概率论1二维随机向量分布

从本讲起，我们开始从本讲起，我们开始第三章的学习它是第二章内容的推广一维随机变量及其分多维随机向量及其分由于从二维推广到多维一般无实质性困难，我们重点讨论二维随机向.2S一般E是一个随机试验,它的样本空间e设X1X1e,X2e,Xne,Xn是定义在上的随机变量,由它们构成的一维n量X1X2Xnn维随机向量以下重点讨论二维随机向请注意与一维情形的对.3一、二维随机向量的分布函数的一、二维随机向量的分布函数的定X,Y)是二维随机向量,对于任二元函Fx,yPXx,Yy,x,y称为二维随机向量X,Y的分布函数变量X和Y的联合分布函数或者称为随4一维随机变量X的分布函数FxPXx,xP(X (Y分布函数的函数值的几何解Fx,yP分布函数的函数值的几何解Fx,yPXx,YFxPXYxxXXOFx,y在x,y处的值为随机向量X,Y落在5yOx二、二维随机向量的联合分布的求1、离定义如果二维随机向量(Y)二、二维随机向量的联合分布的求1、离定义如果二维随机向量(Y)的全部可能取为有限个或可列个,则称Y)为二维离散型随机向量定义设X,Y的所有可能取值为xi,yji,j1,.PXxi,Yyjpiji,j1,,为X,Y的联合概率分布.Xyp1p2piP{X},k1,kk为离散型随机变量X的概率分或概率函数或分布律6联合概率分布有下面的性质联合概率分布有下面的性质ij(xi,yjP{(X,Y)D}pij7例袋中有5只球,其中2只白球,3只黑球,取球两Y第二次取白第二次取黑第一例袋中有5只球,其中2只白球,3只黑球,取球两Y第二次取白第二次取黑第一次取白第一次取黑X分别求出在重复抽样和非重复抽样两种情况XY)的联合分布,及解：1.重复抽(X,Y)的所有可能取值为4P{X0,Y0}P{X0}P{Y0}22 23P{X0,Y1}P{X0}P{Y1} P{X1,Y0}326P{X1,Y1}339 例袋中有5只球,其中2只白球,3只黑球,次每次一个,定义下列随机变量Y第二次取白第二次取黑第例袋中有5只球,其中2只白球,3只黑球,次每次一个,定义下列随机变量Y第二次取白第二次取黑第一次取白第一次取黑非重复抽X(X,Y)的所有可能取值为1P{X0,Y0}P{X0}P{Y0|X0}23 P{X0,Y1}P{X0}P{Y1|X0}2 P{X1,Y0}33P{X1,Y1}339 X01X0101012.非重复抽Y1.F(0,1)X01X0101012.非重复抽Y1.F(0,1)P{X0,Y1}·P{X0,Y0}P{X0,Y46,0·X2.F(0,1)1535例二维随机向量例二维随机向量(3))的联合概率分布为Y012X0a1解：1由pij=1a2由PX,YDijpij(xi,yjP{X0,Y1}P{X0,Y1}P{X0,YP{X1,Y1}P{X1,Y0}Y012XaY012Xa13P{X1,Y1}P{X1,Y1}P{X1,YP{X0,Y1}P{X0,YP{X1,Y1}P{X1,Y0}Y~N（0,1）,|Y|Y~N（0,1）,|Y||Y|1|Y||Y|X1X2求X1,X2的联合概率分布(X1,X2的所有可能取值为P{X10,0}P{|Y|1,|Y|2}P{|Y|1P{|Y|2}1[2(2)1]2[1P{X10,1}P{|Y|1,|Y|2}P{1|Y|2P{1Y2}2[(2)(1)]|Y||Y|Y||Y|1|Y||Y|X1X20}P{|Y|1,|Y|2}P{}1}P{|Y|1,|Y|2}P{|Y|2(1)1P{X11,X2P{X11,X21.设随机变X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值另一个随机变量Y在1到X中等可能地取一整数值试求（X,Y）的联合概率分布(1.设随机变X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值另一个随机变量Y在1到X中等可能地取一整数值试求（X,Y）的联合概率分布(X的可能取值为(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,(3,3),(4,1),(4,2),(4,Y1234X1400000012341142421114343431111444444442.已知随机变XY的联合概率分(x(0,1)(1,0)(1,1)2.已知随机变XY的联合概率分(x(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)AP{X≤1,Y≤1}；X、YAP{X1,Y1}P{X1,Y1}P{X1,YP{X0,Y1}P{X0,Y0.100.150.250.2X的所有可能取值为,P{X0}P{X0,Y0}P{X0,Y1}P{X1}P{X2}Y的所有可能取值为,P{YY的所有可能取值为,P{Y0}P{X0,Y0}P{X1,YP{X2,Y0}P{Y1}XY的所有可能取值为：01,2P{XY0}P{X0,Y0}P{XY1}P{X0,Y1}P{X1,Y0}0.4P{XY2}P{X2,Y0}P{X1,Y1}0.35P{XY3}P{X2,Y1}0.15(x(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)0.100.150.250.20 甲.乙二人独立地各进行两次射击,假设甲,乙的中率分别为0.2,0.5,以甲.乙二人独立地各进行两次射击,假设甲,乙的中率分别为0.2,0.5,以求X,Y的联合概率分布表示甲,乙的命中次数解X~B(2,0.2),Y~B(2,0.5),概率分布表为由X,Y的独立性得1)的联合概率分布X02012Y P X P 回忆内f(x,D区域D 回忆内f(x,D区域D的两种表示方X型区域：Dxy|axbu1xyu2u2(Dbu(x2f(x,f(x,au1(xaObu1(f(x,DY型区域f(x,DY型区域：Dxy|cyd,v1yxv2Ddv(yf(x,y)dxdy2f(x,cv1(ydv(v(21cO设区域D是由曲线yxy设区域D是由曲线yxyxy围成例区域,计算二重积分2yDyy(0,0),(2,2),(2,xOX型：Dxy|2x0,xy{(x,y)|0x2,xyY型：Dxy|0y2,yxyX型：Dxy|2x0,xy{(x,y)|0x2,xyyy02(22x2xOD22yX型：Dxy|2x0,xy{(x,y)|0x2,xyyy02(22x2xOD222202(2220xx0x2122022||222yx(x20x02x)dx2x(42x(4x020x)dx(4x33(4x0(2x21x4 (2x21x444440yyyxOY型：Dxy|0y2,yyyxOY型：Dxy|0y2,yx2yD2y(222y0y0y(1x2|y22022y002、连定对于二维随机向量(X,Y2、连定对于二维随机向量(X,Y),若存在非负可函数fx,y),使1.对于平面上任意可度量区域D,都P{(x,y)D}f(x,D1或对于任意xy,xyfu,v x, 则称(X,Y)为二维连续型随机向量fx,y)f(x,X,Y的联合概率密度函数,记作X,Y)连续型随机向量的密度函数连续型随机向量的密度函数fx,y)具有下面性1.f(x,y)f(x,y)dxdy3DxOy平面上则fx,ydxdyPX,YDDx,yD,求f(x,y),f(x,y)x,yD,求f(x,y),f(x,y)例设X,Y)(x,y)fx,y)dxdy1得 由解f(x,y)dxdyλdxdyλdxdyDD1λ,其中表示区域的面积DSD1(x,y)即fxyD(x,y)1(x,y)f(x,1(x,y)f(x,y),f(x,y)定若X,Y),D(x,y)则称X,Y)服从区域D上的均匀分布Ae(xyx,y其f(x,y)例设X,Y)f(x,,Ae(xyx,y其f(x,y)例设X,Y)f(x,,02.F(x,求3.(X,Y)落在区域内的概y4.P{YXxyD解1.由f(x,xO(xy00xy 00A(ex)|(ey)A00e(xyx,y其F(x,y)(f(u,v)dv)duf(x,y),02x0,y0YxyF(x,y)(f(u,v)dv)duxe(xyx,y其F(x,y)(f(u,v)dv)duf(x,y),02x0,y0YxyF(x,y)(f(u,v)dv)dux0,yyxy(uv(ey00xy 0xX00(eu|x)(ev|yx0,yx0,y00(1ex)(1ey(1x)(10x0,yye)F(x,y)其xe(xyx,y其f(x,y)03.P{(X,Y)D}f(x,e(xyx,y其f(x,y)03.P{(X,Y)D}f(x,yDxe(xyxy11(D010x1Oxxye( 001ex(ey)|1001x(1x1e01xe1(ex)00(1e1)e11e(xyx,y其f(x,y),0Y4.P{YX}f(x,e(xyx,y其f(x,y),0Y4.P{YX}f(x,x (xye0x xy( 0X0xx(1e0xe2x0111e2x)(e0222例设随机变量(X,Y)的概率密k6xy0x2,2y x,y其它例设随机变量(X,Y)的概率密k6xy0x2,2y x,y其它(1)4PX1,Y3(2求概2fx,y41xo226xy0222(6x)y24(12|202k18.3x016xy0x2,2其它yyfx,y(2)PX1,Y16xy0x2,2其它yyfx,y(2)PX1,Y13fx,ydy181843136xy0252x1(6x10188 20三、边缘分二维三、边缘分二维联合分布全面地反映了二维随机变(X,Y)的取值及其概率规律而单个随机变量也具有自己的概率分布那么要问:二者之间什么关系呢1、边缘分布函二维随机向量)1、边缘分布函二维随机向量)作为一个整体,具有分布FxyX数也有各自的都是随机变FXx,FYy,依次称为二维随分别记布函数(X,Y)XY的边缘分布函数FXxPXxPXx,YFx,PX,YyF,yYFYyPYyOX2、离散型随机向量的边缘分定义(X,Y),P(Xxi,Yyj2、离散型随机向量的边缘分定义(X,Y),P(Xxi,Yyj)pij(X,Y)关于Xi,j1,PXxi,YPXxipiypji1,2,关于YPXxyPYyjpij.iij1,2,分别等于联合概率分布表的行和与列和例：（X,Y）的联合概率分布如下01231418例：（X,Y）的联合概率分布如下01231418018000000123求:(X,Y)分别关于X和Ypi.,p.j,i,j1,2,3,解：由(X,Y)的联合概率分布以及离散型随机向量边缘分布的概念可得P{XP{XpP{P{XP{X0,Y0,Y解：由(X,Y)的联合概率分布以及离散型随机向量边缘分布的概念可得P{XP{XpP{P{XP{X0,Y0,Y0,Y000114400同理 181184014140123pi014000p0.41181800p1.420p2.43p3.4p114180018同理00p000p1230123Yp.X1p114180018同理00p000p1230123Yp.X14141414pi0123pi014000p0.41181800p1.420p2.43p3.4p.3、连续型随机向量的边缘概率密X,Y~fx3、连续型随机向量的边缘概率密X,Y~fxf(x,y)dyx(x)f(x)XfX1(X,Y)Yf(x,y)dxyf(y)f(y)YY2xfu,ydy x,事实上 xFxfx,ydyXX其中Dx,y|其中Dx,y|axbcyd},X,Y的边缘密度函数f1x)和f2解：由二维均匀分布的定义1axb,cyf(x,y)(ba)(d0其当xa或xb时,fXx)f(x)f(x,10dy1axb,cyf(x,y)(ba1axb,cyf(x,y)(ba)(d0其ax时,ff(x,当1 dy d(ba)(dbc1ax其f(x)b10注意到X~0dyyyf(y)f(x,y)dxcd当或2c0dyyyf(y)f(x,y)dxcd当或2cyd时,fy当f(x,2 (ba)(d dba1cy其f(y)d20Y~U[c,dyx,0x其X,Y~fx,yyx,0x其X,Y~fx,y0,1.判断X)是否服从D2.求随机向量X,Y的边缘密度函数f1x)和(yy1SD(x2xy2011x2310x)2Ox(11)236X,Y)服从D上的yx,0x其f(x,y)f(x)fyx,0x其f(x,y)f(x)f(x,y)dy10x,f(f(x,当时1xyy2xy6(xx200x2xf(x)1Oxyy区域的Y型表示方法为D{(x,y)|0yyy区域的Y型表示方法为D{(x,y)|0y1,yx当y0或y时,f2yyy0y,f(y)f(x,当时Ox2yy0y其6dxyy)yf(y)26e2x3x0,yX,Y~fx,y,01.PX6e2x3x0,yX,Y~fx,y,01.PX1,Y1};2.PXY};3f1x)和f2求1P{X1}(f(x, 112x323(e(e0102312113e)e)016e2x3(e21)(e3)e3(1e2Oyx2.P{XY}(6e2x300x23e(e001e3y)yx2.P{XY}(6e2x300x23e(e001e3y)2exO3023e0e2x5051e2x)1e5202(115523.当x时f1xx,f(x)f(x,当时13.当x时f1xx,f(x)f(x,当时12x3dy23e006e2x2e21e3y)30y2e2xf1(x)6e2x30O当y时,f2yy,f(y)f(x,当时2当y时,f2yy,f(y)f(x,当时22x332e006e3y3e3y1e2x)203e3yf2(y)6e2x30O四、随机四、随机变量的独立1、两个随机变量的独立X,Y是两个随机向量,1).对abcd,P(aXb,cYd)P(aXb)P(cYd1ab,P(Xa,Yb)P(Xa)P(YXY可改为对x,y,P(X对x,y,P(Xx,Yy)P(Xx)P(Y即FxyFXx)FY定理设(X,Y)是离散型随机向量,其概率分布P{Xxi,Yyj}pij,i,j1,则X与Y相互独立的充要条件P{Xxi,Yyj}P{Xxi}P{Yyj},i,j1,..简记为：pijpi.pji,j1,.i,j,都有pijpi.pjX与Y相互独立P{Xi,j,都有pijpi.pjX与Y相互独立P{X0,Y0}P{X0}P{YX与Y不独立X 01p1 3 3 3 . X 014 6 6 9 5p. 3 例已知随机变量X和Y的概率分布XY0101且P{XY0P1412141212P求(1)X,Y例已知随机变量X和Y的概率分布XY0101且P{XY0P1412141212P求(1)X,Y的联合(2X与Y是否独立P{XY0}解P{XY0}即0=P{XY1P{XY1P{X1,Y1}P{X1,YP{X1,Y1}P{X1,Y1}P{X1,Y0}14X与Y不独立P{X1}P{Y0}18X 12 4141214p. 设(X,Y)是连续型随机向量,其密度定设(X,Y)是连续型随机向量,其密度定数为f(x,y),则X与Y相互独立的充要条件f(x,y)fX(x)fY(y),x,0xy,设X,Y~fx,y80判断X与Y是否独立0xyf(x,y)80y解：将区域D表示为X0xyf(x,y)80y解：将区域D表示为X型区域1D{(x,y)|0x1,xy81}当x0或x时,f1x当0x时,f1(x) f(x,Ox114x(xx4x(1x24x4x34x4x00x3f(x)10xyf(x,y)80将区域D表示为Y0xyf(x,y)80将区域D表示为Y型区域yD{(x,y)|0y1,0x当y0或y时,f2y180y,f(y)f(x,当时Ox2y4y(|y00440y34f(y)204x4x00x0y334f(x4x4x00x0y334f(x)f(y)1200xy(X,Y)~f(x,y)当x1y1时22(y)(21)2f(x,y)2,(x)XY24X与Y不独立例设(X,Y)xe(xy)x0,y例设(X,Y)xe(xy)x0,y其f(x,y)判断X和Y是否独立f1(x)解f(x,当x>0时(xy0xex(ey)0xexxx其,f(1(y)f(x,y)dxxe(xy)当y>0时,20(y)f(x,y)dxxe(xy)当y>0时,20yxdexyx(e e00ey(xee00|)eey(e0eyy(y)2xe(xy)x0,yxe(xy)x0,yf(x,y)eyx其yf1(x)(2可见对一x,均有f(x,y)f1(x)f2(X2、多个随机变量的独立X1X2,Xn)是n维随机向量,2、多个随机变量的独立X1X2,Xn)是n维随机向量,如对于任意的aibii1,nP{a1X1b1,a2X2b2,anXnbnP{a1X1b1}P{a2b2P{anbnanP{X1a1,X2a2P{X1a1}P{X2a2an,P{Xnan则称X1,X2,Xn可改为离散型随机变量X1离散型随机变量X1X2,Xn相互独立充要条件是：联合概率分布等于边缘概率分的乘连续型随机变量X1X2,Xn相互独立充要条件是：联合概率密度函数等于边缘概密度函数的乘积定义称随机变量序列X1,X2,…,Xn,…为相特别,若每个Xi(i=1,2,…)的分布相同,则称之五、随机变量函数1、Z=X+Y设随机变量X1与X2相互独立,分别服从二项分五、随机变量函数1、Z=X+Y设随机变量X1与X2相互独立,分别服从二项分例p)和p),求Y=X1+X2的概率分布解:Y的取值为:0,1,,n1n2kP{X1i,X2kP{Yk}ikP{X1i}P{X2kikiCkpkiqn2k iikikiCiCkipkqn1n2pkqn1n2Ci Ck nn12knniCkkpC12k iknniCkkpC12k i0pkqn1n2kCkn1k1P{Yk}pkqn1n2kCkn1k,n1n2Y~B(n1n2,0k定若X,Y)fxy),且X与Y相互独立定若X,Y)fxy),且X与Y相互独立则ZXYfZ(z)fX(zy)fY(fX(x)fY(z例若X,Y~fx,yX与Y相互独立,且0x其eyy(x)fY(y)fX00求ZXY的密度函数1(z)fX(x)fY(zfY(zfZ0zxz(t)dt1(z)fX(x)fY(zfY(zfZ0zxz(t)dtff(tYYz当z时fY(t)dtzztf(t)dt 当z10z0Y0zzetdtef(t)dtzYe1zez0zzz0zz01ezZXY的密度函数为f(z)Z1ee1、两个独立的正态分布的1、两个独立的正态分布的随机变量之和仍从正态分布即:若X1~N(μ1,σ1X2~N(μ2,σ2X1X2独立,2222X1+X2~ +σ2即:若Xi~N(μi,σi2i=1,2,...,nX1X2Xn互独立,实数a1,a2,...,an不全为零,例设X和Y独立同服从标准正态分布N求Z1XYZ2例设X和Y独立同服从标准正态分布N求Z1XYZ2XYX~N(0,1)和Y~N(0,1),且X和YZ1XY~N(0,XY~N(0,141e(z) (z)e2π22π~N(μ,σ2特别,若X1X2Xn相互独立,且Xi~N(μ,σ2n1nXii1则X~N(μ,σ2特别,若X1X2Xn相互独立,且Xi~N(μ,σ2n1nXii1则Xn1nnn1nn1nn1iii1X2XX~Nσii2niN(1nσ2nN(μ,1σ2n2、M=max(X,Y)及N=min(X,Y2、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)设是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来Nmin(X,Y的分布函数M=1.Mmax(X,Y函数为FM(z)即FM(z)=Nmin(X,YNmin(X,YFN(z)=P(N≤z)=1-=1-XY相互独立,N=min(X,Y)函数为FN(z)=1-即X1,…,Xn分布函数分别个相互独立的X1,…,Xn分布函数分别个相互独立的随机变量,它们zi(i=1,…,M=max(X1,…,Xn和的分布函数用与二维时完全类似的方法，可M=max(X1,…,Xn)的分布函数为FMz z1zzn2N=min(X1,…,Xn)的分布函FNz1[1 z][1zz[112n特别特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有相同布函数F(x)时FMz[FzFNz1[1FzL1,例6设系统L(L1损坏时系(i)串联(ii)并联,L2开始工作),X,Y,已知它们的所示.L1,例6设系统L(L1损坏时系(i)串联(ii)并联,L2开始工作),X,Y,已知它们的所示.的寿命分别率密度分别αeβe,x0x0,y0y0fXxfYy00α0,β0αβL的寿命Z的概率密度式写L1XYLLY12XYX解(i)由于当系L1L2中有一个损坏时L就系止解(i)由于当系L1L2中有一个损坏时L就系止工作所以此L的寿命ZminX,Y的概率密度αe,x0x0fXx0的分布函数xx tFXXxx tFXXx0dt当xFxX0Fxxx tFXXx0dt当xFxX0Fxxe1x当x0eX0xx1ex0x0,FXx故0类似地可求Y的分布函数1ey0y0,FYy0ZminX,Y于的分布函数FminZminX,Y于的分布函数Fminz=1-[1-FX(z)][1-1e(αβ),z0z00ZminX,Y的概率密αβe(αβ),z0z0fzz0(ii)由于当且仅当系统L1,L2都损(ii)由于当且仅当系统L1,L2都损坏时L才系止工作所以此L的寿命ZmaxX,YZmaxX,Y的分布函数故FmaxzFXxy(1eαz)(1eβz),z00z0ZmaxX,Y的概率密度于fmaxZmaxX,Y的概率密度于fma