金融经济学4套利 - 期权

金融经济学第４章

套利和资产定价电话箱地址：huoyanli2014@163.com办公地点：系办公室305每周15:20-16:502024/4/121编辑ppt金融第3章的总结Arrow-Debreu证券市场参与者的优化市场均衡金融资产通过市场交易定价，与投资者个人的偏好无关。Arrow-Debreu经济的一般均衡是存在的；Arrow-Debreu经济的均衡是帕累托最优的。2024/4/122编辑ppt金融4.1一般市场结构复合证券：

在多个状态下有支付，且它们的Payoff都可以看成是由AD证券的组合而产生的，如债券、股票有N个证券的市场结构：2024/4/123编辑ppt金融4.1一般市场结构（续）冗余证券定义：支付可以表示成其它证券支付的线性组合的证券。由原来N只证券的组合生成的任意支付可由删除冗余证券之后的N-1只证券的组合生成。存在市场摩擦：冗余证券的准确定义应该是它的存在与否不影响均衡配置。

2024/4/124编辑ppt金融4.1一般市场结构（续）证券市场的不同描述方式X只包括具有线性独立的证券（忽略市场摩擦）秩：rank(X)=min{N,Ω}=N。2024/4/125编辑ppt金融4.1一般市场结构（续）证券市场的不同描述方式2024/4/126编辑ppt金融4.1一般市场结构（续）定理4.1

当且仅当具有线性独立支付的证券数等于状态数时证券市场是完备的。

此时称经济中的不确定性可由市场中的证券生成span

当rank(X)=N=Ω时，X是可逆方阵，可以用复合证券复制所有的A-D证券（满秩市场与A-D市场等价）：2024/4/127编辑ppt金融4.2套利第1类套利：获得当前收益却不承担任何未来责任。第2类套利：初始投资为0却得到正的未来收益。套利组合：初始投资为0的组合。第3类套利：是第1类和第2类套利的结合。2024/4/128编辑ppt金融4.2套利（续）例4.1P54三种证券的价格与支付分别为：A：1，[1;1;1]B：1，[0;2;2]C：2，[2;0;0]组合1：[2;-1;-1]组合2：[0;1;1]组合3：[2;0;-1]2024/4/129编辑ppt金融4.2套利（续）套利的界定：只依赖公共信息，即价格与终期收支；不依赖状态概率；任何人都可利用套利机会；利用新生产技术或私有信息获利，不属于套利。2024/4/1210编辑ppt金融4.3无套利原理定理4.2

在市场均衡中不存在套利机会。定义4.2无套利原理：证券市场中不存在套利机会前提假设：市场参与者的不满足性；

市场无摩擦。2024/4/1211编辑ppt金融4.4资产定价基本原理资产定价关系或模型：从证券的支付X到其价格S的映射S=V(X)其中，V(·)称为定价算子pricingoperator或估价算子valuationoperator算子:映射或函数2024/4/1212编辑ppt金融4.4资产定价基本原理（续）定价算子的性质定理4.3（一价定律）：

两个具有相同支付的证券或组合的价格必然相同。即：如果x=y，则V(x)=V(y)。定理4.4：

支付为正的证券或组合的价格为正。即：如果x>0，则V(x)>V(0)=0。2024/4/1213编辑ppt金融4.4资产定价基本原理（续）定价算子的性质定理4.6意味着：

，ϕ为正向量。2024/4/1214编辑ppt金融4.4资产定价基本原理（续）资产定价基本定理定理4.7(fundamentaltheoremofassetpricing)：

证券市场无套利机会的充要条件为存在ϕ>>0使得：2024/4/1215编辑ppt金融定理4.7的证明证明定理4.7，即需要证明集合A为空集的充要条件为存在ϕ>>0使得：充分性：假设对所有的交易证券以及它们的组合都成立。那么V(0)=0，且对于X>0,V(X)>0.排除了套利机会，A为空。必要性：应用Farkas-Stiemke引理（参考资料：金融经济学原理/斯蒂芬.F.勒罗伊StephenF.LeRoy,简.沃纳JanWerner）。2024/4/1216编辑ppt金融2024/4/1217编辑ppt金融4.4资产定价基本原理（续）定价算子的性质定理4.8:在一个完备市场中，状态价格向量是唯一的。证明：设组合θ复制ω态索取权，则其成本STθ=ϕ是确定的，即ω态的状态价格是唯一的。2024/4/1218编辑ppt金融4.5风险中性定价和鞅无风险债券：

Payoff为1的证券无风险利率：1单位无风险证券投资获得的净支付或收益率rateofreturn货币的时间价值：以今天的1单位资源交换未来确定的资源时市场提供的回报2024/4/1219编辑ppt金融4.5风险中性定价和鞅（续）无风险债券定价成本（定价）：无风险利率：折现因子：2024/4/1220编辑ppt金融4.5风险中性定价和鞅（续）任意证券定价：风险中性测度Q：风险中性定价：2024/4/1221编辑ppt金融4.5风险中性定价和鞅（续）例4.31期有两个概率相等的状态，a和b。市场上有两只证券，价格与支付为：1，[1；1]及0.5，[2；0]解：1(1+r)=1,ϕa+ϕb=1

2ϕa=0.5Q={1/4,3/4}证券2的价格：(1/4)2+(3/4)0=0.5,但是(1/2)2+(1/2)0=1（在P下不正确）2024/4/1222编辑ppt金融4.5风险中性定价和鞅（续）风险中性定价公式对新定义的测度Q而不是实际的概率测度P取期望值P:反映各状态的实际概率Q:由状态价格定义，表示的是规范化的状态价格向量，因而它实际上已经把证券的风险考虑进去了风险中性定价公式表达的是定价关系，而不是实际的概率预期2024/4/1223编辑ppt金融4.5风险中性定价和鞅（续）普通价格以0期消费品为计量单位以1单位的无风险证券作为价格的计量单位:2024/4/1224编辑ppt金融4.5风险中性定价和鞅（续）如果以债券价格为计量单位，证券价格在风险中性测度Q下是鞅过程；Q也称为等价鞅测度equivalentmartingalemeasure；等价是说Q与真实的概率测度P等价：给定两个概率测度，如果他们有相同的0概率集，则称这两个概率测度是等价的。2024/4/1225编辑ppt金融总结重点：套利

风险中性无套利原理定价算子资产定价基本定理扩展知识点：鞅2024/4/1226编辑ppt金融4.4资产定价基本原理（续）资产定价基本定理定理4.7(fundamentaltheoremofassetpricing)：

证券市场无套利机会的充要条件为存在ϕ>>0使得：2024/4/1227编辑ppt金融定理4.7的证明证明定理4.7，即需要证明集合A为空集的充要条件为存在ϕ>>0使得：充分性：假设对所有的交易证券以及它们的组合都成立。那么V(0)=0，且对于X>0,V(X)>0.排除了套利机会，A为空。必要性：应用Farkas-Stiemke引理（参考资料：金融经济学原理/斯蒂芬.F.勒罗伊StephenF.LeRoy,简.沃纳JanWerner）。2024/4/1228编辑ppt金融2024/4/1229编辑ppt金融金融经济学第5章

期权：一个套利定价的例子电话箱地址：huoyanli2014@163.com办公地点：系办公室305每周15:20-16:502024/4/1230编辑ppt金融本章概要本章知识点：期权—定义，分类，价格。提前执行—股利，分析股利对执行的影响二叉树期权定价模型市场的完全化扩展知识点：Black-Scholes期权定价公式鹰式差价期权（condorspreads）2024/4/1231编辑ppt金融5.1期权期权：在未来一定时期，以约定价格

对标的资产进行买卖的权利。期权分类：执行时间：欧式期权，美式期权；权利：买权（call，看涨期权），

卖权（put，看跌期权）。相关术语：

到期日，执行价格，标的资产。2024/4/1232编辑ppt金融5.1期权（续）期权在1期的支付

XX0KS0KS

看涨期权看跌期权X：期权的支付；S：标的资产的价格；K：执行价格。2024/4/1233编辑ppt金融5.1期权（续）期权的价格

是标的资产现在价格S0和执行价格K的函数。内在价值（intrinsicvalue，内涵价值）

指立即履行合约时可获得的总利润。实值（>0），需值（<0），平值（=0）。看涨期权：S-K；看跌期权：K-S。时间价值：期权价格－内在价值随着到期日的临近而减少，到期日的时间价值为零看涨期权看跌期权欧式期权c(S0,K)p(S0,K)美式期权C(S0,K)P(S0,K)2024/4/1234编辑ppt金融5.1期权（续）扩展知识点：期权的立权人(optionwriter)：期权的卖出者期权是买、卖者之间的零和交易期权的净头寸恒为0衍生证券(derivativesecurity)：净供给为0；支付由其他证券的价格或支付决定。2024/4/1235编辑ppt金融5.2期权价格的性质和界期权价格的影响因素：1.标的资产

价格S和支付X2.期权的合同条款

到期日(t=1)和执行价格K，提前执行3.利率

货币的时间价值2024/4/1236编辑ppt金融由无套利原理有：定理5.1：c(S,K)和p(S,K)是非负的。定理5.2：c(S,K)对K非增，p(S,K)对K非减。定理5.3：c(S,K)和p(S,K)是K的凸函数。定理5.4：资产组合的期权的价值小于组合中各项资产的期权的组合的价值。定理5.5：S>=c(S,K)。定理5.6：如果存在无风险证券，其收益率也就是利率为rF，那么定理5.7：如果存在无风险证券且利率为rF，那么2024/4/1237编辑ppt金融利用定价算子V（

）的性质证明定理5.5-5.72024/4/1238编辑ppt金融利用定价算子V（

）的性质证明定理5.5-5.72024/4/1239编辑ppt金融5.3美式期权以及提前执行美式期权：到期日之前的任何时刻随时都可以行权。期权持有者只有在他更优时才提前执行美式期权的价格永远不会低于相应的欧式期权的价格：影响提前执行的因素：标的资产支付的股利2024/4/1240编辑ppt金融5.3美式期权以及提前执行（续）无股利时的提前执行：美式看涨期权的支付：货币的时间价值？考虑到期执行的现在价值到期日不执行的选择权结论：提前执行看涨期权所得到的价值不会高于把它当作欧式看涨期权卖出所得的价值。2024/4/1241编辑ppt金融5.3美式期权以及提前执行（续）无股利时的提前执行：美式看跌期权的支付：K-S考虑两种情况下的价值：max(K-S,0)，提前执行能够实现的价值p(S,K)，不执行，持有这份选择权的价值最优执行策略：Max(K-S,p(S,K))结论：对于美式看跌期权，没有股利，

提前执行可以是最优的.2024/4/1242编辑ppt金融5.3美式期权以及提前执行（续）有股利时的提前执行：假设股票在0期时支付股利D，S为发放股利后的股价美式看涨期权持有者在0期有两个选择：支付K执行期权，获得股利后马上抛出股票，得到D+S-K的收益持有期权直至1期（到期日）最优执行策略为：2024/4/1243编辑ppt金融5.3美式期权以及提前执行（续）有股利时的提前执行：假设股票在0期时支付股利D，S为发放股利后的股价美式看跌期权持有者在0期有两个选择：以执行价格K出售股票，得到K-D-S的收益持有期权直至1期（到期日）最优执行策略为：2024/4/1244编辑ppt金融5.3美式期权以及提前执行（续）股利促使持有者，提前执行美式看涨期权，推迟执行美式看跌期权。在有股利时，看涨期权和看跌期权的平价关系：2024/4/1245编辑ppt金融5.4完全市场中的期权定价在风险中性的环境下，金融资产的定价是未来收入现金流的预期值用无风险利率折现后的现值。2024/4/1246编辑ppt金融5.4完全市场中的期权定价（续）二叉树过程股票无风险债券uSp1pSB

dS1-p11-p由资产定价基本定理，存在状态价格向量，使得2024/4/1247编辑ppt金融5.4完全市场中的期权定价（续）二叉树过程2024/4/1248编辑ppt金融例：用二叉树法对看涨期权定价假设期权的到期时间为t=1，S=100，u=1.1，d=0.9，K=105，rF=0.05,求c？2024/4/1249编辑ppt金融5.5期权与市场完全化如果证券市场是完备的，可以用原生证券primarysecurity即标的证券和债券的价格为期权定价。如果市场是不完备的，则期权可以增进市场的完备性，甚至使市场完备化。完备市场有助于资源的有效配置。2024/4/1250编辑ppt金融5.5期权与市场完全化（续）蝴蝶头寸由同一标的证券上的、到期日相同但执行价格不同的欧式看涨期权构成的组合买入1份，执行价格为K-δ卖出2份，执行价格为K买入1份，执行价格为K+δ1期支付2024/4/1251编辑ppt金融5.5期权与市场完全化（续）鹰式头寸由同一标的证券上的、到期日相同但执行价格不同的欧式看涨期权构成的组合买入1份，执行价格为K-δ-0.5ε卖出1份，执行价格为K-0.5ε卖出1份，执行价格为K+0.5ε买入1份，执行价格为K+δ+0.5ε1期支付2024/4/1252编辑ppt金融5.5期权与市场完全化（续）状态指数证券state-indexsecurity：具有状态有别收支（分离支付）的证券2024/4/1253编辑ppt金融5.5期权与市场完全化（续）考虑如下Ω只证券组成的组合：买入1份状态指数证券买入以状态指数证券为标的资产、执行价格分别为确X1，X2，…，XΩ-1的欧式看涨期权（每种期权买入1份，共Ω-1份）支付矩阵2024/4/1254编辑ppt金融5.5期权与市场完全化（续）X满秩，市场是完备的。以状态指数证券为标的资产的期权组合可以复制AD证券。假设在状态1，2，…，Ω时状态指数证券的支付分别为δ，2δ，3δ，…，Ωδ考虑以状指数引证券为标的资产、执行价格分别为0，δ，2δ，3δ，…，（Ω-1）δ的看涨期权组合。其支付矩阵为：2024/4/1255编辑ppt金融5.5期权与市场完全化（续）执行价(k-1)δ，kδ，(k+1)δ蝴蝶头寸复制状态k的AD证券，payoff为δ状态指数证券的期权组合：可复制任意AD证券AD证券的状态价格：期权组合的现价AD证券可以以二阶差分形式的蝶式期权来复制2024/4/1256编辑ppt金融扩展知识2024/4/1257编辑ppt金融扩展知识Black-Scholes公式t：到期时间；K:执行价格；r：无风险利率；S：股票的现价；

：股价波动率；N(

):标准正态分布函数2024/4/1258编辑ppt金融例：假设当前股票价格为35，执行价格为35，无风险利率为0.1,到期时间为1年，波动率为0.2。求看涨期权的价格？4.62024/4/1259编辑ppt金融总结2024/4/1260编辑ppt金融消费集C非空，总有消费计划存在；闭性，任何一个消费计划都可看作消费集X中的一个点，任何一串点的极限也是消费集X中的一个消费计划。凸性，消费集X中的任何两个消费计划c1和c2的任意凸组合都是消费集X中的消费计划。不消费也是一种消费计划，。2024/4/1261编辑ppt金融偏好关系必须满足如下选择公理1.完备性，消费集X中的任何两个消费计划是可以比较好坏的2.反身性，任何消费计划都不比自己差3.传递性，不会发生循环