第24讲 弧度制（学生版）-高一数学同步讲义

第02讲弧度制

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课程标准课标解读

1.了解弧度制，能进行弧度与角度的互

化；

2.由圆周角找出弧度制与角度制的联系，通过本节课的学习，要求掌握弧度制与角度制的互化，

记住常见特殊角对应的弧度数.记住特殊角的弧度制，掌握与弧度制相关的弧长公式和

3.可以从六十进制与十进制区别角度制与面积公式的运用，为后面学习三角函数的相关内容奠定

弧度制；基础.

4.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公

式，能用公式进行简单的弧长及面积运算.

税知识播井

生'知识点弧度制

1.(1)定义：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1rad,这种用弧度作单位来度量角的

单位制叫作弧度制.

(2)角a的弧度数公式：|a|=’(弧长用/表示).

r

(3)角度与弧度的换算：®1°=—rad;(2)lrad=-0.

1807i

(4)弧长公式：弧长/=|a|八

(5)扇形面积公式：S=-lr--\a\-r*2.

22

2.若。与夕的终边关于V轴对称，则a+4=7r+2E,ZeZ;

若。与夕的终边关于x轴对称，则a+/?=2E,%£Z;

若a与£的终边关于原点对称，则a—£=7T+2E#eZ.

【微点拨】特殊角的度数与弧度数的对应表:

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

兀兀兀兀2兀3兀5兀3兀

弧度0兀2兀

64y2TT6

【即学即练1】把-濯化成角度是（）

A.-960B.-480C.-120D.-60

TT7T

【即学即练2】若某扇形的弧长为彳，圆心角为彳，则该扇形的半径是（）

A.1B.2C.3D.4

【即学即练3】下列说法中，错误的是（）

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B.1。的角是周角的工,lrad的角是周角的

360

C.Irad的角比1。的角要大

D.用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关

【即学即练4】.角为2弧度角的终边在第象限.（）

A.—B.-C.三D.四

【即学即练5】.日弧度化成角度制的结果为（）

A.72B.108C.216D.252

【即学即练6】半径为10cm,弧长为20cm的扇形中，弧所对的圆心角为（）

A.2乃弧度B.2度C.2弧度D.10弧度

u能力拓展

考法01

弧度制

与角度制中先定义1度角的大小一样，我们也要先定义1弧度的角：

定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.

（1）正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.

这样就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系.

（2）如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为/,那么角a的弧度数的绝对值是|a|=—.即a的值

r

就是弧长中有多少个半径.这里，a的正负由角a的终边的旋转方向决定.

(3)角度与弧度的换算：1°=」匚rad=O.01745rad,1rad=(—)°~57.30°=57°18,.

180n

特别地，360°=2兀弧度，180°=兀弧度.

【典例1］（多选）下列转化结果正确的是

A.6730'化成弧度是七~B.—二化成角度是-600。

8

C.-150化成弧度是---D.苴化成角度是5

6

【即学即练7】将—1845。改写成2%兀+c（0Ma<2兀«eZ）的形式是（）

A.-10^-H■——B.-10^r--D.-12^-+-

44UT2T4

【即学即练8】-300。化为弧度是（

45

A.一一兀B.——兀

33

7

D.--71

6

考法02

弧长及扇形面积公式

（1）弧长公式：弧长/=|cc|r.

（2）扇形面积公式：S=-bt--\a\-i2.

22

TT

【典例2工已知弧度数为?的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是（）

,£R型r2上兀n2G%

\.tj•L.-----U.

3339

【典例3】设。为坐标原点，若直线/:y-；=0与曲线7：五方-y=0相交于A、B点,则扇形AOB的面积为

【典例4】用半径为2,弧长为2万的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（)

⑺乃W-n「2拒兀n4"

A.B.•----------Lz•44

33

3兀

【即学即练9】已知扇形面积为一,半径是1,则扇形的圆心角是（）

8

37-1

A.—8

B.

a加

一

C.—2

M分层提分

题组A基础过关练

1.与角子的终边相同的角的表达式中，正确的是（）

4

9兀

A.24万+45，keZB.k-360+—，keZ

4

57r

C.h360-315，k&zD.k7t+—,kwZ

4

47r

2.已知扇形的圆心角为120,面积为可，则该扇形所在圆的半径为（）

A.1B.2C.币＞D.72

3.已知扇形的圆心角为120。，半径为3,则扇形面积为（）

A.2万B.3nC.与万D.—n

42

4.已知某扇形的周长是4cm,面积为1cm?,则该扇形的圆心角的弧度数是（)

17C

A.—B.-C.1D.2

5.若扇形的圆心角是a=120。，弦长AB=12cm,则弧长/等于()

4G„873

AA.-----ncmB.-----ncm

33

C.4GcmD.873cm

6.已知扇形。4B的圆心角为8rad,其面积是8cm则该扇形的周长是（）

A.\oJ2ctnB.8cmC.8A/5cmD.10cm

7.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:

弧田面积=；（弦x矢+矢D,弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”

等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为胃，弧长等于学米的弧田，按照上述经验公式计算所

得弧田面积是（）平方米.

C.4+2百D.2+4后

8.刘徽（约公元225年-295年），魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一.他在割圆术中

提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极

限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正“边形等分成〃个等腰三角形，当〃变得很大时，

这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，得到sinl。的近似值为（）

兀e4L71-71

A.—B.C.D.

90180270360

9.时间经过4小时，分针转的弧度数为（）

A.一兀B.2兀C.-4nD.-8兀

10.我国采用的“密位制''是6000密位制，即将一个圆周分为6000等份，每一等份是一个密位，那么60密

位等于（）弧度.

71―兀一兀c兀

A.B.—C.—D.一

10050105

11.如图所示，扇环ABCO的两条弧长分别是4和10,两条直边AO与8c的长都是3,则此扇环的面积为

（）

BC

A.84B.63C.42

12.若夕都是第一象限的角，且G次那么（

A.sinot>sinPB.siny3>sinaC.sina>sinD.sina与sin4的大小不定

题组B能力提升练

i.如图所示的复古时钟显示的时刻为10:10,将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝

角为（）

c23%11/r-77r

A-3B.——C.-----D.—

361812

2.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为，•的圆面中剪下扇形

OAB,使剪下扇形aw后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为避二1,再从扇形Q4B中剪下扇环形ABOC制

2

作扇面，使扇环形ABDC的面积与扇形。钻的面积比值为避二1.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品

2

（如图）的面积与圆面积的比值为（

AB,D.y/5-2

.亨42

3.如图，一个半径为R的扇形，它的周长是4R,则这个扇形所含弓形（图中阴影部分）的面积为（）

B.-R2sin1cos1

22

C.—(2-sinlcosI)/?2D.(1-sinlcosl)/?:

2

4.若扇形周长为20,当其面积最大时,其内切圆的半径r为（)

c135sinl5+^

A.5-------B.-----+一D.

sinlsin121+sinl

5.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角a（O<a<》）的弧度数为（）.

A.yB.—C.下）D.C

6.如图，在ABC中，N4=90。，AB=AC=2,点。是边BC的中点，半圆。与二ABC相切于点。，E,

则阴影部分的面积等于

7.（多选题）已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的半径、扇形的圆心角的弧度数可以是（）

A.1、4B.1、2C.2、1D.2、4

8.（多选）下列说法正确的是（）

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B.1的角是周角的工，Irad的角是周角的

3602兀

C.Irad的角比1的角要大

D.用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关

9.如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆

锥爬行一周后回到点P