电大离散数学集合论部分期末复习题

离散数学11秋集合论综合练习辅导PAGEPAGE3一、单项选择题1．若集合A＝{a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是()．A．{a，{a}}AB．{1，2}AC．{a}AD．A正确答案：C2．若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是()．A．AB，且ABB．BA，且ABC．AB，且ABD．AB，且AB正确答案：A注意：这两个题是重点，大家一定要掌握，还有灵活运用，譬如，将集合中的元素作一些调整，大家也应该会做．例如，2011年1月份考试的试卷的第1题1．若集合A＝{a，{1}}，则下列表述正确的是()．A．{1}AB．{1}AC．{a}AD．A答案：A3．设集合A={1,a}，则P(A)=()．A．{{1},{a}}B．{,{1},{a}}C．{,{1},{a},{1,a}}D．{{1},{a},{1,a}}正确答案：C注意：若集合A有一个或有三个元素，那么P(A)怎么写呢？若A是n元集，则幂集P(A)有2n个元素．当n=8或10时，A的幂集的元素有多少个？（应该是256或1024个） 4．集合A={1,2,3,4,5,6,7,8}上的关系R={<x，y>|x+y=10且x,yA}，则R的性质为（）．A．自反的B．对称的C．传递且对称的D．反自反且传递的因为写出二元关系R的集合表达式为R={2,8，8,2，3,7，7,3，4,6，6,4，5,5}显然，R是对称的，不是自反的、反自反的、传递的．要求大家能熟练地写出二元关系R的集合表达式，并能判别R具有的性质．正确答案：B5．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A．0B．2C．1D．3教材第40页第三行指出，若R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2也是A上的自反关系．正确答案：B注意：若R1和R2是A上的对称关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中有几个是对称关系?6．设集合A={1,2,3,4}上的二元关系R={1,1，2,2，2,3，4,4}，S={1,1，2,2，2,3，3,2，4,4}，则S是R的（）闭包．A．自反B．传递C．对称D．以上都不对由42页定义2.3.4知道，关系R的对称闭包s(R)是包含R并具有对称性的最小的关系，由此也可以判定S是R的对称闭包．正确答案：C24135724135的哈斯图如右图所示，若A的子集B={3,4,5}，则元素3为B的（）．A．下界B．最大下界C．最小上界D．以上答案都不对由教材第54页的定义2.5.11知道，集合B的最大元一定是B的上界，而且是B的最小上界．因此可以判定选项C正确．正确答案：C8．设A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除关系，B={2,4,6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为()．A．8、2、8、2B．8、1、6、113624587C13624587集合A上的整除关系R的哈斯图如右图所示．由哈斯图可知，集合B的无最大元和上界，最小元和下界都是2，因此，选项D正确正确答案：D9．设A={a,b}，B={1,2}，R1，R2，R3是A到B的二元关系，且R1={<a，2>,<b，2>}，R2={<a，1>,<a，2>,<b，1>}，R3={<a，1>,<b，2>}，则（）不是从A到B的函数．A．R1B．R2C．R3D．R1和R3由教材第55页的定义2.6.1知道，函数是单值性，也就是说，定义域A中任意一个a与值域B中唯一的b有关系，而R2中的a有两个值2，1与它有关系，所以而R2不是函数．正确答案：B10．设A={a，b，c}，B={1，2}，作f：A→B，则不同的函数个数为（）．A．2B．3C．6D．8因为：f1={a,1，b,1，c,1}，f2={a,1，b,1，c,2}，f3={a,1，b,2，c,1}，f4={a,2，b,1，c,1}，f5={a,1，b,2，c,2}，f6={a,2，b,1，c,2}，f7={a,2，b,2，c,1}，f8=a,2，b,2，c,2}．正确答案：D二、填空题1．设集合A={0,1,2,3}，B={2,3,4,5}，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为．因为A∩B={2,3}，所以从集合A，B中只能分别去2，3组成关系R．应该填写：R={2,2，2,3，3,2，3,3}注意：如果将二元关系R改为则R的有序对集合是什么呢？2．设集合A={1,2,3,4}，B={6,8,12}，A到B的二元关系R＝那么R－1＝因为R＝{<3，6>，<4，8>}，所以R－1＝{<6，3>，<8，4>}应该填写：{<6，3>，<8，4>}3．设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，则二元关系R具有的性质是．根据教材第38页的定义2.3.1，若对任意aA，a与a都没有关系，即<a,a>R，则称R为A上反自反的关系．应该填写：反自反的4．设集合A=｛a,b,c,d｝，A上的二元关系R={<a,a>,<b,b>,<b,c>,<c,d>}，若在R中再增加两个元素，则新得到的关系就具有对称性．应该填写：<c,b>,<d,c>注意：第3，4题是重点，我们不仅要熟练掌握，尤其是A和R的元素都减少的情况，而且如果新得到的关系具有自反性，那么应该增加哪两个元素呢？5．设A={1,2}上的二元关系为R={<x,y>|xA，yA,x+y=10}，则R的自反闭包为．因为满足条件xA，yA,x+y=10的关系只有空关系，空关系的闭包是IA．应该填写：IA注意：如果二元关系改为R={<x,y>|xA，yA,x+y<10}，则R的自反闭包是什么呢？6．设R是集合A上的等价关系，且1,2,3是A中的元素，则R中至少包含等元素．因为等价关系一定是自反的、对称的、传递的，由二元关系R是自反的，所以它至少包含<1,1>,<2,2>,<3,3>等元素．应该填写：<1,1>,<2,2>,<3,3>7．设集合A={1,2}，B={a,b}，那么集合A到B的双射函数是．应该填写：{<1,a>,<2,b>}，{<1,b>,<2,a>}想一想：集合A到B的不同函数的个数有几个？三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1∪R2、R1∩R2是自反的”是否成立？并说明理由．解：正确．因为R1和R2是A上的自反关系，即IAR1，IAR2．abcdgefhabcdgefh由IAR1，IAR2，得IAR1∪R2，IAR1∩R2．所以，R1-1、R1∪R2、R1∩R2是自反的．2．若偏序集<A，R>的哈斯图如右图所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在．解：错误．集合A的最大元不存在，a是极大元．结论不成立．abc因为a与g、h没有关系，由关于最大元、最小元、极大元和极小元的定义2.5.9知道，A的最大元应该大于等于A中其它各元素，而A的极大元应该大于等于A中的一些元素，可以与Aabc注意：题目修改为：若偏序集<A，R>的哈斯图如右图所示，则集合A的最大元为a，极小元不存在．3．设集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，判断下列关系f：A→B是否构成函数，并说明理由．(1)f={<1,4>,<2,2,>,<4,6>,<1,8>}；(2)f={<1,6>,<3,4>,<2,2>}；(3)f={<1,8>,<2,6>,<3,4>,<4,2,>}．解：(1)f不能构成函数．因为A中的元素3在f中没有出现．(2)f不能构成函数．因为A中的元素4在f中没有出现．(3)f可以构成函数．因为f的定义域就是A，且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．四、计算题1．设集合A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算（1）AB；（2）A∩B；（3）A×B．解：（1）AB={{1},{2},1,2}{1,2,{1,2}}={{1},{2}}（2）A∩B={{1},{2},1,2}∩{1,2,{1,2}}={1,2}（3）AB={{1},{2},1,2}{1,2,{1,2}}={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,<{2},{1,2}>,<1,1>,<1,2>,<1,{1,2}>,<2,1>,<2,2>,<2,{1,2}}2．设A={1，2，3，4，5}，R={<x，y>|xA，yA且x+y4}，S={<x，y>|xA，yA且x+y<0}，试求R，S，RS，SR，R-1，S-1，r(S)，s(R)．解：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>},S=，RS=，SR=，R-1=R，S-1=，r(S)=IA．s(R)={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}3．设A={1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除关系，B={2,4,6}．（1）写出关系R的表示式；（2）画出关系R的哈斯图；（3）求出集合B的最大元、最小元．解：（1）R=I{<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,6>,<4,8>}（2）关系R的哈斯图如下图所示112346578关系R的哈斯图（3）集合B没有最大元，最小元是：2．五、证明题1．试证明集合等式：A(BC)=(AB)(AC)．证：若x∈A(BC)，则x∈A或x∈BC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．即x∈AB且x∈AC，即x∈T=(AB)(AC)，所以A(BC)(AB)(AC)．反之，若x∈(AB)(AC)，则x∈AB且x∈AC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，即x∈A或x∈BC，即x∈A(BC)，所以(AB)(AC)A(BC)．因此．A(BC)=(AB)(AC)．注意：第1题也是重点，我们要熟练掌握．想一想：等式A(BC)=(AB)(AC)如何证明？2．对任意三个集合A,B和C，试证明：若AB=AC，且A，则B=C．证明：设xA，yB，则<x，y>AB