2023-2024学年广东省广州市高二年级上册期末数学模拟试题(五)(含解析)

2023-2024学年广东省广州市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知数列｛““｝满足4=1,a„+1=an+3n,则q=（）

A.30B.31C.45D.46

【正确答案】D

【分析】利用累加法可求得知的值.

【详解】由已知4用-%=3〃,

4一。1=3,a3-a2=6,L,a6-a5=15,

上述等式全加可得4—%=3+6+9+12+15=45,.•.4=1+45=46.

故选：D.

2.如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCDfm中,E为BC延长

线上一点，BC、=3CE，则（）

B.AB+AD—A^

1i^9(.

C.ABH—ADAA,D.AB-AD+-AA,

331

【正确答案】A

【分析】根据空间向量的加减法运算法则,直接写出向量。E的表达式，即可得答案.

【详解】D[E=AE-ADl=AB+BE-(AD+AAl)

4|

=AB+-BC-AD-AA}=AB-v-AD-AA},

故选：A.

3.已知"（2,1,-3）,6=（7,2,3）,c=（7,6,2）,若；，/；；；三向量共面，则;1=（）

A.9B.3C.-9D.-3

【正确答案】C

【分析】利用空间向量的共面定理得到c=ma+nb'，再利用空间向量相等的性质及坐标运算

即可得解.

【详解】因为一，b，；三向量共面，

所以存在实数"?，"，使得二片」厂,

即（7,6,4）=加（2,1,—3）+/1（—1,2,3）=（2加一〃,加+2〃,一3加+3〃）,

7=2m-n

所以＜6=〃?+2〃,解得％=—9,

Z=-3m+3/7

所以2=-9.

故选：C.

2

4.已知双曲线2宗-勺=1（。>0）的右顶点和抛物线/=8x的焦点重合，则。的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】B

【分析】求出抛物线的焦点坐标，再根据题意可求出。的值.

【详解】抛物线/=8x的焦点为（2,0）,

因为双曲线l（a>0）的右顶点和抛物线产=8x的焦点重合，

a3

所以a=2,

故选：B

5.已知圆G：（x+iy+_/=25,圆C2：（x-iy+/=1，动圆加与圆G外切，同时与圆G内

切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）

.X2nX?/[

A.—+y2=1B.—+—=1

332

C.^-+/=1D.二+匕1

998

【正确答案】D

【分析】画图，分析出|G"|+|C2M卜6>2=|。02|,确定圆心M的轨迹为椭圆，求出

a=3,〃=8,得到轨迹方程.

【详解】如图,由题意得：\qM\=5-\MQ\,\C2M\=i+\MP\,其中MQ|=|MP|,

所以|C,M|+CM=5-阿。|+1+|g|=6>2=CGl，

y-2

由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以G，G为焦点的椭圆，设=+4=1,

a-b

则2〃=6,c=l,解得：a=3,b2=a2—c2=9—1=8,

6.已知三个数1,a,9成等比数列，则圆锥曲线《+乙=1的离心率为（）

a2

A.BB.75C.垂或叵D.B或叵

3232

【正确答案】D

【详解】椭圆、双曲线的方程简单性质，等比数列的性质，分类讨论，由已知求得。值，然

22

后分类讨论求得圆锥曲线三+二=1的离心率解决即可.

a2

因为三个数1,。，9成等比数列，

所以/=9,则a=±3.

当。=3时，曲线方程为《+己=1,表示椭圆，

32

则长半轴长为百，半焦距为1,

所以离心率为立：

3

当。=-3时，曲线方程为片一二=1,表示双曲线，

23

则实半轴长为后，半焦距为如,

所以离心率为=.

V22

故选：D

7.函数[(x)=xln(x+2)的图象在点(-1,0)处的切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直，则实

数a的值为()

A.-2B.-1C.ID.2

【正确答案】C

【分析】根据给定条件，求出函数/(x)的导数，再利用导数的几何意义结合垂直条件求解作

答.

【详解】函数〃x)=xln(x+2),求导得：r(x)=ln(x+2)+-^,则/'(一1)=一1,

即函数〃x)=xln(x+2)的图象在点(-1,0)处的切线斜率为-1,

因为切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直，有(2-a)x(-l)=-1.所以a=l.

故选：C

8.已知圆G：x2+/=2,圆G：(x-3>+/=4.若过点(0,-2)的直线/与圆£、G都有公

共点，则直线斜率的取值范围是()

',121「八12]「，ci「，12]「，12一

A.-1,—B.0,—C.[-1,0]o1,—D.1,—

【正确答案】D

【分析】由题意可知，过点(0,-2)的直线与两个圆分别相切时为临界位置，用点线距离公式

列式求出相切时的左值，然后结合图形可得答案.

【详解】如图，由题意可知，过点(0,-2)的直线与两个圆分别相切时为临界位置,

即直线介于图形中的两直线之间，设直线/的方程为夕=6-2,

与Cj相切时有J,解得左=1或斤=-1,由图知后=-1舍去,

J1+公

与G相切时有=2,解得“或〃=0,由图知左=0舍去,

J1+/5

所以直线/斜率的取值范围是Ly

故选：D

二、多选题

9.己知数列｛。,,｝为等差数列，其前〃项和为5“，且％=-1,々+%=-4,下列选项错误的是

()

A.a„=llB.｛。“｝是递减数列C.57=-21D.S“取得最小值时，

〃=5或6

【正确答案】BD

【分析】利用等差数列的性质及通项公式计算出相应的量，然后逐项分析即可.

【详解】由等差数列通项公式知：

所以a2+%=6+d+4+6"=201+7d=-4,①

“5=4+4/=-1,(2)

解得1=2吗=-9,

所以等差数列｛叫的通项公式为：

对于选项A.tZ||=2x11-11=11,故A正确；

对于选项B.由d=2>0,^=-9<0,

所以该等差数列｛%｝为递增数列，故B错误;

对于选项C.S7=74=7x(-3)=-21,故C正确.

n{n-l)d_2n(n-1)

对于选项D.由，叫+-----=-9n+-------

22

=-9n+n(n-1)=n2-\On(neN,),

所以，是关于〃开口向上的二次函数函数，故，有最小值,

由对称轴为：〃=-乡=-1^=5,且〃eN”,

2a2a

所以当〃=5时，S,,有最小值，故D错误.

故选：BD.

22

10.若方程工+工=1表示的曲线为C,则下列说法中不正确的有()

3Tt-\

A.若C为椭圆，则1<3

B.若C为双曲线，贝1>3或7<1

C.若C为椭圆，且焦点在>轴上，则l<f<2

D.若。为双曲线，则其渐近线方程为y=±后

【正确答案】AC

【分析】根据椭圆的定义可判断A、C选项，根据双曲线的定义和性质可判断B、D选项.

3-/>0

【详解】对于A选项：若C为椭圆，则3-1>0,解得l<f<2或2</<3,所以A选项

3—fw/—1

不正确；

对于B选项：若C为双曲线，则(3-7)«-1)<0,解得f<l或f>3,所以B选项正确：

对于C选项：若C为椭圆，且焦点在V轴上，贝必-1>3—>0,解得2<f<3,所以C选项

不正确；

3-f>0It1

对于D选项：当”]<()时，即f<l时，双曲线焦点在X轴上，渐近线方程为y=±｛出x,

[3-1<0If]

当,_]>0时，即f>3时，双曲线焦点在y轴上，渐近线方程为丁=±5公工，所以D选项

正确；

故选：AC.

11.已知数列｛《,卜满足4+3%++(2〃-1”“=2〃，其中"=需不，5,为数列也｝的

前〃项和，则下列四个结论中，正确的是()

2

A.%=2B.数列｛叫的通项公式为：a=-~-

n2〃+1

C.数列｛4｝的前〃项和为：S.=品D.数列｛““｝为递减数列

【正确答案】ACD

【分析1令”=1可求4；利用已知E,求的方法求数列｛%｝通项公式；利用裂项相消法求

数列抄“｝的前n项和;根据数列与函数的关系判断数列的单调性.

【详解】因为4+3%++（2〃-1）%=2〃，

所以当"22时，q+3%++（2〃-3）­=2（,

两式相减得（2〃-1）。“=2,所以勺=彳J,

2/7-1

又因为当〃=1时，4=2满足上式，

所以数列｛q｝的通项公式为：故A正确，B错误,

b2_J_____

"（2/?+1）（2n—1）（2»+1）2n—l2M+1*

所以$“=4+d++hn

故C正确；

因为%随着〃的增大，。“在减小，所以数列｛凡｝为递减数列,

2〃一1

故D正确.

故选:ACD.

12.如图，棱长为1的正方体中，E,尸分别为8月的中点，则（）

2

A.直线尸G与底面Z8CQ所成的角为30°B.平面48避与底面夹角的余弦值为:

C.直线尸G与直线ZE的距离为半D.直线尸£与平面/8E的距离为:

【正确答案】BCD

【分析】以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角,

平行线间距离及线面距离.

【详解】

如图所示，以点。为坐标原点，。力为x轴，。。为V轴，。。为z轴,

则/(1,0,0),(1,0,1),(1,1,1),Ct(0,1,1),E(0,0，J，《1』，；

A选项：芯平面力8CD的法向量/彳二(0,0,1),

设直线FC、与底面所成的角为0,

•••直线FC、与底面/8C。所成的角不为30。，故A错误;

B选项：/耳=(0,1,1),

X…八

n-AB]=y-^z=0

设平面的法向量£(x,y,z),则XT1令z=2,则,N(1,-2,2)

n'AE=-x+—z=0

2

设平面与底面/BCD的夹角为a,

2

,平面明£与底面月88夹角的余弦值为:，故B正确;

C选项，F£=(-l,-l,0),

直线尸G与直线/E的距离为:

C正确;

D选项，FCJ/AE,AEu平面尸G<z平面4

又求（0,1,；）,平面的法向量（1,-2,2）,

代4-2+1_1

・・•直线尸G与平面月8田的距离为：h=,故D正确;

l«lJ『+(_2y+223

故选：BCD.

三、填空题

一一,rFxr

13.已知向量a=（2,-l,3）,b=（w,2,l）,若（a+6）J_a,则〃?=

【正确答案】

【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解.

【详解】由题意可得：；11（小+2,1,4）,

贝|］（〃+6卜〃=2（机+2）-1+12=0,解得"？=-万.

故答案为.-k

2

14.数列｛《,｝的前〃项和S,=/+〃+l,则｛《,｝的通项公式%=

【分析】根据S,,=〃2+N+1求得4=3,当〃22时，利用勺=S“-S,求得知的表达式，验

证首项是否适合，即可得答案.

【详解】由题意数列｛七｝的前〃项和S.=/+〃+i,则％=5=3,

当,22时，%=S._S,T=〃2+〃+]_(”_])2_(“_])_]=2〃,

4=3不适合上式,

故｛%｝的通项公式。“=Q；；22‘

../3,n=l

故。

\2n,n>2

2

15.若双曲线/-二=1的渐近线与圆/+/-外+3=0相切，则机=.

m

【正确答案】士正

3

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，

即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，

即可得到方程，解得即可.

【详解】双曲线/-二=1的渐近线为：

x

y=±—，即x土加y=0,

tn

不妨取x+=0,圆了2+歹2-4、+3=0,

即f+(k2)2=1,所以圆心为(0,2),半径r=1,

依题意圆心(0,2)到渐近线x+叩=0的距离：

解得tn=或加=----.

33

故土亘

3

16.如图，已知双曲线“：4-£=1(">0]>0)的左，右焦点分别为耳，F2,正六边形

ab

ABF2CDF.的一边/耳的中点恰好在双曲线M上，则双曲线〃的离心率是.

【正确答案】叵匚

3

【分析】设N月的中点为P,连接OP,进而根据正六边形的几何关系得|O£|=C,

PF2,

|两|=$,进而根据余弦定理得卢尸2卜当C,再结合双曲线的定义得2〃=孚c-%，再

求离心率即可.

【详解】解：设月月的中点为P,连接。P,PF「

因为是正六边形，

所以，POLAF,,/P与。=60。，

所以|0闻=~|P耳|=；c,

所以，在△尸耳死中，由余弦定理得

2222

I尸用2=1尸用°+闺用2-2|产用.阳用cos/尸片居=lc+4c-c=yc,解得|产用=理。,

所以2a=|P7s|-|P/:[|c~~^c,

_2c_2c_V13+1

所以双曲线"的离心率0=五=7^5一~=^~.

---c—c

22

四、解答题

17.已知函数/(力=》3_加+6(凡6€2的图象过点(-1,0),且，'⑵=4.

⑴求a,6的值;

⑵求曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程.

【正确答案】(1)4=2,b=3；

(2)x+y-3=Q

【分析】（1）根据点（-1,0）以及/'（2）=4列方程，从而求得a力的值.

（2）利用切点和斜率求得切线方程.

【详解】（1）因为函数/（x）=x3—加+台的图象过点㈢⑼，所以_1_〃+6=0①.

又/'（"=3/—2G，r（2）=4,

所以_f（2）=3x22-2x2a=12-4a=g

由①②解得：a=2,b=3.

（2）由（1）知/（》）=、3-2*+3,

又因为/（1）=2,广⑴=3-4=-1,

所以曲线夕=〃x）在（1J0））处的切线方程为k2=-（》-1）,

即x+y-3=0.

18.已知数列｛《,｝是公差为g的等差数列，数列抄“｝是首项为1的等差数列，已知

“2

（1）求如

⑵求数列\|的前〃项和T..

b

[A+i

【正确答案】（1）2=〃

⑵小V

【分析】（1）通过题意易得数列｛4｝是首项为1,公差为1的等差数列，进而可得结果;

（2）根据裂项相消法求和即可.

【详解】⑴。2-4=4-“且数列血｝的公差为搭

b4-b3=a4-a2=1

•・•数列也.}是首项为1,公差为1的等差数列

hn=1+(〃-1)x1=〃

111__1_

(2)

6也+i〃(〃+1)nn+1

19.如图，直四棱柱/88-44GA的底面是菱形，AAl=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,

N分别是8C,的中点.

(1)证明：AC}±BD

(2)证明：MN//平面£DE：

(3)求面AMA,与面NM&夹角的正弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)连接4C,8。，则证明平面4CG，再根据线面垂直的性质即

可得证：

(2)连接先证明4。〃及(7且4。=与。，再证明四边形MNDE为平行四边形，

从而可得MN〃D£,再根据线面平行的判定定理即可得证；

(3)以。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】(1)证明：连接/C,8，ZG，因为底面48。为菱形，则/C/8£),

因为CGJ■平面ABCD,3。u平面ABCD,

所以CGJ.5D,

又ACCCX=C,AC,CC、u平面ACC,,

所以平面/Cq,

又4Gu平面/eq,

所以；

(2)证明：连接ME净。，

因为4片//CD且同片=CD,

所以四边形4名。力为平行四边形，

所以4。〃8c且，

又E,M,N分别是8C,的中点,

所以MEV/BC且ME=ggC,

所以ME//ND且ME=ND,

所以四边形为平行四边形，

所以MN"DE,

又MVU平面CQE,DEu平面C0E,

所以平面CQE；

(3)在菱形/8C。中，ABAD=60°,

所以ABD,8。都是等边三角形，

由E为8c的中点，得QE15C,

又因4D//BC,所以NOJ.OE,

如图，以。为原点建立空间直角坐标系,

则4(2,0,0),“(1,6,2),4(2,0,41NQ,0,2),

AAX=(0,0,4),&W=(-1,6,-2)N4=Q,0,2),

设平面4/附的法向量为/M=(x,y,z),平面N/也的法向量为〃=(a/,c),

所以二面角4—幽—N的正弦值为半=乎.

20.已知圆C:(x-2)2+3-3尸=4,直线/:("?+2)x+(2加+l)y=7机+8.

(1)求证：直线/过定点，并判断直线/与圆C的位置关系；

(2)当〃?=1时，过圆C上点(0,3)作圆的切线4交直线/于点P,。为圆C上的动点，求|P0|的

取值范围.

【正确答案】(1)证明见解析；直线/与圆C恒相交.

(2)[2忘-2,2向2],

【分析】(1)将直线(加+2)x+(2m+l)y=7，，?+8化为m(x+2y—7)+2x+y-8=0,根据由于

,”eR,可得x+2y-7=0且2x+y-8=0,即可证明结论，求得定点坐标，说明该点在圆内，

即可判断直线和圆的位置关系.

(2)写出4方程，求得点P坐标，求出|尸。|,即可求得答案.

【详解】(1)证明：由/的方程("?+2)x+(2加+l)y=7加+8得/M(x+2y-7)+2x+y-8=0,

由于meR,故x+2，-7=0且2x+y-8=0,解得x=3,y=2,

即直线/过定点〃(3,2),

因为(3—2y+(2-3)2=2<4,即点/在圆C内部，

所以直线/与圆C恒相交.

(2)由题知，[：x=0，又m=I时，I:x+y=5,

所以联立=°,即得点P(0,5),

[x+y=5

而点C(2,3),所以|PC|=J(0_2)2+(5_3了=2/2,

所以|尸0归[2近-2,26+2].

21.数列｛/｝是单调递增的等比数列，。2=4吗+%+%=14,数列｛"｝满足4=’,且

al

b=_^

向3^+1,

（1）证明：数列是等差数列，并求｛%｝,｛4｝的通项公式;

⑵设数列3的前〃项和为求

【正确答案】（1）证明见解析，%=2"七=『二

3〃一1

（2）/=8+（3〃-4>2"“

【分析】（1）根据等比数列的定义，求得方程，可得答案，利用取倒数，结合等差数列定义,

可得答案；

（2）利用错位相减法，可得答案.

【详解】（1）解：由=14,设等比数列｛为｝的公比为4,则亍+%+。的=14,

整理可得%2-5夕+2=0,解得4=3或2,当g=g时，数列｛q｝递减，不符合题意，

故a“=。24"-2=2".

又因为=；,所以/一一!=3,

3b“+12b„+lbn

所以数列是以2为首项，公差为3的等差数列，

所以!=2+3（〃-1）=3〃-1,所以，=工.

3〃—1

（2）解：由⑴，?=（3〃T）X2",

b,

所以7；=2x2i+5x2?+8x2-，++（3〃-4）X2"T+（3〃-l）x2”①

2T“=2X22+5X23+8X24++（3〃-4）X2"+（3〃-l）x2"i②

所以①-②得，-7；,=4+3X[22+23+24++叫-（3〃-1）X2"“

=4+3——~~^-（3〃-1b2"+|=-8-0/1-4>2M+,

所以乙=8+（3〃-4>2叫

22.如图，椭圆W+£=l(a>6>0)的离心率为且，其短轴和长轴的端点分别为4

a2b-2

B,C,D,且|/8|=2.

(1)求椭圆的方程:

(2)尸是椭圆上位于x轴上方的动点，直线“，OP与直线/：x=4分别交于G、，两点.若

\GH\=4,求点尸的坐标；

(3)直线加分别与椭圆交于E,F两点，其中点"，T满足且,贡石.若BME

面积是尸面积的5倍，求£的值.

2

【正确答案】⑴二y+/=1

4

(2)尸(0,1)或P(,|)

(3"=±1

【分析】(1)根据短轴，离心率的定义与椭圆的基本量的关系求解即可.

(2)设直线CP的方程为y=k(x+2),化>0),联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出

点户的坐标，从而得到点G,4的坐标，根据|G〃|=4列出方程即可得到结果.

(3)分别设直线4W，直线3以的方程，联立椭圆的方程，再利用三角形的面积公式表达出

BME面积是AMF面积的5倍,再代入韦达定理求解即可.

C6

a2。=4

【详解】(1)由题意可知4/同=26=2,解得〃=1

a2=h2+c2c2=3

2

所以椭圆的方程为土■+/=1

（2）设直线CP的方程为^=%（尤+2）,化>0）

x=4,、

由，尸-X+2)得G(4,的

y=左(x+2)

联立直线C尸的方程与椭圆方程丁消去歹可得(1+4〃卜2+16人+16公一4=0

14.

16〃-4后2-884k、

设户（/，九），则（一2）%=e-r-K|2—824k