浙江省杭州市临安中学2023-2024学年高二年级上册开学考试数学试题

浙江省杭州市临安中学2023-2024学年高二上学期开学考试

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在空间四边形OABC中，OA+AB+BC等于（）

A.OAB.ABC.OCD.AC

2.直线3x+2y-1=0的一个方向向量是（）

A.（2-3）B.（2,3）C.（-3,2）D,（3,2）

3.已知命题P：直线依+3y-4=0与x+（a+2）y+2=0平行，命题q：a=-3,则q是P

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若平面a,4的法向量分别为4=（1,一3,5）,丐=（—l,l,T）,则（）

A.all（5B.aC.a,夕相交但不垂直D.以上均不

正确

5.已知向量P在基底｛。力,。｝下的坐标为（123）,则。在基底｛a+"6+c,c+a｝下的坐

标为（）

A.（0,1,2）B.（0,2,1）

C.（2,1,0）D.（1,2,-1）

6.与直线2x+3y-6=0关于点对称的直线方程是（）

A.3%-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0

7.已知四棱锥尸-ABCD的底面为正方形，P4_L平面ABC。，PA=AB=1,点E是BC

的中点，则点E到直线尸。的距离是（）

A.昱B.好C.—D.逑

4224

8.已知二ywR+,满足2x+y=2,则x+JV+y?的最小值为（)

A.18厂iD.2

DB.-C.1

553

二、多选题

9.是空间的一个基底，与a+Z?、夕+c构成基底的一个向量可以是()

A.b+cB.b-cC.bD.3a+h+2c

10.已知直线/：6-2y—4Z+l=0,则下列表述正确的是()

A.当％=2时，直线的倾斜角为45

B.当实数%变化时，直线/恒过点(4,g)

C.当直线/与直线x+2y-4=0平行时，则两条直线的距离为1

D.直线/与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4

11.在空间直角坐标系O-孙z中，A(—1,0,0),3(1,2,-2),C(2,3,-2),则()

A.OCAB=\2B.|AB|=2^

C.异面直线OC与A8所成角的余弦值为且D.点。到直线A8的距离是逅

43

12.对于两点B(x2,y2),定义一种“距离"：||A训=%一即+lx—%|，则()

A.若点C是线段AB的中点，则|AB|=2MC|

B.在二ABC中，若NC=90。，则||4C『+||CB『=M8『

C.在一C中，||4q+|CB1121ABl

D.在正方形A8CD中,有网=|叫

三、填空题

13.已知向量a=(1,2,3),A=(l,x,0),且。工人贝产=.

14.已知空间向量a=(l,0,1),〃=(2,-1,2),则向量6在向量a上的投影向量是

15.点(0,-1)到直线y=A;(x+2)的距离的最大值是.

16.A是直线/：y=3x上的第一象限内的一点，B(3,2)为定点，直线AB交X轴正半轴于

点C,当.AOC面积最小时•，点A的坐标是.

四、解答题

17.平行六面体ABC。-A8cA中，底面ABC£>是边长为1的正方形，侧棱的=2,

且幺">=幺”=60。，M为BO中点，尸为四中点，设AZ)=b，A4,=c：

试卷第2页，共4页

⑴用向量4，b,c表示向量PM;

(2)求线段PM的长度.

18.设复数z=a+bi(a,6eR),i为虚数单位，且满足|z|+z=±^.

⑴求复数z：

(2)复数z是关于x的方程W+px+q=O的一个根，求实数p,q的值.

19.如图，面积为8的平行四边形ABC。，A为原点，点B的坐标为(2,-1),点C,D

在第一象限.

(1)求直线8的方程；

(2)若怛q=V13,求点D的横坐标.

20.在—ABC中.a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，7T二=半

2b-acosA

⑴求角c：

(2)若acos3+6cosA=2,求锐角ABC面积的取值范围.

21.如图，四棱锥中，侧面PAO为等边三角形且垂直于底面43cO,四边形

ABCD为梯形，AD=2BC,NBAD=ZABC=90.

⑴若M为9的中点，求证：8例〃平面PCD；

(2)若直线PC与平面八记所成角的正弦值为姮，求平面与平面PCO所成锐二面

10

角的余弦值.

22.已知函数/(x)=a(2x-l)|x+l|-2工一1,

⑴当〃=1时，求/(2的单调递减区间；

⑵若有三个零点不打不，且为＜电＜七求证:

111

①一＜一+—

aax3

②-％)＜L

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】根据平面向量的加法运算法则，即可求解.

【详解】OA+AB+BC=OB+BC=OC.

故选：C

2.A

【解析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结

果.

【详解】因为直线3x+2y-l=0的斜率为-1,所以直线的一个方向向量为

又因为(2,-3)与1,一£|共线，所以3工+2〉-1=0的一个方向向量可以是(2,-3),

故选：A.

3.A

［分析］根据两直线平行满足的关系可得命题P等价于a=-3或。=1,结合充分不必要条件

的判断即可求解.

【详解】直线依+3y-4=0与x+(a+2)y+2=0平行，则=3，解得。=一3或。=1,

所以命题P等价于a=—3或a=l,命题0：。=-3.

则由命题。不能得到命题4,但由命题4可得到命题P,则夕是。的充分不必要条件.

故选：A.

4.C

【分析】应用空间向量夹角的坐标运算求夹角余弦值，即可判断面面关系.

【详解】由3如"小箭上的言方二鬻，而如吗”［。孙

由所得向量夹角余弦值知：。，4相交但不垂直.

故选:C

5.B

【分析】根据空间向量的坐标表示，利用向量相等列方程组即可求出结果.

【详解】因为向量P在基底｛。，Ac｝下的坐标为。23),即〃=&+2〃+3£=,

设p=x(a+b)+y(b+c)+z(c+a),x、y、zeR,

答案第1页，共14页

所以〃=(x+z)a+(x+yW+(y+z)c,

龙+z=1

令r+y=2,解得x=0,y=2,z=l；

y+z=3

所以P在基底｛a+6S+c,c+。｝下的坐标为(0,2,1).

故选：B.

6.D

【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为(x，y),则其关于点(L-1)对称的点的坐标为

(2-匕-2-y),代入已知直线即可求得结果.

【详解】解析：

设对称的直线方程上的一点的坐标为(x,y),则其关于点(1,-1)对称的点的坐标为

(2-x,-2-y),以(2-x,-2-y)代换原直线方程中的(x,y)得2(2-x)+3(-2-y)—6=0,即

2x+3y+8=0.

故选:D.

【点睛】本题考查了直线关于点的对称直线问题,一般转化为点关于点的对称点问题解决，属

于基础题.

7.D

【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.

【详解】如图建立空间直角坐标系，则P(0,0,l),Q(0,l,0),E(，0),

答案第2页，共14页

所以PC=(0,l,-l),OE=1-；,0),

_1

所以烟=手,陷="DEPD「2_拉.

|PZ)|一夜一4

、2

'513夜

所以点E到直线PD的距离是,_DEPD--—―----

PD484

故选：D.

8.B

【分析】先求出点。关于线段2x+y=2的对称点C的坐标，且有护［7=|尸。|=|尸。.根据

几何意义，结合图象，即可得出取最小值时，点尸的位置，进而得出答案.

【详解】

如图，过点。作点。关于线段2x+y=2的对称点C,则帜0|=归。.

^x(-2)=-l8

xo="

设则有，%,解得，:,所以。

2xJ九=2

223

设尸(x,y),则归O|=J/+y2,所以)/+,2=归0同pq,

又x,yeR+,所以点尸到，轴的距离为x,

可视为线段2x+y=2上的点P（x,），）到y轴的距离和到c（I1

所以，X+次+）,2的距离之

和.

过P作轴，显然有1pq+|PC闫CD|,当且仅当CP,。三点共线时，和有最小值.

过点C作轴，则|CH|即为最小值，CH与线段A3的交点6，即为最小值时尸的位置.

Q_____________Q

因为|"|=之，所以x+必了的最小值为‘

答案第3页，共14页

故选：B.

9.AC

【分析】根据空间基底、共面等知识确定正确答案.

【详解】由于人一W一(a+C),所以6—。、a+b、Q+c、共面，

不能构成基底，B选项错误.

由于3a+%+2c=a+6+2(a+c),所以3a+b+2c、a+》、a+c共面，

不能构成基底，D选项错误.

假设。+c=x(a+/?)+y(a+c)=(x+y)a++yc,

x+y=0

则「=1，但此方程组无解，所以力+c、a+/7、d+C不共面，

y=l

可以构成基底，A选项正确.

假设方-m[a+)+«(«+c)=(/«+«)«+mb+nc,

/n+«=0

则5=1，但此方程组无解，所以b、a+b、a+c不共面，

n=Q

可以构成基底，C选项正确.

故选：AC

10.ABD

【分析】A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；

B选项，将直线方程整理为NX-4)+1-2)，=0,由此可得直线所过定点；

C选项，由题可得％=-1,后由平行直线距离公式可判断选项；

D选项，分别令x,y=0,可得直线与＞轴，x轴交点为

11一44,1A

则围成三角形面积为彳•——•4--,后由基本不等式可判断选项.

22(k)

【详解】A选项，当笈=2时，直线方程为2x-2y-7=0，可得直线斜率为1,则倾斜角为45,

故A正确；

答案第4页，共14页

B选项，由题可得打x-4)+l-2y=0,则直线过定点(4,g),故B正确;

2k=-2

C选项，因直线/与直线x+2y-4=0平行，则*+2N8=-T,则直线方程为:

-x-2y+5=0,即x+2y-5=0.则/与直线x+2y-4=0之间的距离为

卜4+5]=『

故C错误;

712+225

D选项，分别令x,y=0,可得直线与y轴，x轴交点为(4-1,0

1-44

>0

2

又交点在两坐标轴正半轴，贝H.故围成三角形面积为

4-->0

；W«-£|=2+(i)+±N2+2j(*).£=4,当且仅当

-4%=」一，即火=-1时取等号.即面积最小值为4,故D正确.

-4k4

故选：ABD.

11.BD

【分析】根据向量数量积、模、异面直线的夹角、点到直线的距离等知识对选项进行分析,

从而确定正确答案.

【详解】43=(2,2,-2),。。48=12=4+6+4=14，A选项错误.

网=百+2。+(-2)2=26,B选项正确.

设异面直线OC与AB所成角为0,

E八OCAB147同……

则cos0=1---r-j~।=有、后=——,所以C选项错陕.

|C»C|.|AB|V17-2V351

=如，所以D选项正确.

。到直线AB的距离为

3

故选：BD

12.ACD

【分析】根据新定义A(x”y),B(x2,y2),之间的“距离:||的|=|为-引+瓦-对对选项逐个

答案第5页，共14页

分析即可判断其正误即可.

【详解】A中，若点C是线段A8的中点，则点C坐标为(上|上■，巧&),

则2||AC||=2|±-号七|+2|%-巧知=2|与，+2|西芳.|=|玉-%|+|%-丫2|=||48||,

故A正确；

B中,因为AABC中，若NC=90"，取C(0,。),4%,0),8(0,%),(%%工0),

则||ACI=K—O|+|O-。1=1%1,IICBIHO-0+1。-%R%l,

||A8Rx。—0|+|0-%|=|与|+|先|,

故||AC『+\\CB||2=x：+y；,||AB||2=(|x„\+\%|尸=x；+y；+21与%|,

显然||AC『+||CB『刈AB『,故B不正确;

对于C设q%,%)，则|卜。+|仁川=|占一即+|々一引+|乂一必|+|>2-%|,

因为|百-x,|+|x2-^|>|(^-xJ)-(x2-x3)|=|xl-XJI,

同理|凶一必出必一必目%一%|，

所以||AC[+他|小-吃|+|y-%|=|A邳,故C正确;

D中，因为ABCD为正方形,设正方形边长为“，可取A(0,a),B((),0),C(40),Z)(a,a),

则||A8R0-0|+|a-0|=a,||BC|H0-a|+|0-0|=a,故D正确.

故选：ACD.

13.—/-0.5

2

【分析】利用向量垂直的坐标运算求解.

【详解】向量〃=(1,2,3),b=(l,x,0),且a/。，

贝lj有a•%=l+2x=0，解得x=-/.

故答案为：

14.(2,0,2)

【分析】由向量b在向量a上的投影向量为M|cos<a,b>小，计算即可求出答案.

【详解】向量。=(1,0,1),6=(2,-1,2),

答案第6页，共14页

则|a|=5/2,I)|=3,a-b=4>

所以向量人在向量。上的投影向量为

麻。s<f崎中喻=3x壶x\x(l,oj)=(2,o,2),

故答案为：(2,0,2).

15.非

【分析】直线y=%(x+2)恒过点A(-2,0),根据几何关系可得，点8(0,-1)到直线y=Z(x+l)

的距离的最大值为IAB|.

【详解】因为直线卜=&(》+2)恒过点A(—2,0),

记8(0,—1),直线了=左(犬+2)为直线/,

则当AB_L/时，此时点3(0,-1)到直线y=Z(x+1)的距离最大，

•••点(0,-1)到直线y=Mx+l)距离的最大值为：

|=J(O+2j+(_]_O(=V5.

【分析】根据给定条件，设出点A的坐标，并表示出点C的横坐标，再列出三角形面积的关

系式，利用均值不等式求解作答.

【详解】依题意，设A(a,3a),a>0,C(b,0),b>0,则BA=(a-3,3a-2),BC=S-3,-2),

而BA//8C，则有(3a—2)S-3)=-2(a—3),显然“二目，于是。=3-半二2=^^,

33a-23a-2

由点C在x轴正半轴上，得AOC^S=-b-3a=--^—3a=--[(3a~2)+2]'

3223a-263a-2

答案第7页，共14页

747/42844

=-[(36Z-2)+-—-+4]>-[2(3^-2).-—^+4]=一，当且仅当3a—2=L^，即。=彳时

63。-26V3。一233。-23

取等号，

4

所以当J1OC面积最小时，点A的坐标是(1,4).

⑵斗

【分析】(1)根据空间向量基本定理利用向量的加减法法则求解即可，

(2)先根据题意可得卜卜可=1,卜|=2,«^=0,«c=hc=lx2xl=l,然后对

PM=gs-a-c)平方化简可求得结果.

【详解】(1)因为M为中点，尸为Bq中点，AB=a,AD=b-AA=C,

所以PM==+

=-^BBt+^(AD-AB)

=-AD--AB--BB,

222

=^AD-AB-AAI)

(2)因为平行六面体ABC。-AB£A中，底面43CQ是边长为1的正方形，侧棱=2,

且NAA£)=NA4B=60°,

答案第8页，共14页

所以|《=欠=1，卜1=2,ah=0,ac=h-c=lx2x^=\,

21122.2

所以PM=-(b-a—c)~=—(b+a+c-2ab-2b-c+2ac)

44

13

=-x(l+l+4-0-2+2)=-

所以卜母，即线段PM长为手

18.(l)z=3+4i

⑵。=-6,q=25

【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，复数模公式以及复数相等的概念，即可

求解；

（2）将复数z代入方程d+px+q=O,结合复数相等的概念即可求解.

【详解】（1）设2=。+历（a,6eR）,

22

|z|+z=yja+b+a+bi=（心+&）（i）-g+4j

1'（i）（-i）

+〃=8f〃=3

,解得〈/1,.・.z=3+4i.

[b=4

(2).z=3+4i是方程/+px+q=O的一个根,

(3+4i)2+p(3+4i)+4=0,即(3〃+q-7)+(24+4p)i=。，

3p+q一7=0

/.p=-6,q=25.

24+4p=0

19.⑴x+2y-8=0

(2)横坐标为g或2

【分析】（I）由题意可得心。=砥8=-3,设直线CO的方程为y=-gx+w（加HO）,结合

平行四边形ABC。的面积、|A8|=石求得AB与C。之间的距离，利用平行线的距离公式列

方程求参数相，根据题设写出直线方程；

（2）设点。的坐标为力），根据点在直线上、两点距离公式列方程求坐标即可.

答案第9页，共14页

【详解】（1）因为四边形ABC。是平行四边形,

所以AB//8,则％=L=-g.

设直线CD的方程为丫=-；》+，〃（加力0）,即x+2y-2/w=0.

Q

因为平行四边形ABCD的面积为8,|AB|=>/5,故AB与C£>之间的距离为十.

由题图知：直线A8的方程为x+2y=0,于是J1=7,解得m=±4.

VI2+22V5

由C,。在第一象限知：m>0,所以m=4,

故直线C力的方程为x+2y-8=0.

（2）设点。的坐标为（4力），由忸[=而，则冈=如.

-6

'a+2b-8=0a=7fa=2

所以广丁17K解得。或，「

22

[yja+h=V13h=}J_[%=3

故点。的横坐标为5或2.

TI

20.（1）C=-

【分析】（1）对己知等式利用正弦定理统一成角的形式，然后化简可求出角C；

（2）设"C的外接圆半径为R,利用正弦定理将已知等式化简变形可求得c=2,再利用

正弦定理可求得a=¥sin4,生叵sin（如-A）,然后表示出三角形的面积，利用三角函

333

数恒等变换公式化简，再利用正弦函数的性质可求得结果.

cosCsinC_cosC

【详解】⑴及正弦定理得

2b-acosA2sinB-sinAcosA

/.sinCcosA=2sinBcosC—sinAcosC,

sinCcosA4-sinAcosC=2sinBcosC,BPsin(A+C)=2sinBcosC,sinB=2sinBcosC,

「sinBw0,/.cosC=—,*/0<C<TI,/.C=—.

23

(2)设外接圆的半径为R,由〃cosB+〃cosA=2,

得2RsinAcosB+2RsinBcosA=2,即2RsinC=2,

答案第1（）页，共14页

2c

则2R=-=—：.c=2.

sinesinC

ABC的面积S=—absinC=—ab.

24

b_a_2

a^sinAS=逋sinAsin(2@兀-A

VsinBsinA^3b=—s\nB

3333

T

4\/3(2兀2兀、4>/3

=-----sinAsin—cosA-cos—sinA=——sinA—cosA+-sinA

3133J322

华隹sin2A」c°s2A+[=亚曲®一斗直

—sinAcosA+—sin2A

23I444J3I6j3

2n.71.7T.Tt花5TC

V0<A<-,0<B<-,A+B=—♦♦0<--------A<一,・・一<A<一<2A—<一

22332621-66

即锐角4?C面积的取值范围是

21.(1)证明见解析

Q)叵

II

【分析】(1)取PO中点N,可证得四边形8CNM为平行四边形，从而得到BM//CN,由

线面平行的判定可证得结论；

(2)取AO中点。，结合面面垂直的性质可证得P01平面A8CD,以。为坐标原点建立空

间直角坐标系，设43=机(加＞0),BC=\,根据线面角的向量求法可构造方程求得加的值；

由面面角的向量求法可求得结果.

【详解】(1)取PO中点N,连接MMCN,

答案第II页，共14页

ZBAD=ZABC=90,：.BCUAD,又BC’A。，

2

/.BC//MN,BC=MV,，四边形BCMW为平行四边形，.•.8M〃CN,

3Mz平面PCD,CNu平面PCD,..8M〃平面PCD

(2)取中点。，连接P0,C。，

AO//BC,AO=BC=：A。，.•.四边形ABCO为平行四边形，

又/&4£)=90,:.^COA=90,即CO_LAD；

QVPAD为等边三角形，：.POYAD,

又平面R4D_L平面ABCD,平面尸AOc平面=AD,POu平面PAD,

;.PO_L平面ABC。；

则以。为坐标原点，OCO2OP正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

设A8=〃?（机>0）,8c=1,则A（0,-l,0）,3（〃?,—1,0）,C（/n,0,0）,尸（0,0,6）,P（0,l,0）,

..”=（0,1,百），AB=（777,0,0）,PD=（0,l,->/3）,PC=（m,0,-y/3）,

设平面R48的法向量〃=(x,y,z),

APn=y+\/3z=0,

则，令z=—l解得：x=0,y=百，〃二（0,6,-1）,

AB•n=tnx=0

向/，“二舒=心=~^~f解得:

m=y/2，二尸C=（a,0,-G）;

设平面PCQ的法向量机=(a,b,c),

答案第12页，共14页

PCm=\/2a—=0

则令c=，解得：n=6，b=a,:m=；

PD-m=b-6c=2

I/\|_|叫近722

.加sg小丽=而=丁

即平面R4B与平面PCD所成锐二面角的余弦值为叵

11

22.(1)-1i

（2）①证明见解析；②证明见解析

【分析】（1）根据题意去绝对值，然后根据二次函数的性质即可求解；

（2）①根据题意可得当时不符合题意即。＞0,且=进而得至1：＜与，然

后根据题意代入即可证明；

②根据题意和求根公式可得,=（"+2）+的6-4+4,占=生土迹丕4,然后作