专题03 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究切线单调性问题）（选填压轴题）试题含解析

专题03一元函数的导数及其应用（利用导函数研究切线，单调性问题选填压轴题） 1①已知切线几条求参数 1 2③和切线有关的其它综合问题 3 3①已知单调区间求参数 3②由函数存在单调区间求参数 4③已知函数在某区间上不单调求参数 5④利用函数的单调性比大小 5①已知切线几条求参数12023·全国·高二专题练习）过坐标原点可以作曲线y=(x+a)ex两条切线，则a的取值范围是()22023·陕西宝鸡·统考二模）若过点(0,2)可作曲线y=x3+3x2+ax+a一2的三条切线，则a的取值范围是()32023春·广东深圳·高二统考期末）已知点A在直线x=2上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线y=x3-x相切，则点A的轨迹长度为()42023春·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知f(x)=(a士0)只有一条过原点的切线，则a=.52023春·四川·高二统考期末）已知函数f(x)=-x3+2x2-x+1，若过点P(1,t)可作曲线y=f(x)的三条切线，则t的取值范围是.62023·全国·高二专题练习）若曲线C:f(x)=(x2-4x+5)ex-2e有三条经过点A(a,0)的切线，则a的范12023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数f(x)=ln(x+1)，g(x)=ln(e2x)，若直线y=kx+b为f(x)和g(x)的公切线，则b等于()A．B．1-ln2C．2-ln2D．-ln222023春·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）若曲线f(x)=(k<0)与g(x)=ex有三条公切线，则k的取值范围为()32023春·湖北·高二武汉市第四十九中学校联考期中）若直线x+y+a=0是曲线f(x)=x3+bx-14与曲线g(x)=x2-3lnx的公切线，则a-b=().42023春·辽宁鞍山·高二东北育才学校校联考期末）已知函数f(x)=x2-mx，g(x)=lnx+mx，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在公切线，则实数m的最大值为.52023春·安徽六安·高二六安二中校联考期中）设直线l是函数f(x)=x+lnx，(|（x>和函数+4x+1的公切线，则l的方程是.62023春·江苏苏州·高二校联考期中）已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+m.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)有公切线，则实数m的取值范围为.③和切线有关的其它综合问题12023春·江西吉安·高二统考期末）若动点P在曲线y=ex+x上，则动点P到直线y=2x一4的距离的最小值为()最小值为()值为()则M的最小值为.52023春·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）若1y2)2的最小值为.①已知单调区间求参数12023春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数f(x)=aex一lnx在区间(2,3)上单调递增，则a的最小值为()1 2e222023春·吉林松原·高二长春市九台区第一中学校联考期末）已知函数f(x)=lnx+ax2一3x在(,3)上单调递增，则a的取值范围为()32023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数f(x)=asinx+cosx在区间,上单调递减，则实数a的取值范围是.42023春·高二课时练习）已知函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x(a=R)是区间(1,4)上的单调函数，则a的取值范围是.52023春·高二单元测试）设函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围②由函数存在单调区间求参数12023春·四川眉山·高二统考期末）若f(x)=-x3+x2+2ax在(2,+m)上存在单调递增区间，则a的取值范围是()22023春·河北邯郸·高二校联考期中）若函数f(x)=lnx+ax2在区间(1,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是()32023春·山东泰安·高二统考期末）已知函数f(x)=(x-1)ex-mx在区间[2,4]上存在单调减区间，则实数m的取值范围为()2e2,4e4)2e2,)2x-axe42023春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数2x-axe间，则a的取值范围是.在R上存在单调递增区52023春·广西·高二校联考期中）若函数f(x)=x3-ax2+x在[1,3]存在单调递减区间，则a的取值范62023·全国·高二专题练习）若函数f(x)=ax2+x-lnx存在增区间，则实数a的取值范围为.③已知函数在某区间上不单调求参数12023春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）已知函数f(x)=ax2+在(1,+伪)上不单调，则实数a的取值范围是()22023春·湖南岳阳·高二湖南省岳阳县第一中学校考期末）已知函数f(x)=x2-alnx+1在(1,3)上不是单调函数，则实数a的取值范围是()32023春·四川自贡·高二统考期末）若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()42023春·上海松江·高二上海市松江一中校考期末）函数y=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1在(0,3)上不单调，则实数k的取值范围是.52023春·陕西西安·高二统考期末）若函数f(x)=2x2-alnx+1在(a-3,a)上不单调，则实数a的取值范围为.62023春·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知函数y=f(x)=7x+ncos(3x+7)在定义域R上不单调，则正整数n的最小值是.④利用函数的单调性比大小12023·江苏徐州·校考模拟预测）已知a=3lg2.lg12，b=，c=+2ln3，则()22023·江西赣州·统考模拟预测）已知a=ln，b=，c=e-，则()32023春·江西上饶·高二统考期末）已知实数：a，b，cE(0.1)，且a=2023ea-2023，b=2024eb-2024，c-2025，则()专题03一元函数的导数及其应用（利用导函数研究切线，单调性问题选填压轴题） 1①已知切线几条求参数 1 5③和切线有关的其它综合问题 10 13①已知单调区间求参数 13②由函数存在单调区间求参数 16③已知函数在某区间上不单调求参数 18④利用函数的单调性比大小 21①已知切线几条求参数12023·全国·高二专题练习）过坐标原点可以作曲线y=(x+a)ex两条切线，则a的取值范围是()【答案】D设切点为(x0,y0)，则y0=(x0+a)ex，切线斜率k=(x0+1+a)ex,故选：D22023·陕西宝鸡·统考二模）若过点(0,2)可作曲线y=x3+3x2+ax+a-2的三条切线，则a的取值范围是()【答案】C令g,(x)>0，解得x<-1或x>0，令g,(所以g(x)在(-伪,-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减，在(0,+伪)上单调递增，要使得过点(0,2)可作曲线y=x3+3x2+ax+a-2的三条切线，故选：C.32023春·广东深圳·高二统考期末）已知点A在直线x=2上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线y=x3-x相切，则点A的轨迹长度为()【答案】D【详解】由题意，设点A(2,a)，过点A的直线l与曲线y=x3-x相切于点B(x0,y0)，∴y,=3x2-1，l的方程为y-(x-x0)=(3x-1)(x-x0)，3x-10，化简得a=-2x+6x-2，设g(x)=-2x3+6x2-2,g,(x)=-6x2+12x，∴g(x)在区间(-伪,0),(2,+伪)上单调递减，在区间(0,2)上单调递增，∵若过点A恰有三条不同的直线与曲线y=x3-x相切，∴满足条件的x0恰有三个，∴点A的轨迹长度为8.故选：D.42023春·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知f(x)=(a子0)只有一条过原点的切线，则a=.【答案】-4因为f(x)=xa，则f,(x)=ex-(a)ex=a+-x，所以切线的斜率为f,(m)=，故切线的方程为y-=(x-m)，因为切线过原点，所以0-=(0-m)，整理得m2-am-a=0，因为f(x)=(a子0)只有一条过原点的切线，所以方程m2-am-a=0有且只有一个实数根，故Δ=(-a)2-4(-a)=0，即a2+4a=0），所以a=-4.故答案为：-4.52023春·四川·高二统考期末）已知函数f(x)=-x3+2x2-x+1，若过点P(1,t)可作曲线y=f(x)的三条切线，则t的取值范围是.【答案】(1,)【详解】设过点P(1,t)作曲线y=f(x)的切线的切点坐标为(x0,-x+2x-x0+1)，由f(x)=-x3+2x2-x+1求导得：f,(x)=-3x2+4x-1，则切线斜率k=-3x+4x0-1，切线方程为y-(-x+2x-x0+1)=(-3x+4x0-1)(x-x0)，于是t=(-3x+4x0-1)(1-x0)+(-x+2x-x0+1)，整理得t=2x-5x+4x0，令g(x)=2x3-5x2+4x-t，求导得g,(x)=6x2-10x+4=2(3x-2)(x-1)，23由g,(x)>0，得x23因此函数g(x)在(-伪,),(1,+伪)上单调递增，在(,1)上单调递减，当x=时，函数g(x)取得极大值g()=-t，当x=1时，函数g(x)取得极小值g(1)=1-t，因为过点P(1,t)作曲线y=f(x)的切线有三条，则方程t=2x-5x+4x0有3个不等实根，2827即函数g(x)有3个零点，由三次函数的性质知，〈0，解得1<t<2827所以t的取值范围是(1,).故答案为：(1,)62023·全国·高二专题练习）若曲线C:f(x)=(x2-4x+5)ex-2e有三条经过点A(a,0)的切线，则a的范【详解】由题意f,(x)=(x2-2x+1)ex，令g,(x)=0可得x=-1或x=1.故当x=(-伪,-1)和x=(1,+伪)时g,(x)>0当x=(-1,1)时g,(x)>0，f,(x)单调递减，f(x)图象往上凸. 4 x+ee-2e=x+14 x+ee2e，e2-72令e2-72,又经过(1,0)的切线方程为y=0，故当a=,1u(1,+伪)时的切线.12023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数f(x)=ln(x+1)，g(x)=ln(e2x)，若直线y=kx+b为f(x)和g(x)的公切线，则b等于()A．B．1-ln2C．2-ln2D．-ln2【答案】B【详解】设直线l:y=kx+b与f(x)=ln(x+1)相切于点A(x1,y1)，与g(x)=ln(e2x)相切于点B(x2,y2)，由f(x)=ln(x+1)，所以f,(x)=，由f,(x1)==k牵x1=，即点A,-lnk，代入直线l中有： 1所以g,(x) 1x 由g, 2x221x2k,即点B,2-lnk，代入直线l中有：2-lnk=k.联立①②解得：k=2，所以b=1-ln2，故选：B.x(1-x2)消去x1，得4k=-ex(x2-1)2，2x(1-x2)消去x1，得4k=-ex(x2-1)2，公切线，则k的取值范围为()(1)(-1)(2)(2)(1)(-1)(2)(2)【答案】A-kx【详解】设公切线为l,P(x1,y1)是l与f(x)的切点，由f(x)=，得f,(x-kx设Q(x2,y2)是l与g(x)的切点，由g(x)=ex，得g,(x)=ex，所以l的方程为y-y1=(x-x1)，因为y1=，整理得y=x+，同理y-y2=ex(x-x2)，因为y2=ex，整理得y=exx+ex(1-x2)，由题意此方程有三个不等实根，设h(x)=-ex(x-1)2，即直线y=4k与曲线h(x)有三个不同的交点，所以h(x)有极小值为h(-1)=-4e-1，h(x当x趋近于-m时，h(x)趋近于0；当x趋近于+m时，h(x)趋近于-m，故h(x)的图象简单表示为下图:xx所以当-4e-1<4k<0，即-<k<0时，直线y=4k与曲线h(x)有三个交点.故选：A.32023春·湖北·高二武汉市第四十九中学校联考期中）若直线x+y+a=0是曲线f(x)=x3+bx-14与曲线g(x)=x2-3lnx的公切线，则a-b=().【答案】D【详解】解：因为g(x)=x2-3lnx，所以g,(x)=2x-，由2x-=-1，解得x=1或x=-（舍去），因为切点在切线x+y+a=0上，解得a=-2，所以切线方程为x+y-2=0，f,(x)=3x2+b设切点为(t,t3+bt-14)，(3t2(3t2所以a-b=11，故选：D42023春·辽宁鞍山·高二东北育才学校校联考期末）已知函数f(x)=x2-mx，g(x)=lnx+mx，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在公切线，则实数m的最大值为.【答案】/0.5设公切线和f(x)相切于(x2,y2)，和g(x)相切于(x1,y1)，因为f(x)就没有垂直于x轴的切线，故公切线斜率存在，设公切线斜率为k.x2x1-x2 m=由2 m=x-化简整理可得，2m=2x1-x+lnx2.2x2-x+lnx2根据2m=2x1--x+lnx2根据2m=2x1-22故2m=2x1-ex-1常m=x1-ex-1，设F(x)=x-ex2-1，则F,(x)=1-xex-1，2.当x>0时，则F,(x)=1-xex-1=1-ex-1+lnx，故h(x)在(0,+伪)上递增，注意到h(1)=0，②当x>1时，h(x)>0，F,(x)=1-ex-1+lnx<0；综上所述：当x<1时，F,(x)>0；当x>1时，F,(x)<0；所以m的最大值为.故答案为：.52023春·安徽六安·高二六安二中校联考期中）设直线l是函数f(x)=x+lnx，(|（x>和函数+4x+1的公切线，则l的方程是.【答案】2x-y-1=0【详解】设直线l与函数f(x)=x+lnx的切点为A(x1,x1+lnx1)，直线l与函数g(x)=x2+4x+1的切点为B(x2,x+4x2+1)，f,(x)=1+，所以f,(x1)=1+，2x2-x1x1后面等式整理得x2=-3，代入前面等式整理得-32+4-3+1-x1-lnx1=1+1，1x-3-x1111-2所以-t2+3t-+lnt=0，令h(t)=-t2+3t-+lnt,所以h,(t)=-t+3+t容易知道，h,(t)=-t+3+th(t)min为减函数，所以h,(t)=-t+3+t所以h(t)=-t2+3t-+lnt单调递增，所以h(t)=-t2+3t-+lnt最多一个零点，容易知道h(1)=-+3-=0，所以-t2+3t-+lnt=0只有一个解t=1，所以A点坐标为(1,1)，所以切线方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0.故答案为：2x-y-1=0. 2x262023春·江苏苏州·高二校联考期中）已知函数f(x)=lnx,g(x 2x2y=g(x)有公切线，则实数m的取值范围为.+m.若曲线y=f(x)与曲线【详解】∵f(x)=lnx，则f,(x)= 1,x设切点坐标A(x1,lnx1)(x1>0)，则切线斜率k1=f,(x1)=，故切线方程为y-lnx1=(x-x1)，整理得y=x+lnx1-1，故切线方程为y-x+m=x2(x-x2)，整理得y=x2.x-x+m，2-1构建F(x)=x2-lnx-1(x>0)，则F,(x)=x-=，令F,(x)>0，解得x>1；令F,(x)<0，解得0<x<1；∴F(x)在(1,+伪)上单调递增，在(0,1)当x趋近于0时，F(x)趋近于正无穷大，当x趋近于正无穷大时，F(x)趋近于正无穷大，「-1)「-1)③和切线有关的其它综合问题12023春·江西吉安·高二统考期末）若动点P在曲线y=ex+x上，则动点P到直线y=2x-4的距离的最小值为()【答案】A【详解】设P(x0,ex+x0)，由题意知y,=ex+1，0则在点P(x0,ex+x0)处的切线斜率为k0当在点P(x0,ex+x0)处的切线与直线y=2x一4平行时，点P到直线y=2x一4的距离最小，所以动点P到直线y=2x一4的距离的最小值为.故选：A最小值为()【答案】B(ac)2+(bd)2的几何意义为曲线b=ln(a1)上的点(a,b)到直线d=c+2上的点(c,d)连线的距离的平方，显然直线y=x+2与直线y=x+m的距离的平方即为所求，由y=ln(x1)，得y,=，设切点为(x0，y0)，00:直线y=x+2与直线y=x+m的距离为=2，:(a一c)2+(bd)2的最小值为8.故选：B.值为()【答案】C)为圆心，1为半径的圆上，(xa)2+(lnxb)2表示点(a,b)与点(x,lnx)的距离的平方，=1上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的平方.5设(m,lnm)为y＝lnx上一点，且在(m,lnm)处的y＝lnx的切线与(m,lnm)和(-1,2)连线垂直，可得故选：C.则M的最小值为.【答案】/3.2(y1y2)2的最小值可转化为曲线f(x)上的点A(x1,y1)到直线x+2y2ln26=0上的点B(x2,y2)的距离的平方的最小值.当曲线f(x)在点A处的切线平行于B所在的直线，，解得x=2，则A(2,故M的最小值为d2=5.故答案为：. = 5,52023春·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）若13y11y2)2的最小值为.【答案】/1.6/1则(x1x2)2+(y1y2)2表示曲线f(x)=ex+2x上的点与直线3xy3=0上的点的距离的平方，令f,(x)=ex+2=3得x=0，所以曲线f(x)在(0,f(0))的切线方程为3x一y+1=0，所以曲线f(x)=ex+2x上的点与直线3x一y一3=0上的点的距离的最小值即为直线3x一y+1=0与3xy3=0之间的距离， 2故答案为：①已知单调区间求参数12023春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数f(x)=aex一lnx在区间(2,3)上单调递增，则a的最小值为()【答案】D【详解】依题可知，f,(x)=aex一之0在(2,设g(x)=xex,xe(2,3)，所以g,(x)=(x+1)ex12e22=e212e22=e2故选：D. 2222023春·吉林松原·高二长春市九台区第一中学校联考期末）已知函数f(x)=lnx+ax2-3x在(,3)上单调递增，则a的取值范围为()【答案】C【详解】因为f(x)=lnx+ax2-3x，所以f,(x)=+2ax-3=，由f(x)在(,3)上单调递增，得f,(x)之0在(,3)上恒成立，即2ax2-3x+1之0在(,3)上恒成立即a之-+=-(-)2+在(,3)上恒成立，当x==(,3)时，二次函数y=-(-)2+取到最大值，故选：C32023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数f(x)=asinx+cosx在区间,上单调递减，则实数a的取值范围是.「)【详解】f,(x)=acosx-sinx，因为函数f(x)=asinx+cosx在区间,上单调递减，所以f,(x)=acosx-sinx<0对Ⅴx=,恒成立，即a³tanx恒成立， 「)「)342023春·高二课时练习）已知函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x(aER)是区间(1,4)上的单调函数，则a的取值范围是.令f,(x)=0，则x=1或a-1，因为f(x)是区间(1,4)上的单调函数，52023春·高二单元测试）设函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围【答案】k<【详解】因f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1，f,(x)=3kx2+6(k-1)x，若k=0，f,(x)=-6x，当xE(0,4)时，f,(x)=-6x<0，符合题意，k3x2故k<0时，f,(x)=3kx2+6(k-1)x<0得)<6x，因xE(0,4)，6x23x2222设g(x)=在(0,4)上恒成立，xE(0,4)则g(x)在(0,4)上单调递减，综上k<，故答案为：k<1故故a>②由函数存在单调区间求参数12023春·四川眉山·高二统考期末）若f(x)=-x3+x2+2ax在(2,+伪)上存在单调递增区间，则a的取值范围是()【答案】B2 x2【详解】函数f(x)=-2 x2+2ax，求导得f,(x)=-x2+x+2a，因为函数f(x)在(2,+伪)上存在单调递增区间，则不等式f,(x)>0在(2,+伪)上有解，而f,(x)>0常-x2+x+2a>0常2a>x2-x，故选：B22023春·河北邯郸·高二校联考期中）若函数f(x)=lnx+ax2在区间(1,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是()【答案】D【详解】：f(x)=lnx+ax2,:f,(x)=+ax，若f(x)在区间(1,2)内存在单调递增区间，则f,(x)>0,xe(1,2)有解，1x21x21x21x21x2故选：D.32023春·山东泰安·高二统考期末）已知函数f(x)=(x-1)ex-mx在区间[2,4]上存在单调减区间，则实数m的取值范围为()2e2,4e4)2e2,)【答案】D【详解】由已知f,(x)=ex+(x-1)ex-m=xex-m<0在[2,4]上有解，即m>xex在[2,4]上有解，xx设g(x)=xex，则g(x)=(x+1)ex>0在[2,4]上恒成立，因此g(x)在[2,4]上是增函数，g(x)min=g(2)=2e2，所以m>2e2，故选：D.42023春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数f(x)=x2a在R上存在单调递增区间，则a的取值范围是.2xaxe【详解】函数2xaxe2xxexee2xex(xa)ex2x(x2a)2xxexee,∵函数f(x)=x2a在R上存在单调递增区间，:f,(x)=2x一2+a>0，即:a>x2一2x有解，min=1，:a>1即可. 2ax252023春·广西· 2ax2+x在[1,3]存在单调递减区间，则a的取值范min，2x(1)(1)由题意可知，存在x>0使得f¢(x)>0，即2a>当x>0时，-=-2-③已知函数在某区间上不单调求参数12023春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）已知函数f(x)=ax2+在(1,+伪)上不单调，则实数a的取值范围是()【答案】B【详解】f,(x)=2ax-=2.，当a=0时，f,(x)=-<0,f(x)在区间(1,+伪)上单调递减，不符合题意.当a<0，x>1时，f,(x)=2.<0，f(x)在区间(1,+伪)上单调递减，不符合题意.当a>0,x>1时，令f,(x)=2.=0，解得x=，a要使f(x)在区间(1,+伪)上不单调，则x=>1，a（a)此时f(x)在区间(|1,3)|上f,(x)<0,f(x)（a)（a)在区间(|3,+伪)|上f,(x)>0,f(x（a)故选：B22023春·湖南岳阳·高二湖南省岳阳县第一中学校考期末）已知函数f(x)=x2-alnx+1在(1,3)上不是单调函数，则实数a的取值范围是()【答案】A若a<0，则f，(x)之0恒成立，则f(x)在(0,+父)上单调递增，与已知不符，舍去； 当a>0时，由f，(x)=0可知，x=或x=-由已知函数f(x)=x2-alnx+1在(1,3)上不是单调函数， 故选：A.32023春·四川自贡·高二统考期末）若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()【答案】A【详解】函数f(x)=2x2-lnx的定义域为(0,+父)，且f，(x)=4x-=，当0<x<时，f，(x)<0，此时函数f(x)单调递减，当x>时，f¢(x)>0，此时函数f(x)单调递增，所以，函数f(x)的唯一极值点为x=，因为函数f(x)=2x2-lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数，则函数f(x)在区间(k-1,k+1)上存在极值点，且(k-1,k+1)坚(0,+父)，0 120 12故选：A.3.242023春·上海松江·高二上海市松江一中校考期末）函数y=x3+(k__1)x2+(k+5)x_1在(0,3)上不单调，则实数k的取值范围是.【答案】(_5,_2)又因为函数f(x