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文档简介
2022-2023学年山东省泰安市高一下学期期末数学试题
一、单选题
1.若复数z满足z(l+i)=l-2i(i为虚数单位),则Z在复平面内对应的点在()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z,再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为z(l+i)=1—2i,
l-2i(l-2i)(l-i)l-j-2i+2i23.
所以z=—1
1+i-(l+i)(l-i)-22
则Z在复平面内对应的点为「位于第三象限.
故选:C
2.已知尸(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,则P(AB)=()
A.0.5B.0.6C.0.8D.1
【答案】B
【分析】依题意根据P(AB)=P(A)+P(B)-P(")计算可得;
【详解】解:因为P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2
则P(AB)KP(A)P(8),所以事件A与事件8不相互独立,
P(A|JB)=P(A)+P(8)-P(A8)=0.5+0.3-0.2=0.6.
故选:B
3.如图,某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形A'B'C'D,已知
A'O'=B'<7=<7£=C£=zyE=7t,则该圆柱的体积为()
A.2兀4B.2TT2C.TT4D.兀2
【答案】B
【分析】利用斜二测画法得到原图矩形ABC。中,4?=8。=2兀,从而求出圆柱的高,底面半径,
从而求出圆柱的体积.
【详解】由斜二测画法得,在原图矩形ABCQ中,AB=BC=2n,所以该圆柱的高为2兀,底面半径
为竺=1,故该圆柱的体积为兀*2兀=2/.
2兀
故选:B
4.已知〃?,〃是两条不同的直线,a,£是两个不同的平面,下列说法正确的是()
A.若“?〃a,wua,则加〃〃B.若,〃〃“,mVa,则〃_La
C.若机_L",m//a,则〃〃aD.若mA.a,则,W〃/
【答案】B
【分析】根据空间线面位置关系依次分析各选项即可得答案.
【详解】解:对于A选项,若机〃a,"ua,则加〃〃或异面,故A选项错误;
对于B选项,若〃?〃“,mA.a,则〃_La,故B选项正确;
对于C选项,若加_L”,m//a,则"〃a或"ua或相交,故C选项错误;
对于D选项,若a,夕,mla,则,"〃夕或mu/,故D选项错误;
故选:B
5.某保险公司为客户定制了5个险种:甲,一年期短险;乙,两全保险;丙,理财类保险;丁,参
保险种比例定期寿险;戊,重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.已知该保险公司
对5个险种的参保客户进行抽样调查,得出如上统计图例,
周岁以上
8%》54周岁100°0f-甲--1-仅-8-~-:-2-9-兀-3--0-~-4--1---4-2--~-5--3--5-4-----
参保人数比例7000-不---同---年---龄---段---人---均--参---保---费---用----
2000----------------------------------
6000------------
5000---------------------------------
B43000-~--------------------------------------------------
A.18~29周岁人群参保总费用最少
B.30周岁以下的参保人群约占参保人群的20%
C.54周岁以上的参保人数最少
D.丁险种更受参保人青睐
【答案】A
【分析】根据统计图表一一分析即可.
【详解】对于选项A,由扇形统计图及折线图可知,8%x6000<20%x4000,
故不小于54周岁人群参保总费用最少,故A错误:
对于选项B,由扇形统计图可知,30周岁以下参保人群约占参保人群的20%,故B正确;
对于选项C,由扇形统计图可知,54周岁以上的参保人数约占8%,人数最小,故C正确;
对于选项D,由柱状图可知,丁险种更受参保人青睐,故D正确;
故选:A.
6.抛掷一枚质地均匀的骰子2次,甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2",乙表示事件“两次
骰子正面向上的数字之和是5",丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7",则()
A.甲乙互斥B.乙丙互为对立C.甲乙相互独立D.甲丙相互独立
【答案】D
【分析】先根据古典概型的概率公式分别求出三个事件的概率,再利用互斥事件、对立事件以及事
件的独立性定义P(AB)=P(A)P(8)判断各选项的正误即可.
【详解】由题意可知,先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种,
甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”包含的基本事件有:
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),则[=三=';
366
乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”包含的基本事件有:
(1,4),(2,3卜(3,2),(4,1),则
丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是T'包含的基本事件有:
(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),则〃=三=,;
366
对于A,甲乙有可能同时发生不是互斥事件,A错误;
对于B,除了乙丙以外还有其他事件发生不是对立事件,B错误;
对于C,甲乙同时发生的概率为£=上4[8,C错误;
对于D,甲丙同时发生的概率为G=』=D正确.
36
故选:D.
7.已知14=1,6=(1,6),aV(a+b),则向量a在向量6上的投影向量为()
【答案】D
【分析】先算W,再求与向量人同向的单位向量和a在匕上的投影,然后由投影向量定义可得.
【详解】由题知币=2,与向量同向的单位向量为'=(;,¥)
因为a_L(a+6),所以+=l+2cos〈a,力=0,得cos〈a,6〉=-g
所以向量a在向量6上的投影为cos〈n,匕〉=-g,
所以向量a在向量6上的投影向量为-另,亭=(-*%
故选:D
8.己知正四面体ABC。的体积为2面,E为棱AB的中点,球。为该正四面体的外接球,则过点E
的平面被球。所截得的截面面积的最小值为()
99
A.一兀B.3冗C.4兀D.一汽
42
【答案】B
【分析】根据题意,根据正四面体的体积求出棱长和正方体的边长,再利用正方体的体对角线等于
外接球的直径,即可求出球的半径R,当过点E的截面到球心。的距离最大为d=好时,截面圆的
2
面积达最小值,最后利用球的截面的性质求出截面圆的半径,即可求出截面圆的面积最小值.
【详解】如图所示,球。为正四面体ABCD的外接球,即为正方体的外接球,
正四面体ABC。的体积为26,
设正四面体ABC£>的棱长为及”,则正方体的棱长为〃,
所以a3-4xgx;xa2xa=26,解得”卡,
设正四面体ABCO的外接球的半径为R,则(2R『=(指『+(指『+(指『,
基底R=迪,
2
因为E为棱A8的中点,过点E作其外接球的截面,
当截面到球心。的距离最大值时,截面圆的面积达最小值,
此时球心。到截面距离等于正方体棱长的一半,即4=迈,
2
22
可得截面圆的半径为:r—\lR2—d2==5/3>
所以截面圆的面积最小值为:S=7cr2=(V3)271=371.
故选:B.
二、多选题
9.设复数z='-3i,则下列说法正确的是()
22
A.5的虚部是正i
2
B.z+z=\z\
C.复平面内z和彳分别对应的两点之间的距离为1
D.z2+z=0
【答案】BD
【分析】对于A,根据复数虚部的定义判断,对于B,通过计算判断,对于C,利用两点间的距离
公式分析判断,对于D,通过计算判断.
【详解】对于A,由z」-且i,得[△+无i,所以I的虚部为无,所以A错误,
22222
对于B,因为z+5=1-乎i+;+与i=1,|z|=J(gj+=1,所以z+2=|z|,所以B
正确,
对于C,因为平面内z和,分别对应的点分别为;
所以这两个点间的距离为5所以C错误,
g工cmm。—f1v3.15/3,1v3.3.91.八匕匚[、[p*
对于D,因为z~+z=------1+—+—1=------i+-r+-+-1=0,所以D正确,
222242422
故选:BD
10.已知函数/(x)=Asin(2x+e)(A>0,0<e<2的最大值为3,且/(x)的图象关于直线x=2对称,
6
则下列说法正确的是()
A.函数“X)的最小正周期为2兀
C.函数的图象关于点,嗫对称D.函数/(X)在苦上单调递减
【答案】BCD
【分析】根据函数的性质求出A、夕,即可得到函数解析式,再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为/(x)=Asin(2x+e)(A>0,0<i<7t)的最大值为3,所以A=3,
又f(x)的图象关于直线x=£对称,所以2XF+/=W+M,keZ,所以夕=1+E,keZ,
6626
因为0<。<兀,所以夕=*所以〃x)=3sin(2x+ej,则函数/(x)的最小正周期
T=—=n故A
62
错误;
所以小)关于(若,())寸称,故C正确;
.7T71_7t兀7兀__.,一兀3兀.K,、E、乂、I、
当xw—,则,因为ty=sinx在—上单调递减,
OZo2o22
7E7T
所以函数“X)在上单调递减,故D正确;
故选:BCD
11.已知点尸是“IfiC所在平面内一点,S.AP=2xAB+yAC,x,yeR,则下列说法正确的是()
A.若x=y=g,则点尸是边8C的中点
B.若点尸是边8C上靠近8点的三等分点,则》=、=;
C.若2x+y=2,则PBC与ABC的面积相等
D.若点尸在BC边的中线上,且2x+y=;,则点P是的重心
【答案】BC
【分析】根据平面向量线性法则及共线定理判断即可.
【详解】对于A:当x=y=:,则AP=AB+;AC,
11
即AP—AB=]AC,即8P=54C,所以BP〃AC,故A错误;
对于B:若点P是边BC上靠近8点的三等分点,所以=
I101
所以AP=AB+BP=AB+;BC=AB+§(AC-AB)=§AB+§AC,
又AP=2xAB+yAC,且4B、AC不共线,所以'='=;,故B正确;
对于C:若2x+y=2,则y=2-2x,
所以”=2xAB+yAC=2xAB+(2-2x)AC,
如图延长AB到点。使得48=砒>,延长AC到点E使得AC=CE,则A£>=2A8,AE=2AC,
所以AP=xA£>+(l—x)A£,所以。、P、£三点共线,
又BC为三角形ADE的中位线,所以A、尸到BC的距离相等,所以故C正确;
对于D:取BC的中点M,所以AM
22
又点尸在BC边的中线上,设AP=/UM,
2111
又4P=2xAB+yAC,所以,,又2x+y=5,所以4=弓,即
2x=-/l222
2
此时P为4W的中点,则点P不是,43。的重心,故D错误;
故选:BC
12.如图,在直三棱柱4BC-AB©中,已知“ACB=90o,AC=BC=CG=2,E为Bg的中点,过
AE的截面与棱8B-AG分别交于点F,G,则下列说法正确的是()
A.三棱锥A-AEF的体积为定值
B.线段CQ长度的取值范围是[(),
C.当点厂与点8重合时,四棱锥C-AEEG的体积为2
D.存在点尸,使得AFL4E
【答案】AC
【分析】延长FE交CG延长线于H,连接A”AG=G,过点E作交A内于点M,根
据匕一语=%.A"及锥体的体积判断A:用B}F长表示CQ长并求出范围判断B;利用割补法求出体
积判断c;取44上靠近点片的四等分点M,依题意只要4尸,AM即可,推出矛盾,
即可判断D.
【详解】在直三棱柱ABC-ABC中,ZACB=90°,AC=BC=CC]=2,E为B©的中点,有
AB=2e,
延长所交CG延长线于〃,连接A"4G=G,如图1,令用尸=xw[0,2],
于是弟=tan///EG=tan/PE4=桨,即"G=x,由GG//4C,得弟=怒,即
QEB]EACHCx+2
图1
对于A,因为E为BG的中点,△A4G为等腰直角三角形,
过点E作EM,A片交A4于点用,则EM=也=也,
22
又直三棱柱A8C-A46中,平面AAG,平面AA4B,且平面AMGC平面44^8=46,
EMu平面A4G,所以EWJ■平面AA百8,
又四边形44,48为矩形,F在B田上,所以S.F=gM?A4g仓必2及=2&
11B)
所以匕…“=匕A"=-EM-S,...故A正确;
/>l~Aizr—3/Vl(r3=2-X—,X23>/2=-,
对于B'显然00=生考=2-+在3。,2]上单调递增,所以04GGG,故B错误;
对于C,当点尸与点8重合时,如图,x=2,C,G=1,CH=4,
四棱锥C-AFEG即C—ABEG的体积:
VC-ABKG=VE-ACB+^E-ACG=S枷,网+gS八“-EQ
=1x|x2x2x2+^xlx2x2xl=2,故C正确;
对于D:取AA上靠近点片的四等分点M,又A可知40即AE在平面A8BM内的射影,
要使A/J.AE,只要A/J.4M即可,
若4FJ.AM,设AEAM=/,则/马加+/4幽/=90。,又ZA1AM+NAM/=90。,
A.MB.F
所以NB41M=NAAM,所以.44^644/7,得笠=表,则用尸=3,
所以不存在点〃,使得AFLAE,故D错误;
5,
F
B
故选:AC
三、填空题
13.2022年2月20日晚,备受瞩目的第24届冬季奥运会在北京圆满落幕.这是一场疫情肆虐下的
体育盛会,是一场团结、友谊、奋进、拼搏的盛会,是一场充分体现中华民族文化自信的盛会.筹
备期间,某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请,计划从大一至大三青年志愿者中选出
24名志愿者参与冬奥会的志愿服务工作.已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50,40,30,则
按分层抽样的方法,在大一青年志愿者中应选派人.
【答案】10
[分析]根据分层抽样按比例抽取计算即可
50
【详解】由题意,在大一青年志愿者中应选派24x=10人
50+40+30
故答案为:10
14.已知。是第三象限角,且则tan2,的值是.
10
3
【答案】--/-0.75
4
【分析】根据同角三角函数关系式求得tan。的值,再根据正切二倍角公式求得tan26的值.
【详解】因为。是第三象限角,且cos9=-辿,
10
所以sine=—Jl—cos2e=—±®,则tane=^=3,
10cos。
2tan,2x33
所以tan20=
1-tan201-324
、.3
故答案为:
15.如图,为了测量河对岸的塔高A3,选取与塔底8在同一水平面内的两个观测点C和D,测得
ZBCD=75°,NBDC=45。,8=20月m,并在C处测得塔顶A的仰角为30°,则塔高AB=m.
A
【答案】苧
【分析】先在△88中,利用正弦定理求出8C,然后利用锐角三角函数可求出AB.
【详解】在△BCD中,ABCD=75°,ZBDC=45°,
则ZDBC=180°-ZBCD-ABDC=]80°-75°-45°=60°,
CDBC
由正弦定理得
sinZDBCsinZB£>C
所以CDsinNBDC=BCsinZDBC,
所以206sin45°=BC-sin60°,得BC=20正,
AH
在RtZXABC中,ZAO5=3()。,tanZACB=——,
BC
所以A8=8CtanNAC8=20夜tan30°=20夜x^=生四,
33
所以塔高=
3
故答案为:生反
3
16.在锐角MC中,已知A=30。,AC=2,则B48C的取值范围为.
【答案】(og
【分析】利用正弦定理得到a=—二2sinCEI…n2sinCeosB
MT'则明.吟"ccos八再转化为关
sinD
于8的三角形函数,由三角形为锐角三角形求出8的取值范围,结合二次函数的性质计算可得.
【详解】由正弦定理1=3=,;;,即2
sinAsin3sinesin30°sinBsinC'
所以.焉2sinC
sinB
2sinCeosB
所以&VBC=accosB=
sin2^
2sinf+BjcosB
sin2B
2sin71cosB+cos71sinBcos8
I66J
sin2B
cos28+6sin8cos8
sin"
1+5anB173
----;....----7--1-----'
tan-Btan-BtanB
0<B<-
:,解得9<8<弓,
因为AfiC为锐角三角形,所以
0<C=--B<-32
62
所以tan8>G,贝ij0<―-—<—,
tanB3
令,=—二,则0<l<且,〃(1)=/+△te0,y,显然咐在(。书上单调递增,
tan33
且〃⑼=0,〃图三,所以
gp_!_JLefo^Y
tan-B+tanBx3)
所以B48C的取值范围为
故答案为:(。1)
四、解答题
17.在锐角,ABC中,内角4,6,C的对边分别为向量加=(2/?,G),zi=(c,sinC),且加〃
⑴求B;
⑵若M为A3中点,。=3,..ABC的面积为基,求CM的长.
2
【答案】(呜
⑵S
【分析】(1)由向量共线的坐标表示得到2AinC=百C,再由正弦定理将边化角,即可得解;
(2)由面积公式求出c,即可得到BM=1,再由余弦定理计算可得.
【详解】(1)因为向量丽=(次君),n=(c,sinC),且加〃”,
所以2加inC="c,由正弦定理可得2sin8sinC=£sinC,因为sinC>(),
所以sinB=乎,又B《O,S,所以8g
(2)因为“1BC的面积为迈,所以,acsinB=£l,
222
又84,“=3,所以c=2,
所以BM=1,在.BCMrhCM2=BC2+BM2-2BM-BCcosB
=32+l2-2x3xlxl=7,
2
所以CM=47.
18.如图,A£_L平面ABC。,AD//BC,AD1AB,AB=AD=1,AE=BC=2,F为CE中点.
(1)求证:OF〃平面E4B;
⑵求点C到平面BDE的距离.
【答案】(1)证明见解析
【分析】(1)取8E的中点G,连接AG、FG,即可得到四边形AOFG为平行四边形,从而得到
AG//FD,即可得证;
(2)利用等体积法求出点到平面的距离.
【详解】(1)取BE的中点G,连接AG、FG,因为尸为CE中点,
所以Gf7/BC且GF=1BC,又ADIIBC,AD=\,BC=2,
2
即AD//BCS.AD=-BC,
所以A0〃GF且40=GF,
所以四边形ADFG为平行四边形,
所以AG〃尸。,
又AGu平面E43,。尸a平面E48,所以DF〃平面E48.
(2)因为AD//BC,所以A328C,
所以Svs8=gx2xl=l,
1?
又平面ABC。,所以匕ia>=§x2xl=],
因为AD_ZAB,AD=AB=\,所以8£)=J4b+4笈=0,
由A£_L平面ABC©,AB,ADu平面ABC£>,所以AEJ_A3,AE±AD,
又£4=2,AD=AB=\,
所以EB=ED=j22+f=石,
所以Spa=;x&xJ(逐)一号=|>
V\z/
132
设点C到平面身处的距离为人则%一皿=匕58=§X”=§'
解得力=14
19.某城市正在进行创建文明城市的活动,为了解居民对活动的满意程度,相关部门从甲,乙两个
社区各抽取了20人进行打分(分数为正整数,满分100分).
甲社区20名居民的打分记录如下:
52,56,59,63,64,70,71,73,75,75,80,80,81,82,85,86,88,89,93,95.
将乙社区20名居民的打分分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,并画出了其频率分布
直方图
',频率
0.030------------------——
0.025-------------——I
0.020---------——
0.015----------------------------
0.010————
0.005-
。〜7080勃11)0乙在区居民打分
⑴根据以上数据,求甲社区20名居民打分的第75百分位数;
(2)估计乙社区20名居民打分的平均分(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替);
(3)现从甲,乙两社区打分不低于90分的居民中,任选2人,求2人不在同一社区的概率.
【答案】⑴85.5
(2)77
⑶]
【分析】(1)根据百分位数计算规则计算可得;
(2)根据频率分布直方图中平均数公式计算可得;
(3)利用列举法及古典概型的概率公式计算可得.
【详解】(1)因为20x75%=15,
所以这20个数据的第75百分位数是从小到大排列的第15和第16个数的平均数,即笠皆=85.5,
即甲社区20名居民打分的第75百分位数为855
(2)由频率分布直方图可知,乙社区20名居民打分的平均分为:
55x0.1+65x0.2+75x0.25+85x0.3+95x0.15=77.
(3)甲社区打分不低于90分的有2人记作A、B,
乙社区打分不低于90分的有0.015x10x20=3人,记作〃、b>c,
从中任选2人的可能结果有AB、Aa、Ab>Ac、BaBb、Be、ab>、be共10个基本事件,
其中满足2人不在同一社区的有A.、Ab.Ac、Ba、Bb、反共6个基本事件,
所以2人不在同一社区的概率P=K=|.
20.已知向量a=(Gsi吟,1),b=^cos-1,cos2-1^,设=
⑴若〃a)=],求cos(1-a]的值;
(2)将函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的;,纵坐标不变,再向右平移刍个单位长度,
得到函数y=g(x)的图象,若函数y=g(x)-2在0,幼上有零点,求实数k的取值范围.
【答案】⑴:
O
3
(2)IO,-J
7
【分析】(1)根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得“X)的表达式,结合/(&)=:可得
sin(a+E)=\,利用诱导公式化简求值,即得答案.
(2)根据三角函数图像的变换规律可得y=g(x)的表达式,结合x的范围求得y=g(x)的值域,即
可求得答案.
【详解】(1)由题意得〃x)=a/=6sin5cos5+cos25
5/3.1+cosx.(兀)1
=——sinx+------=smx+—+一,
22V6j2
由=<sinla+-l+-=y,gpsinl«+-!=-,
(2)由题意得g(x)=sin[2(x-g)+刍+2=sin卜+:,
662\6/2
八5,,_兀n2
因为xw0,—7C,故2%一工£一工二兀,
_12Joo3
所以sin(2x-聿)e,故g(x)€[0,6,
故函数y=g(x)d在o.-n上有零点时,实数出的取值范围为[0,才.
21.甲,乙两人进行游戏比赛,采取积分制,规则如下:每胜1局得1分,负1局或平局都不得分,
积分先达到2分者获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,则积分多的一方获胜:若第四局结
束,没有人积分达到2分,且积分相等,则比赛最终打平.假设在每局比赛中,甲胜的概率为
负的概率为g,且每局比赛之间的胜负相互独立.
(1)求第三局结束时甲获胜的概率;
⑵求乙最终以2分获胜的概率.
【答案】⑴I
小、35
(2)---
108
【分析】(1)对甲来说共有两种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜),根据独立事件的乘法公
式即可求解.
(2)以比赛结束时的场数进行分类,在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.
【详解】(1)设事件A为“第三局结束甲获胜”,
由题意知,甲每局获胜的概率为不获胜的概率为g.
若第三局结束甲获胜,则甲第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).
—X—X—+—X—X—=—.
—2222224
(2)由题知,每局比赛中,乙获胜的概率为:,平的概率为=负的概率为g,
设事件8为“乙最终以2分获胜
若第二局结束乙获胜,则乙两局连胜,此时的概率=
若第三局结束乙获胜,则乙第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).
此时的概12率1+211=三4.
33333327
若第四局结束乙以2分获胜,则乙第四局必定获胜,前三局为1胜2平或1胜1平1负,总共有9
种情况:
(胜,平,平,胜),(平,胜,平,胜),(平,平,胜,胜),(胜,平,负,胜),
(胜,负,平,胜),(平,胜,负,胜),(负,胜,平,胜),(平,负,胜,胜),(负,平,胜,
胜).
此时的概率P、=—x—x—x—x3H—x—x—x—x6=---
336633623108
14735
故P(B)=<+H+E=-+—+—=—.
'11
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