos（a+夕）用时，将公式Ss+份,Cs+m的两边分别相除,

sinacos/?+cosasinp

有tan有+尸）

cosacos£一sicasinp

若cosacos£，0,将上式的分子、分母分别除以cosacos少,

tana+tan/?

得tan(a+S)

1-tanatan/7

在Tg+伊中，将£用来替换，可得tan(a-£)=tan[a+(-/?)]=tana+tan(-/7)=tan"-tan£

1-tanatan(一/)1+tanatan/7

【即学即练1】cos20°=（）

A.cos30°cos100-sin30°sin10°B.cos30°cos100+sin30°sin10°

C.sin30°cos10°-sin10°cos30°D.cos30°cos100-sin30°cos10°

【答案】B

【分析】

根据余弦的差角公式计算求解即可.

【详解】cos20°=cos(30-10)=cos30cos10+sin30sin10

故选：B

【即学即练2】cos75。的值为()

A瓜+&>o>/6—V2「\[6—y/2n>/6+5/2

4444

【答案】B

【分析】

直接利用两角和的余弦公式即可得出答案.

【详解】COS75°=cos（450+30。）=cos45°cos300-sin45°sin30°

夜6血1屈_及

=-------X--------------------X—=-------------------.

22224

故选：B.

【即学即练3】计算sin46Ocosl4o+sin44Ocos76。的结果等于（）

A.-B.—C.正D.且

2223

【答案】C

【分析】

结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.

【详解】

原式=sin46°cosl40+sin（90°-46°）cos（90°—14。）

=sin46°cos140+cos46°sin14°=sin（46°+14°）=sin60°=

故选：C

【即学即练4]若tan[?-a）=3,则tana的值为（）

A.—2B.—C.~D.2

22

【答案】B

【分析】

利用再结合两角和差的正切即可得到答案.

【详解】

故选：B.

【即学即练5］已知28s（万+9）=sin（—夕），则tan3+?=（

）

A.-B.-C.—1D.-3

53

【答案】D

【分析】

利用诱导公式和同角三角函数关系可求得tan。，由两角和差正切公式可求得结果.

【详解】

sin0

由2cos(乃+e)=sin(-6)得:—2cos〃=—sing,tan0--------=2,

cos，

八冗

tan0+tan

/.tan16+?4=出=-3

<八九1-2

1-tan0tan—

4

故选：D.

1rI(九

【即学即练6]己知cosa=m，a£(0,],则cos[a-§

5

【答案】喑

【分析】

由题知sina=短，进而根据余弦的差角公式计算即可.

5

【详解】

因为cosa=—G|0,

所以sina=Jl-cosa

所以cos|a-g=8sa8s2+sina.si/」」+侦x@=21

33525210

故答案为：匕述

10

【即学即练7】已知。为钝角，夕为锐角满足cosa=-*,sin〃=巫，则力二

510

3冗

【答案】a

【分析】

根据已知得sina=@,cos〃=亚，进而根据余弦的差角公式结合角的范围求解即可.

510

【详解】

由于a为钝角，夕为锐角，cosa=-竽,sin£=^

所以sina=gcos”酒,

510

所以cos(a-p)=cosacos/+sinasin0

2石3x/io亚Vio

=-------X---------1-----X------

510510

__V2

~2

37r

又因为a为钝角，夕为锐角，所以。<"尸5所以"夕一

3兀

故答案为：—

4

[即学即练8]2c2s5。*25。

sin65°

【答案】6

【分析】

由题意观察出角之间的关系为5。=30。-25。，65。=90。-25。，故原式转化为包竺二也二把竺，利用

cos25°

两角差的余弦公式化简求解.

【详解】

2cos50-sin25。2cos（30°-25°）-sin25°

sin65°cos25°

版os250+sin250-sin25°

cos25°

=>/3.

故答案为：&

Q能力拓展

考法01

两角和与差的正、余弦、正切公式

【典例1]COSE的值为()

12

D76-72

AA•--------0.--------

24

V6+V2

cD.G

4

【答案】C

【解析】cos2=cos(---)=cos—cos—4-sin—sin—=—x^-+—x-^-=+.故选C.

1234343422224

【解题必备】S，a妙：sin(a切)=sinacos^icosasinf}.

C＜«妙：cos(a±Q=cos«cosp4.sin«sin”.

【典例2】已知7c?sinP=~~~1则sin(6+gj=()

A.1B.2

C2立+6D2&-石

66

【答案】C

【分^1?】

利用同角三角函数的关系式求出cos£,然后利用正弦的和角公式即可求出答案.

【详解】

因为？＜〃＜］，sin^=——,所以cos^=Jl-sii?夕=4，

33

所以sin(夕+三)=sin/cos-710.乃2&1162国汽

-4-cospsin-=-----X—+—x——=-------------.

3332326

故选：C.

【典例3】若2tana=1,tan夕=-2,则tan(Q+£)=__________.

【答案】-3

4

1

【解析】••,Ztanaul,；.tana=L又tan/?=-2,.'.tan(a+QJna+tan夕=———=_2.故答案为:

4

21-tanatan夕1_lx(_2)

_3

~4,

4(兀%),则cos(；_a卜()

【即学即练9】已知cosa=—g,

A,巫B.一巫「7夜n7上

10101010

【答案】B

【分析】

根据同角三角函数的基本关系求巾sin。，再由两角差的余弦公式代入求值.

【详解】

4(7T\22

cosaf=,ael—，^1,sirra+cos-a=l

.3

z.sina=—

5

/万、TVV2f4^V23V2

44425j2510

故选：B.

【即学即练10】cos79°cos34o+sin79osin34°=()

A.《B.1C.—

22

【答案】C

【分析】

由余弦的差角公式，运算即可得解.

【详解】

cos79°cos34°+sin79°sin34°=cos(79°-34°)=cos45°=.

故选：C.

考法02

三角函数式的化简

(1)三角函数式的化简原则

①一看"角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的转化，再使用公式.

②二看“函数名”，看函数名之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦

③三看式子“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通

分”“遇到根式一般要升幕”等.

(2)三角函数式的化简要求

①使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少;

②式子中的分母尽量不含三角函数:

③尽量使被开方数不含三角函数等.

(3)三角函数式的化简方法

①异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化;

②“1”的代换，三角公式的正用、逆用.

sin22+cos45sin23

【典例4】化简:

cos220-sin45sin230

【答案】1

【分析】

化简得原式为:器著u；黑吸,再进一步化简即得解,

【详解】

_sin(45-23°)+cos45sin23

小,cos(45-23°)-sin45sin23"

sin45cos231

------------r=1•

cos45cos23

故答案为：1

【点睛】

方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）,要根据已知条件灵活选

择方法求解.

【典例5】已知Isin[a+2冗]+sina=-生叵，贝ijcos（a+竺8兀]等于（

)

353

B

A-4--ID-?

【答案】D

【分析】

yj»再结合sin(a+q兀.4G—j-xg

利用拼凑法将a表示成（二+1-+sina=———,可得

3

71.7171

sina+—+sin,结合辅助角公式和诱导公式进一步化简即可

(3a-\3-----------

【详解】

UIsinfa+—71+sintz=,所以sin(a+色71.(兀兀4G

+sina+-----

353I33

.兀4月

所以sin[a+]7171

+sina+—COS——cosa+—sin—=-----

I33335

所以3sin/a+27C百Tl

----cosa+一

2323

1n7t逑

所以-石—cosa+一sina+—

233

/兀714G,即cos[a+g)=4

所以-cosa+—+—

I335

所以cos]a+早2兀4

=cosa+Tj-5,

故选D.

【点睛】

本题考查三角函数公式的化简求值，拼凑角、辅助角公式的使用，解题关键在于表示出

属于中档题

【典例6】若角a满足cos仔+小二，则[里一=()

[4)31+taiTa

7二7-7-7

A.-B.—C.—D.—

9241812

【答案】C

【分析】

利用两角和的余弦公式化简已知等式可得cosa-sina=¥，两边平方，可得2sinacosa的值，根据同角三

角函数基本关系式化筒所求即可求解.

【详解】

+=^^(cosa-sina)=g,可得cosa-sina=^~，

因为COS

7

两边平方，可得2sinacosa=3,

sina

tana

所以l+tar?/=——-7=sinacosa=—

1+rsinaV18'

[cosa)

故选：C.

考法03

给值求值、给值求角、给角求值

【典例7】若角。，4均为锐角，sina=2叵，cos(a+/)=：,则cos〃=()

53

A.亭B-萼c-竽或绦7

【答案】A

【分析】

先求出cosa,sin(a+尸)，再利用和差角公式求出cos"

【详解】

Qa,夕均为锐角，sina=拽，cos(a+£)=：,

53

2班

二.cosp=cos[(a+4)一a]=cos(a+P)cosa+sin(«+J3)sina=乜旦+，迈

5555"I"

故选：A.

【点睛】

利用三角公式求三角函数值的关键：

(1)角的范围的判断；

(2)根据条件进行合理的拆角，如分=(a+夕)-a,2a=(a+£)+(a-月)等.

【典例8】已知sina=当,sin(a-尸)=-巫，均为锐角,则角夕等于

510

5兀-兀〃兀一兀

A.—B.-C.-D.一

12346

【答案】c

【分析】

由同角三角函数的平方关系和a,/?的范围求出Sin(a-⑶和cosa,再利用正弦两角差公式求出sin4,从而

确定出户的值.

【详解】

解：因为见力均为锐角，所以

又sin(a-/7)=,所以cos(a一夕.又sina=,,所以cosa=

所以sin/?=sin^a-(a-/7)J=sinacos(<z-/?)-cos<zsin(a->3)

——_V_5x_3_回______2_>_/5_x也

51052

7T

所以夕故选：C.

【点睛】本题考查三角函数求值，关键是正弦两角差公式的灵活应用，属于中档题.

【典例9】在A/C中，已知tan5=g,tanA=g,则C的大小为()

A.90°B.45°C.135°D.60°

【答案】c

【分析】

利用两角和正切公式及三角形内角和定理可得结果.

【详解】

n1x1

.tanB=—,tanA=",

23

-1+—1

tan4+tan8_32

tan（A+B）==1,

1-tanAtanB一口

6

tanC=-tan（A+8）=-l,

又Cw（O,乃）,

.r3兀

・・c=—.

4

故选：C.

sin500+sin30°sin10°_

【典例10】求值：

cos50°-cos30°sin10°

【答案】＞/3

【分析】

根据50。=60。-10。，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可.

【详解】

sin50°+sin30°sin10°_sin（60°-10°）+sin30°sin10°

cos500-cos30°sin10°cos（60°-10°）-cos30°sin10°

_sin60°cos10°-cos60°sin100+sin30°sin10°

cos60°cos100+sin60°sin10°-cos30°sin10°

^sin600cosl00=tan6（）o=^

cos60°cos10°

故答案为：石

【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值，需要根据所给的角度与特殊角的关系，并利用

三角恒等变换进行求解.属下中档题.

123

【即学即练11】已知a为锐角，尸为第三象限角，且cosa=R,sin£=-1,则cosg+尸）的值为（）

6333-63r33

A.-----B.-----C.—D.—

65656565

【答案】B

【分析】

结合同角的平方关系求出sin。,cos/?,然后利用两角和的正弦公式即可求出结果.

【详解】

因为a为锐角，夕为第三象限角，所以sina>0,cos/?<0,

故选：B.

【即学即练12】设且tana=*tan尸=；,则a-£=.

【答案】£

【分析】

根据a,夕且tana=g,tan£=g,判断a,4的范围，进而求出口一夕的范围，再由tana,tan/的值求

出tan（a-A）,即可求出a-6.

【详解】,:.a—[3£

4_J_

.ta_tan«-tan£3%=i

,41

1+tanatan01+—X—

37

因为a-夕所以a-夕=（.故答案为:n

7

【点睛】利用三角函数值求角的关键:

（1）角的范围的判断；

（2）根据条件进行合理的拆角，如A=（a+/7）-a,2a=（a+分）+（。-力）等;

（3）尽量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范围缩小.

品分层提分

题组A基础过关练

1.‘COS15O+/"SinlS。的值是()

22

A,也B.一正C.男

D.

2222

【答案】A

【分析】

结合两角差的余弦公式求得正确结论.

【详解】

原式=cos60°cos150+sin60°sin15°=cos(60°-15°)=cos45°=.

故选：A

2.在一ABC中，若sin(8+C)=2sinBcosC,则ABC是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】D

【分析】

利用两角和与差的正弦函数公式化简已知可得sin(C-8)=。，结合角的范围，利用正弦函数的图象和性质

即可解得C=B,从而得解：角形为等腰三角形.

【详解】

解：sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sin^cosC,

可得：cosBsinC-sin8cosC=sin(C-B)=0,

.Be(0,^),Cw(0,O,可得：C-BG(F,G,

解得：C=B,

故选：D.

c'।tan820-tan220/、

3.计算------：--------7=()

1+tan82tan22

A.-1B.1C.73D.-73

【答案】C

【分析】

由正切的差角公式，即得解

【详解】

tan82°-tan22°

由题意,=tan(82—22)=tan60=>/3

1+tan82tan22'

故选：C

4.cos(a-35°)cos(25o+a)+sin(«-35o)sin(250+a)&\j{M^J()

A.--B.；C.-BD.3

2222

【答案】B

【分析】

根据余弦的差角公式计算求解即可.

【详解】

解：由余弦的差角公式得

cos(a-35°)cos(250+a)+sin(a-350)sin(250+a)=cos^(a-350)-(25°+a)]=cos(-60

故选：B

5.已知1€(0,1]/211£=2,则cos(a-f]等于()

A.巫B.叵C3所3M

.------Ln).---------

10101010

【答案】C

【分析】

由已知结合同角三角函数的关系可求COS&,sinaL然后结合两角差的余弦公式即可求解.

【详解】

解：由tana=2得，sina=2cosa

)1

又sin?a+cos2a=1,所以cos-a=g,

因为ac(0,10，

所以cosa=,sina=-,

55

冗冗冗

因为cos(a----)=cosacos—+sinasin—,

444

石应2石&3>/10

=-------X----------1------------X--------=-------------.

525210

故选：C.

6.已知a,£均为锐角，且883+0=$皿9"),则tana=()

A.0B.gC.；D.1

【答案】D

【分析】

利用两角和公式展开，可求得(cos〃+sin〃)(sina-cosa)=。，进而sina-cosa=0,即可求解

【详解】

cos(a+/7)=sin(a-p),

/.cosacos尸一sinasin£=sinacosp-cosasin/7,

即cosp(sin(7-cosa)+sin/7(sina-cosa)=0,

所以(cos〃+sin力)(sina-cosa)=0,

因为a,/7均为锐角，所以cos/7+sin/7>0,

所以sina-cosa=0,

所以tanc=1,

故选：D

7.若。为锐角，cos(6+—)—....，则tang+=()

410tan。

A.』25「24D-(

D.--C.--

12127

【答案】B

【分析】

由8式。+马=_且，得cosO-sin”-!，两边同时平方得：sindcos0=¥，故有.sm^cosg巳再

410525sirre+cos*25

化弦为切即可得出答案.

【详解】

解：由cos(e+工)=-显,得旦。S。-gin”-变，

4102210

所以cos。-sin。=-[,

1I?

两边同时平方得：l-2sinecosg=」-,则sin0cos9=上，

2525

w/.sincos0_12

",sin20+cos2025

112

「广..tunu]2_.----------=—

所以-贝LA工125.

tan~0+125lan6+----

25

所以tan6+----

tan。n

故选：B.

8.已知。是第二象限角，sin(e+：)=|,则tane=()

341

A.—B.—C.—D.-7

437

【答案】D

【分析】

根据已知条件，结合同角三角函数的关系和正切函数的两角和公式求解即可

【详解】

4

5

八兀

tan+tan—

3tan0+13

所以-----------生-,即an-------

4

1一tan，tan—41-tan0

4

解得tan，=—7,

故选：D

9.tan10°tan20°+x/3(tan100+tan20°)=()

A石

.—B.1C.百D.-\/6

3

【答案】B

【分析】

利用和角的正切公式得到tanlO+tan20=y^(l-tanlO.tan20),代入即得解.

【详解】

由题得tan(10+20)=L。J卜⑺,.tan]04-tan20=^-(1-tan10-tan20),

1-tan10.tan203

所以tan10°tan20°+>/3(tanl0o+tan20°)=tan10°tan20°+>/3.-^-(1-tan10.tan20)

=1.

故选：B

题组B能力提升练

3

1.在一ABC中，已知sinA=M,cosB=—,贝!]cosC=()

B.上c63

A,史D.——

6565c卷噫65

【答案】A

【分析】

a5

根据sinA=1,cosB=],结合函数值确定角的范围，分别求得cosAsinB,再由cosC=-cos（A+8）求解.

【详解】

在-A3C中，VcosB=—,

13

••_[i2n_]2

••sinD=\JL-cosD=—>—，

132

7T7t

/.Be

・.・sinA=|w

2

717t

或Aw（舍去）,

Z'W

/.cosA-Vl-sin2<A=1

cosC=-cos(A+=-cosAcosB4-sinAsinB,

4531216

-----xF—x—=——

51351365

故选：A.

2.已知角角夕的顶点均为坐标原点。，始边均与工轴的非负半轴重合，角夕的终边。5在第四象限，角

712

a的终边04绕原点顺时针旋转g后与0B重合，sin/?=彳，则cosa=()

0V35）35

A-4B.f「而+2D2-—石

66

【答案】C

【分析】

OA绕原点。顺时针旋转刍后与03重:合可令a=£+：,

66

sin（尸+]）=|,p的终边在第四象限一夕+g为第一象限角fcos"?+g）=今,

3333

(A乃)(A兀)兀V15+2

—>coscr=cosl/>+—l=cosIp+—I-—

6

【详解】

jrjr

因为。4绕原点。顺时针旋转-后与。8重合，所以可令a=月+二,

66

因为缶且万的终边在第四象限，所以尸+：为第一象限角，所以cos(/+g)=1,

所以

兀Q兀)71.\Tt\.It

cosa=cos(/7+£]=cos(4十三=coslp+—Icos—+sinlpn+—Ism—

6

=旦旦三「叵1

32326

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是能够根据sin(尸+])=：及户的终边在第四象限判断出6+]为第象限角.

夕都是锐角，且cosa=q,sin(a—夕)="^,则cos£=()

，

^

-B.2

AC.2

^

-

2戈一克D,叵或立

10210

【答案】A

【分析】

由cos/7=cos[a-(a-£)],根据两角差的余弦公式展开.结合已知条件，求出8sa,cos(a-月)，代入即得.

【详解】

:.0<a-P<ycos(a-尸)=Jl-sin.1a-0)=3y.

6..r,------2

coscr=-^-,..sincr=vl-cosa-—非.

/.cos/?=cos[a-(a-/7)]=cosacos(a-/?)+sinasin(a-〃)

y/53屈25/5VioV2

=-----x-----------1---------x-------=------

5105102

故选：A-

【点睛】

本题考查了同角三角函数的基本关系式，两角差的余弦公式，角变换技巧，属于中档题.

4.(多选题)下列各式的值计算正确的是()

A.sin30cosO=0B.—sin2—+cos2—K=—\

66

C.V3(tan550-tan25)-tan55-tan25°=1D.

【答案】CD

【分析】

根据三角恒等变换的知识依次讨论各选项即可得答案.

【详解】

解：对于A选项，因为sin30"cos0"=sin30"=；,所以A错误；

对于B选项，因为-sirM+cos??不二cos2工一sin?工=cos巳=L所以8错误；

666632

对于C选项，因为tan30°=「55二tan25°.=3,所以6(355°-tan25°)=l+tan55°-tan25°,

1+tan55•tan253

IU\/3(tan55-tan25°)-tan55tan25=1,所以C正确；

对于D选项，因为；s60°=，二(1-药)=.30°=；，所以。正确.

故选：CD.

【点睛】

本题考查恒等变换化简求值，解题关键在于熟练应用三角函数公式，是中档题.

5.(多选题)在AABC中，NC=120",tanA+tanB=手，下列各式正确的是()

A.A+B=2CB.tan(A+B)=-V3C.tanA=tanB

D.cosB=6sinAE.tanA-tan8=g

【答案】CDE

【分析】

求出tan(A+B)=6,判断A,B错误；计算得到tanA-tanB=:，所以E正确；计算得到tanA=tanB=3,

33

故C,D正确.

【详解】

VZC=120°,：.ZA+ZB=6(),：.2(A+B)=C,

tanA+tan3

tan(A+B)=6,...A,B都错;

1-tanAtanB

tanA4-tanB=V3(l-tanA-tanB)=

3

/.tanA•tan3=g①，E正确；

又tanA+tan3=2正②，由①②联立解得tanA=tan3=,所以cosB=GsinA,故C,D正:确.综上,

33

C,D,E正确.

故选：CDE.

【点睛】

本题主要考查和角的正切公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

6.(l+tan21°)(l+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)=

【答案】4

【分