控制系统的数学模型

关于控制系统的数学模型2.1

系统的数学模型2.1.12.1.22.1.3

机械系统电气系统相似系统数学模型的定义建立数学模型的基础提取数学模型的步骤Example第2页,共113页，2024年2月25日，星期天2.1.1

数学模型的定义系统示意图系统框图Remember恒温箱自动控制系统?第3页,共113页，2024年2月25日，星期天2.1.1

数学模型的定义

t

u2

u

ua

n

v

u

t

由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。物理量的变换，物理量之间的相互关系信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存）由动态到最后的平衡状态--稳定运动第4页,共113页，2024年2月25日，星期天系统框图数学模型：描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程。2.1.1

数学模型的定义第5页,共113页，2024年2月25日，星期天解析法

依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。建立数学模型的方法：第6页,共113页，2024年2月25日，星期天数学模型的形式时间域：

微分方程 差分方程 状态方程复数域： 传递函数 结构图（方块图）频率域： 频率特性第7页,共113页，2024年2月25日，星期天数学模型的准确性和简化2.1.2

建立数学模型的基础机械运动：牛顿定理、能量守恒定理电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律热学： 传热定理、热平衡定律

微分方程（连续系统）差分方程（离散系统）线性与非线性分布性与集中性参数时变性第8页,共113页，2024年2月25日，星期天电气系统三元件电阻电容电感电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。第9页,共113页，2024年2月25日，星期天2.1.3

提取数学模型的步骤划分环节写出每或一环节(元件)运动方程式消去中间变量写成标准形式第10页,共113页，2024年2月25日，星期天负载效应根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量(必要时还要考虑扰动量)，并根据需要引进一些中间变量。由运动方程式（一个或几个元件的独立运动方程）划分环节

按功能（测量、放大、执行）第11页,共113页，2024年2月25日，星期天写出每一环节(元件)运动方程式找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素）。第12页,共113页，2024年2月25日，星期天写成标准形式例如微分方程中，将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。

第13页,共113页，2024年2月25日，星期天机械平移系统1）微分方程的系数取决于系统的结构参数2）阶次等于独立储能元件的数量！静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响。第14页,共113页，2024年2月25日，星期天RLC串联网络电路第15页,共113页，2024年2月25日，星期天2级RC无源网络第16页,共113页，2024年2月25日，星期天例

电枢控制的它激直流电动机如图所示，电枢输入电压u0(t)，电动机输出转角为。Ra、La、ia(t)分别为电枢电路的电阻、电感和电流，if为恒定激磁电流，eb为反电势，f为电动机轴上的粘性摩擦系数，G为电枢质量，D为电枢直径，ML为负载力矩。

第17页,共113页，2024年2月25日，星期天解：

电枢回路电压平衡方程为

ce为电动机的反电势系数

力矩平衡方程为

式中

为电动机电枢的转动惯量

为电动机的力矩系数

第18页,共113页，2024年2月25日，星期天整理得

—无量纲放大系数—电机转速—电磁时间常数—机电时间常数—时间常数—电机传递系数第19页,共113页，2024年2月25日，星期天——无量纲放大系数。

——时间常数——电机传递系数第20页,共113页，2024年2月25日，星期天机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为机系统的等效网络）相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统......因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。第21页,共113页，2024年2月25日，星期天2.2

非线性数学模型的线性化2.2.12.2.22.2.3常见非线性模型线性化问题的提出线性化方法Example液面系统单摆Example液面系统单摆单变量多变量第22页,共113页，2024年2月25日，星期天2.2.1

常见非线性模型数学物理方程中的线性方程：已知函数项或未知函数的（偏）导数项系数依赖于自变量针对时间变量的常微分方程：

线性方程指满足叠加原理叠加原理：可加性齐次性不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。第23页,共113页，2024年2月25日，星期天常见非线性情况饱和非线性死区非线性间隙非线性继电器非线性第24页,共113页，2024年2月25日，星期天单摆(非线性)是未知函数为非线性函数，所以是非线性模型。第25页,共113页，2024年2月25日，星期天有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的。2.2.2

线性化问题的提出可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。线性系统缺点：线性系统优点：线性化定义

将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。第26页,共113页，2024年2月25日，星期天2.2.3

线性化方法

以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对额定工作点的偏差。增量（微小偏差法）假设：在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。非线性方程

局部线性增量方程第27页,共113页，2024年2月25日，星期天增量方程增量方程的数学含义

将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。第28页,共113页，2024年2月25日，星期天多变量函数泰勒级数法增量方程静态方程第29页,共113页，2024年2月25日，星期天2.3

典型环节及其传递函数2.3.12.3.2传递函数的定义典型环节的传递函数2.3.1

传递函数的定义在零初始条件()下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。

输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t<0时，输出量及其各阶导数也均为0

第30页,共113页，2024年2月25日，星期天系统(或环节)的输入量系统(或环节)的输出量

系统传递函数的一般形式第31页,共113页，2024年2月25日，星期天初始条件为零时微分方程两边取拉氏变换，得系统的传递函数!传递函数的直接计算法第32页,共113页，2024年2月25日，星期天N(s)=0系统的特征方程，

特征根 特征方程决定着系统的动态特性。

N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K——系统处于静态时，输出与输入的比值。当s=0时系统的放大系数或增益特征方程第33页,共113页，2024年2月25日，星期天M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，称为传递函数的零点。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,…,n)，称为传递函数的极点。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构和参数。零点和极点第34页,共113页，2024年2月25日，星期天

将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称系统的零、极点图。零点用“O”表示极点用“×”表示零、极点分布图（零、极点图）第35页,共113页，2024年2月25日，星期天传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入－输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定。结论第36页,共113页，2024年2月25日，星期天适用于线性定常系统传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数。传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律无法描述系统内部中间变量的变化情况只适合于单输入单输出系统的描述注意第37页,共113页，2024年2月25日，星期天g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）系统输出单位脉冲函数脉冲响应函数传递函数系统动态特性单位脉冲响应第38页,共113页，2024年2月25日，星期天设系统有b个实零点;d个实极点;c对复零点;e对复极点;v个零极点（积分环节）2.3.2

典型环节的传递函数b+2c=mv+d+2e=n

第39页,共113页，2024年2月25日，星期天比例环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节延迟环节！串联纯微分环节第40页,共113页，2024年2月25日，星期天环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。第41页,共113页，2024年2月25日，星期天运动方程式：传递函数：K——环节的放大系数放大环节/比例环节第42页,共113页，2024年2月25日，星期天齿轮传动第43页,共113页，2024年2月25日，星期天运动方程式：传递函数：K——环节的放大系数T——环节的时间常数!储能元件！输出落后于输入量，不立即复现突变的输入

RC惯性环节惯性环节第44页,共113页，2024年2月25日，星期天RC惯性环节第45页,共113页，2024年2月25日，星期天运动方程式：传递函数：K——环节的放大系数！记忆！积分输入突然除去积分停止输出维持不变例1：电容充电例2：积分运算放大器积分环节第46页,共113页，2024年2月25日，星期天如当输入量为常值A时，输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时的值A。！改善系统的稳态性能！具有明显的滞后作用第47页,共113页，2024年2月25日，星期天电容充电第48页,共113页，2024年2月25日，星期天积分运算放大器第49页,共113页，2024年2月25日，星期天理想微分实际微分惯性T0KT有限运动方程式：传递函数：传递函数：例1：测速发电机例2：RC微分网络例3：理想微分运放例4：一阶微分运放微分环节第50页,共113页，2024年2月25日，星期天!无负载时测速发电机第51页,共113页，2024年2月25日，星期天理想微分运算放大器第52页,共113页，2024年2月25日，星期天一阶微分运算放大器第53页,共113页，2024年2月25日，星期天不同形式储能元件能量转换振荡运动方程式：传递函数：

——环节的阻尼比K——环节的放大系数T——环节的时间常数0<<1产生振荡1两个串联的惯性环节例1：机械平移系统例2：RLC串联网络振荡环节第54页,共113页，2024年2月25日，星期天RLC串联网络电路第55页,共113页，2024年2月25日，星期天运动方程式：传递函数：1

两个串联的一阶微分环节

——环节的阻尼比K——环节的放大系数T——环节的时间常数二阶微分环节第56页,共113页，2024年2月25日，星期天运动方程式：传递函数：

—环节的时间常数超越函数近似处理例1：水箱进水管的延滞延滞环节第57页,共113页，2024年2月25日，星期天惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。延迟环节从输入开始之初，在0~τ时间内没有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别第58页,共113页，2024年2月25日，星期天水箱进水管的延滞第59页,共113页，2024年2月25日，星期天2.4

系统方块图和信号流图2.4.12.4.22.4.3方块图系统信号流图控制系统传递函数

第60页,共113页，2024年2月25日，星期天2.4.1.1

结构方块图2.4.1

方块图第61页,共113页，2024年2月25日，星期天！脱离了物理系统的模型!系统数学模型的图解形式形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。依据信号的流向，将各元件的方块连接起来组成整个系统的方块图。函数方块图第62页,共113页，2024年2月25日，星期天

任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及求和点组成的方块图来表示。求和点函数方块引出线函数方块信号线第63页,共113页，2024年2月25日，星期天1.信号线带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。

2.信号引出点（线）/测量点表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。

第64页,共113页，2024年2月25日，星期天3.函数方块(环节)

函数方块具有运算功能第65页,共113页，2024年2月25日，星期天4.求和点（比较点、综合点）1.用符号“

”及相应的信号箭头表示2.箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号!注意量纲第66页,共113页，2024年2月25日，星期天方框图的等效变换法则公式直接法化简法代数法方块图的化简方块图的运算规则串联、并联、反馈基于方块图的运算规则基于比较点的简化基于引出点的简化2.4.1.2

由方块图求系统传递函数第67页,共113页，2024年2月25日，星期天

几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传递函数的乘积。例：隔离放大器串联的RC电路串联运算规则第68页,共113页，2024年2月25日，星期天隔离放大器串联的RC电路第69页,共113页，2024年2月25日，星期天同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递函数之和。并联运算规则第70页,共113页，2024年2月25日，星期天反馈运算规则第71页,共113页，2024年2月25日，星期天第72页,共113页，2024年2月25日，星期天基于方块图的运算规则第73页,共113页，2024年2月25日，星期天基于比较点的简化第74页,共113页，2024年2月25日，星期天基于引出点的简化第75页,共113页，2024年2月25日，星期天把几个回路共用的线路及环节分开，使每一个局部回路、及主反馈都有自己专用线路和环节。确定系统中的输入输出量，把输入量到输出量的一条线路列成方块图中的前向通道。通过比较点和引出点的移动消除交错回路。先求出并联环节和具有局部反馈环节的传递函数，然后求出整个系统的传递函数。方块图求取传递函数-简化法第76页,共113页，2024年2月25日，星期天方块图化简第77页,共113页，2024年2月25日，星期天方块图求取传递函数第78页,共113页，2024年2月25日，星期天代数法第79页,共113页，2024年2月25日，星期天建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输入/输出）。对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的方框图。按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。例：二阶RC电气网络2.4.1.3

方块图的绘制第80页,共113页，2024年2月25日，星期天二阶RC电气网络第81页,共113页，2024年2月25日，星期天第82页,共113页，2024年2月25日，星期天2.4.3.1系统传递函数

仅控制量作用下

仅扰动量作用下控制量和扰动共同作用下2.4.3.2系统误差传递函数仅扰动量作用下控制量和扰动共同作用下2.4.3

控制系统传递函数

第83页,共113页，2024年2月25日，星期天单独处理线性叠加前向通道：R(s)到C(s)的信号传递通路反馈通道：C(s)到B(s)的信号传递通路系统闭环传递函数：反馈回路接通后，输出量与输入量的比值。系统对控制量R(s)的闭环传递函数系统对拢动量N(s)的闭环传递函数2.4.3.1系统的传递函数第84页,共113页，2024年2月25日，星期天系统工作在开环状态，反馈通路断开。系统开环传递函数：前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积。

(反馈信号B(s)和偏差信号(s)之间的传递函数)系统的开环传递数函数第85页,共113页，2024年2月25日，星期天假设扰动量N(s)=0控制量R(S)作用第86页,共113页，2024年2月25日，星期天假设R(s)=0！扰动的影响将被抑制扰动量N(S)作用第87页,共113页，2024年2月25日，星期天控制量与扰动量同时作用第88页,共113页，2024年2月25日，星期天

以误差信号E(s)为输出量，以控制量R(s)或扰动量R(s)为输入量的闭环传递函数。2.4.3.2系统误差传递函数第89页,共113页，2024年2月25日，星期天假设扰动量N(s)=0控制量R(S)作用第90页,共113页，2024年2月25日，星期天假设R(s)=0扰动量N(S)作用第91页,共113页，2024年2月25日，星期天控制量与扰动量同时作用第92页,共113页，2024年2月25日，星期天系统的闭环传递函数具有相同的特征多项式D(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)G1(s)G2(s)H(s)为系统的开环传递函数。系统的固有特性与输入、输出的形式、位置均无关；同一个外作用加在系统不同的位置上，系统的响应不同，但不会改变系统的固有特性。闭环传递函数的极点相同。第93页,共113页，2024年2月25日，星期天2.4.2.1信号流图及其术语2.4.2.2信号代数运算法则2.4.2.3根据微分方程绘制信号流图2.4.2.4根据方框图绘制信号流图2.4.2.5信号流图梅逊公式2.4.2

系统信号流图

2.4.2.1信号流图及其术语

信号流图起源于梅逊（S.J.MASON）利用图示法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。第94页,共113页，2024年2月25日，星期天节点表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。支路连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。通路沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。第95页,共113页，2024年2月25日，星期天输入节点只有输出的节点，代表系统的输入变量。输出节点只有输入的节点，代表系统的输出变量。输出节点输入节点混合节点既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可点变为输出节点。第96页,共113页，2024年2月25日，星期天前向通路从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。第97页