2023年云学新高考联盟学校高二年级10月联考数学试卷

2023年云学新高考联盟学校高二年级10月联考数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,若z=2-i,则Rz+z|=（）

A.6B.737C.V38D.7

2.一组数据按从小到大的顺序排列如下：9,10,12,15,16,17,22,25,26,则该组数据的中位数与75%分位

数之和等于（）

A.36B.37C.38D.39

3.已知单位向量％e?是平面内的一组基底，且抬,司〉=三，若向量"G+3e2与匕=有+62垂直，则

4的值为（）

77

A.---B.-C.1D.—1

55

4.过点（一1,0）与圆f+y2—4龙—加=0相切的两条直线垂直，则机=（）

11

A.---B.-1C.ID.—■

22

5.已知直线/:（〃z+2）x+（加一l）y+加一1=0,若直线/与圆C:（x—l）2+y2=4交于A6两点，则

\AB\的最小值为（）

A0B.2C.2A/2D.4

6.如图，在平行六面体A6CD-44GA中，

43=40=44,===,E为CG的中点，则点E到直线AQ的距离为

（）

7.若点48在圆£:（%一2）2+:/=3上运动，|4却=2血,「为43的中点.。点在圆

。2：（%+2）2+》=1上运动，贝.尸@的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

8.三棱锥P—ABC中，AB=2y/^,BC=l,AB：LBC，直线24与平面ABC所成的角为30。，直线尸3

与平面ABC所成的角为45，则三棱锥产一ABC体积的最大值是（）

AV2+V6RV2+V6-1+>/3n2+2百

6333

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A（2,2）,3（4,0）,下列说法正确的是（）

A..Q4B为等腰三角形

B.中，A6边上的中线所在的直线方程为x-3y=0

C..048的重心G的坐标为（2,|）

D.0W的重心G到直线45的距离为也

3

10.如图，在正四棱柱ABC。一A4GA中，的=2A5=2,。为四边形。CGA对角线的交点，点七

在线段上运动（不含端点），下列结论正确的是（）

2

A.直线A。与直线CG所成角的余弦值为专

4

B.点5到平面4OR的距离为］

C.线段。。上存在点E,使得AE1•平面A。。

D.正四棱柱外接球的表面积为遥无

11.某市教育局为了解该市高中各年级学生的文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽

样抽取了一个容量为100的样本.其中，从高三年级抽取容量为20的样本，平均数为4,方差为9；从高

二年级容量为40的样本，平均数为7,方差为15；从高一年级抽取容量为40的样本，平均数为9,方差

为21,据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（）

A.均值为6.2B,均值为7.2

C.方差为19.56D.方差为20.56

12.在平面直角坐标系中，A（4,0）,3（l,4）,点M在圆C:（x+4）2+丫2=i6上运动，下列说法正确的是

（）

A.点M到直线的距离最大值是三22

5

B.过直线AB上任意一点作圆。两条切线，切点分别为RQ,直线过定点（-2,|）

C.的最小值为56—4JT国

D.|肱4|+21MBi的最小值为10

三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共20分.

231

13.甲、乙、丙三人参加一次面次，他们通过面试的概率分别为一,一,一，所有面试是否通过互不影响.那么

345

三人中恰有两人通过面试的概率是.

14.已知点A（x,y）在曲线y=j4_d上运动,则的最大值为.

15.正方体A3CD—A用G2棱长为2,0为平面A84A的中心，点P在侧面内运动且

D.OLOP,则忸P|最小值是.

16.若非零实数对（。涉）满足关系式,+6+1卜|7a—73+1=5，^方，则？=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知直线/过点P（2,-1）.

（1）若直线/与直线2x+y+3=0垂直，求直线/的方程

（2）若直线/在两坐标轴的截距互为相反数，求直线/的方程.

18.已知内角A,的对边分别为a,》,c,c=4,且（a-b）sinA+（"+c）sinB=（4+/?）sinC.

（1）求二ABC外接圆半径.

(2)求一ABC周长的最大值.

19.如图，在四棱锥产一ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱尸。_L底面ABCD,E,F分别是

中点.

P

AB

(1)求证：DE〃平面PEB；

(2)若依与平面A8CO所成角为45，求平面PEB与平面£03夹角的余弦值.

20.已知定点4(1,一3),点8为圆(x+iy+(y+l)2=4上的动点.

(1)求AB的中点C的轨迹方程：

(2)若过定点的直线/与C的轨迹交于M,N两点，且|MN|=百，求直线/的方程.

21.为了模拟“田忌赛马”故事中，双方的对阵情况.甲、乙分别拥有3张写有数字的卡片，甲的3张卡片

上的数字分别为x,y,z.乙的3张卡片上的数字分别为x,y,z,已知x>x>y>y>z>z.他们按

“田忌赛马”故事中规则做一个“出示卡片，比数字大小”的游戏：甲、乙各出示1张卡片，比较卡片上

的数字的大小，然后丢弃已使用过的卡片.他们共进行了三次，直至各自用完3张卡片，且在出示卡片时

双方都不知道对方所出示的卡片上的数字，三次'’出示卡片，比数字大小”之后，认定至少有两次数字较

大的一方获得胜利.

(1)若甲，乙二人按照“田忌赛马”故事中双方第一次对阵出牌，即第一次甲出示的卡片上写有数字X,

乙出示的卡片上写有数字Z,后两次则任意出牌，求甲最终获得胜利的概率：

(2)记事件A="第一次甲出示的卡片上的数字大"，事件8="乙获得胜利”，计算事件4和8的概

率，并说明事件A与事件B是否相互独立.

22.在平面直角坐标系中，圆M为过点A(l,—石),B(2,2),C(4,0)的圆.

(1)求圆M标准方程：

(2)过点0(1,0)作直线4,交圆M于RQ两点，只Q不在X轴上.

①过点。作与直线4垂直的直线力，交圆”于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S,求S的取值范围：

②设直线ORCQ相交于点G,试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程：若不是，说明理

由.

1.B【解析】2z+N=2（2-i）+2+i=6-i,故|2z+司=536+1=收.故选:B

2.C【解析】该组数据的中位数为16,

因为75%x9=6.75

所以该组数据75%分位数22，

所以该组数据的中位数与75%分位数之和等于38,故选：C

3.A【解析】为单位向量且〈白勺〉=1，

2

所以e：=],e2=1,g6=同|。2卜。$二=g，

向量a=G+3e2与人=鸡+62垂直，所以a.0=0，

即（q+3d,）•（+。2）=+3e,-+（34+l）q•司=。,

即/l+3+（3/l+l）xL=0,

2

7

解得4=--.故选:A

5

4.D【解析】x2+y2-4x-加=0=>（x-2）~+y2=m+4,

设该圆的圆心为A（2,0）,半径为J〃z+4（m>-4>设点（—1,0）为点8,

如图所示：过B（-l,0）与圆A相切的直线为8C,8D,切点为C,D,

连接AC,A。，显然ACJ_BC,AO_LB。，

由题意可知相切的两条直线垂直，

所以四边形ACBO是矩形，又因为|aq=|四，

所以四边形ACBO正方形，

因此有|AB|=>/21AD\n3=V2x,4+m=>加=g,

故选：D

【解析】直线/:(m+2)x+(加一+=0,即(x+y+l)〃?+2x-y-l=。，

x+y+l=0x=0

令V，解得《

2x-y-l=0y=-1

所以直线/过定点p（o,—l）,

圆C:（x—1）2+/=4的圆心C（l,0）,半径厂=2，

因为|PC|=«n=J5<2,

所以点P（（）,—l）在圆C内，

则圆心C到直线/的距离dW|PC|=友（PCI/时取等号），

所以|4叫=2，,一筋22"^=2虚（PC_L/时取等号）,

所以的最小值为20.故选：C.

6.D[解析】设AB-a,AD—b,AA\—c，

因为A3=AQ=A4,={.ZBAD=ZA,AB=Z\AD=60,

1i

所以。•b=〃・c=b-c=lxlx—=一,

22

-____________UUU1

AC]=AB+BC+CQ=a+/?+c,CQ=c，

/\211

因为AC〕,CG=(a+〃+c'),c=a,c+〃・c+c=—+—+1=2,

ACj|=，(“+〃+c)+b~+2a・b+2a・c+2b・c=Jl+l+l+l+l+l+l=瓜

/1C.-CC,276

所以cos（AC1,CC，

|AC；|-|CC,|-V6X1_3

因此sinNAC®=F

所以点E到直线AG的距离为卜in/ACC=；x曰=巧，故选：D

7.B【解析】•.•点A、B在圆G：（》一2）2+:/=3上运动，|A科=2近,

AB

：.AB中点P到圆心G（2,0）的距离为

由圆的定义可知，点P的运动轨迹为以£(2,0),半径1的圆(x—2)2+V=I,

又丁。点在圆G：(x+2)2+y2=i

的最小值为：|GG|—i—1=2.故选：B.

8.D【解析】过点尸作PD±平面ABC于点D,连接BD,AD,

则NPBD=45°,NPAD=30°,

因AB=2y/2,BC^l,AB±BC，所以S八席=g,

设PD=h,则BD=h,AD=拒h,PB=yflh,PA=2h,

在平面ABC上，AD—3DKAB且AD+BD2AB，

即G/z—+解得逐一04/24卡+0，

在△PBA中，PA-PB<AB,PA+PB>AB,

即2h-同<2日211+®>2丘,解得2拒-2<〃<2及+2，

综上，V6-V2<//<>/6+V2.

故三棱锥P—ABC体积％=+=

故选：D

9.ABC【解析】A：因为|OA|=也2+22=2及=4」4阴=J(2-盯+2?=20，

所以|Q4|=|AB|,因此该三角形是等腰三角形，因此本选项正确；

B：A3中点的坐标为(3,1),

所以A3边上的中线所在的直线方程为y=3y=0,故本选项正确；

C：因为4(2,2),5(4,0),0(0,0),

(2+4+02+0+0、(2、

所以_O4B的重心G的坐标为［―--,―--J,即所以本选项正确；

v—2x—2

D：直线A3的方程为2—=:——nx+y-4=0,

2-02-4

2+2-4-

所以的重心G到直线A8的距离为，：3一4_2夜,所以本选项不正确，

力+户一亍

故选：ABC

10.AB

【解析】构建如下图示的空间直角坐标系力一斗，则41,0,0),0(0,1,1),C(0,l,0),C,(0,1,2),

所以AO=(—l,；,l),CCi=(0,0,2),则3s(AO,CG〉H瑞普l=(j=|,

2

所以直线AO与直线CG所成角的余弦值为：2，A对；

由£)1(0,0,2),Bj(l,l,2),则AD}=(-1,0,2),若加=(x,y,z)是面A。。一个法向量,

m-AO=-x+—y+z=0

故j2-,令z=l，则机=(2,2,1),而M=(0J2),

m*ADl=-x+2z=0

I.ABI4

所以点Bx到平面AOD｝的距离J------=一，B对;

|m\3

由4(1,0,2),40,0,力且0<.<2,则E4)=(l,0,2T),显然不可能与m=(2,2,1)平行，C错;

由正四棱柱的外接球半径为体对角线的一半，即为寸，故外接球的表面积为4兀x(苧了=6兀，D错.

故选：AB

11.BC

【解析】AB选项，三所学校的学生文学经典名著的均值为

20x4+40x7+40x9

=7.2,A错误，B正确;

100

CD选项，三所学校的学生文学经典名著的方差为

意［9+(4一7.2月+器［15+(7一7.2月+器［21+(9一7.2)［

=19.56,

C正确，D错误.故选：BC

12.BCD

【解析】由圆的方程C:(x+4)?+y2=i6可得，圆心C(-4,0),半径r=4,

由4(4,0),3(1,4)得，L=-g，所以直线AB的方程为y=-g*-4),

即4x+3y-16=0,

|-4x4-16|32

对选项A,圆心C到直线A3的距离为：d=-j4、3」=《

所以点M到直线AB的距离最大值是手+4=y,故选项A错误；

对选项B,设N为直线A8上任意一点，过点N作圆C的两条切线，切点分别为RQ,连接

CP,CQ,CN,如图所示：

由直线与圆相切的性质可知：CPVPN,CQVQN,

所以C,P,N,Q在以CN为直径的圆上，其圆心为C,N的中点，设为C-

设N（a,b）,

所以|CN|=J（a+4）2+—,

22

所以C,P,N,Q所在圆G的方程为：卜—（J+（y—gJ上厅

2

整理得Y-（6/-4）X+y-by-4a=09

将圆。与圆G的方程联立〈2,八2「八，

x-（a—4）x+y-by-4a=0

作差得直线PQ的方程（。+4）x+勿+4。=0,

因为点N（a,b）在直线AB上，

416

所以4。+38-16=0,h=——。+—,

33

416

代入直线尸。的方程得（。+4）］+（-铲+5）），+4〃=0,

整理得a(x-gy+4)+(4x+?y)=0,

4,八

x-—y+4=0x=-2

解得,3

所以《

,16八

4x4y=0^=-

3'

所以直线P。恒过定点(-2,1),故选项B正确;

对选项C,由M(x,y)在C：(x+4)2+V=16上,

所以可设x=-4+4cosay=4sin0,6W[(),2TC),

所以MA=(8-4cos6,Tsin6),MB=(5-4cos6,4-4sin6),

所以M4.A/3=(8-4cose)(5-4cos6)+(-4sin^)(4-4sin6),

化简可得，MAM3=40—52cose-16sine+16sin2e+16cos2。，

即M4M5=56—52cose—16sine，

,——/、^134

所以MA-MB-56—4^185sin(6+0),其中sin(p——j=,cos(p—,---,

v185，185

故当sin(9+o)=l时，MR.例3的最小值为56-4，砺，故选项C正确；

对选项D,|MA|+21MM=+

设存在定点。&0),使得点M在圆C:(X+4)2+/=16上运动时均有=g|M4|,

设M(x,y),则有,(XT)，+有=gJ(x_4『+/,

化简可得3厂+3y~+(8—8/)%=16—4广，(1)

又因为C：(x+4)2+y2=]6,即炉+y2+8x=0,②

②代入①化简可得-8(r+2)x=16-4/2,

即(/+2)(2x—f+2)=0,

所以r=—2,所以|肠4|+2眼卸=2(；|肠4|+.目卜2(|皿|+|加回),

因为以比)|=5,当三点共线，且M在线段BD上时，|孙+|加耳=|即=5,

所以|K4|+2|A叫=2（|MQ|+|A叫）210,

所以|A例+2|MB|的最小值为10,故选项D正确.

故选：BCD.

三.填空题：本题共4小题，每小题6分，共20分.

29

13.—【解析】三人中恰有两人通过面试，可能情况为甲和乙通过、丙未通过；甲和丙通过、乙未通过;

60

乙和丙通过、甲未通过.

23<2（311（2\3121129

根据事件互斥性可知所求概率为；x：x1一二+-x1--x-+1--x-x-=-+—+—.

3415J3\4J5V37455302060

29

故答案为：—

60

14.B【解析】y=Jj2变形为*2+y2=4（”0）,它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，

3

如图，

A（x,y）在上半圆上，后表示点A（x,y）与"（TO）连线的斜率,

由题意得，当直线与半圆相切时斜率最大，

设直线与半圆相切时直线斜率为左,直线方程y=Z（x+4）,即日一y+4女=0,

因此型_=2,解得k=@（由图女=一立舍去）,

42+133

所以一匕的最大值为避L

x+43

故答案为：B

3

15.—

5

【解析】

建立如图所示的空间直角坐标系，

D,（0,0,2）,5（2,2,0）,A（2,0,2）,P（x,2,z）（0<x,z<2）,

因为。为平面A的中心,所以。(2,平),

*=(2,1,-l),OP=(x-2,l,z—l),

因为DQ_LOP,

所以0OOP=2(x—2)+1—(z—l)=0=z=2x—2,

,3T4

16.——或一

43

【解析】由|a+b+4=|7a-7"1|=5，/2+6,

|a+/?+l||7tz-7Z?+l|

丁得y/a2+b2>Ja2+b2，

|a+万+1|

可以看成点A（l,l）到直线6+力+1=0的距离&

yja2+h2

7a-7b+l/、

।,,।可以看成点5(7,—7)到直线依+外+1=0的距离d2,

\]a-+b-

\a+b+\\_\la-lb+\\

因为

\Ja2+b2y]a2+b2

所以4=4=5.

因为|AB|=io,4+4=10，

所以当点A,8在直线or+〃y+l=0同侧时，直线A5与直线改+b+1=0平行,

当点A,8在直线ox+〃y+l=0异侧时，A,8关于直线数+勿+1=0对称,

1+74

因为直线A3的斜率左

1-73

直线ox+力+1=0的斜率为—-,

b

所以—=—或

b3

所以渭或w

34

故答案为：一;或；・

43

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.

【解析】

(1)因为直线/与直线2x+y+3=0垂直,

所以可设直线/的方程为％-2丁+m=0,

因为直线/过点产(2,—1),所以2-2x(-l)+m=0,解得加=一4,

所以直线/的方程为％-2丁-4=0

X

(2)当直线/过原点时，直线/的方程是>=一耳，即x+2y=0.

当直线/不过原点时，设直线/的方程为x-y=。，

把点P(2,—1)代入方程得。=3,所以直线/的方程是x-y-3=0.

综上，所求直线/的方程为x+2y=0或x-y-3=0

18.

【解析】

(1)设_ABC外接圆半径为R,

因为(a-8)sinA+(Z?+c)sinB=(4+b)sinC,—^―--^―=-C-=2R,c=4,

v'''')sinAsinBsinC

所以sinA=-^-,sin6=-^-,sinC=,则++=(c+b)-^—,

2R2R2R‘，2R''2R''2R

即(a-b)a+9+c)b=(c+b)c,整理得^+序一c2=a6,

...,TE—r/口一。2+”~一ab1

所rr以由余弦定理可得，cosC=--------------=------=—，

2ab2ab2

因为()<C<兀，所以sinC=上

2

c1c14473

故一ABC外接圆半径一2sin。一2百一3.

2

(2)因为c?="+〃一2azJCOSC，

所以16=。2+/一"=(。+。)2—3。。，即3+与2—16=3",

又因为次?，(a+/?)2—16=3ab«3•("；”，

所以伍+〃)-4]6,即。+。<8,当且仅当。=b=4等号成立.

4

又因为c=4,a+b+c<8+4-12,

故_ABC的周长的最大值为12.

19.【解析】(1)设G为尸5中点，连接GE,EG,

又瓦尸分别是PC、4)中点，

所以FD=LAQ,GE=』BC,GE!IBC,

22

又底面ABC。是正方形，

所以FD=GE,GE//FD,故四边形FDEG为平行四边形，则//FG,

由OEZ平面PFB,FGu平面PFB，则DE//平面PFB.

(2)由题意知NPBO=45，以。为原点，构建空间直角坐标系，

令AB=1,则PO=O3=&，

所以5(1,1,0),0(0,0,0),EO,p^Vf|,O,oV(O,O,>/2),

所以£>5=(1/,O),DE

m-DB=y=0

令，〃=(x,y,z)为平面ED8的一个法向量，贝卜

।1V2n

m•DE=—y+z=()

22

令y=也,即/%=-,

n-PB-a+b-yjlc-0

令〃=(a,O,c)为平面PEB的一个法向量,则〈

n-FB=—a+b=O

2

令修,即邛,一省,

l2J

7755

55

即平面PR?与平面£Z如夹角的余弦值登5.

55

20.

【解析】

(1)设C点的坐标为(x,y),则点B的坐标为(2x-1,2)，+3),

点8为圆0+1)2+0+1)2=4上的动点，

(2x-1+1)2+(2y+3+1)2=4化简得f+(y+2)2=1,

故C的轨迹方程为f+(y+2)2=l.

(2)由圆f+(y+2)2=l可得，圆心坐标为(0,-2),半径r=1，

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为》=,，

2

此时圆心到直线％=』的距离是:，

22

所以|MN|=2，—]£|=6，满足条件；

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y+l-化简得依—y-gk—l=0,

2

因为故圆心到直线/的距离a

2

、k

0-(z-2)---l

由圆心到直线/的距离公式得d

yjl+k2ll+k2

kI~(k~)»

即21—5=扪+公，平方得41+J-左=l+%2,

47

21.

【解析】

(1)由于第一次甲出示的卡片上的数字较大，故第二次或第三次甲出示的卡片上的数字必须较大才能获

得胜利，即y要对丁,甲才能获得胜利.

所以甲获得胜利为事件M,则P(M)=LX,+LXL=_L.

''22222

(2)在第一次出示的卡片中，样本空间。为第一次双方出示的卡片上的数字匹配情况，则

。^{xX,xY,xZ,yX,yY,yZ,zX,zY,zZ},A^{xX,yX,