高中数学对数与对数函数知识点及经典例题讲解

对数与对数函数

1.对数

(1)对数的定义：

b

如果a=N(a>0,aW1),那么b叫做以。为底N的对数,记作logaN=b.

(2)指数式与对数式的关系：*=Nolog,/V=b(<2>0,aWl,N>0).

两个式子表示的。、氏N三个数之间的关系是一样的，并且可以互

化.

(3)对数运算性质：

①log”(MN)=log“〃+logJV.

②lOga竺=10g域“一logaN.

N

③loga〃"=〃log“M.(M>0,N>0,a>0,aWl)

④对数换底公式：log/W=^d(a>0,aWl,h>0,N>0).

'1。印

2.对数函数

(1)对数函数的定义

函数尸log“x(a>0,aWl)叫做对数函数，其中％是自变量，函数的

定义域是(0,+8).

注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真

数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1

在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。但是,

根据对数定义：logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切

实数(比如logi1也可以等于2,3,4,5,等等)第二，根据定义

运算公式：logaMAn=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成

立(比如,log(-2)4A(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16,另

一个等于一1/16)

(2)对数函数的图象

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于％轴对称.

(3)对数函数的性质：

①定义域：(0,+8).

②值域：R.

③过点(1,0),即当％=1时,y=0.

④当a>l时，在(0,+8)上是增函数；当0<。<1时，在(0,+

8)上是减函数.

基础例题

1.函数/(%)=|10g2M的图象是?

2.若/-I(%)为函数/(%)=lg(%+1)的反函数，则/-I(%)的值域

为.

3.已知1())的定义域为［0,1］,则函数月'口陶义一%)］的定义

2

域是.

4.若log.vV7=z,则％、y、z之间满足

A.y7rzBJ=JC7Z

C.y=7『D.y-

5.已知l</n<〃，令a=(log,；m)2,/?=log„m2,c=log„(log„m),则

A.a<b<cB.a<c<b

C.h<a<cD.c<a<h

6.若函数/(%)=log/(0<a<l)在区间［a,2a］上的最大值是最

小值的3倍，则。等于

A.巫B.巫C.-D.1

4242

7.函数y=log2Iax—1I(aWO)的对称轴方程是％=—2,那么。等

于(x=-2非解)

A.-B.-lC.2D.-2

22

8.函数/(%)=log2|x|,g(%)=—^+2,则/(%)•g(%)的图象只可

能是

9.设/1(x)是/(%)=log2(x+1)的反函数，若[1+/1(a)][1+

厂1⑹]=8,则/(。+8)的值为

A.lB.2C.3D.log23

10.方程lgx+lg(%+3)=1的解％=.

典型例题

[例1]已知函数/(%)=则f(2+log23)的值为

/(%+1),%<4,

A.lB.lC.-D.—

361224

【例2】求函数y=log2l%l的定义域，并画出它的图象，指出它的

单调区间.

【例3】已知/(%)=log][3—(%—1)。求/(%)的值域及单调

3

区间.

【例4】已知产log”(3—公)在［0,2］上是％的减函数，求。的取

值范围.

【例5】设函数/(%)=lg(1—x),g(x)=lg(1+x),在/(x)和

g(x)的公共定义域内比较1/(%)|与|g(%)|的大小.

【例6】求函数y=21g(x—2)—lg(%—3)的最小值.

X

[例7]在力(x)=/，f2(%)三/,/(x)=2,于4(x)=log,x四

2

个函数中，汨>%2>1时，能使;[/(X1)47(%2)]</("；")成

立的函数是

M(%)=£(平方作差比较)B我(尤)

=%2

C.fi,(%)=2XD亦(%)=logiX

探究创新

1.若/(%)=x2—x+h,且/(log2。)=h,log2"(a)]=2(aWl).

(1)求/(10g2%)的最小值及对应的％值；

(2)%取何值时，f(log2x)>/(1)且log2"(x)]</(1)?

2.已知函数/(%)=y+k(%为常数)，A(—2k,2)