2022-2023学年山东省泰安市高一年级下册期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省泰安市高一下学期期末数学试题

一、单选题

1.若复数z满足z（l+i）=l-2i（i为虚数单位），则Z在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z,再根据复数的几何意义判断即可.

【详解】因为z（l+i）=1—2i,

l-2i(l-2i)(l-i)l-j-2i+2i23.

所以z=—1

1+i-(l+i)(l-i)-22

则Z在复平面内对应的点为「位于第三象限.

故选：C

2.已知尸(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,则P(AB)=()

A.0.5B.0.6C.0.8D.1

【答案】B

【分析】依题意根据P（AB）=P（A）+P（B）-P（"）计算可得；

【详解】解：因为P（A）=0.5,P（B）=0.3,P（AB）=0.2

则P（AB）KP（A）P（8）,所以事件A与事件8不相互独立，

P（A|JB）=P（A）+P（8）-P（A8）=0.5+0.3-0.2=0.6.

故选：B

3.如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形A'B'C'D,已知

A'O'=B'<7=<7£=C£=zyE=7t,则该圆柱的体积为（）

A.2兀4B.2TT2C.TT4D.兀2

【答案】B

【分析】利用斜二测画法得到原图矩形ABC。中，4?=8。=2兀，从而求出圆柱的高，底面半径，

从而求出圆柱的体积.

【详解】由斜二测画法得，在原图矩形ABCQ中，AB=BC=2n,所以该圆柱的高为2兀，底面半径

为竺=1,故该圆柱的体积为兀*2兀=2/.

2兀

故选：B

4.已知〃?，〃是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若“?〃a,wua,则加〃〃B.若，〃〃“，mVa,则〃_La

C.若机_L",m//a,则〃〃aD.若mA.a,则，W〃/

【答案】B

【分析】根据空间线面位置关系依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，若机〃a,"ua,则加〃〃或异面，故A选项错误;

对于B选项，若〃?〃“，mA.a,则〃_La,故B选项正确；

对于C选项，若加_L”,m//a,则"〃a或"ua或相交，故C选项错误；

对于D选项，若a,夕,mla,则，"〃夕或mu/,故D选项错误；

故选：B

5.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，参

保险种比例定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.已知该保险公司

对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如上统计图例,

周岁以上

8%》54周岁100°0f-甲--1-仅-8-~-：-2-9-兀-3--0-~-4--1---4-2--~-5--3--5-4-----

参保人数比例7000-不---同---年---龄---段---人---均--参---保---费---用----

2000----------------------------------

6000------------

5000---------------------------------

B43000-~--------------------------------------------------

A.18~29周岁人群参保总费用最少

B.30周岁以下的参保人群约占参保人群的20%

C.54周岁以上的参保人数最少

D.丁险种更受参保人青睐

【答案】A

【分析】根据统计图表一一分析即可.

【详解】对于选项A,由扇形统计图及折线图可知，8%x6000<20%x4000,

故不小于54周岁人群参保总费用最少，故A错误：

对于选项B,由扇形统计图可知，30周岁以下参保人群约占参保人群的20%,故B正确；

对于选项C,由扇形统计图可知，54周岁以上的参保人数约占8%,人数最小，故C正确；

对于选项D,由柱状图可知，丁险种更受参保人青睐，故D正确；

故选：A.

6.抛掷一枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2"，乙表示事件“两次

骰子正面向上的数字之和是5"，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7"，则（）

A.甲乙互斥B.乙丙互为对立C.甲乙相互独立D.甲丙相互独立

【答案】D

【分析】先根据古典概型的概率公式分别求出三个事件的概率，再利用互斥事件、对立事件以及事

件的独立性定义P（AB）=P（A）P（8）判断各选项的正误即可.

【详解】由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种，

甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”包含的基本事件有：

（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6），则[=三='；

366

乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”包含的基本事件有：

（1,4）,（2,3卜（3,2）,（4,1）,则

丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是T'包含的基本事件有：

（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）,则〃=三=，；

366

对于A,甲乙有可能同时发生不是互斥事件，A错误；

对于B,除了乙丙以外还有其他事件发生不是对立事件，B错误；

对于C,甲乙同时发生的概率为£=上4[8,C错误；

对于D,甲丙同时发生的概率为G=』=D正确.

36

故选：D.

7.已知14=1,6=（1,6），aV（a+b）,则向量a在向量6上的投影向量为（）

【答案】D

【分析】先算W，再求与向量人同向的单位向量和a在匕上的投影，然后由投影向量定义可得.

【详解】由题知币=2,与向量同向的单位向量为'=（；，¥）

因为a_L（a+6）,所以+=l+2cos〈a,力=0,得cos〈a,6〉=-g

所以向量a在向量6上的投影为cos〈n,匕〉=-g,

所以向量a在向量6上的投影向量为-另,亭=（-*%

故选：D

8.己知正四面体ABC。的体积为2面，E为棱AB的中点，球。为该正四面体的外接球，则过点E

的平面被球。所截得的截面面积的最小值为（）

99

A.一兀B.3冗C.4兀D.一汽

42

【答案】B

【分析】根据题意，根据正四面体的体积求出棱长和正方体的边长，再利用正方体的体对角线等于

外接球的直径，即可求出球的半径R,当过点E的截面到球心。的距离最大为d=好时，截面圆的

2

面积达最小值，最后利用球的截面的性质求出截面圆的半径，即可求出截面圆的面积最小值.

【详解】如图所示，球。为正四面体ABCD的外接球，即为正方体的外接球，

正四面体ABC。的体积为26，

设正四面体ABC£＞的棱长为及”，则正方体的棱长为〃，

所以a3-4xgx；xa2xa=26，解得”卡，

设正四面体ABCO的外接球的半径为R,则（2R『=（指『+（指『+（指『，

基底R=迪，

2

因为E为棱A8的中点，过点E作其外接球的截面，

当截面到球心。的距离最大值时，截面圆的面积达最小值，

此时球心。到截面距离等于正方体棱长的一半，即4=迈，

2

22

可得截面圆的半径为：r—\lR2—d2==5/3>

所以截面圆的面积最小值为：S=7cr2=(V3)271=371.

故选：B.

二、多选题

9.设复数z='-3i,则下列说法正确的是()

22

A.5的虚部是正i

2

B.z+z=\z\

C.复平面内z和彳分别对应的两点之间的距离为1

D.z2+z=0

【答案】BD

【分析】对于A,根据复数虚部的定义判断，对于B,通过计算判断，对于C,利用两点间的距离

公式分析判断，对于D,通过计算判断.

【详解】对于A,由z」-且i,得［△+无i,所以I的虚部为无，所以A错误，

22222

对于B,因为z+5=1-乎i+；+与i=1,|z|=J(gj+=1，所以z+2=|z|,所以B

正确，

对于C,因为平面内z和，分别对应的点分别为；

所以这两个点间的距离为5所以C错误,

g工cmm。—f1v3.15/3,1v3.3.91.八匕匚［、［p*

对于D,因为z~+z=------1+—+—1=------i+-r+-+-1=0,所以D正确,

222242422

故选：BD

10.已知函数/（x）=Asin（2x+e）（A>0,0<e<2的最大值为3,且/（x）的图象关于直线x=2对称,

6

则下列说法正确的是（）

A.函数“X）的最小正周期为2兀

C.函数的图象关于点,嗫对称D.函数/（X）在苦上单调递减

【答案】BCD

【分析】根据函数的性质求出A、夕，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.

【详解】因为/（x）=Asin（2x+e）（A>0,0<i<7t）的最大值为3,所以A=3,

又f（x）的图象关于直线x=£对称，所以2XF+/=W+M，keZ,所以夕=1+E,keZ,

6626

因为0<。<兀，所以夕=*所以〃x）=3sin（2x+ej,则函数/（x）的最小正周期

T=—=n故A

62

错误;

所以小）关于（若,（））寸称，故C正确;

.7T71_7t兀7兀__.,一兀3兀.K,、E、乂、I、

当xw—,则,因为ty=sinx在—上单调递减,

OZo2o22

7E7T

所以函数“X）在上单调递减，故D正确;

故选：BCD

11.已知点尸是“IfiC所在平面内一点，S.AP=2xAB+yAC,x,yeR,则下列说法正确的是（）

A.若x=y=g,则点尸是边8C的中点

B.若点尸是边8C上靠近8点的三等分点，则》=、=；

C.若2x+y=2,则PBC与ABC的面积相等

D.若点尸在BC边的中线上，且2x+y=；,则点P是的重心

【答案】BC

【分析】根据平面向量线性法则及共线定理判断即可.

【详解】对于A：当x=y=:，则AP=AB+；AC,

11

即AP—AB=]AC,即8P=54C,所以BP〃AC，故A错误；

对于B：若点P是边BC上靠近8点的三等分点，所以=

I101

所以AP=AB+BP=AB+；BC=AB+§（AC-AB）=§AB+§AC,

又AP=2xAB+yAC,且4B、AC不共线，所以'='=；，故B正确；

对于C：若2x+y=2,则y=2-2x,

所以”=2xAB+yAC=2xAB+（2-2x）AC,

如图延长AB到点。使得48=砒>,延长AC到点E使得AC=CE,则A£>=2A8，AE=2AC，

所以AP=xA£>+（l—x）A£,所以。、P、£三点共线，

又BC为三角形ADE的中位线，所以A、尸到BC的距离相等，所以故C正确;

对于D：取BC的中点M,所以AM

22

又点尸在BC边的中线上，设AP=/UM，

2111

又4P=2xAB+yAC,所以，,又2x+y=5,所以4=弓，即

2x=-/l222

2

此时P为4W的中点，则点P不是,43。的重心，故D错误;

故选：BC

12.如图，在直三棱柱4BC-AB©中，已知“ACB=90o,AC=BC=CG=2,E为Bg的中点，过

AE的截面与棱8B-AG分别交于点F,G,则下列说法正确的是()

A.三棱锥A-AEF的体积为定值

B.线段CQ长度的取值范围是[()，

C.当点厂与点8重合时，四棱锥C-AEEG的体积为2

D.存在点尸，使得AFL4E

【答案】AC

【分析】延长FE交CG延长线于H,连接A”AG=G,过点E作交A内于点M,根

据匕一语=%.A"及锥体的体积判断A：用B}F长表示CQ长并求出范围判断B；利用割补法求出体

积判断c；取44上靠近点片的四等分点M,依题意只要4尸，AM即可，推出矛盾，

即可判断D.

【详解】在直三棱柱ABC-ABC中，ZACB=90°,AC=BC=CC]=2,E为B©的中点,有

AB=2e，

延长所交CG延长线于〃，连接A"4G=G,如图1,令用尸=xw[0,2],

于是弟=tan///EG=tan/PE4=桨，即"G=x，由GG//4C,得弟=怒，即

QEB]EACHCx+2

图1

对于A,因为E为BG的中点，△A4G为等腰直角三角形，

过点E作EM，A片交A4于点用，则EM=也=也，

22

又直三棱柱A8C-A46中，平面AAG，平面AA4B,且平面AMGC平面44^8=46，

EMu平面A4G，所以EWJ■平面AA百8,

又四边形44,48为矩形，F在B田上，所以S.F=gM?A4g仓必2及=2&

11B)

所以匕…“=匕A"=-EM-S,...故A正确;

/>l~Aizr—3/Vl(r3=2-X—,X23>/2=-,

对于B'显然00=生考=2-+在3。,2］上单调递增,所以04GGG,故B错误;

对于C,当点尸与点8重合时，如图，x=2,C,G=1,CH=4,

四棱锥C-AFEG即C—ABEG的体积：

VC-ABKG=VE-ACB+^E-ACG=S枷,网+gS八“-EQ

=1x|x2x2x2+^xlx2x2xl=2,故C正确；

对于D：取AA上靠近点片的四等分点M,又A可知40即AE在平面A8BM内的射影,

要使A/J.AE,只要A/J.4M即可,

若4FJ.AM,设AEAM=/,则/马加+/4幽/=90。，又ZA1AM+NAM/=90。，

A.MB.F

所以NB41M=NAAM,所以.44^644/7,得笠=表，则用尸=3,

所以不存在点〃，使得AFLAE,故D错误；

5,

F

B

故选：AC

三、填空题

13.2022年2月20日晚，备受瞩目的第24届冬季奥运会在北京圆满落幕.这是一场疫情肆虐下的

体育盛会，是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会，是一场充分体现中华民族文化自信的盛会.筹

备期间，某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出

24名志愿者参与冬奥会的志愿服务工作.已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50,40,30,则

按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派人.

【答案】10

［分析］根据分层抽样按比例抽取计算即可

50

【详解】由题意，在大一青年志愿者中应选派24x=10人

50+40+30

故答案为：10

14.已知。是第三象限角，且则tan2,的值是.

10

3

【答案】--/-0.75

4

【分析】根据同角三角函数关系式求得tan。的值，再根据正切二倍角公式求得tan26的值.

【详解】因为。是第三象限角，且cos9=-辿，

10

所以sine=—Jl—cos2e=—±®,则tane=^=3,

10cos。

2tan，2x33

所以tan20=

1-tan201-324

、.3

故答案为：

15.如图，为了测量河对岸的塔高A3,选取与塔底8在同一水平面内的两个观测点C和D,测得

ZBCD=75°,NBDC=45。,8=20月m,并在C处测得塔顶A的仰角为30°,则塔高AB=m.

A

【答案】苧

【分析】先在△88中，利用正弦定理求出8C,然后利用锐角三角函数可求出AB.

【详解】在△BCD中，ABCD=75°,ZBDC=45°,

则ZDBC=180°-ZBCD-ABDC=]80°-75°-45°=60°，

CDBC

由正弦定理得

sinZDBCsinZB£>C

所以CDsinNBDC=BCsinZDBC,

所以206sin45°=BC-sin60°,得BC=20正，

AH

在RtZXABC中，ZAO5=3()。，tanZACB=——，

BC

所以A8=8CtanNAC8=20夜tan30°=20夜x^=生四,

33

所以塔高=

3

故答案为：生反

3

16.在锐角MC中，已知A=30。,AC=2,则B48C的取值范围为.

【答案】（og

【分析】利用正弦定理得到a=—二2sinCEI…n2sinCeosB

MT'则明.吟"ccos八再转化为关

sinD

于8的三角形函数，由三角形为锐角三角形求出8的取值范围，结合二次函数的性质计算可得.

【详解】由正弦定理1=3=，;;，即2

sinAsin3sinesin30°sinBsinC'

所以.焉2sinC

sinB

2sinCeosB

所以&VBC=accosB=

sin2^

2sinf+BjcosB

sin2B

2sin71cosB+cos71sinBcos8

I66J

sin2B

cos28+6sin8cos8

sin"

1+5anB173

----；....----7--1-----'

tan-Btan-BtanB

0<B<-

:,解得9<8<弓,

因为AfiC为锐角三角形，所以

0<C=--B<-32

62

所以tan8>G,贝ij0<―-—<—，

tanB3

令，=—二，则0<l<且，〃(1)=/+△te0,y,显然咐在（。书上单调递增,

tan33

且〃⑼=0,〃图三，所以

gp_!_JLefo^Y

tan-B+tanBx3）

所以B48C的取值范围为

故答案为：（。1）

四、解答题

17.在锐角，ABC中，内角4,6,C的对边分别为向量加=（2/?,G）,zi=（c,sinC）,且加〃

⑴求B；

⑵若M为A3中点，。=3,..ABC的面积为基，求CM的长.

2

【答案】（呜

⑵S

【分析】（1）由向量共线的坐标表示得到2AinC=百C,再由正弦定理将边化角，即可得解;

（2）由面积公式求出c,即可得到BM=1，再由余弦定理计算可得.

【详解】（1）因为向量丽=（次君）,n=（c,sinC）,且加〃”，

所以2加inC="c,由正弦定理可得2sin8sinC=£sinC,因为sinC>(),

所以sinB=乎，又B《O，S，所以8g

(2)因为“1BC的面积为迈，所以,acsinB=£l,

222

又84,“=3,所以c=2,

所以BM=1，在.BCMrhCM2=BC2+BM2-2BM-BCcosB

=32+l2-2x3xlxl=7,

2

所以CM=47.

18.如图，A£_L平面ABC。，AD//BC,AD1AB,AB=AD=1,AE=BC=2,F为CE中点.

(1)求证：OF〃平面E4B；

⑵求点C到平面BDE的距离.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)取8E的中点G,连接AG、FG,即可得到四边形AOFG为平行四边形，从而得到

AG//FD,即可得证；

(2)利用等体积法求出点到平面的距离.

【详解】(1)取BE的中点G,连接AG、FG,因为尸为CE中点，

所以Gf7/BC且GF=1BC,又ADIIBC,AD=\,BC=2,

2

即AD//BCS.AD=-BC,

所以A0〃GF且40=GF,

所以四边形ADFG为平行四边形，

所以AG〃尸。，

又AGu平面E43,。尸a平面E48,所以DF〃平面E48.

(2)因为AD//BC,所以A328C,

所以Svs8=gx2xl=l,

1?

又平面ABC。，所以匕ia>=§x2xl=],

因为AD_ZAB,AD=AB=\,所以8£)=J4b+4笈=0,

由A£_L平面ABC©,AB,ADu平面ABC£>,所以AEJ_A3,AE±AD,

又£4=2,AD=AB=\,

所以EB=ED=j22+f=石，

所以Spa=；x&xJ(逐)一号=|>

V\z/

132

设点C到平面身处的距离为人则%一皿=匕58=§X”=§'

解得力=14

19.某城市正在进行创建文明城市的活动，为了解居民对活动的满意程度，相关部门从甲，乙两个

社区各抽取了20人进行打分(分数为正整数，满分100分).

甲社区20名居民的打分记录如下：

52,56,59,63,64,70,71,73,75,75,80,80,81,82,85,86,88,89,93,95.

将乙社区20名居民的打分分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，并画出了其频率分布

直方图

',频率

0.030------------------——

0.025-------------——I

0.020---------——

0.015----------------------------

0.010————

0.005-

。〜7080勃11）0乙在区居民打分

⑴根据以上数据，求甲社区20名居民打分的第75百分位数；

（2）估计乙社区20名居民打分的平均分（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；

（3）现从甲，乙两社区打分不低于90分的居民中，任选2人，求2人不在同一社区的概率.

【答案】⑴85.5

(2)77

⑶]

【分析】（1）根据百分位数计算规则计算可得；

（2）根据频率分布直方图中平均数公式计算可得；

（3）利用列举法及古典概型的概率公式计算可得.

【详解】（1）因为20x75%=15,

所以这20个数据的第75百分位数是从小到大排列的第15和第16个数的平均数，即笠皆=85.5,

即甲社区20名居民打分的第75百分位数为855

（2）由频率分布直方图可知，乙社区20名居民打分的平均分为：

55x0.1+65x0.2+75x0.25+85x0.3+95x0.15=77.

（3）甲社区打分不低于90分的有2人记作A、B,

乙社区打分不低于90分的有0.015x10x20=3人，记作〃、b>c,

从中任选2人的可能结果有AB、Aa、Ab>Ac、BaBb、Be、ab>、be共10个基本事件,

其中满足2人不在同一社区的有A.、Ab.Ac、Ba、Bb、反共6个基本事件，

所以2人不在同一社区的概率P=K=|.

20.已知向量a=（Gsi吟,1）,b=^cos-1,cos2-1^,设=

⑴若〃a）=],求cos（1-a]的值；

(2)将函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标不变，再向右平移刍个单位长度,

得到函数y=g(x)的图象，若函数y=g(x)-2在0,幼上有零点，求实数k的取值范围.

【答案】⑴:

O

3

(2)IO,-J

7

【分析】(1)根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得“X)的表达式，结合/(&)=：可得

sin(a+E)=\,利用诱导公式化简求值，即得答案.

(2)根据三角函数图像的变换规律可得y=g(x)的表达式，结合x的范围求得y=g(x)的值域，即

可求得答案.

【详解】(1)由题意得〃x)=a/=6sin5cos5+cos25

5/3.1+cosx.(兀)1

=——sinx+------=smx+—+一,

22V6j2

由=<sinla+-l+-=y,gpsinl«+-!=-,

(2)由题意得g(x)=sin[2(x-g)+刍+2=sin卜+:,

662\6/2

八5,,_兀n2

因为xw0,—7C,故2%一工£一工二兀，

_12Joo3

所以sin(2x-聿)e,故g(x)€[0,6，

故函数y=g(x)d在o.-n上有零点时，实数出的取值范围为[0,才.

21.甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分,

积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜：若第四局结

束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平.假设在每局比赛中，甲胜的概率为

负的概率为g,且每局比赛之间的胜负相互独立.

(1)求第三局结束时甲获胜的概率；

⑵求乙最终以2分获胜的概率.

【答案】⑴I

小、35

(2)---

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【分析】（1）对甲来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜），根据独立事件的乘法公

式即可求解.

（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.

【详解】（1）设事件A为“第三局结束甲获胜”，

由题意知，甲每局获胜的概率为不获胜的概率为g.

若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）.

—X—X—+—X—X—=—.

—2222224

（2）由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为：，平的概率为=负的概率为g,

设事件8为“乙最终以2分获胜

若第二局结束乙获胜，则乙两局连胜，此时的概率=

若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）.

此时的概12率1+211=三4.

33333327

若第四局结束乙以2分获胜，则乙第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9

种情况:

（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），

（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负,胜，胜），（负，平，胜，

胜）.

此时的概率P、=—x—x—x—x3H—x—x—x—x6=---

336633623108

14735

故P（B）=<+H+E=-+—+—=—.

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