2023-2024学年广东省大湾区高一年级上册期末联考数学试题（含答案）

2023-2024学年广东省大湾区高一上册期末联考数学试题

一、单选题

1.集合A={O,1,2,4,8},3={0,1,2,3},将集合4B分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴

影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）

【正确答案】B

【分析】利用图象求得正确答案.

【详解】A8={0,1,2},

A选项，阴影部分表示{0,1,2},不符合题意.

B选项，阴影部分表示{4,8},符合题意.

C选项，阴影部分表示{3},不符合题意.

D选项，阴影部分表示{3,4,8},不符合题意.

故选：B

2.如果函数y=f（x）在3,切上的图象是连续不断的一条曲线，那么“F（办fS）＜0”是"函数

y=/（x）在（。㈤内有零点”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】由零点存在性定理得出“若/（。＞/（力＜0,则函数y=f&）在（。向内有零点”举反

例即可得出正确答案.

【详解】由零点存在性定理可知，若f（a＞FS）＜0,则函数y=f（x）在（“向内有零点

而若函数y=f（x）在3。内有零点,则若办了（力＜0不一定成立,比如/在区间

（-2,2）内有零点，但/（一内有零）＞0

所以“/⑷•/（〃）＜0”是“函数y="X）在（“向内有零点”的充分而不必要条件

故选：A

本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.

3.下列选项中与角c=-30°终边相同的角是（）

A.30B.240C.390D.330

【正确答案】D

【分析】写出与角〃=-30终边相同的角的集合，取%值得答案.

【详解】解：与角a=-30终边相同的角的集合为{斗=-30+-360,&ez},

取k=l时，2=-30+1x360=330.

故选：D

4.三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一.考古学家在测定遗址年代的过程

中，利用“生物死亡后体内碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14含量

随时间X（单位：年）变化的数学模型：y=奇（%表示碳14的初始量）.2020年

考古学家对三星堆古遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量

的68%,据此推测三星堆古遗址存在的时期距今大约是（）（参考数据：

log25»2.32,logJ7a4.09）

A.2796年B.3152年C.3952年D.4480年

【正确答案】B

X

【分析】设三星堆古遗址存在的时期距今大约是X年，由儿（丄］而=68%%求解.

【详解】设三星堆古遗址存在的时期距今大约是X年，

则为=68%%，即30=868，

X

所以$=l°gI°68=log,100-log?68=2(l+lg5)-(2+log217)=21g5-lgl7«0.55,解得

573()5

x«5730x0.55=3151.5,

所以推测三星堆古遗址存在的时期距今大约是3152年.

故选：B

5.若幕函数〃x)=x"的图象经过点(3,6),则a的值为()

A.2B.—2C.yD.——

【正确答案】C

【分析】由已知可得f(3)=G,即可求得a的值.

【详解】由已知可得/<3)=3[=6=3；，解得a=(

故选：C.

6.若关于x的方程(；『+〃-2=0有解，则实数a的取值范围是()

A.[0,1)B.[1,2)C.[1,+oo)D.(2,+oo)

【正确答案】B

【分析】等价于『有解，求出2-(；『的取值范围即得解.

【详解】解：(；J+a-2=0有解等价于0=2一(；’有解,

由于吋20,所以所以—14一(；,<0

所以<2,

则实数a的取值范围是U，2).

故选：B.

7.已知sin[-y+aj=g,则cosa=()

A-4B-?c--ID-i

【正确答案】C

【分析】运用诱导公式即可化简求值得解.

【详解】Vsinfy+a3

=-cosa=—,

5

5

故选：C.

8.小雨利用几何画板探究函数y=（图象，在他输入一组。力,c的值之后，得到了

如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（）

B.a<O,b>O,c=O

C.«>0,b=0,c=0D.a<0,h=0,c>0

【正确答案】B

【分析】从函数整体图象，发现部分图象有类似反比例函数，再从）'轴右侧图象，判断图象

虚线代表的意义，即可求解.

【详解】设虚线为x=（显然，加>0）,

由图中可知，当时，y>0,|x-c|>0,所以（:/0>0；

当x>加时，y<0,|x—c|>0,所以/。厶、<0,

可得（x-3在m的左右两侧时，符号是不同的,

即/?=机>0当x</?时，x-h<0,而y>0,

所以a<0显然另外一条分割线为x=0=c；

故选:B

二、多选题

9.对于实数4力,%下列命题中正确的有()

A.若。>分,则accbc

B.若"6<0,则/>ab

C.若c>a>/?>0,贝ij，—>—^―

c-ac-b

D.若丄》丄，则a>0力<0

ab

【正确答案】BCD

［分析】A利用c=0判断;B根据不等式性质判断;C利用作差法判断;D根据丄〉上得到用<0

ab

判断即可.

【详解】对于A,当c=0时,accAc不成立，所以A错误；

对于B,由。<〃<(),根据不等式的性质，则a?>a6,所以B正确;

对于C,因为c>a>6>0,贝所以一^——二二,«>。，即

c-ac-b(c-a)(c-b)

，一>丄7,所以C正确；

c-ac-b

对于D,因为“>九丄-，=号>0,所以必<(),故。>0力<0,所以D正确.

abab

故选:BCD.

10.对于函数〃x)=sin2x,下列选项中正确的有()

A.“X)在(：,9上单调递减

B.“X)的图象关于原点对称

C.“X)的最小正周期为2兀

D./⑺的最大值为2

【正确答案】AB

【分析】A.令f=2x,利用正弦函数的性质判断；B.利用奇函数的定义判断；C.利用正弦函

数的周期性判断；D；利用正弦函数的最值判断；

【详解】A.当时，因为y=sinr在fe仁单调递减，

所以/(x)=sin2x在(抬)单调递减，故选项A正确；

B.因为/(—x)=sin(—2x)=—sin2x=—/(x),所以/(尤)为奇函数，

所以/(x)的图象关于原点对称.故选项B正确；

2冗

C.代入周期公式得7=3=兀，故选项C错误；

D.xGR,/(x)=sin2x的最大值为1,故选项D错误.

故选：AB.

11.设a,。为两个正数，定义小b的算术平均数为A(a,b)=等，几何平均数为

G(afb)^4ab.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即

a+b，

L(a,b)='\'p}，其中p为有理数-下列结论正确的是()

“ap+bp

A.I^5{a,b)<L\a,b)B.4(a,〃)4G(a,〃)

C.£2(«,/?)<A(6T,Z?)D.L,l+l(a,b)<Ln(a,b)

【正确答案】AB

【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项.

\[a+4b,

【详解】对于A,、5(a，")=-j1=瓢4kg力)=等,当且仅当a=6时，等号成

忑*赤2

立，故A正确;

对于B,4(a,b)=匸、=力&詈^=寂=Gg,b),当且仅当时，等号成立，故B

ah

正确;

对于一"=等a2+b2+a2+b2a2+b2+lab("+»2

>­=A(a,h),当且

2(〃+Z?)2(〃+Z?)2(〃+b)

仅当a=A时，等号成立，故C不正确;

对于D,当〃=1时，由C可知，厶(“,力2等=£,3,6),故D不正确.

故选：AB

12.已知函数/(x)=f+ar+b,集合A={x"(x)WO},集合B=卜|/(〃x)),若

A=8H0,则实数”的值可以是()

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】CD

【分析】根据两集合相等可以确定人=3,则B集合中不等式可转化为

(x2+ax+h)(x2+ax+a+^<0,然后利用判别式法解不等式组即可求得答案.

4

【详解】由题意知：A={x\x2+ax+b<0],

由8=卜卜(/(初4皆知：

/(/(X))<^BP(x2+6/X4-Z7)2+a(x24-0X4-/?)+/?-^<0,(*)

由A=8w0可知：b=-且(*)为(Y+⑪+力(X2+t/x+6Z4--)<0

44

A.=/-4x—>0

14a2>5

此时须满足Z,解得«

2-l<a<5

A2=a-4la+-<0

故实数a的取值范围是1遍,5],因此a的取值可以是3,4.

故选：CD.

三、填空题

13.函数/(x)=Jl—x+lnx的定义域是.

【正确答案】(0』

【分析】由被开方数大于等于0与对数真数大于0即可得到结果.

【详解】要使函数有意义，则满足：{八，解得：0<x41

[x>0

所以函数"x)="^+lnx的定义域为(0』

故(0,1]

14.已知角口为第一象限角，其终边上一点P(x,y)满足21n(2x-y)=ln(d+y2),则

2cosa-sina=.

【正确答案】1

【分析】根据对数的运算及性质化简可得3x=4y,再由三角函数的定义求解即可.

【详解】由题意知，ln(2x-y>=ln*2+y2),

即(2x-y)~=x2+y2,x,y>0,

化简得3x=4y,

故1

15.函数y=(g『一8•(gJ+17的单调递增区间为.

【正确答案】［-2,+8)

【分析】利用换元法，结合复合函数单调性的关系进行转化求解即可.

【详解】设f=，则y=*-8f+17=(r-4)2+l,

对称轴为r=4,当.24,即24,

即-xN2,即x<-2时，f=为减函数,

函数y=(f-4y+l为增函数，

则丫=仁1-8］£|'+17为减函数，

即函数单调减区间为(3,-2］：

当£44,即(g)<4,

即一x42,即xN-2时,

函数y=(，-4y+1为减函数,

则y=(；+17为增函数，

即函数单调增区间为［-2,+8).

故［-2,田)

16.已知函数〃x)的定义域为(O,+8),〃l)=l+e,当天>外>0时，有

天/(%)一%/(々)>々e'1-王小，则不等式〃lnx)>x+Inr的解集为.

【正确答案】(l,e)

【分析】根据题意将不等式进行等价转化得到函数F(x)='上在(0,转)上单调递减，

X

利用函数的单调性即可求解.

【详解】当弓>±>o时，由马〃百)一毛/(毛)>々炉一工/变形可得：&H>公),£,

玉x2

令尸

X

则F(x,)>F(X2),所以函数尸(x)在(0,*o)上单调递减，

因为,ZW=e+l,所以尸(1)=1,

当x>l时，不等式〃lnx)>x+lnr可以变形为,

Inx

即戶(lnx)>F(l),所以Inxvl,Ml<x<e；

当0<x<l时，不等式/(Inr)>x+Inx可以变形为'11x)-二'<1,

Inx

即尸(Inx)〈尸(1),所以］nx>l,则%>e(舍去);

综上，不等式的解集为(l,e),

故答案为.(l,e)

四、解答题

17.己知集合A={x|04x42},B=［x\a<x<3-2a］.

(1)若仅A)uB=R,求实数。的取值范围；

(2)若AIBxB,求实数。的取值范围.

【正确答案】(1)(F,0]；(2)卜

【分析】(1)由集合A可得4A,利用(4厶)。8=11列出不等式组，求出实数”的取值范围:

(2)若AB=B,则BgA,分8=0和3x0两种情况，分别列不等式可得实数。的取

值范围.

【详解】(1)因为A={x|0MxM2},所以4A={x|x<0或x>2}.

又8={山工工43-2”}且他A)uB=R,

3-2a>a

所以,解得〃WO

3-2a>2

所以实数。的取值范围是(3,0].

(2)若AB=B(补集思想)，贝IJB=A.

当8=0时，3-2a<a,解得〃>1；

当8x0时，3-2a>a,即“Ml,

要使贝"：/°,得!WaWl.

[3—2a<22

综上，知A3=5时，，a>—f

所以AI8H3时，实数。的取值范围是{ao<g}.

2,

18.已知函数+a

⑴若/(x)是奇函数，求”的值；

(2)若/(x)NO在上恒成立，求。的取值范围.

【正确答案】(1)。=-；

-1、

【分析】(1)由奇函数的性质得到/(0)=0,即可求得。的值，再检验即可;

（2）设r=2，，则re,由函数的单调性求得函数〃x）的最小值，即可求出参数的取

值范围.

【详解】（1）解：・・・〃”=二+〃的定义域为R且是奇函数，

1+2

.,./（0）=0,即吾+4=0,解得0=-；,

此时外耳=三—丄=丄一_二，则〃一月=丄_一1=_!_-l=-/（x）,符合题意.

八71+2*221+2'v'l+2'x21+2"2八,

（2）解：•.•”x）20在上恒成立，

“(2①

令，=2",因为xw[-1/，所以fw1,2,

t-1「1

所以y=-----h。=----bl+a,tG—,2,

1+r1+r[2_

因为y=U+l+a在2,2]单调递增，

1+r\_2_

-111

所以为"不+1+〃="3,

2

即〃x)n-a+g,

故”+彳20,解得“2—

33

所以。的取值范围是-g，+8).

19.已知函数f(x)=2sin(2x-(),xeR.

(1)用“五点法''画出函数在一个周期内的图像:

（2）求函数〃x）的单调递增区间.

【正确答案】（1）见解析

（2）（一卷+，"'蕩+，"）伙，Z）

【分析】（1）由题意，由“五点作图法”，列表描点作图，可得答案；

（2）由题意，根据复合函数的单调性，结合正弦函数的单调性，可得答案.

【详解】（1）由“五点法”，列表如下：

ABCDE

c兀乃3万

2x---0冗2万

37~2

乃5不2万

X

~aT~12~6

/（X）020-20

描点，作图如下:

（2）由二sinx的单调递增区间为1-尹2值尹2叼，（荘Z）,

且f（x）=2sin（2/一1}则一1+24乃<2x-三<%+2k九人kGZ）,

解得一■^■+4乃<x<^+k7r,^kGZ）,

函数〃X）的单调递增区间为（-程+丘净冋QeZ）.

20.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形

ABCD和EFG”构成的面积为200m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，

造价为4200元/n?；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为21（）元/n?；

再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/mt受地域影响，AD的长度最

多能达到4m,其余边长没有限制.

(1)设总价为S(单位：元)，AZ)长为X(单位：m),试建立S关于X的函数关系式;

(2)当x为何值时，S最小？并求岀这个最小值.

【正确答案】(1)5=38000+4000必+^—,0<x<4

x

(2)当工=丿16m时，S最小，最小值为元

【分析】(I)先设。。=丫，又AO=X,建立等式找出x，y得关系计算S即可；(2)利用均

值不等式计算即可，注意等号成立的条件.

［详解】(1)设DQ=y,又A£)=x,0cx44,

贝IJV+4孙=200,y=2()()~Y,

4x

S=4200/+21oX4xy+80X2/=38000+4000x2+400000(0<x<4)

(2)由(1)得5=38000+4000/+裂黑，利用均值不等式得

X

S=38000+4000/+400000>38000+2痴0X^^^^=118000，当4000%2=州)°°°时,

xVxx-

即》=历时等号成立，所以当x=Mm时，S最小，最小值为元.

21.欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等

函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数y=/(x),如果对于

其定义域力中任意给定的实数x,都有-xe£>,并且f(x)-/(-x)=l,就称函数y=/(x)为

倒函数.

⑴已知f(x)=2',g(x)=p,判断y=f(x)和y=g(x)是否为倒函数;

⑵若y=/(x)是R上的倒函数，当X40时，"力=尸一，方程.f(x)=2023是否有正整

数解？并说明理由;

（3）若y=/（x）是R上的倒函数，其函数值恒大于0,且在R上是增函数.记

尸（尤）=/（力-満，证明：±+々＞0是F（丙）+尸仇）＞0的充要条件.

14Y

【正确答案】（1）/。）=2、是倒函数，g（x）=等不是倒函数;

1-X

（2）没有正整数解，理由见解析;

（3）证明见解析.

【分析】（1）利用给定的定义进行判断;

（2）先求出x＞0时的解析式，利用验证法进行判定;

（3）利用单调性的定义，性质及倒函数进行证明.

【详解】（1）对于八幻=2'定义域为R,显然定义域中任意实数x,都有-xeR成立，又

/(%)/(-%)=22T=1,所以/(x)=2'是倒函数.

14-Y

对于g(x)=/一定义域为当x=-l时，-x=le{x|xwl},不符合倒函数的定义,

[-X

所以g（x）不是倒函数.

⑵令x＞。，则r＜0,由倒函数的定义，可得〃戏—）=枭

=1,

r＜0

所以/(x)=2'+f,所以/(力=2-*+/'一，要使/（力=2023有正整数解,

2X+X2,X>0

贝l]2'+f=2023,当x=10时，2,l)+102=1124<2023:

当X=ll时，2"+ll2=2169＞2023;所以〃力=2023没有正整数解.

（3）充分性：当王+々＞0时，内＞-乙且超＞-*，因为/（力是增函数，所以

fix,)-f(-x)>0,f(x)-/(一芭)>0,即/(占)->0,/U)->0,

22J\^2丿2J)

所以尸(xj+F)=F(X|)-+/*2)->°•

必要性:当尸（与）+尸伍）＞0时,

有"*）一卷+""2）一満=[/a）+f（%）]/(x,)/(x)-l

2>0

〃西)/(々)

因为，（x）恒大于o,所以恒大）-i>所即入不），（七）>1=〃%以（-%）,

所以，（*2）>，（-5），因为/（X）是增函数，所以々>-占，即X|+X2>0；

综上可得±+%>0是尸（苫）+尸（々）>0的充要条件.

关键点点睛：本题求解的关键是理解所给倒函数的定义，使用/（x）〃-x）=l进行转化.

1,x>0,

22.定义函数屈x）=/(x)=x2-2x(x2—a)(p(x2一a).

—