湖南省长沙市宁乡县2024年八年级数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

湖南省长沙市宁乡县2024年八年级数学第二学期期末达标检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣ B．x≥﹣ C．x≥ D．x≤2．如图，在矩形中，，，分别在边上，.将，分别沿着翻折后得到、.若分别平分，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．73．下列结论中，正确的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．正方形两条对角线相等，但不互相垂直平分D．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质4．如图是一次函数（、是常数）的图象，则不等式的解集是（）A． B．C． D．5．已知反比例函数的图象过点M(－1，2)，则此反比例函数的表达式为()A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－6．欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取.则该方程的一个正根是（）A．的长 B．的长 C．的长 D．的长7．下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（）A． B． C． D．8．若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y29．下列计算：，其中结果正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．410．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A．30° B．45°C．90° D．135°二、填空题(每小题3分,共24分)11．因式分解：_________．12．如图将△ABC沿BC平移得△DCE，连AD,R是DE上的一点，且DR：RE＝1：2,BR分别与AC,CD相交于点P,Q，则BP：PQ：QR＝__．13．如图，将长方形ABCD绕点A顺时针旋转到长方形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1＝125°，则∠α的大小是_______度．14．分式，，的最简公分母__________.15．若关于x的一元二次方程x²-2x+c=0没有实数根．则实数c取值范围是________16．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿直线AE折叠，使点D落在点F处，则线段CF的长度是______．17．如图，直线l1：y=x+n–2与直线l2：y=mx+n相交于点P(1，2)．则不等式mx+n<x+n–2的解集为______．18．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，BC/交AD于E，AD=8，AB=4，DE的长=________________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图1，点是正方形的中心，点是边上一动点，在上截取，连结，．初步探究：在点的运动过程中：(1)猜想线段与的关系，并说明理由．深入探究：(2)如图2，连结，过点作的垂线交于点．交的延长线于点．延长交的延长线于点．①直接写出的度数．②若，请探究的值是否为定值，若是，请求出其值；反之，请说明理由20．（6分）今年5月19日为第29个“全国助残日”．我市某中学组织了献爱心捐款活动，该校数学课外活动小组对本次捐款活动做了一次抽样调查，并绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图（每组含前一个边界，不含后一个边界）．（1）填空：_________，_________．（2）补全频数分布直方图．（3）该校有2000名学生，估计这次活动中爱心捐款额在的学生人数．21．（6分）如图，正方形ABCD中，CD=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求GC的长．22．（8分）在“2019慈善一日捐”活动中，某校八年级(1)班40名同学的捐款情况如下表：捐款金额（元）203050a80100人数（人）2816x47根据表中提供的信息回答下列问题：（1）x的值为________

，捐款金额的众数为________元，中位数为________元．（2）已知全班平均每人捐款57元，求a的值．23．（8分）如图1，在直角坐标系中放入一个边长AB长为3，BC长为5的矩形纸片ABCD，使得BC、AB所在直线分别与x、y轴重合．将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x轴上，记为F．（1）求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标；（2）如图2，过D作DG⊥AF，求DG的长度；（3）将矩形ABCD水平向右移动n个单位，则点B坐标为（n，1），其中n＞1．如图3所示，连接OA，若△OAF是等腰三角形，试求点B的坐标．24．（8分）如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F，求证：四边形BEDF是平行四边形．25．（10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，A，B，C三点的坐标分别为(5，﹣1)，(2，﹣5)，(2，﹣1).(1)把△ABC向上平移6个单位后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；(2)画出△A2B2C2，使它与△ABC关于y轴对称；(3)画出△A3B3C3，使它与△ABC关于原点中心对称．26．（10分）已知直线y1＝mx+3n﹣1与直线y1＝（m﹣1）x﹣1n+1．（1）如果m＝﹣1，n＝1，当x取何值时，y1＞y1？（1）如果两条直线相交于点A，A点的横坐标x满足﹣1＜x＜13，求整数n的值．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件——被开方数为非负数进行求解即可得.【详解】由题意得：2x-1≥0，解得：x≥，故选C.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知被开方数为非负数时二次根式有意义是解题的关键.2、B【解析】

如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．根据题意得到∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，根据三角函数的计算得到CT，即可解决问题．【详解】如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．由题意：∠BAD＝90°，∠BAE＝∠EAG＝∠GAM，∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，∵AB＝AG＝2，∴AM＝AG•cos30°＝3，同法可得CT＝3，易知四边形ABNM，四边形GHTN是矩形，∴BN＝AM＝3，GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣6＝4，故选：B．【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．3、B【解析】A.可判断为菱形，故本选项错误，B.对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确，C.正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，故本选项错误，D.菱形的对角线不一定相等，故本选项错误，故选B．4、B【解析】

根据一次函数图像与不等式的性质即可求解.【详解】∵一次函数与x轴的交点横坐标为-2，∴不等式的解集为故选B.【点睛】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知一次函数与不等式的关系.5、B【解析】

函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y＝（k≠0），即可求得k的值．【详解】设反比例函数的解析式为y=(k≠0).∵该函数的图象过点M(−1,2)，∴2=，得k=−2.∴反比例函数解析式为y=-.故选B.【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式的方法和步骤.6、B【解析】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长,即可发现结论.【解答】用求根公式求得：∵∴∴AD的长就是方程的正根.故选B.【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.7、D【解析】

此题涉及的知识点是不等式组的表示方法，根据规律可得答案．【详解】由解集在数轴上的表示可知，该不等式组为，故选D．【点睛】本题重点考查学生对于在数轴上表示不等式的解集的掌握程度，不等式组的解集的表示方法：大小小大取中间是解题关键．8、B【解析】

先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2＜x3即可得出结论．【详解】∵反比例函数y=﹣中k=﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵x1＜0＜x2＜x3，∴B、C两点在第四象限，A点在第二象限，∴y2＜y3＜y1．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．本题也可以通过图象法求解．9、D【解析】

根据二次根式的运算法则即可进行判断.【详解】,正确；正确；正确；，正确，故选D.【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的性质：;.10、C【解析】

根据勾股定理求解.【详解】设小方格的边长为1，得，OC=，AO=，AC=4，∵OC2+AO2==16，AC2=42=16，∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC=90°．故选C．【点睛】考点：勾股定理逆定理.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【解析】

直接提取公因式即可．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键．12、2：1：1【解析】

根据平移的性质得到AC∥DE，BC=CE，得到△BPC∽△BRE，根据相似三角形的性质得到PC=DR，根据△PQC∽△RQD，得到PQ=QR，即可求解．【详解】由平移的性质可知，AC∥DE，BC=CE，

∴△BPC∽△BRE，

∴，

∴PC=RE，BP=PR，

∵DR：RE=1：2，

∴PC=DR，

∵AC∥DE，

∴△PQC∽△RQD，

∴=1，

∴PQ=QR，

∴BP：PQ：QR=2：1：1，

故答案为2：1：1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平移的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13、35.【解析】

利用四边形内角和得到∠BAD’，从而得到∠α【详解】如图，由矩形性质得到∠BAD’+∠α=90°；因为∠2=∠1=125°，所以∠BAD’=180°-∠2=55°，所以∠α=90°-55°=35°，故填35【点睛】本题主要考查矩形性质和四边形内角和性质等知识点，本题关键在于找到∠2与∠BAD互补14、【解析】

确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【详解】分式，，的分母分别是x、3xy、6（x-y）,故最简公分母是,故答案为.【点睛】此题考查最简公分母，难度不大15、【解析】

利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得：，解得：，故答案为：【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．16、【解析】

由折叠可得全等形，由中点、勾股定理可求出AE的长，得到三角形EFC是等腰三角形，利用三线合一和勾股定理使问题得以解决．【详解】解：过点E作EG⊥FC垂足为G，∵点E是CD的中点，矩形ABCD中，AB=8，AD=3，∴DE=EC=4，在Rt△ADE中，AE==5，由折叠得：∠DEA=∠AEF，DE=EF=DC=4，又∵EG⊥FC∴∠FEG=∠GEC，FG=GC，∴∠AEG=×180°=90°，∴△ADE∽△EGC，∴即：，解得：CG=，∴FC=，故答案为：．【点睛】考查矩形的性质、折叠轴对称的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，综合性较强，掌握图形的性质和恰当的作辅助线方法，是解决问题技巧所在．17、>1【解析】∵直线l1：y＝x＋n－2与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，2)，∴关于x的不等式mx＋n＜x＋n－2的解集为x>1，故答案为x>1.18、5【解析】

首先根据矩形的性质可得出AD∥BC，即∠1=∠3，然后根据折叠知∠1=∠2，C′D=CD、BC′=BC，可得到∠2=∠3，进而得出BE=DE，设DE=x，则EC′=8-x，利用勾股定理求出x的值，即可求出DE的长．【详解】∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，即∠1=∠3，

由折叠知,∠1=∠2,C′D=CD=4、BC′=BC=8，

∴∠2=∠3，即DE=BE，

设DE=x,则EC′=8−x，

在Rt△DEC′中,DC′2+EC′2=DE2

∴42+(8−x)2=x2解得：x=5，

∴DE的长为5.【点睛】本题考查折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质和矩形的性质.三、解答题(共66分)19、（1）EO⊥FO，EO=FO；理由见解析；（2）①；②=2【解析】

（1）由正方形的性质可得BO=CO，∠ABO=∠ACB=45°，∠BOC=90°，由“SAS”可证△BEO≌△CFO，可得OE=OF，∠BOE=∠COF，可证EO⊥FO；（2）①由等腰直角三角形的性质可得∠EOG的度数；②由∠EOF=∠ABF=90°，可得点E，点O，点F，点B四点共圆，可得∠EOB=∠BFE，通过证明△BOH∽△BIO，可得，即可得结论．【详解】解：（1）OE=OF，OE⊥OF，连接AC，BD，∵点O是正方形ABCD的中心∴点O是AC，BD的交点∴BO=CO，∠ABO=∠ACB=45°，∠BOC=90°∵CF=BE，∠ABO=∠ACB，BO=CO，∴△BEO≌△CFO（SAS）∴OE=OF，∠BOE=∠COF∵∠COF+∠BOF=90°，∴∠BOE+∠BOF=90°∴∠EOF=90°，∴EO⊥FO.（2）

①∵OE=OF，OE⊥OF，∴△EOF是等腰直角三角形，OG⊥EF∴∠EOG=45°②BH•BI的值是定值，理由如下：如图，连接DB，∵AB=BC=CD=2∴BD=2，∴BO=∵∠AOB=∠COB=45°，∠HBE=∠GBI=90°∴∠HBO=∠IBO=135°∵∠EOF=∠ABF=90°∴点E，点O，点F，点B四点共圆∴∠EOB=∠BFE，∵EF⊥OI，AB⊥HF∴∠BEF+∠BFE=90°，∠BEF+∠EIO=90°∴∠BFE=∠BIO，∴∠BOE=∠BIO，且∠HBO=∠IBO∴△BOH∽△BIO∴∴BH•BI=BO2=2【点睛】本题相似综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，证明△BOH∽△BIO是本题的关键．20、（1），．（2）补图见解析；（3）1200人.【解析】

（1）先根据5≤x＜l0的频数及其百分比求出样本容量，再根据各组频数之和等于总人数求出a的值，继而由百分比的概念求解可得；（2）根据所求数据补全图形即可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【详解】解：（1）∵样本容量为3÷7.5%=40，∴a=40-（3+7+10+6）=14，则b=14÷40×100%=35%，故答案为：14，35%；（2）补图如下．（3）估计这次活动中爱心捐款额在15≤x＜25的学生人数约为，2000×（35%+25%）=1200（人）．答：估计这次活动中爱心捐款额在的学生有1200人．【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21、（1）证明见解析；（2）3.【解析】

（1）根据翻折的性质可得AF=AB，∠AFG=90°，然后利用“HL”证明Rt△ABG和Rt△AFG全等即可；（2）先求出DE、CE的长，从而得到EF，设BG=x，然后表示出GF，再求出CG、EG的长，然后在Rt△CEG中，利用勾股定理列式求出x的值，继而则可求得CG的长.【详解】（1）在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠B=∠C=90°，又∵△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，∴∠AFG=∠AFE=∠D=90°，AF=AD，即有∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)；（2）∵AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，∴DE=FE=2，CE=4，不妨设BG=FG=x，（x＞0），则CG=6-x，EG=2+x，在Rt△CEG中，（2+x）2=42+（6-x）2，解得x=3，∴GC=BC-BG=6-3=3.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换的性质，勾股定理的应用等，综合性较强，熟练掌握相关性质以及定理是解题的关键.22、（1）3；50；50（2）1【解析】

(1)总人数为40人，所以x为总人数减去已知人数；根据众数的定义，一组数据中出现次数最多的数叫众数，捐款金额50元人数最多则为众数；中位数的定义是将一组数据从大到小的顺序排列，处于最中间位置的数是中位数，如果这组数据的个数是偶数，则是中间两个数据的平均数.（2）根据平均数的定义求解，本题应是总捐款金额=平均数×总人数.【详解】解：（1）x=40-2-8-16-4-7=3；在几种捐款金额中，捐款金额50元有16人，人数最多，∴捐款金额的众数为50；将捐款金额按从小到大顺序排列，处于最中间位置的为50和50，所以中位数=（50+50）÷2=50.（2）由题意得,

20×2+30×8+50×16+3a+80×4+100×7=57×40，解得a=1．【点睛】本题考查了平均数、中位数和众数，熟练掌握三者的定义及求解方法是解题的关键.23、（2）折痕AE所在直线与x轴交点的坐标为（9，2）；（2）3；（3）点B（4，2）或B（2，2）．【解析】

（2）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF＝AD＝5，EF＝DE，进而求出BF的长，即可得出E点的坐标，进而得出AE所在直线与x轴交点的坐标；（2）判断出△DAG≌△AFB，即可得出结论；（3）分三种情况讨论：若AO＝AF，OF＝FA，AO＝OF，利用勾股定理求出即可.【详解】解：（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝CB＝5，AB＝DC＝3，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝92°，由折叠对称性：AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，BF＝＝4，∴CF＝2，设EC＝x，则EF＝3﹣x，在Rt△ECF中，22+x2＝（3﹣x）2，解得：x＝，∴E点坐标为：（5，），∴设AE所在直线解析式为：y＝ax+b，则，解得：，∴AE所在直线解析式为：y＝x+3，当y＝2时，x＝9，故折痕AE所在直线与x轴交点的坐标为：（9，2）；（2）在△DAG和△AFB中∵,∴△DAG≌△AFB，∴DG＝AB＝3；（3）分三种情况讨论：若AO＝AF，∵AB⊥OF，∴BO＝BF＝4，∴n＝4，∴B（4，2），若OF＝FA，则n+4＝5，解得：n＝2，∴B（2，2），若AO＝OF，在Rt△AOB中，AO2＝OB2+AB2＝m2+9，∴（n+4）2＝n2+9，解得：n＝（n＜2不合题意舍去），综上所述，若△OAF是等腰三角形，n的值为n＝4或2．即点B（4，2）或B（2，2）．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了待