北京市门头沟区名校2023-2024学年数学九年级上册期末统考试题含解析

北京市门头沟区名校2023-2024学年数学九上期末统考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.已知一个菱形的周长是20cm,两条对角线长的比是4:3,则这个菱形的面积是（）

A.Mem1B.48cm2C.32cm2D.24c/n2

2.完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）

4.如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）.已知灯泡距离地面2.4m,桌面距

离地面0.8m（桌面厚度忽略不计），若桌面的面积是1.2m2,则地面上的阴影面积是（）

A.0.9m2B.1.8m2C.2.7m2D.3.6m2

5.函数y=ax2+l与y=@（a#））在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

6.抛物线y=2f+2x+l的图像与坐标轴的交点个数是（）

A.无交点B.1个C.2个D.3个

7.如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-2,0）和（2,0）.月牙①绕点B顺时针旋转90°得

到月牙②，则点A的对应点A，的坐标为（）

A.（2,2）B.（2,4）C.（4,2）D.（1,2）

8.已知两圆半径分别为6.5c，"和3cm,圆心距为3.5c,",则两圆的位置关系是（）

A.相交B.外切C.内切D.内含

9.将二次函数），=2/一3的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，下列关于平移后所得抛物线

的说法，正确的是（）

A.开口向下B.经过点（2,3）C.与％轴只有一个交点D.对称轴是直线x=l

10.分别写有数字0,-1,-2,1,3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率

是（）

1234

A.-B.—C・-D.一

5555

11.下列说法正确的是（）

A.一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点

B.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

C.明天降雨的概率是80%,表示明天有80%的时间降雨

D.某种彩票中奖的概率是1%,因此买100张该种彩票一定会中奖

12.观察下列图形，是中心对称图形的是（）

二、填空题（每题4分，共24分）

13.为了某小区居民的用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表:

月用水量（吨）4569

户数3421

则关于这10户家庭的约用水量，下列说法错误的是（）

A.中位数是5吨B.极差是3吨C.平均数是5.3吨D.众数是5吨

14.已知函数7=h2-2*+1的图象与x轴只有一个有交点，则々的值为.

15.如图，在平面直角坐标系中，直线l〃x轴，且直线1分别与反比例函数y=9（x>0）和y=-»（x<0）的图象

XX

交于点p、Q,连结PO、QO,则^POQ的面积为.

4k

16.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，若点A在反比例函数y=—的图像上，点8在反比例函数y=—的图

xx

17.如图，在RtZXABC中N8=50。，将△ABC绕直角顶点A顺时针旋转得到△AOE.当点C在81G边所在直线上时

旋转角NA48i=一度.

18.用如图所示的两个转盘(分别进行四等分和三等分)，设计一个“配紫色”的游戏(红色与蓝色可配成紫色)，则能

配成紫色的概率为.

19.(8分)如图，在平面直角坐标系中，直线45与函数y=&(x>0)的图象交于点A(，n,2),B(2,n).过点

X

A作AC平行于x轴交y轴于点C,在y轴负半轴上取一点O,使OD=；OC,且AACD的面积是6,连接6C.

(1)求m,k,n的值；

(2)求AABC的面积.

v

20.(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=4(x>0)的图象与直线>=%-2交于点A(3,m).

X

(1)求k、m的值；

(2)已知点P(n,n)(n>0),过点P作平行于X轴的直线，交直线y=x・2于点M,过点P作平行于y轴的直线，交函数

y=-(x>0)的图象于点N.

X

①当n=l时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由;

②若PNNPM,结合函数的图象，直接写出n的取值范围.

21.(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4,BC=1.若不改变矩形ABCD的形状和大小,

当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.

(1)当NOAD=30°时，求点C的坐标；

21

(2)设AD的中点为M,连接OM、MC,当四边形OMCD的面积为一时，求OA的长；

2

⑶当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cosNOAD的值.

22.(10分)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧A8.用直尺和圆规作出A8所在圆的圆心O(要求保留作图痕迹,

不写作法);

23.(10分)LED显示屏(LEDdisplay)是一种平板显示器，可以显示计算机生成的动态图文画面.如图1是屏幕显示

的一个8x8正三角形网格的示意图，其中每个小正三角形的边长均为1.位于AD中点处的输入光点P按图2的程序移

动.

(1)请在图1中画出光点P经过的路径:

(2)求光点P经过的路径总长.

<^i>

［崛31时钞・#1K>.|

'I'

I0》.才件《鹏

I

IIUlC«at#A#iaO'I

I

|ftADJM«#«#«>>~|

7"

<S*J>

图2

24.(10分)如图，。。与△ABC的AC边相切于点C,与8c边交于点E,。。过A8上一点O,B.DE//AO,CE是

。。的直径.

(1)求证：A8是。。的切线；

(2)若80=4,EC=6,求AC的长.

25.(12分)我市有2000名学生参加了2018年全省八年级数学学业水平测试.其中有这样一题：如图，分别以线段

BD的端点B、D为圆心，相同的长为半径画弧，两弧相交于A、C两点，连接AB、AD、CB、CD.若AB=2,BD=26,

求四边形ABCD的面积.

统计我市学生解答和得分情况，并制作如下图表:

解答类型及得分情况表各解答类型人数百分率条形统计图

得分序号解答类型

A没有作答

0

B解答不正确

2C连接4C女BD于点。，正确求出B。;

D正确计算出的长：

3

E结论正琬，过程不完整；

F正确，与参考答案一致；

4

G用其他方法，完仝出琬.

（1）求学业水平测试中四边形ABCD的面积;

（2）请你补全条形统计图；

（3）我市该题的平均得分为多少？

（4）我市得3分以上的人数为多少？

26.2019年12月27日，我国成功发射了“长征五号”遥三运载火箭.如图，“长征五号”运载火箭从地面A处垂直向上发

射，当火箭到达B处时，从位于地面M处的雷达站测得此时仰角=45。，当火箭继续升空到达C处时，从位

于地面N处的雷达站测得此时仰角NANC=30，已知MN=1204〃，BC=40km.

（1）求A8的长;

（2）若“长征五号”运载火箭在。处进行“程序转弯”，且乙4以＞=105，求雷达站N到其正上方点。的距离.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、D

【分析】首先可求出菱形的边长，设菱形的两对角线分别为8x,6x,由勾股定理求出x的值，从而可得两条对角线的

长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可求解.

【详解】解：•••菱形的边长是20cm,

:.菱形的边长=20+4=5cm,

,••菱形的两条对角线长的比是4:3,

•••设菱形的两对角线分别为8x,6x,

•.•菱形的对角线互相平分，

•••对角线的一半分别为4x,3x,

由勾股定理得：（4x）2+（3无）2=52,

解得：x=l,

.,•菱形的两对角线分别为8cm,6cm,

二菱形的面积=Jx8x6=24cm2,

故选：D.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、勾股定理，主要理由菱形的对角线互相平分的性质，以及菱形的面积等于对角线乘积的一半.

2、D

【详解】解：设小长方形的宽为“，长为心则有斤"-3a,

阴影部分的周长：

2（m-b）+2（m-3a）+2/i=2in-2b+2/n-6a+2/i=4m-2（n-3a）-6a+2/i=4/n-2n+6a-6a+2n=4m.

故选D.

3、B

【分析】根据点（1,3）在反比例函数图象下方，点（3,2）在反比例函数图象上方可得出k的取值范围，即可得答

案.

【详解】•••点（1,3）在反比例函数图象下方，

.*.k>3,

•.•点（3,2）在反比例函数图象上方，

.,.-<2,即k<6,

3

.\3<k<6,

故选:B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy是解题关键.

4、C

【分析】根据桌面与地面阴影是相似图形，再根据相似图形的性质即可得到结论.

【详解】解：如图设c,D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB〃AD,

:..OBCsOAD,

这样地面上阴影部分的面积为2.7m2.

故选C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，同时考查相似图形的对应高之比等于相似

比，掌握以上知识是解题的关键.

5、B

【解析】试题分析：分a>0和a<0两种情况讨论：

当a>0时，y=ax2+l开口向上，顶点坐标为（0,1）；y=@位于第一、三象限，没有选项图象符合；

X

当a<0时，y=ax2+l开口向下，顶点坐标为（0,1）；y=@位于第二、四象限，B选项图象符合.

x

故选B.

考点：1.二次函数和反比例函数的图象和性质；2.分类思想的应用.

6、B

【分析】已知二次函数的解析式，令x=0,则y=L故与y轴有一个交点，令y=0,则x无解，故与x轴无交点，题目

求的是与坐标轴的交点个数，故得出答案.

【详解】解：•••了=2/+2%+1

.•.令x=0,则y=L故与y轴有一个交点

•.,令y=0,则x无解

.,.与x轴无交点

.•.与坐标轴的交点个数为1个

故选B.

【点睛】

本题主要考查二次函数与坐标轴的交点，熟练二次函数与x轴和y轴的交点的求法以及仔细审题是解决本题的关键.

7、B

【详解】解：连接A，B,由月牙①顺时针旋转90。得月牙②，可知A，B_LAB,且A，B=AB,由A(-2,0)、B(2,0)

得AB=4,于是可得A，的坐标为(2,4).

故选B.

8、C

【解析】先求两圆半径的和与差，再与圆心距进行比较，确定两圆的位置关系.

【详解】1,两圆的半径分别为6.5cm和3cm,圆心距为3.5cm,且6.5-3=3.5,

二两圆的位置关系是内切.

故选：C.

【点睛】

考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法.设两圆的半径分别为R和r,且色r,圆心距为d：外离d>R+r；外

切/nR+r；相交R-rVd<R+r；内切d=R-r；内含d<R-r.

9、C

【分析】根据二次函数图象和性质以及二次函数的平移规律，逐一判断选项，即可得到答案.

【详解】•.•二次函数y=2/—3的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，

.••平移后的二次函数解析式为：y=2(x-2『，

V2>0,

•••抛物线开口向上，故A错误,

•••3k2(2-2)2,

...抛物线不经过点(2,3),故B错误，

•.•抛物线顶点坐标为：(2,0),且开口向上，

...抛物线与x轴只有一个交点，故C正确，

•••抛物线的对称轴为：直线x=2,

••.D错误.

故选C.

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象和性质以及平移规律，掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键.

10、B

【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就

2

是其发生的概率.因此，从0,-1,-2,1,3中任抽一张，那么抽到负数的概率是二.

故选B.

考点：概率.

11,B

【分析】根据概率的求解方法逐一进行求解即可得.

【详解】A.无论一颗质地均匀的骰子多少次，每次抛掷出5点的概率都是，，故A错误；

B.抛掷一枚图钉，因为图钉质地不均匀，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等，故B正确；

C.明天降雨的概率是80%,表示明天有80%的可能性降雨，故C错误

D.某种彩票中奖的概率是1%,表明中奖的概率为1%,故D错误

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了对概率定义的理解，熟练掌握是解题的关键.

12、C

【分析】根据中心对称图形的概念判断即可.

【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C,是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握概念是解题的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、B

【详解】解：这10个数据是：4,4,4,5,5,5,5,6,6,9；

二中位数是：(5+5)+2=5吨，故A正确；

二众数是：5吨，故D正确；

...极差是：9-4=5吨，故B错误；

二平均数是：(3x4+4数+2x6+9)+10=5.3吨,故C正确.

故选B.

14、0或1.

【分析】当k=0时，函数为一次函数，满足条件；当k邦时，利用判别式的意义得到当△=()时抛物线与x轴只有一

个交点，求出此时k的值即可.

【详解】当k=0时，函数解析式为y=-2x+L此一次函数与x轴只有一个交点；

当k8时，△=(-2)2-4k=0,解得k=L此时抛物线与x轴只有一个交点，

综上所述，k的值为0或1.

故答案为0或1.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注意要分情况讨论.

15、1

【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到SAOQM=4,SAOPM=3,然后利用SAPOQ=SAOQM+SAOPM进行计算.

【详解】解：如图，

•直线l〃x轴，

11

••SAOQM=-xl-8|=4,SAOPM=—x|6|=3,

22

SAPOQ=SAOQM+SAOPM=1.

故答案为L

考点：反比例函数系数k的几何意义.

16

16、——

9

【分析】构造一线三垂直可得ABOA84,由相似三角形性质可得沁,结合=金得出

ir进而得出除3女=&，即可得出答案.

【详解】解：过点3作3CJ_x轴于点C,过点A作轴于点

ZBOC4-ZAOD=90°,

ZAOD+^OAD=9009

：.ZBOC=ZOAD9

又ZBCO=ZADO=90°,

.•.△BCO^AODA,

2

B0

~AO

—=tanZBAO=~,

AO3

%8co4

SsOD99

_4

点A在反比例函数y=-的图像上,

x

:.』xADxDO=—xy=2,

22

148

SMiCO=2XBCXCO=gS^OD=g，

邛甘

经过点B的反比例函数图象在第二象限,

故反比例函数解析式为：尸即-与

故答案为：一~—

【点睛】

此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，掌握反比例函数中k的几何意义和构造一线三垂

Q

直模型得相似三角形，从而正确得出是解题关键.

17、100

【分析】根据RtAABC中NB=50。，推出NBCA=40°,根据旋转的性质可知，AC=ACi,ZBCA=ZCi=40°,求出

NCACi的度数，即可求出NBAS1的度数.

【详解】fRtAABC中NB=50°,

AZBCA=40°,

•.,△ABC绕直角顶点4顺时针旋转得到A4OE.当点C在81G边所在直线上，

.,.ZCi=ZBCA=40°,AC=ACi,ZCAB=ZCiABi,

AZACCi=ZCi=40°,

AZBABi=ZCAC1=100°,

故答案为：100.

【点睛】

本题考查了旋转的性质和等腰三角形的判定和性质，熟练掌握其判定和性质是解题的关键.

I

18、一

4

【分析】根据已知列出图表，求出所有结果，即可得出概率.

【详解】列表得：

红黄绿蓝

红（红，红）（红，黄）（红，绿）（红，蓝）

蓝（蓝，红）（蓝，黄）（蓝，绿）（蓝，蓝）

蓝（蓝，红）（蓝，黄）（蓝，绿）（蓝，蓝）

所有等可能的情况数有12种，其中配成紫色的情况数有3种，

3_1

..PE®*a=­=~

故答案为：-

4

【点睛】

此题主要考查了列表法求概率，根据已知列举出所有可能，进而得出配紫成功概率是解题关键.

三、解答题（共78分）

19、（1）机=1,«=8,"=1；（2）A48c的面积为1.

【解析】试题分析：(1)由点A的纵坐标为2知OC=2,由OD=LoC知OD=1、CD=3,根据△ACD的面积为6求

2

得m=L将A的坐标代入函数解析式求得k,将点B坐标代入函数解析式求得n；

(2)作BELAC,得BE=2,根据三角形面积公式求解可得.

试题解析：(D二•点A的坐标为(m,2),AC平行于x轴，

.,.OC=2,AC_Ly轴，

VOD=OC,

.•.OD=1,

/.CD=3,

•.,△ACD的面积为6,

AlcD»AC=6,

2

/.AC=1,即m=l,

则点A的坐标为(1,2),将其代入y=*可得k=8,

X

g

・・•点B(2,n)在的图象上，

X

:.n=l；

(2)如图，过点B作BEJLAC于点E,贝!IBE=2,

SAABC=—AC»BE=Lxlx2=l,

22

即4ABC的面积为1.

考点：反比例函数与一次函数的交点问题.

20、(1)k的值为3,m的值为1；(2)0<nWl或n23.

【解析】分析：(1)将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值.

(2)①当n=l时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；

②由题意可知：P的坐标为(n,n),由于PNNPM,从而可知PNN2,根据图象可求出n的范围.

详解：(1)将A(3,m)代入y=x-2,

/.m=3-2=l,

AA(3,1),

将A(3,1)代入y=±,

:.k=3xl=3,

m的值为L

(2)①当n=l时，P(1,1),

令y=L代入y=x-2,

x-2=L

••x=39

AM(3,1),

APM=2,

3

令x=l代入y=—,

•'•y=3,

/.N(1,3),

PN=2

APM=PN,

②P(n,n),

点P在直线y=x±,

过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x・2于点M,

M(n+2,n),

APM=2,

*.PN>PM,

即PN>2,

/.0<n<l或n>3

点睛：本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基

础题型.

21、（1）点C的坐标为（2,3+26）；（2）OA=30；（3）OC的最大值为8,cos/OAD=日.

【分析】（1）作CEJ_y轴，先证NCDE=NOAD=30°得CE=；CD=2,DE=VCZ^-CE2=273'再由NOAD

=30°知OD=LAD=3,从而得出点C坐标；

2

2191

⑵先求出SADCM=L结合S»WOMCD=不知SAODM=J,SAOAD=9,设OA=X、OD=y,据此知x2+y2=3L—xy

=9,得出x2+y2=2xy,即x=y,代入x2+y2=31求得x的值，从而得出答案;

⑶由M为AD的中点，知OM=3,CM=5,由OCWOM+CM=8知当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值

8,连接OC,则此时OC与AD的交点为M,ON_LAD,证△CMDs/\OMN得=丝=C"，据此求得MN=-,

ONMNOM5

ON=—,AN=AM-MN=—,再由OA=JoM2+AN?及cos/OAD=3凹可得答案.

55OA

【详解】⑴如图1,过点C作CEJ_y轴于点E,

图1

丁矩形ABCD中，CD±AD,

/.ZCDE+ZADO=90°,

XVZOAD+ZADO=90°,

.,.ZCDE=ZOAD=30",

...在Rt^CED中，CE=；CD=2,DE=y/cD2-CE2=273,

在RtZkOAD中，ZOAD=30°,

.,.OD=—AD=3,

2

...点C的坐标为(2,3+2g)；

(2)：M为AD的中点,

***DM=3,SADCM=1,

又S四边形OMCD=—，

2

._9

•・SAODM=一，

2

*e•SAOAD=9,

设OA=x、OD=y,则x2+y2=3i,A.Xy=9,

Ax2+y2=2xy,即x=y,

将x=y代入x2+y2=31得x2=18,

解得x=30(负值舍去)，

，OA=30；

(3)OC的最大值为8,

如图2,M为AD的中点，

图2

.".OM=3,CM=yjcif+DM2=5,

.,.OC^OM+CM=8,

当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8,

连接OC,则此时OC与AD的交点为M,过点O作ONJ_AD,垂足为N,

VZCDM=ZONM=90°,ZCMD=ZOMN,

.,.△CMD^>AOMN,

.CDDMCM„435

・・--=---=---,BaU---=---=—,

ONMNOMONMN3

912

解得MN=W，ON=y,

6

AAN=AM-MN=-,

5

在RtAiOAN中，OAEON?+AN?=竽

.„ANV5

..cosZOAD=-----=-----.

OA5

【点睛】

本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点.

22、见解析.

【分析】根据垂径定理的推论可知：弦的垂直平分线过圆心，只需连接AGBC,尺规作线段AC和8c的垂直平分线,

其交点即为所求.

【详解】解：如图所示：

圆心0即为圆弧所在圆的圆心.

【点睛】

本题考查了尺规作线段的垂直平分线和垂径定理，属于基础题型，熟练掌握垂径定理和线段垂直平分线的尺规作图是

关键.

23、(1)见解析；(2)4万

【分析】(D根据要求画出图形即可；

(2)光点P经过的路径总长为圆的周长，利用圆的周长公式计算即可.

【详解】解(1)光点P经过的路径如图所示，

(2)光点P经过的路径总长=2乃x2=4万

【点睛】

本题主要考查了旋转变换作图，以及圆的周长公式.根据题意画出图形是解题的关键.

24、(1)见解析；(2)AC=1

【分析】(1)要证AB切线，连接半径0Z),证/4。。=90。即可，由NACB=90。，由OO=OE,DE//OA,可得NA。。

=ZAOC,证△AOOgZiAOC(SAS)即可，

(2)A8是。。的切线，ZBDO=90°,由勾股定理求BE,BC=BE+EC可求，利用AO,AC是。。的切线长，设AO

=AC=x,在RtZ\45C中，452=4(；2+£^2构造方程求4c即可.

【详解】(1)证明：连接0D,

'：OD=OE,

：.ZOED=NODE,

'：DE//OA,

二ZODE=ZAOD,NDEO=Z.AOC,

：.ZAOD=ZAOC,

•••AC是切线，

：.ZACB=90°,

在和"OC中

OD=OC

<ZAOD=ZAOC,

OA=OA

...△40。0"OC(SAS),

：.ZADO=ZACB=90°,

是半径，

.♦.48是。。的切线；

(2)解：..工〃是。0的切线，

,ZBDO=90°,

：.BD2+OD1=OB2,

r.42+32=(3+BE)2,

:.BE=2,

：.BC=BE+EC=8,

,：AD,AC是。。的切线，

：.AD=AC,

设AZ)=AC=x,

在RtZ\A5C中，AB^AC^BC2,

:.(4+x)2=x2+82,

解得：x=l,

：.AC=1.

【点睛】

本题考查AB切线与切线长问题，掌握连接半径0。，证乙4)。=90。是证切线常用方法，利用△AODgZUOC(SAS)

来实现目标，先在RtZ\30。，用勾股定理求5E,再利用A。，AC是。。的切线长，在RtZXABC中，用勾股定理构造

方程求AC是解题关键.

25、(1)24;(2)见解析；(3)3.025分；(4)1578人.

【分析】(1)根据作图得到