2023-2024学年河南省周口市项城市五校高三（上）联考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年河南省周口市项城市五校高三(上)联考数学试卷(9

月份)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知a€R,复数z=a+2i,z?—2z是实数，则|z|=()

A.5B.10C.y/~5D.V10

2.已知全集/=R,M={x\x<1},N={x|log2x<1},则(C/M)nN=()

A.[l,+8)B.[1,2)C.(l,+8)D.(1,2)

3.函数f(x)=W?的大致图象是()

AA.7TTB->.—37rnC.—27TD.7汽

433

2

5.已知函数/(*)=齐小，则()

A./(X)是偶函数B./(x)是奇函数

C./(x)的图象关于直线x=3对称D.〃%)的图象关于点(3,1)成中心对称

6.毕业典礼上，某班有a,b,c,d,e,/六人站一排照相，要求a,b两人均不在排头，且e,f两人不相邻，

则不同的排法种数为()

A.160B.288C.336D.480

7.已知抛物线y2=8x的焦点为F,点M(-2,2),过F的直线I垂直于MF,月1交抛物线于A,B两点，则祈了.

MB=()

A.3B.2C.1D.0

8.在正四棱锥P-ABCD中，AB=2,E,F,G分别为4B,PC,4D的中点，直线BF与EG所成角的余弦值

为学，则三棱锥P-EFG的体积为（）

A.巫B.CCCD.C

12436

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.已知a,b,c,deR9满足a>b>c>d>0,则（）

A.sina>sinbB.a—sina>b—sinb

C.-D.adbe>ab-Vcd

dc

10.已知9W（0,2TT）,0为坐标原点，0终边上有一点M（sin等一cos2，sin穿+cos当厕（）

oooo

A.6B.\0M\=yj'l.C.tand<1D.cosO>!

11.已知在等边△ABC中，AB=2,。为AC的中点，E为BD的中点，延长CE交4B于点F,则（）

A・荏E府+［前B.AF=2FB

C.SF-ZC=|

D・S4DEC-2S^B£F

12.若数列｛%｝满足的=1,a”+i=?+号+…+崇（n为正整数）,S"为数列｛册｝的前?1项和，则（）

A.a2=1B・。2024=1012

「s_九5+1)D.白+4+…+}<3

J3n=---

313Tl

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

2?

13.已知双曲线盍一点耳=i（m>0）的离心率为2,则实数m=

14.已知/（x）=logaX+loga+2%（0<a<1）是（0,+8）上的减函数，则实数a的取值范围是.

15.已知一个圆台内切球的半径为圆台的表面积为14兀，则这个圆台的体积为

16.现有一组数据：1,2,2,3,334,4,4,4,…"廿飞71个n…，共200项,S（x）=£啰0-々尸（々是这一组数据的

第i项），有以下结论:

①这组数据的极差为19；

②这组数据的中位数为14；

③这组数据的平均数为13.5；

(4)5(13)<5(14).

其中正确结论的个数为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知数列｛即｝满足的=a?=0,且｛即+n｝为等比数列，ne/V*.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)求满足的+a2+…+<2024的最大整数n.

18.(本小题12.0分)

在直四棱柱力BC。一A/iCiDi中，四边形4BC0是菱形，AB=2,4DAB=60°,BDr_L平面A&C.

⑴求A4i；

(2)求二面角B-B1C-4的正弦值.

19.(本小题12.0分)

在△A8C中，/.BAC=60°,AABC的面积为10C，。为BC的中点，0EJ.4C于点E,。尸148于点F.

(1)求ADEF的面积；

(2)若40=求sin乙4BC+sin乙4cB的值.

20.(本小题12.0分)

某地乒乓球协会在年55岁〜65岁的乒乓球运动爱好者中，进行一次“快乐兵兵”比赛，3人一组先进行预赛,

选出1名参赛人员进入正式比赛.已知甲、乙、丙在同一组，抽签确定第一轮比赛次序为：甲对乙、甲对丙、

乙对丙，先累计获胜2场的选手，进入正式比赛.若前三场比赛甲、乙、丙各胜负一场，则根据抽签确定由甲、

乙加赛一场、胜者参加正式比赛.已知甲胜乙、甲胜丙、乙胜丙的概率分别为|,|3,各场比赛互不影响且无

平局.

(1)求甲进入正式比赛的概率；

(2)若比赛进行了四场结束，记甲获胜的场数为X,求X的分布列与数学期望.

21.(本小题12.0分)

已知4B是椭圆C上的两点，4(2,1),4、8关于原点。对称，M是椭圆C上异于4,B的一点，直线M4和MB的

斜率满足如以-%B=

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若斜率存在且不经过原点的直线I交椭圆C于P,Q两点(P,Q异于椭圆C的上、下顶点)，当AOPf?的面积最

大时,求/cop，。。的值.

22.(本小题12.0分)

已知函数f(%)=e，ln(a+x)—x,/z(0)=0.

(1)求实数a的值；

(2)证明：仇4时，f(x)>x2.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：z?-2z=(a+2i)2—2(a+2i)—a?—4+4ai-2(a+20=a?-2a-4+(4a-4)iGR，

故4a—4=0,解得a=1,

故|z|=

故选：C.

根据z2-2z可求a的值，从而可求z及其模.

本题主要考查复数的模，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：QM={x\x>1},N=(x\0<x<2],故(C/M)nN=口,2).

故选：B.

由GM={x|xNl},结合对数不等式的运算可得N={x|0<x<2},进而求解.

本题主要考查集合的运算，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：由e^-e-x于0得，xWO,所以函数定义域是{x|x#0},定义域关于原点对称，且/(-x)=

_3x_z-zx

e-x-exex-e~x八"'

所以函数是偶函数，从而排除D;

当x>0时，ex>e~x,所以f(x)>0,又由函数是偶函数可知，/(x)>0在(-8,0)u(0,+8)上恒成立，从

而排除C；

当XT+8时，e，T+8,eT-O,且指数增长比幕增长快得多，所以/Xx)一。，从而排除艮

故选：A.

根据奇偶性、区间函数值符号及对应嘉、指数复合函数的增长趋势，应用排除法确定答案即可.

本题考查函数的奇偶性及图象性质，考查了极限思想，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：由题意得：兀一3=9=算=3='，

322a)2

故/(%)=sinQx+cp),

则当X=g时，^x1+<p=/C7T+^=>(p=/C7T(fcGZ),

JJNZ

又]<</><y-,故W=TT.

故选：A.

由三角函数的对称性和周期性计算即可.

本题考查三角函数图像和性质，属中档题.

5.【答案】D

【解析】解：根据题意，

对于AB,函数/(为=%2_^+18>则/■(-%)=?+：；+]8,有/'(-X)H/(X)且f(-x)*易知选项A,B不

正确；

对于C易得42)=|,f(4)=I，故f(2)丰f(4),C不正确;

对于D,f(x)=1%，^/(6-x)+/(%)=+—J=2/二竿生二2,

(x-3)"+9八"八'(3-x)，9(x-3)Z+9(x-3)2+9

故/(X)的图象关于点(3,1)中心对称，。正确.

故选：D.

对4B,根据/(一乃=?)判断即可;对配举反例判断即可；对口,计算可得/(6-x)+/(x)=2即可

x4+6x+lo

判断.

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数对称性的分析，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：e,/不相邻的排法种数为题&=480,而其中a或b在排头的排法种数为6砥4”144,故不

同的排法种数为480-144=336.

故选：C.

先排e,f两人不相邻，再减去a或b在排头的排法即可.

本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题.

7.【答案】D

【解析】解：(方法1)易知焦点?(2,0),故*=-p则心8=2,故直线4B的方程为y=2(%-2)=2x-4,

代入严=8x得，y2—4y-16=0,

设4Q1，%)，8(%2，丫2)，则％+，2=4,y，2=-16,

AM-MB=(%1+2,yx-2)•(x2+2,y2-2)+2)+Si—2)(y2-2)

(yy)1

=-~+4(*+犬)+4+yi72-2(yi+乃)+4

=g或）+*（%+乃）2+3月为-2（71+、2）+8

2

=^^-+：x42+：X（-16）-2X4+8=0-

6442v7

（方法2）设点力，B在准线上的射影分别为点C,D,如图，

易知|AF|=|AC|,|AM|=|4M|,/.ACM=/.AFM=90°,

则Rt△AFM^RtAACM,则=/.FMA,

△BFM=Rt△BDM,贝ij40MB=NfMB,

又4CMA+/.FMA+Z.DMB+乙FMB=180°,

由此可得乙4MB=90°,故豆？.通=0.

故选：D.

方法1：联立直线4B与y2=8x,设力Qi，yi),B(x2,y2y得出韦达定理，代入坐标求解前了.而即可；方法

2：设点A,B在准线上的射影分别为点C,D,根据几何关系可证得RM4FM三Rt△力CM,Rt△BFM^Rt△

BDM可得乙4MB=90。即可.

本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题.

8.【答案】B

【解析】解：连接8D,DF,如图，

设BF=DF=x,由BO//EG,得/FBC即为BF与EG所成的角，

在△FBO中，易知BD=2，1,COSNFBO=与季=字，解得x=，3.

4V2x3

设PB=PC=y,在APFB中，《）2+3—=y2①，

因为NPFB+Z.BFC=180°,故COSNBFC=cos（180°-乙PFB）=-cos乙PFB,

则在ABCF中，《）2+3-2<14COSNBFC=4,

即⑤2+3+2y/~34cos/PFB=4②,

2

①②两式相加求得/+6=y2+4，因为y>0,解得y=2.

因为户为PC的中点，故为>-EFG=VC-EFG=VF-ECG，

MPA2+PC2=AC2,PA=PC,所以三角形PAC为等腰直角三角形,

则在等腰直角三角形R4C中，易求得P到AC的距离即P到底面的距离为嘉=，克，

故尸到平面CEG的距离为好，

111

S&ECG—SABCD~SAAEG~S&CDG~S&CEB=2'K2-1X12X1--X\X2

_A111_3

故所求三棱锥的体积为:x。x?

3224

故选：B.

连接BD,。凡根据8D〃EG得NF8D即为8F与EG所成的角，设PB=PC=y，再根据几何关系可求得y=2,

再根据Vp-EFG=%-EFG=VF-ECG，结合锥体体积求解即可.

本题考查三棱锥的体积的求解，化归转化思想，属中档题.

9.【答案】BC

【解析】解：对于/：取a=",b=3则sinaVsinb,故A错误;

对于8：构造函数/(%)=%-sinx(x>0),则/'(x)=1-cosx>0,

故f(%)在(0,+8)为增函数,故f(a)>/(b),即a-sina>b-sinb,故B正确；

对于C：c>d>0,故工>0与a>6>0两式相乘得；>2,故C正确；

acdc

对于。:ad+be-(ab+cd)=a(d—b)+c(b—d)=(d—b)(a—c)<0,故。错误.

故选：BC.

4选项可去特殊值判断；B选项可构造函数/(x)=x-sinx(x>0),利用导数判断单调性即可；C选项可根

据不等式同向同正可乘的性侦进行判断；。选项可以用作差法进行判断.

本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于中档题.

10.【答案】AB

+cos咨tan努+1tan誓+tan看57r3兀

【解析】解：tan。---券=—凸—=-----------=-tan—=tan—,故。=?+卜呼ez),

-cos詈tan等-11—tan88o

11

又sin^o-ocosj>0,osinj+ocos^>0,故。是第一象限角,

又。e(0,2?r),故。=智故A正确;

o

对于8,|0M『=（sin器-cos引2+（sin：+cos第2=2,故|0M|=/2，故3正确;

对于C,因为y=Snx在（0,今上单调递增,且1吗所以Cn昨ta榨Atan〈=1,故于错误;

对于0,因为y=cos%在（0,勺上单调递减，号＞刍，所以cos。=cos号Vcosg=g故O错误.

故选：AB.

对于从利用任意角的三角函数的定义结合已知条件分析判断，对于B,利用距离公式求解判断，对于CD,

利用三角函数的单调性分析判断即可.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

11.【答案】AB

【解析】解：如图，

对于力，因为E为8D的中点，所以荏=?四+〈而=；四+：前，故A正确；入

对于8，设荏=k裾由4可得：AE=^AF+^AC,//

又E,F,C三点在一条直线上，故2+[=1,故k=|,

即和=,而，FB=^AB,所以而=2而，故B正确；B0

对于C,因为质:=g前=*（瓦？+雨），所以而.尼=3（而.近+能.而）=；*（-2+2）=0,故（7错

误；

对于。，因为S^DEC=S^BEC=2^hBDC=4^A4BC，

S&BEF=S&FBC_S^BEC=3^^ABC~4^^ABC»

所以S^OEC=3s△8EF，故。错误.

故选：AB.

在△48。中，根据力E是中线可得荏=；（南+同），再根据。是4C中点即可表示出荏，从而判断4；

设近=k万，得到南=号刀+；前，根据E,F,C三点在一条直线上及三点共线定理的推论可得k的值,

从而可判断B；

用瓦4,正表示出屁，根据向量数量积运算方法即可计算前•正，从而判断c；

根据E是BZ）中点及D是“。中点可得S^DEC=S^BEC=QS^BDC=^^BEF=^LFBC~^ABECF从而可判

断。.

本题考查平面向量的线性运算和数量积，命题真假的判断等，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：对于4=a』=?+善+…+早（n为正整数），

.,.当n=l时，。2=?=1,故A正确；

对于B：＜％+1=?+善+…+粤①，

当〃之2时，即=?+号+…+;7;②,

由①—②得%】一电.=*即黯=*

・•.当"22时，0｝为常数列，

.•.当〃22时，出=苧=:，即即=今

n222

fl,n=1

•'•即=1'2，

•••。2024=1012,故B正确；

对于C：S,=1+1+,+.・・+）='+弓+|+•••+、）=g+故C错误；

11,4“11、

对于。：由选项C得。=还西工＜而*5=44_不）,

4丁2

故（+t+3+（＜1+4《后+»9+~+；—焉）=1+4弓一左）＜3,故。正确.

故选：ABD.

根据数列的递推式，逐一分析选项，即可得出答案.

本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

13.【答案】C

【解析】解：已知双曲线条-点苗=l（m＞0）的离心率为2,

则02=马=吟出=4，

又m＞0,

则m=/~2.

故答案为：y/~~2-

根据双曲线标准方程的性质和离心率的定义即可求解.

本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题.

14.【答案】(/1-1,1)

【解析】解：由题意可得「。)=焉+$=5喘+忌^严。在(。，+8)上恒成立，

则工1-=In("2)皿v

人ln(a+2)/naln(a+2)-'

又因为0VQV1,则2VQ+2<3,

所以"Q<0,ln(a+2)>0,

不等式化为ln(a+2)+Ina=ln(a2+2a)>0,

所以iL解得。-1<a<1，

当。=，9一1时，

/(x)=iog(c-i)x+，og(q+i产=(二+1)-"+产=-zog(<7+i产+产=°>不合题

意，

因此，实数Q的取值范围为：(。一1,1).

故答案为：1,1).

由题意可得/。)<0对任意的x>0恒成立,可得出关于a的不等式组,解出a的取值范围为，2-l<a<l,

检验Q=I^-1时，/(%)=0,不合题意，从而得答案.

本题考查了导数的综合运用、对数的基本运算及对数函数的性质，属于中档题.

15.【答案】竽兀

【解析】解：设内切球的半径为r,圆台上、下底面圆半径分别为q,上，则圆台的高h=2r=2C，

如图为圆台的轴截面图形，可得母线长，=r1+七，

2

故S圆台=a⑦+r2)+*+以］=14兀=*+以+rrr2=7,

故%।台=|/i-7r(rf+胃+rjr2)=岑

故答案为：丝工兀.

根据圆台与球的性质结合圆台的表面积、体积公式计算即可.

本题主要考查圆台的表面积与体积，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】3

【解析】解:对于②,这一组数据有1个1,2个2,3个3,…,故出现九以前共有数据的个数为1+2+…+n-1,

而1+2+…+13=91,1+2+…+14=105,

故第100个数和第101个数均为14,中位数为14,故②正确；

对于①，1+2+…+19=190,1+2+3+…+20=210,

故最大的数有10个，数值为20,故极差为20-1=19,故①正确；

对于③，则平均数为击x(1+2x2+3x3+-+19x19+10x20)

=+x《x19x20x39+200)=13.35,故③错误；

对于④，S(x)=Td=iCx_xi)2=St=i(^2-2%/%+Xi)=200x2-2(Xi=iX[)x+2黄;*,

由二次函数的性质可知I,%=嚼『=13.35为二次函数的对称轴，

故S(13)<S(14),故④正确，

即正确结论的个数为3.

故答案为：3.

根据极差、中位数、平均数、方差的概念结合等差数列求和一一判定即可.

本题主要考查了极差、中位数、平均数、方差的定义，属于中档题.

17.【答案】解：(1)由%=a?=0得，%+1=1,a2+2=2,

故等比数列｛即+n｝的公比为2,

则an+n=(%+1)x2nt=2n-1,

故cin=2n-1-n；

1

(2)由(1)可得：a[+@+…+an=(2°+2+…+2"-1)—(1+2+…+n)

=lx(l-2")_n(l+n)=_1_想+n)

-1-22-2

当n=11时，21i一1一卫尹=1981<2024,

当n=12时，212-1一丹二=4017>2024,

又易知当71>2时，an>0,故71>12时，和式即++…+册>---

故满足+。2+…+Qn<2024的最大整数几为11.

【解析】(1)由己知I,求出｛an+几｝的首项及公比，根据等比数列的通项公式即可求得；

(2)根据等差数列及等比数列的求和公式计算即可判定.

本题考查数列递推式，考查等差、等比数列求和公式，属中档题.

18.【答案】解：⑴连接BD交4C于点0,连接a0,

因为BDI，平面ACB],Bx0u平面4CB],所以皿1当。，

所以皿BBi+乙BBiO=90°,

因为4BOB】+NBBi。=90°

所以皿%=4BOB1,

又ABiBO=皿BiB=90°,

所以ABOBi〜△BiBDi，所以就=翳.

因为四边形2BCD是菱形，AB=2,/.DAB=60°,

所以8。=8山1=2,BO=1,

所以BBg=B/i•B0=2,所以他=BBi=C；

(2)以。为原点，就，丽，丽的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,

则B(0,l,0),C(_£,0,0),Bi(0,l,q),

则就=(-/3,-1,0).西=(0,0,<7)，

设平面BCBi的法向量为记=(x,y,z),

则隹吃=一^?7=°，取％=1，则沅=(1,-「,。)，

因为BDi1平面ABC所以布=(0,2,--1)为平面力为C的一个法向量,

所以cos河硒=瑞=器=子，

所以|sin〈记，正初I=?，

所以二面角8-B.C-A的正弦值为

【解析】⑴连接8。交4c于点0,连接当。，则可得8D1J.B1。，贝IJ可得功避勺=NB0B],从而得ABOBI〜

△BiBDi，再结合已知条件可求得结果，

(2)以。为原点，而，丽，丽'的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,

利用空间向量求解.

本题考查空间中点，直线，平面的位置关系和二面角的求法，属于中档题.

19.【答案】解：(1)在四边形4F0E中，ABAC=60°,^DFA=^DEA=90°,

故NFDE=120°,

故=\DE-DF-sinl20°=：DE•DF，

作BM14c于点M,CN1AB于点N,

则DE=^BM=^-ABsin60°=

224

DF=CN=^ACsin60°=华4。，

224

故又诋=?xx?4c=得SMBC=^X1°C=用且

(2)设△ABC的三条边BC,AC,4B分别为a,b,c,

由SMBC^^bcsin^BAC=10C，知加=40，

延长4。到点Q,使4。=OQ,连接CQ,

则4Q=<T29>=乙BCQ,

则在中，Z.ACQ=120°,CQ=AB=c,

故由力2++be=129与be=40可得，b2+c2—be=49=a2,

则a=7,b2+c2+2bc=169,

则b+c=13,

由正弦定理得b+ca_14

sinZJlBC+sin乙4c8s\nZ.BAC~

则sinz^BC+sin^ACB=

14

【解析】(1)由题意，可得"DE=120。，可得SA°EF=TDE・£)/；1•sinl20。=1OE•0/：1，作BM14C于点

M,CNLAB于点N,可得DE=4BM=DF=^CN=^-AC，代入上式得解；

2424

(2)延长4。到点Q,使40=DQ,连接CQ,在AAQC中，利用余弦定理可得BC,在△4BC中由正弦定理可求

得结果.

本题考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，

属于中档题.

20.【答案】解：(1)由题意，可分为两种情况，即分甲连胜两场和前三场甲、乙、丙各胜负一场，第4场中

胜乙：

①甲连胜两场的概率为|x|=会

②前三场甲、乙、丙各胜负一场，第4场甲胜乙的概率为qxgx：+Wx|x：)xg=总,

则甲进入正式比赛的概率为4+总=总；

(2)由题意得若要比四场，则前3场甲、乙、丙必然各胜一场，

此时第四场甲对乙，故X的可能取值为1,2,

第四场甲输，则P(X=1)=|,第四场甲赢,则P(X=2)=|,

故X的分布列为：

X12

23

P

55

则E(X)=lx|+2x|=|.

【解析】(1)分类讨论由乘法公式计算即可；

(2)根据离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可.

本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.

21.【答案】解：⑴设M(”),易知8(-2,-1),^k-k

MAMB2,

得W,*=T=2y2_2=4—产,

化简得1，

63

故椭圆C的标准方程为[+[=1.

63

(2)如图示:

设，的方程为y=kx+t(tw0),P(%i，yi),Q(%2，y2)，

将y=k%+£代入椭圆方程整理得,

(1+2k2)x2+4ktx+2t2—6=0,

A=16k2t2-4(1+2k2)(2尸-6)=8(61一产+3)>0,

4kt2产一6

x+x=-(t2丰3),

x2百，的"2=手

22

则|PQ|=Vfc+1-V(%1+X2)-4%1%2="2+1•