2022-2023学年四川省广元市青川县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省广元市青川县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.式子号有意义，则实数a的取值范围是（）

a—2

A.a>—1B.a。2C.a>—1且a。2D.a>2

2.已知三角形的三边长为a、b、c,如果（a-5）2+\b-12|+Vc-13=0,则448。是（）

A.以a为斜边的直角三角形B,以b为斜边的直角三角形

C.以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形

3.已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|l-a|+G的结果.4______>

-101

为（）

A.1B.-1C.1—2aD.2a—1

4.有甲、乙两班，甲班有m个人，乙班有n个人.在一次考试中甲班平均分是a分，乙班平均

分是b分,则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（）

Aa+匕Dm+n万am+bn门am-i-bn

A.---D.----------；-U.------------

22a+bm+n

5.有下面的判断：①AABC中，a2+b2c2,则△ABC不是直角三角形.②△ABC是直角

三角形，乙C=90°,则t?+b2=c2.③若△ABC^,a2-b2=c2,则4ABC是直角三角形.④

若△4BC是直角三角形，则（a+b）（a—b）=c2.以上判断正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

6.如图所示，在RtAABC中，NB=90°,44=30°,DE垂直平分斜边4C,AA

交AB于D,E是垂足，连接CD若8。=2,则AC的长是（）/

A.4c

B.2y/~3~1B

C.4

D.8

7.如图，在菱形ABC。中，乙4=60°,AD=4,点P是AB边上的一个动点，点E,F分别是DP,

BP的中点，则线段EF的长为（）

B

A.2B.4C.2AT2D.2c

8.如果直线丫=攵无-4与两坐标轴围成的三角形面积等于4,则k的值是（）

A.2B.±4C.4D.±2

9.函数y=QX+b与y=bx+Q的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）

10.如图所示，四边形0ABe是正方形，边长为6,点4C分别在工

轴、y轴的正半轴上，点。在。A上，且。点的坐标为（2,0）,P是OB

上一动点，则P4+PD的最小值为（）

A.5

B.2/T0

C.4

D.6

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.二次根式一百三在实数范围内有意义，则自变量》的取值范围是

12.若函数y=（m—2）x向t是一次函数，则小的值是.

13.一名学生军训时连续射靶10次，命中的环数分别为4,7,8,6,8,6,5,9,10,7.则

这名学生射击环数的方差是

14.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一

张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是.

15.如图，△ABC中，/.ABC=90°,分别以△4的三边

为边向外作正方形，Si，S2,S3分别表示这三个正方形的面

积，已知S]=81,S3=225,则S2=.

16.在平面直角坐标系xOy中，正方形力$160、4282c2当、A3B3C3B2..按图所示的方

式放置.点&、&、4,…和点当、%、为,...分别在直线y=kx+b和x轴上.已知的（1,一1）,

。2C,-令,则点4的坐标是.

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题6.0分）

计算：4、g-76)-V48+V3+(V3+2)2.

18.(本小题8.0分)

阅读下面的文字后，回答问题:

甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：a+V1—6a+9a2,其中a=5.”甲、乙两人的

解答不同;

22

甲的解答是：Q+V1-6a+9a=a+yj(1—3a)=a+l—3a=l—2a=-9

乙的解答是：a+V1—6a+9a2=a+(1—3a)2=a+3a—l=4a—1=19.

(1)的解答是错误的.

(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：.

(3)模仿上题解答：化简并求值：|1-a|+Vl-8a+16a2,其中a=2.

19.(本小题9.0分)

某商场统计了每个营业员在某月的销售额，统计图如下：

解答下列问题：

(1)设营业员的月销售额为双单位：万元)，商场规定：当x<15时为不称职，当15sx<20

时，为基本称职，当20Wx<25为称职，当x225时为优秀.试求出不称职、基本称职、称

职、优秀四个层次营业员人数所占百分比(精确到0.1%),并用扇形图统计出来.

(2)根据(1)中规定，所有称职和优秀这两个层次的营业员月销售额的中位数、众数和平均数

分别是多少？

(3)为了调动营业员的工作积极性，决定制定月销售额奖励标准，凡到达或超过这个标准的营

业员将受到奖励.如果要使得称职和优秀这两个层次的所有营业员的半数左右能获奖，你认

为这个奖励标准应定为多少元合适？并简述其理由.

20.(本小题9.0分)

已知一次函数y=kx+b.当x=-4时，y=0；当％=4时，y=4.

(1)求这个一次函数的表达式；

(2)求这个一次函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积.

21.(本小题9.0分)

在小"中"CB=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点，PA=3,PB=1,CD=PC=2,

CD1CP.

(1)找出图中一对全等三角形，并证明;

(2)求NBPC的度数.

22.(本小题9.0分)

如图，在四边形ABC。中，AB//CD,AC,80相交于点0,且。是BD的中点

(1)求证：四边形4BCD是平行四边形;

(2)若4CJ.BD,AB=8,求四边形4BCD的周长.

23.(本小题10.0分)

某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表:

商品甲乙

进价(元/件)%+60X

售价(元/件)200100

若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同.

(1)求甲、乙两种商品的进价是多少元？

(2)若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件(a230),设销售完50件甲、

乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值.

24.(本小题10.0分)

概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形

(1)性质探究：如图1,四边形A8CD是垂美四边形，直接写出45、CD2,AD2,BC2的数量

关系：•

(2)解决问题：如图2,分别以RM4CB的直角边4c和斜边4B为边向外作正方形4CFG和正方

形4BDE,连结CE、BG、GE.若AC=4,AB=5,求GE的长(可直接利用(1)中性质)

25.(本小题12.0分)

在RtzxZBC与RtAABD中，Z.ABC=Z.BAD=90°,AC=BD,AC.B。相交于点G,过点4作

4E〃0B交CB的延长线于点E,过点B作B/7/CA交的延长线于点尸，AE.BF相交于点H.

(1)证明：^ABD=^BAC.

(2)证明：四边形是菱形.

(3)若AB=BC,证明四边形4HBG是正方形.

26.(本小题14.0分)

综合与探究：

如图，直线小y=与直线％交于点4(4,tn),直线％与4轴交于点B(8,0),点C从点0出发沿

。8向终点B运动，速度为每秒1个单位，同时点。从点B出发以同样的速度沿B。向终点。运动，

作CM1“轴，交折线04-4B于点M,作ON1x轴，交折线84-AO于点N,设运动时间为t.

(1)求直线L的表达式；

(2)在点C,点。运动过程中.

①当点M,N分别在。4上时，求证四边形CMND是矩形.

②在点C,点D的整个运动过程中，当四边形CMNO是正方形时，请你直接写出t的值.

(3)点P是平面内一点，在点C的运动过程中，问是否存在以点P,0,A,C为顶点的四边形是

菱形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】【分析】

此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键.利用二次根式的定义

与分式有意义的条件分别列出不等式，解不等式即可得出答案.

【解答】

解：式子犀有意义，

a-2

则a+1>0,且a-2彳0,

解得：a>一1且aH2.

故选C.

2.【答案】C

【解析】解：•••（a-5）2+\b-12|+Vc-13=0.

a-5=0,b—12=0,c—13=0,

•••a=5,b=12,c=13,

•••52+122=132,

:.a2+b2=c2,

4BC是以c为斜边的直角三角形.

故选：C.

根据非负数的性质得出a,b,c的值，再根据勾股定理的逆定理判断△4BC的形状即可.

本题考查了勾股定理的逆定理、非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：由数轴可得：-l<a<0,

则|1—a|+Va2=1—a—a=l-2a-

故选：C.

直接利用二次根式的性质化简得出答案.

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键.

4.【答案】D

【解析】解：•••甲班有m个人，乙班有n个人.在一次考试中甲班平均分是a分，乙班平均分是b分，

•••甲乙两班在这次考试中的总分为：(ma+nb)分，

.••甲乙两班在这次考试中的总平均分是竺兽.

m+n

故选：D.

先求出总分，再运用求平均数公式：7=X1+X2；…+X"即可求出平均成绩.

本题考查的是加权平均数的求法.熟记公式是解决本题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：①C不一定是斜边，故错误；

②正确；

③正确；

④若AABC是直角三角形，a不是斜边，则(a+b)(a—b)HC2,故错误.

共2个正确.

故选：C.

欲求证是否为直角三角形,这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

本题考查勾股定理的逆定理的应用.

6.【答案】A

【解析】解：,••在RtAZBC中，NB=90。，Z/4=30°,

/.ACB=60°,

・••DE垂直平分斜边4C,

・•・AD=CD,

・・・Z,ACD=4力=30°,

.%ZDC^=60°-30°=30°,

在中,48=90。，Z.DCB=30°,BD=2,

ACD=2BD=4,

由勾股定理得：BC=V42-22=2A/-3,

在RtZk/BC中，L.B=90°,Z-A=30°,BC=2",

・•・AC=2BC=4c，

故选：A.

求出〃C8,根据线段垂直平分线的性质求出4。=CD,推出乙4co=乙4=30。，求出乙。。8,即

可求出BD、BC,根据含30。角的直角三角形性质求出AC即可.

本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应

用，解此题的关键是求出BC的长.

7.【答案】A

【解析】解：如图连结BD,

•••四边形4BCD是菱形，

・•・AD=AB=4,

v乙4=60°,

：.△4BD是等边三角形，

・・.BD=AD=4,

•:点E,尸分别是DP,BP的中点,

.・.1为^「8。的中位线，

EF=^BD=2,

故选：A.

如图连接BD.首先证明AADB是等边三角形，可得BD=4,再根据三角形的中位线定理即可解决

问题.

本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，本题的突破点是证明△4DB是等边三角形.

8.【答案】D

【解析】解：当x=0时，y=/cx0-4=4,

直线y=/^-4与丫轴的交点坐标为(0,-4)；

当y=0时，kx-4=0,解得：x=y,

k

八直线y=kx-4与％轴的交点坐标为0).

K

二直线y=kx-4与两坐标轴围成的三角形面积=1x|-4|x|^|=4,

解得：k=±2,

经检验，k=±2是解题的关键，且符合题意.

故选：D.

利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线y=kx-4与两坐标轴的交点坐标，结合直线y=

依-4与两坐标轴围成的三角形面积等于4,即可得出关于k的方程，解之经检验后即可得出k的值.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征

及三角形的面积公式，找出关于k的方程是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：分四种情况：

①当a>0,b>0时，y=ax+b的图象经过第一、二、三象限，y=bx+a的图象经过第一、二、

三象限，无选项符合；

②当a>0,b<0时，y=ax+b的图象经过第一、三、四象限；y=bx+a的图象经过第一、二、

四象限，C选项符合；

③当a<0,b>0时，y=ax+b的图象经过第一、二、四象限；y=bx+a的图象经过第一、三、

四象限，C选项符合；

④当a<0,b<0时，y=ax+b的图象经过第二、三、四象限；y=bx+a的图象经过第二、三、

四象限，无选项符合.

故选：C.

根据a、b的符号进行判断，两函数图象能共存于同一坐标系的即为正确答案.

此题考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：

①当k>0,b>0,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；

②当k>0,b<0,函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；

③当k<0,b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；

④当k<0,b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限.

10.【答案】B

【解析】解：如图，作点。关于0B的对称点T,连接PT,AT.

・・・OB平分乙。。4,

・•・0D=0T=2,

v0A=6,

・•・AT=V224-62=2«10,

PT=PD,

：.PD+PA=PT+PA>AT=2CU，

PD+P4的最小值为2CU.

故选：B.

如图，作点。关于OB的对称点T,连接PT,AT.求出47=2尸5,根据PD+P2=PT+PA247,

可得结论.

本题考查轴对称-最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握利用轴

对称解决最短问题.

11.【答案】x<3

【解析】【分析】

本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键.

根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】

解：由题意得，3—xNO,

解得，%<3.

12.【答案】一2

【解析】解：•,・函数y=(m—2)x㈤-1是一次函数，

,1•|m|-1=1,且m—2K0,

:,m=+2,且m*2,

:.m=-2.

故答案为：-2.

根据一次函数的定义即可列方程求解.

此题主要考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数'=/£%+匕的

定义条件是：k、b为常数，k手0,自变量次数为1.

13.【答案】1.6

【解析】解：,：这组数据的平均数是(4+7+8+6+8+6+5+9+10+7)+10=7,

・•.这名学生射击环数的方差=总[(4-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-

7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2]=1.6.

故答案为：L6.

先计算出平均数，再根据方差公式列式计算即可.

本题考查了方差：一般地设n个数据，与，肛，…力的平均数为，则方差52=；[(与一工)2+(%2-

22

i)+-+(xn-x)].它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

14.【答案】菱形

【解析】解：过点。分别作4B,BC边上的高为DE,DF,A,

•••四边形4BCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，/卜、f

:，AB"CD,AD//BC,A^E/B

••・四边形4BCD是平行四边形(对边相互平行的四边形是平行四边形)；”

,:DE1AB,DF1BC,

・•.DE=DF(两纸条相同，纸条宽度相同)，

v

S平行四边形ABCD=AB‘ED=BC♦DF，

:.AB=CB,

••・四边形ABC。是菱形，

故答案为：菱形.

首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边

相等，则四边形4BCD为菱形.所以根据菱形的性质进行判断.

本题考查了菱形的判定与性质.关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形.菱形的面积=底、高.

15.【答案】144

【解析】解：•••三个四边形均是正方形,

222

•­•-BC,S2=AB,S3=AC,

•••△ABC是直角三角形，

CB2+BA2=AC2,即Si+$2=S3,

Sy=81,S3=225,

S2=225-81=144.

故答案为：144.

先根据正方形的性质表示出Si，S2,S3的表达式，再根据勾股定理即可得出结论.

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边

长的平方是解答此题的关键.

16.【答案】《尚）

【解析】解：连接46,42c2,43c3，

分别交x轴于点E、八G,

正方形、AzB2c281、

A3B3c3B2,

4与G关于X轴对称,乙与关于%轴

对称，心与关于％轴对称，

73

-1),c2(1,-p,

73

・,・4式1，1)，岐》

7

・•・OB】—20E=2,0B2=。当+2B1F=2+2x(--2)=5,

(k+b=1

将4与4的坐标代入y=kx+b中得：口士十8二也

k——

解得：一［,

b=-

\5

直线解析式为y=gx+1,

设82G=&G=t,则有4坐标为(5+t,t)，

代入直线解析式得：b=g(5+t)+±

解得:t=?，

%坐标为(学》

故答案是：(当弓).

根据正方形的轴对称性，由Cl、C2的坐标可求公、&的坐标，将4、4的坐标代入y=kx+b中，

得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，从而求直线解析式，由正方形的性质求

出。B],。外的长，设B2G=&G=t，表示出公的坐标，代入直线方程中列出关于匕的方程，求

出方程的解得到b的值，确定出&的坐标.

此题考查了一次函数的性质，正方形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式，是一道规律型

的试题，锻炼了学生归纳总结的能力，灵活运用正方形的性质是解本题的关键.

17.【答案】解：4，7(«-一/■福+C+2产

=-V-6)-+(7+473)

=2-8<3-4+7+4/3

=5-4V3.

【解析】利用二次根式二次根式混合运算的法则求解即可..

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解决问题的关键.

18.【答案】甲V/=⑷,当aV0时，Va2=—a

【解析】解：(1)当Q=5时，甲没有判断1一3a的符号，错误的是：甲；

(2)Va2=\a\f当QVO时，Va2=—a-

2

(3)|1-a\+V1-8a+16a=|l-a|+((1-4Q)2.

•・,Q=2,

**•1—QV0,1—4QV0,

・,•原式=a-1+4a-1=5a—2=8.

(1)当Q=5时，l-3a<0,甲求的算术平方根为负数，错误；

(2)二次根式的性质，1港=|a|,当a<0时，=-a；

(3)将被开方数写成完全平方式，先判断当a=2时，l-a,l-4a的符号，再去绝对值，代值计

算.

本题考查了二次根式的化简运算，需要先根据题目条件判断被开方数底数的符号.

19.【答案】解：(1)由图可知营业员总人数为1+1+1+1+1+2+2+5+

4+3+3+3+2+1=30人；

不称职的有2人，所占百分比为&x100%x6.67%；

基本称职的有7人，所占百分比为《x100%“23.33%；

称职的有18人，所占百分比为居x100%=60%；

优秀的有3人，所占百分比为2X100%=10%；

(2)所有称职和优秀的营业员月销售额从小到大排列第11个数为22万元，所以22万元为中位数；

20万元出现了五次，次数最多，为众数.

平均数为：(5x20+4x21+3x22+3x23+3x24+2x25+1x28)+21222万元.

(3)如果要使得称职和优秀这两个层次的所有营业员的半数左右能获奖，这个奖励标准应定为22万

元合适

因为称职和优秀的共有21人，月销售额在22万元以上(含22万元)的有12人，超过总数的一半.

【解析】(1)首先求出总人数与不称职、基本称职、称职、优秀四个层次营业员人数，进而求出不

称职、基本称职、称职、优秀四个层次营业员人数所占百分比，再求出所占的圆心角的度数画图

即可解答.

(2)根据中位数、众数和平均数的意义解答即可.

(3)如果要使得称职和优秀这两个层次的所有营业员的半数左右能获奖，月销售额奖励标准可以定

为称职和优秀这两个层次销售额的中位数，因为中位数以上的人数占总人数的一半左右.

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的

信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分

占总体的百分比大小.除此之外，本题也考查了加权平均数、中位数、众数的认识.

20.【答案】解：(1)由题意得，-4k+b=0且4/c+b=4.

•••6=2,k=g.

这个一次函数的表达式为y=+2.

(2)由(1)得，这个一次函数的解析式为y=；x+2,其函数图象如下图所示：

.•.这个一次函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积为SAAOB=OB=gx2x4=4.

【解析】（1）根据待定系数法求函数解析式.

（2）根据函数图象画函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征解决此题.

本题主要考查待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求

函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征是解决本题的关键.

21.【答案】（1）解：△ACPNABCD.

理由如下：•.•乙4cB=90。，

•••Z.ACP+Z.BCP=90°,

vCD1CP,

:.4BCD+乙BCP=90°,

・•・Z,ACP=乙BCD,

AC=BC

在AACP和△BCD中，\z.ACP=Z.BCD,

CD=PC

：.^ACP^^BCD(iSAS)；

(2)解：vCD=PC=2,CD1CP,

••.△PCD是等腰直角三角形，

PD=CPC=2/7,4CPD=45°,

ACPwABCD,

・•・AP=BD=3,

VPD2+PB2=(2V-2)2+l2=9，

BD2=32=9,

PD2+PB2=BD2,

•••△BPD是直角三角形，乙BPD=90°,

•••乙BPC=乙BPD+乙CPD=900+45°=135°.

【解析1(1)根据同角的余角相等求出乙4cp=NBCC,再利用“边角边”证明A4CP和ABCD；

(2)先判断出△PCD是等腰直角三角形，再根据全等三角形对应边相等可得4P=BD,然后利用勾

股定理逆定理判断出ABPD是直角三角形，^BPD=90°,再根据NBPC=4BPD+4CPO代入数

据计算即可得解.

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理逆定理的应用，

熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键.

22.【答案】⑴证明:"AB//CD,

・•・Z,ABO=乙CDO,

OB=OD,Z-AOB=Z.COD,

.••△408幺。。0(45;4),

:.AB=CD.

AB//CD,

・・・四边形4BCD是平行四边形.

(2)•••四边形ABCD是平行四边形，

X---ACLBD,

••・四边形2BCD是菱形，

四边形4BCD的周长=4X4B=32

【解析】(1)利用全等三角形的性质证明AB=CD即可解决问题.

⑵证明四边形4BCD是菱形，即可求四边形ABCD的周长.

本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

23.【答案】解：(1)依题意可得方程：输=呼，

解得x=60,

经检验％=60是方程的根，

:.x+60=120元，

答：甲、乙两种商品的进价分别是120元，60元;

(2)•••销售甲种商品为a件(a>30),

销售乙种商品为(50-a)件，

根据题意得：w=(200-120)a+(100-60)(50-a)=40a+2000(a>30),

v40>0,

w的值随a值的增大而增大，

.♦.当a=30时，w辰/值=40x30+2000=3200(元).

【解析】(1)根据用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同列出方程，解

方程即可；

(2)根据总利润=甲种商品一件的利润X甲种商品的件数+乙种商品一件的利润X乙种商品的件数

列出w与a之间的函数关系式，再根据一次函数的性质即可求出w的最小值.

本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用.解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，

进而找到所求的量的数量关系.

24.【答案】AD2+BC2=AB2+CD2

【解析】解：(1)结论：AD2+BC2=AB2+CD2,

如图1中，设8D交4C于E.

vACA.BDf

・•・Z.AED=乙AEB=Z.BEC=MED=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CF2,

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,

AD2+BC2=AB2+CD2；

故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2.

(2)连接CG、BE,

图2

•・•Z.CAG=乙BAE=90°,

・・・ACAG+Z.BAC=Z.BAE+Z.BAC,^LGAB=Z-CAE,

在△GAB和△CAE中，

(AG=AC

l^GAB=乙CAE,

VAB=AE

：,△GAB=.^CAE(^SAS')»

Z.ABG=/.AEC,又乙4EC+乙4ME=90。，

•••Z.ABG+NAME=90°,即CE1BG,

••・四边形CGEB是垂美四边形，

由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2,

"AC=4,AB=5,

BC=3,CG=BE=SO,

•••GE2=CG2+BE2-CB2=73,

GE=V-73.

(1)利用勾股定理即可得出结论；

(2)先判断出CE1BG,得出四边形CGEB是垂美四边形，借助(1)的结论即可得出结论.

此题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾

股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键.

25.【答案】解：(1)•.・AB=BA,AC=BD,

■.RtAABC三RtABAD(HL).

(2)AH//GB,BH//GA,

••・四边形4HBG是平行四边形.

ABC^^BAD,

Z.ABD=/.BAC,

・•・GA—GB,

•••平行四边形AHBG是菱形.

(3)vAB=BC,AABC=90°,

••.△ABC是等腰直角三角形，

AABAG=45°,

又：△ABCmABAD,

^ABG=^BAG=45°,

Z.AGB=90°,

二菱形4HBG是正方形.

【解析】⑴由“HL”可证明RtAABC三RMB4D；

(2)由已知可得四边形是平行四边形，由(1)可知乙4BD=NB4C,可得GA=GB,从而得到

平行四边形4HBG是菱形.

(3)根据有一个角是直角的菱形是正方形，进行判断即可.

本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等几何