2023-2024学年广东省广州高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年广东省广州高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.设集合A={x∣-l<x<2},B={%∣log2%<2},则A8=()

A.(-8,1)B.(0,1)C.(0,2)D.(-∞,2)

【正确答案】C

【分析】首先求集合8,再求AC8.

【详解】由log?x<2,解得0<x<4,则8={x∣0<x<4}.又YA={x∣-l<x<2},

.∙.ACB=(0,2).

故选：C.

2.设“eR,若复数d+i)3+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则。=()

A.0B.-1C.1D.√2

【正确答案】B

【分析】利用复数乘法化简复数，根据其对应点在实轴上有α+l=0,即可得答案.

【详解】Y复数(l+i)3+i)=(α-D+(α+l)i在复平面内对应的点位于实轴上,

.∙.α+l=0,即〃=—1.

故选：B

3.若1，4,生，4成等差数列；1，4也也,4成等比数列，则的产等于

A.—B.ɪ-C.±-D.一

2224

【正确答案】A

【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计

算求解即可.

【详解】若1,a1,“2,4成等差数列，4=l+3d,d=∖,

/.Cl∣~a2=~1.

又1,bl,b2,b3,4成等比数列，历2=1x4,解得岳=2,岳=-2舍去(等比数列奇数项的

符号相同).

.4一生_1

••瓦2

故答案为A.

本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方

法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列

的基本性质.

4.若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事

书的概率为()

A.ɪC.ɜ

D.ɪ

552

【正确答案】B

【分析】由古典概率模型的计算公式求解.

【详解】样本点总数为10,“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为京.

故选：B.

5.已知COS[S+a]=&sin(a-3),则Sm%+2=()

12)\4)cos2α+l

57

A.—B.—C.7D.—7

44

【正确答案】B

【分析】利用诱导公式化简己知等式可求得Iano,结合二倍角公式，由正余弦齐次式的求

法可求得结果.

一Sina=V^SinaCOS二一0cosαsin囚=Sina-COSa,

44

即2sinα=8sα,/.tana=—,

2

sin2α+2_2sincrcosσ÷2sin2ez+2cos2a_sinacos‹z÷sin2σ+cos2a

•∙=2=2

cos2a+12cosacosa

21ɪ7

=tanσ÷tan^cr+1=—÷—+1=—.

244

故选：B.

6.已知”,Z?为单位向量.若kN=卜+"则cos<2",3∕?>=()

A.l-√3B.l-√2C.√2-lD.√3-l

【正确答案】A

【分析】利用向量的数量积的运算以及夹角公式即可求解.

【详解】设α,b的夹角为。，

因为4，〃为单位向量,且"可二,+。|，

所以|同,忖854=卜+可,

即cos2θ=a2+⅛2+216f11⅛Icos6^,

整理得CoS2θ-2cos6-2=0,

解得COSe=I-G或1+6(舍)，

2a∙3b6∣6f∣∣⅛∣cos^

因为cos<2α,3fc>=-~π~I=——L-L_=1一技

国Ml6|珊

故选:A.

7.已知抛物线∕=4x的焦点尸，点A(4,3),P为抛物线上一点，且P不在直线ΛF上，则

△F4F周长取最小值时，线段PF的长为

A.1B.—

4

C.5D.—

4

【正确答案】B

【分析】求△抬尸周长的最小值，即求IRM+1PQ的最小值.设点P在准线上的射影为£>,则

根据抛物线的定义，可知IPfl=IPO∣∙因此问题转化为求∣∕¾∣+∣PO∣的最小值，根据平面几何

知识，当力、P、A三点共线时∣%∣+∣P∕)∣最小，由此即可求出P的坐标，然后求解尸尸长度.

【详解】求A%F周长的最小值，即求∣B4∣+IPFl的最小值，

设点尸在准线上的射影为。，

根据抛物线的定义，可知IPQ=IPOl

因此，∣∕¾∣+∣PQ的最小值，即∣%∣+∣PDl的最小值

根据平面几何知识，可得当£>,P,A三点共线时∣∕¾∣+∣PQ∣最小，

9913

此时P(一，3),F(1,0)P尸的长为一+1=一,

444

故选B.

本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当。,P,A三点共线时∣∕¾∣+∣PR

最小，是解题的关键.

8.如图，F1,F2分别是双曲线J-∕=l(a>OS>O)的左、右焦点，点尸是双曲线与圆

Y+y2="+从在第二象限的一个交点，点。在双曲线上，且片尸=g∕^Q,则双曲线的离心

2345

【正确答案】A

【分析】连接尸鸟,QK,设IPGI=〃由条件可得尸尸口?鸟，可得〃2=2Z√-2加，由条件有则

IEQl=3”，由双曲线的定义可得IQ周=勿+3〃.在△/=；KQ中，cosZQF2Fi=-^-,由余弦

定理可得：IQ制2=|Q图2+|耳玛「一2|Q用.忻用.cosNQKK,可得2"=6m-3/,可解得

n=a,从而可得答案.

【详解】连接心，QE，设/尸/例=6,设归用=2c,∣P用=〃，由双曲线的定义可得

∣P∕ζ∣=2a+n.

由条件可得尸E，PK，则1+（2"+"）2=4c∙2,即〃2=»2-2即

在.FxF2P中,cosZPF1F2=CoSe=微

由月尸=；KQ,则IgQI=3〃，由双曲线的定义可得∣Q6∣=2q+3”.

/7

在居。中，CoSNQE耳=-cosθ=---

2c

由余弦定理可得：IQ£(=IQ国2+由用2一2IQ段.归用.COSNQKK

即(2〃+3〃『=(3π)^+4C2+2×3π×2c×y-

所以2b'=6an—2>n^

结合上面得到的式子：n2=2b2-2an,可得

所以Ip耳∣=α,∣P5∣=3α,则/+(34)"=(24,即10片=4/

所以ej%∣,即e考

关键点睛：本题考查求双曲线的离心率问题，解答本题的关键是由条件设IP制=〃由条件可

/7

得PFJPF2,可得”2=»2_2利，在△耳心。中，cosZQFF=--,由余弦定理可得：

1l2c

IQM=IQ闾?+|耳闾2-2IQKH耳闾∙cosNQ牙耳,即

222

（2«+3n）=（3∕1）+4C+2×3«×2c×ʌ,所以2〃=6m-3/,属于中档题.

二、多选题

9.（多选）数列伍〃｝为等差数列，S”为其前"项和，已知07=5,57=21,则（）

2

A.aι=∖B.J=--

3

C."2+4,2=1°D.S∕o=4O

【正确答案】ACD

【分析】根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解.

【详解】设数列｛〃〃｝的公差为d,

则由已知得S'=7©；"),

即21=7(4+5),解得R=L

ɔ

又〃7=〃/+6d,所以d=§.

所以S∕o=lθα∕+lox%=]。+10x9χ2=4Q

223

由｛〃〃｝为等差数列,知。2+〃/2=2〃7=10.

故选：ACD

10.下列函数中，最小值为2的是()

1

A.y=x7÷2x÷3B.y=x+-

X

43

C.y=-(x∈[3,9])D.y=X—(x∈[—1,0))

【正确答案】AD

【分析】根据函数的单调性可求出ACD的最小值，利用基本不等式可判断B选项.

【详解】对于A,y=√+2x+3=(x+l)2÷2≥2,所以函数最小值为2,故A正确;

对于B,当x>0时，y=x+-≥2,当且仅当X=L即x=l时取得等号,

XX

当XVo时，>=-1T+白｝因为T+J≥2J(τ>E-)=2,

所以y=]r+m≤-2当且仅当T=5,即LI时取得等号,

所以y∈(-∞,-2]U[2,y),故B错误;

对于C,y=---在X∈[3,9]单调递减，

x-l

41

所以当x=9时函数有最小值为户7=:,故C错误;

9-12

对于D,y=在x∈[-l,0)单调递增，

3

所以当A—1时函数有最小值为T一_-=2,故D正确；

-1

故选:AD.

11.椭圆C：《+)，2=1的左右焦点分别为R名,O为坐标原点，给出以下四个命题，正确的

4

是()

A.过点鸟的直线与椭圆C交于A3两点，则仆AB耳的周长为8；

B.椭圆C上不存在点P,使得Pf；Pg=()；

C.椭圆C离心率为且；

2

D.P为椭圆三+y2=l一点，。为圆V+y2=ι上一点，则点P,Q的最大距离为4.

4'

【正确答案】AC

【分析】根据椭圆方程写出。、b.C及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断A；

根据椭圆的性质及余弦定理求/片的最大值，进而确定其范围判断B；直接法求离心率

判断C；根据圆的方程确定与椭圆的位置关系，进而判断RQ的距离范围，即可判断D.

【详解】由题设椭圆参数为α=2*=l,c=6,且月(-6,0)、E(K,0),

对A：由椭圆定义知：∣4Ml+14用IHB用+18玛l=2a=4,则aAB[的周长为8,A正确；

对B：当户在y轴上时，I尸耳RpKl=α=2,而∣EE∣=2c=2√L

3

此时COSWPE==-g,且/耳PR∈(0,),易知=4，

"+I8"23π

9TTTT

故NWpEe[0,丁],则存在点P使得NEPE=耳，

故存在点尸使得P∕[PE=O,B错误：

对C：椭圆C的离心率为e=£=3,C正确；

a2

对D：由椭圆和圆的方程知：它们在y轴上的交点为椭圆上下顶点，而圆在X轴上的交点为

(±1,0),所以OSPQl≤∣OP∣+l≤α+l=3,

故P,Q的最大距离为3,D错误.

故选：AC.

12.如图，在棱长为2的正方体ABa)-AAG。中，M、N分别是棱44、AP的中点，

点P在线段CM上运动，给出下列四个结论正确的是（）

A.平面CMN截正方体ABCD-AqG力所得的截面图形是五边形

B.直线瓦。到平面CMN的距离是各叵

17

C.存在点P,使得NBfA=90

D.面积的最小值是空

6

【正确答案】ABC

【分析】作出截面图形判断A；利用等积法可判断B,利用坐标法可判断CD.

【详解】对于A,如图直线MN与eg、GA的延长线分别交于M∣，M，

连接CMI,CM分别交BB-于加2，N],连接政%,NN2,

则五边形即为所得的截面图形，故A正确;

对于B,由题可知MN〃BQ,MNU平面CMN,Bae平面CMN,

所以与。〃平面CMN,故点B1到平面CMN的距离即为直线B1O1到平面CMN的距离,

设点见到平面CMV的距离为〃，由正方体ABCD-A耳GP的棱长为2,

x522=,

可得CM=CN=3,MN=5/2,Scmn-~∕2×yJ3-(~~)~~~

所以VβCMN=JSCWN.力=IX——×h=——h,

珞-LMN3CΛ7∕V326

v

C-B,MN=；SB∖MN.CCI=gxgx2=g,

所以由%∣-CMN=VJ^MNf可得力=—ɪ^ɪ>

所以直线用。到平面CMN的距离是岑，故B正确；

对于C,如图建立空间直角坐标系，则用(2,0,2),D1(0,2,2),C(2,2,。),,0,

设PC=/IMC，0≤∕l≤l,所以PC=/MC=,2,-2),

又C(2,2,0),5,(2,0,2),D1(0,2,2),

所以P(2-32-2λ,2Λ),PBi=(λ,2Λ-2,2-2Λ),PDl=(λ-2,24,2-22),

假设存在点P,使得/B、PD1=90,

2

PB1-PD1=λ{λ-2)+2Λ(2Λ-2)+(2-2Λ)=O,整理得9万—14X+4=O,

所以Zl=止叵>1(舍去)或几=上叵，

99

故存在点P,使得/3/〃=9(),故C正确；

对于D,由上知P(2T,2-22,22),所以点P(2-4,2-22,2㈤在。A的射影为(0,2,

22),

所以点P(2-zl,2-2Λ,2㈤到。A的距离为：

d=√(2-2)3+(-22)2=√5Λ2-4Λ+4=卜-∣)2+y,

所以当时，dnι,n=芈，

ɔɔ

故APDR面积的最小值是_lx2X幽=拽，故D错误.

255

故选：ABC.

三、填空题

13.向量α=(2,0,5),b=(3,1,-2),c=(-1,4,0),则α+6∕>-8c=.

【正确答案】(28,-26,-7)

【分析】根据向量运算求得正确答案.

【详解】a+6b-8c=(2,0,5)+(18,6,-12)-(-8,32,0)=(28,-26,-7).

故(28,—26,—7)

14.函数y=log5(f+2x—3)的单调递增区间是.

【正确答案】(1,+∞)

［分析］根据复合函数的单调性“同增异减''法则计算即可.

【详解】由题意，函数y=log5(f+2x-3)满足f+2χ-3>0,解得X<—3或X>1,

即函数y=1暇K+2x-3)的定义域为(-∞,-3)51，”0)，

令g(x)=d+2x-3,

则函数g(x)在(一8,—3)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

再根据复合函数的单调性''同增异减"法则，可得函数y=log5(f+2x-3)的单调递增区间

是(l,+oo);

故(1,÷∞).

15.已知耳,巴是双曲线£-丁=1的左、右焦点，双曲线上一点尸满足IP耳∣+∣P"|=6,

4

则AP"F?的面积是.

【正确答案】2

【分析】假设户在左支上，由双曲线定义及已知条件可得IP8I=5,IPKI=1,再用余弦定理

求CoSNKP鸟，进而求其正弦值，利用三角形面积公式求△P耳居的面积.

【详解】不妨假设尸在左支上，则IP鸟I-IPKl=2〃=4,又洋斗∣+∣P坊|=6,

-25+1-203

所以IPFj=5,1P耳|=1,而I玛耳I=2c=2石r，则COS4PM=FW=

TT4

所以〃；尸乙€(0,彳)，故sin/£PK=g，

综上，AP-玛的面积是gx∣P8∣x∣P∕"χsinNξPg=2.

故2.

16.在平面直角坐标系Xoy中有两定点A、B,且Aδ=4,动点尸满足尸4∙PB="∕l>0),

若点P总不在以点B为圆心，1为半径的圆内，则实数4的最小值为.

【正确答案】5

【分析】以AB所在直线为X轴，线段AB的垂直平分线为)，轴，建立平面直角坐标系，得

到点P的轨迹方程，再结合两圆位置关系求解即可.

【详解】以AB所在直线为X轴，线段AB的垂直平分线为)，轴，建立平面直角坐标系，则

A(-2,0),8(2,0).

设尸(X,y),贝IJPA=(-2-X,-y),PB=(2-x,-y),

因为动点P满足PA∙PB=2,

即(_2_%,_y>(2_x,_y)=九,pl!∣χ2-4+y2=λ,BPx2+y2=4+Λ,

又因为∕l>0时，点P在以原点为圆心，"TW为半径的圆上，同时点P总不在以点B为圆

心，1为半径的圆内,

即圆χ2+y2=4+4(4>0)与圆(χ-2α+y2=ι相离或外切或内切或内含，如图,

所以j4+2+l≤2或j4+∕-122,解得；l≤-3(舍去)或∕l≥5,

所以实数2的最小值为5.

故5.

四、解答题

17.已知等差数列｛4｝的公差为d(√>1),前"项和为品，等比数列也“｝的公比为心且

4=4=1,d=q,S3=9,+。5=8b->,

⑴求数列｛4｝,也,｝的通项公式；

⑵记%=去，求数列匕｝的前“项和Z,.

【正确答案】(IM=2"-1,2=2”，

(2)7；=6-(2n+3)xW

【分析】(1)通过公式求出公差、公比即可求出通项；(2)用错位相减法求数列｛c,,｝的前W

项和.

【详解】ɑ)%=1,S3=3α1÷3rf=9,Λd=2,∙*∙an=ai+(n-l)d=2n-l

ni,,l

K=I,q=2,bn—biq'=2^；

(2)C“噜=^:^=(2〃-IW,

ιι-2

4=l+3χg+5x(g)++(2-3)x])

+(2Z7-1)×

+(2"-3)x(j+(2〃一l)x(g),

-(2〃-I)Xiɪ)

+2+词,

2

∙∙y,=6-(2"+3)x[;1

18.为了解我校高二数学复习备考情况，年级组织了一次检测考试，并随机抽取了IOO人的

（1）根据频率分布直方图，估计该次检测数学成绩的平均数沅及中位数〃（精确到小数点后

:像）；

⑵现准备从成绩在030,150］的8人中随机选出2人交流发言，求恰好抽到2人成绩在

（140.150］的概率.

【正确答案】（1）沅=103.2,“=104.2；

【分析】（1）根据频率分布直方图平均数和中位数计算方法计算即可;

(2)利用枚举法枚举出8人选2人的基本事件，求出其总数，再求出2人成绩在(140,150］的

事件数量，由此即可求出概率.

【详解】(1)该校此次检测理科数学成绩平均成绩约为：

m=65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+l05×0.24+115×0.18+ɪ25×0.1+135×0.05+l45×0.03=

103.2.

因为成绩在［60,100)的频率为0.4,设中位数〃，则0.024(〃-IOo)=0.1

所以，/1=104.2；

(2)设成绩在［130,140)的5位同学位A，4,4,成绩在140,150］的3位同学为

B∣,B3,B3.从中选出2位同学，基本事件为：

AiA29AlA39AlA4fAiA59A2A39A2A49A2A5fA3A49A3A59A4A59AlBj9AlB29AlB39A2Bl,

A2B2,A2B3,A3βl,A3B2,A3B39A4βl9A4β2,A4β^,A5B1,A5B2,A5β3,βlβ2,βlβ3,β2β3,

共28个，而2位同学成绩恰在［140,150］内的事件有3个，

所以8人中随机选出2人交流发言，恰好抽到2人成绩在(Mal5()］的概率为

28

19.a,b,C分别为-ABC的内角A,B,C的对边.已知5:cos(π—A)=ICOs(π-C)-CCosB.

⑴求cosA；

2

(2)若匕一C=IM2=4⅛+C,求AABC的面积.

【正确答案】(I)CoSA=g

(2)6√6

【分析】(1)由诱导公式，正弦和角公式及正弦定理得到5sinAcosA=SinA,因为SinA>0,

所以CoSA=(；

2

(2)在第一问的基础上利用余弦定理得到4=8-yc,结合c=l,求出〃=6,c=5,再利

用三角形面积公式求出答案.

【详解】(1)因为5αcos(π-A)=ACOS(π-C)-CCOsB,

所以一5αcosA=-Z?COSC-CCOS3,BP5d,cosΛ=⅛cosC+ccosB,

所以5sinAcosA=sinBCoSC÷sinCcosB,

即5sinAcosA=Sin(3+C)=sinA,

又A∈(0,τι),所以SinA>0,所以CoSA=g；

(2)由第一问可知CoSA=",贝IJSinA=Jl-=半,

9

由余弦定理得：a2=h2+c2-2bccosA=h2+c2-^hc,

2

因为〃2=46+<?,b>0,所以4=6-gC,

又匕一c=l,解得6=6,c=5,

所以/5C的面积S='z>csinA='x30x殛=6«.

225

20.如图，在正四棱柱ABCf）-AACQl中，A8=2,点E在CG上，且CE=2EC∣=2.

（1）若平面ABE与。G相交于点凡求RF；

（2）求二面角A-BE-A的余弦值.

4

【正确答案】（1）§

⑵鸣

17

【分析】（1）作出辅助线，由线面平行的性质得到线线平行，由相似知识求出RF的长度:

（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到二面角的余弦值.

【详解】（1）如图，连接4尸,所，因为AB//平面COQG,平面ABEC平面COD£=EF,

所以AB//EF.

Z

C.FCE1

连接CR,因为A8∕∕C",所以E///CD.所以/=W1F=彳,

L√∣ΓCJDZ

24

又GA=2,所以。尸=§Ca=

(2)以。为坐标原点，DA,OC,的方向分别为居)，，Z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则A(2,0,0),4(2,0,3),BQ,2,0),E(0,2,2),

ΛB=(0,2,0),BE=(-2,0,2),Λ1B=(0,2,-3),

设平面ABE1的法向量为m=(Xl,χ,zj,

m∙AB=2V1=0

则，解得：Λ=0,令X=I,则Z∣=l,

m∙BE=-2x1+2z1=0

故〃?=(1,0,1).

设平面4∣8E的法向量为〃=(W,%，22)，

n∙AB=2y2—3z2=0

则，令为=3,则Z2=2,Λ2=2,

n∙BE=-2X2+2z2=0

故刃=(2,3,2).

/、m∙n42√34

cos<∕n,Ii)=------=-=——-=

IIl〃I√f2×√i1717

由图可知二面角A-BE-A为锐角，故二面角A-BE-A的余弦值为笔

21.已知圆C：(x-l)2÷y2=l,过点尸(0,2)的直线/与圆C交于4,B两点，O为坐标原点.

⑴当直线/的斜率为-4时，求.AOB的面积;

(2)若直线/的斜率为4,直线。4,OB的斜率为占，⅛2.

①求&的取值范围；

②试判断K+e的值是否与k有关?若有关，求出用+&与k的关系式；若无关，请说明理由.

【正确答案】(I)Mɪ

17

⑵①卜S,]);②无关，理由见解析

2

【分析】(1)由题意可得直线/的方程为y=Tx+2,即可得圆心到直线/的距离d=而,

∖AB∖=2岳了,再利用SMZj=；∙∣48IM求解即可；

(2)①利用"<厂求解即可；

②设A(X,y),B(x2,yj,联立直线与圆的方程由韦达定理可得%+々=一片I，

IiK

X1X2=-4y,由K+e="+&可得4+£=1，即可得答案•

1÷K玉/

【详解】(1)解：当直线/的斜率为-4时，直线/的方程为y=Tχ+2.

2

因为圆心(1,0)到直线/的距离d=7万，

所以IABI=2、尹=孚=26XS

11V17√1717

所以$®=LMBlM=冬叵；

4AUIS2I]7

(2)解：直线/的方程为y=H+2.

①因为/与圆C相交，所以圆心(1,0)到直线/的距离d=您

3

得k<r

4

即火的取值范围是卜8，-：)

②设A(XI,y∣),B(x2,y2),

y=kx+2

联立方程组

(ɪ-l)2+y2=1

M(∣+⅛2)X2+(4⅛-2)X+4=0,

匚匚I、14k—24

所以芭+"2=一6'中2=T7Q

因为K+&=M+2=∙⅛^+⅛^=2JI+21!+-!-]=2JI+2X^⅛,

X1X2X1X2IX]X2)XxX2

4⅛-2

所以4+4=2/+2xIy=2"(2氏-1)=1,

1+F

即勺+&为定值，与直线/的斜率&无关.

22.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在X轴上，其左、右焦点分别为石，F2,短轴长

为2√L点P在椭圆C上，且满足△尸月居的周长为6.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点(-1,0)的直线/与椭圆C相交于A,B两点，试问在X轴上是否存在一个定点M,

使得AM∙"B恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【正确答案】⑴片+片=1

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**135J11Q

(2)存在，MI-W,。|