第07讲 平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）-冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（上海专用）（原卷版）

第07讲平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）【考纲要求】⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.【知识导图】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点点P(x,y)在第一象限；点P(x,y)在第二象限；点P(x,y)在第三象限；点P(x,y)在第四象限；点P(x,y)在x轴上，x为任意实数；点P(x,y)在y轴上，y为任意实数；点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）.3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数.4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点p′关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数；点P与点p′关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数；点P与点p′关于原点对称横、纵坐标均互为相反数.6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.考点二、函数函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．（2）正比例函数y=kx（k≠0)的图象：过（0，0），（1，K）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小.2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象的性质一次函数y＝kx＋b的图象是经过(0，b)点和点的一条直线．当k>0时，y随x的增大而增大；②当k<0时，y随x的增大而减小．3.反比例函数及其图象性质（1）定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.三种形式：(k≠0)或(k≠0)或xy=k(k≠0).（2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1；②比例系数；③自变量的取值为一切非零实数；④函数的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象①图象的画法：描点法列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）；描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）.②反比例函数的图象是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是和）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.④反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意点引轴、轴的垂线，所得矩形面积为.（4）反比例函数性质：反比例函数k的符号k>0k<0图像性质①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y随x的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出）（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系.【典型例题】题型一、坐标平面有关的计算例1．已知点A(a，-5)，B(8，b)，根据下列要求确定a，b的值.(1)A，B两点关于y轴对称；(2)A，B两点关于原点对称；(3)AB∥x轴；(4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上．【变式】已知点A的坐标为(-2，-1)．(1)如果B为x轴上一点，且，求B点的坐标；(2)如果C为y轴上的一点，并且C到原点的距离为3，求线段AC的长；(3)如果D为函数y＝2x-1图象上一点，，求D点的坐标．例2．已知某一函数图象如图所示．(1)求自变量x的取值范围和函数y的取值范围；(2)求当x＝0时，y的对应值；(3)求当y＝0时，x的对应值；(4)当x为何值时，函数值最大；(5)当x为何值时，函数值最小；(6)当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；(7)当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．【变式1】下图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是()【变式2】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是()．题型二、一次函数例3．盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．（1）a=，b=；（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？【变式1】(1)直线y＝2x+1向下平移2个单位，再向右平移2个单位后的直线的解析式是________.(2)直线y＝2x+1关于x轴对称的直线的解析式是________；直线y＝2x+l关于y轴对称的直线的解析式是_________；直线y＝2x+1关于原点对称的直线的解析式是_________．(3)如图所示，已知点C为直线y＝x上在第一象限内一点，直线y＝2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB平移后经过(3，4)点，则平移后的直线的解析式是________．【变式2】某地夏天旱情严重．该地10号、15号的人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量低于10千克时，政府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为()A．23B．24C．25D．26题型三、反比例函数例4．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（2，3）、B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．【变式】已知正比例函数（为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象有一个交点的横坐标是2．（1）求两个函数图象的交点坐标；（2）若点，是反比例函数图象上的两点，且，试比较的大小． 题型四、函数综合应用例5．如图，直线（＞0）与双曲线（＞0）在第一象限的一支相交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，P是双曲线上一点，且.（1）试用、表示C、P两点的坐标；（2）若△POD的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式；（3）若△OAB的面积等于，试求△COA与△BOD的面积之和.【变式1】如图所示是一次函数y1＝kx+b和反比例函数的图象，观察图象写出y1＞y2时x的取值范围________．【变式2】已知函数，m为何值时，(1)y是x的正比例函数，且y随x的增大而增大?(2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线?例6．已知直线(n是不为零的自然数)．当n＝1时，直线与x轴和y轴分别交于点A1和B1，设△A1OB1(其中O是平面直角坐标系的原点)的面积为S1；当n＝2时，直线与x轴和y轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为S2，…，依此类推，直线与x轴和y轴分别交于点An和Bn，设△AnOBn的面积为Sn．(1)求的面积S1；(2)求S1+S2+S3+…+S6的面积．【中考过关真题练】一．选择题（共4小题）1．（2017•上海）如果一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（）A．k＞0，且b＞0 B．k＜0，且b＞0 C．k＞0，且b＜0 D．k＜0，且b＜02．（2022•上海）已知反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（）A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0）3．（2020•上海）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣4．（2019•上海）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣二．填空题（共10小题）5．（2020•上海）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而．（填“增大”或“减小”）6．（2004•上海）已知a＜b＜0，则点A（a﹣b，b）在第象限．7．（2021•上海）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元/千克，现以8元卖出，挣得元．8．（2018•上海）如果一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而．（填“增大”或“减小”）9．（2018•上海）已知反比例函数y＝（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是．10．（2017•上海）如果反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而．（填“增大”或“减小”）11．（2022•上海）已知直线y＝kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：．12．（2021•上海）已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式．13．（2020•上海）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行米．14．（2016•上海）已知反比例函数y＝（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是．三．解答题（共5小题）15．（2022•上海）一个一次函数的截距为﹣1，且经过点A（2，3）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值．16．（2019•上海）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．17．（2018•上海）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？18．（2017•上海）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．19．（2016•上海）某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA（千克）与时间x（时）的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量yB（千克）与时间x（时）的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求yB关于x的函数解析式；（2）如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？【中考挑战满分模拟练】一．选择题（共9小题）1．（2022•徐汇区校级模拟）关于函数y＝kx+b（k，b都是不等于0的常数），下列说法，正确的是（）A．y与x成正比例 B．y与kx成正比例 C．y与x+b成正比例 D．y﹣b与x成正比例2．（2022•徐汇区模拟）如果函数y＝kx+2的图象不经过第三象限，那么k的取值范围是（）A．k＞0 B．k≥0 C．k＜0 D．k≤03．（2022•松江区二模）如果一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点在y轴正半轴上，且y随x的增大而减小，那么（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜04．（2022•徐汇区模拟）如果反比例函数y＝（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，那么一次函数y＝kx﹣k的图象一定经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限5．（2022•普陀区二模）关于函数y＝﹣，下列说法中正确的是（）A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．y的值随x的值增大而减小6．（2022•宝山区二模）已知反比例函数的图象经过点（﹣3，2），那么这个反比例函数的解析式是（）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣7．（2022•普陀区模拟）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（）A．5s时，两架无人机都上升了40m B．10s时，两架无人机的高度差为20m C．乙无人机上升的速度为8m/s D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m8．（2022•闵行区二模）在下列函数中，同时具备以下三个特征的是（）①图象经过点（1，1）；②图象经过第三象限；③当x＜0时，y的值随x的值增大而增大．A．y＝﹣x2+2 B．y＝﹣x C．y＝﹣2x+3 D．9．（2022•浦东新区校级模拟）函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）且x1＜x2，那么下列结论正确的是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1与y2之间的关系不能确定二．填空题（共25小题）10．（2022•嘉定区二模）如果正比例函数y＝（1﹣k）x的图象经过点A（2，﹣4），那么k的值是．11．（2022•长宁区二模）已知在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象经过位于x轴上方的点A，点B的坐标为（﹣4，0），且△AOB的面积等于8，那么点A的坐标为．12．（2021•上海模拟）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为．13．（2022•松江区校级模拟）已知一次函数y＝kx+3（k≠0），y的值随x值的增大而增大，那么该函数的图象经过第象限．14．（2022•黄浦区校级二模）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，0）和B（0，﹣2），当x时，函数值y＜0．15．（2022•静安区二模）已知正比例函数y＝kx（k≠0），当自变量x的值增大时，y的值随之减小，那么k的取值范围是．16．（2022•静安区二模）如果点（1，0）在一次函数y＝kx﹣1（k是常数，k≠0）的图象上，那么该直线不经过第象限．17．（2022•普陀区二模）将直线y＝﹣2x+1沿着y轴向下平移4个单位，所得直线的表达式是．18．（2022•徐汇区模拟）将函数y＝kx的图象向下平移2个单位后，经过点（1，0），那么y的值随x的增大而．（填“增大”或“减小”）19．（2022•金山区二模）反比例函数（k是实数，k≠0）的图象在每个象限内y随着x的增大而增大，那么这个反比例函数的图象的两个分支分别在第象限．20．（2022•静安区二模）函数f（x）＝的定义域是．21．（2022•徐汇区模拟）已知：反比例函数y＝，当x＜0时，函数值y随自变量x值的增大而减小，那么k的取值范围是．22．（2022•浦东新区二模）反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，2），则k的值为．23．（2022•崇明区二模）当0＜k＜1时，一次函数y＝（k﹣1）x+k的图象不经过第象限．24．（2022•松江区二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，对于任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），称|x1﹣x2|+|y1﹣y2|的值为P、Q两点的“直角距离”．直线y＝﹣x+5与坐标轴交于A、B两点，Q为线段AB上与点A、B不重合的一点，那么O、Q两点的“直角距离”是．25．（2022•长宁区二模）将直线y＝﹣2x+6向左平移三个单位后，所得直线的表达式为．26．（2022•浦东新区校级模拟）如果将直线y＝2x平移，使其经过点（0，﹣6），那么平移后的直线表达式是．27．（2022•虹口区二模）已知点A（x1，y1）、点B（x2，y2）在双曲线y＝上，如果0＜x1＜x2，那么y1y2．28．（2022•上海模拟）已知函数y＝（k＞0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1＝2x2＜0，那么y1y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．29．（2022•宝山区模拟）如果反比例函数（k是常数，且k≠0）的图象经过点A（1，﹣2），那么这个反比例函数的图象在第象限．30．（2022•黄浦区校级二模）如图，已知点A是双曲线上一动点，联结OA，作OB⊥OA，且OB＝2OA，如果当点A在双曲线上运动时，点B恰好在双曲线上运动，那么k的值为．31．（2022•闵行区二模）如图，过原点且平行于y＝3x﹣1的直线与反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象相交于点C，过直线OC上的点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AD＝2BD，那么点C的坐标为．32．（2022•徐汇区模拟）如图，已知点A（0，8）和点B（4，8），点B在函数y＝（x＞0）的图象上，点C是AB的延长线上一点，过点C的直线交x轴正半轴于点E、交双曲线于点D．如果CD＝DE，那么线段CE长度的取值范围是．33．（2022•青浦区模拟）图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系，根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60km/h，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），他从家到机场需要小时．34．（2022•松江区二模）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现，该纪念册每周的销量y（本）与每本的售价x（元）之间满足一次函数关系：y＝﹣2x+80（20＜x＜40）．已知某一周该纪念册的售价为每本30元，那么这一周的盈利是元．三．解答题（共17小题）35．（2022•宝山区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知某个一次函数的图象平行于直线y＝x，经过点A（﹣2，1），且与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当△ABC的面积等于2时，求点C的坐标．36．（2022•金山区二模）弹簧在一定限度内，它的长度y（cm）与所挂重物的重量x（kg）是一次函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度．重物的重量x（kg）…2…10…弹簧的长度y（cm）…13…17…（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；（2）弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过25cm，那么所挂重物的重量最多为多少？37．（2022•浦东新区二模）在一次蜡烛燃烧试验中，甲蜡烛燃烧时剩余部分的高度（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）求甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数解析式（不写定义域）；（2）现将一根乙蜡烛与甲蜡烛做完全燃烧比较试验，已知乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧5厘米，乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧2分钟，求乙蜡烛的高度．38．（2022•虹口区二模）浦江边某条健身步道的甲、乙两处相距3000米，小杰和小丽分别从甲、乙两处同时出发，匀速相向而行．小杰的运动速度较快，当到达乙处后，随即停止运动，而小丽则继续向甲处运动，到达后也停止运动．在以上过程中，小杰和小丽之间的距离y（米）与运动时间x（分）之间的函数关系，如图中折线AB﹣BC﹣CD所示．（1）小杰和小丽从出发到相遇需要分钟；（2）当0≤x≤24时，求y关于x的函数解析式（不需写出定义域）；（3）当小杰到达乙处时，小丽距离甲处还有多少米．39．（2022•长宁区二模）在同一条公路上，甲车从A地驶往B地，乙车从B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．甲车行驶2小时后，因故停车一段时间，然后按原速继续驶往B地，最后两车同时到达各自的终点．如果甲车的速度比乙车每小时快10千米，如图表示甲车离A地的路程S（千米）与时间t（时）的函数关系，问：（1）甲、乙两车行驶时的速度分别为每小是多少千米？（2）两车在离A地多少千米处相遇？（结果保留三位有效数字）40．（2022•宝山区模拟）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时），关于已行驶路程x（千米）的函数图象．（1）根据图象，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已经行驶的路程为千米．当0≤x≤150时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为千米．（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．41．（2022•松江区校级模拟）如图，已知反比例函数的图象经过A（1，6）、B两点，直线AB与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若，求点C点坐标．42．（2022•徐汇区模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝（m≠0，x＞0）的图象交于点A（a，4），点B为直线y＝2x上一点，且AB＝2OA．（1）求反比例函数y＝的解析式；（2）过点B作BC∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点C，求△ABC的面积．43．（2022•宝山区模拟）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A，B，与双曲线y＝交于C（2，m），D（n，﹣2）．（1）求直线AB的表达式；（2）将点B向右平移到点M，点M恰好在双曲线y＝上．如果N（4，a）是第四象限内的点，且满足DN＝DM，求点N的坐标．44．（2022•杨浦区三模）A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车从A城驶往B城，乙车从B城驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．（1）求y关于x的函数解析式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，当乙车与甲车相遇后速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．45．（2022•松江区二模）小红打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”送给妈妈．已知买2支康乃馨和3支百合共需花费28元，买3支康乃馨和2支百合共需花费27元．（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？（2）小红准备买康乃馨和百合共9支，且百合花支数不少于康乃馨支数．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并直接写出满足上述条件且费用最少的买花方案．46．（2022•嘉定区二模）已知直线y＝kx+4（k≠0）与双曲线都经过点A（2，m）．（1）如果点B（﹣2，6）在直线y＝kx+4（k≠0）上，求m的值；（2）如果第三象限的点C与点A关于原点对称，点C的纵坐标是﹣3，求双曲线的表达式．47．（2022•崇明区二模）已知在平面直角坐标系xOy中，正比例函数与反比例函数的图象交于点P（1，2），直线AB垂直于x轴，垂足为点C（点C在原点的右侧），并分别与正比例函数和反比例函数的图象相交于点A、B，且AC+BC＝5．（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．48．（2022•杨浦区二模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：（1）点A的注意力指标数是．（2）当0≤x＜10时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式；（3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由．49．（2022•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，∠OAB＝90°，AO＝AB＝4，C为斜边OB的中点，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点C，交边AB于点D，（1）这个反比例函数的解析式；（2）联结CD、OD，求的值．50．（2022•静安区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图所示），已知点A（2，1）与点B（，b）都在双曲线y＝上．（1）求此双曲线的表达式及点B的坐标；（2）判断△OAB的形状，并求∠OBA的正切值．51．（2022•杨浦区三模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限内，AC⊥AB，且AC＝AB．（1）求点C的坐标；（2）将△ABC沿x轴向右平移，点A、B、C的对应点分别是点A′、B′、C′，如果点B′、C′都落在双曲线y＝上，求k的值；（3）如果直线y＝x+1与第（2）小题中的双曲线y＝有两个公共点E和F，求S△OEF的值．【名校自招练】一．选择题（共2小题）1．（2016•宝山区校级自主招生）已知反比例函数y＝（m为常数，m＞0）的图形与直线y＝x有公共点，若点A（﹣2，a），B（﹣3，b）是y＝图象上的两点，则a，b的大小关系（）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．无法确定2．（2016•宝山区校级自主招生）若点A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则（）A．|y2|＜|y1|＜|y3| B．|y1|＜|y3|＜|y2| C．|y2|＜|y3|＜|y1| D．|y1|＜|y2|＜|y3|二．填空题（共10小题）3．（2016•宝山区校级自主招生）平面直角坐标系，若坐标原点到直线y＝kx﹣2（k≠0）的距离等于，则k的值等于．4．（2021•宝山区校级自主招生）直线y＝﹣2x+2交y轴于点A，交x轴于点B，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，点P在x轴上，使S△PCD＝S△ACB，则点P坐标为．5．（2016•宝山区校级自主招生）直线x﹣y＝1与反比例函数的图象如果恰有一个交点，则该交点必定在第象限．6．（2022•徐汇区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣6，0）、B（﹣2，2），动点P在直线y＝﹣x上，动点Q在x轴上，则AP+PQ+QB的最小值为．7．（2021•宝山区校级自主招生）已知A（﹣1，5），B（﹣2，4），C在x轴上，D在y轴上，当四边形ABCD的周长最小时，直线CD的解析式为．8．（2019•宝山区校级自主招生）直线y＝x+k（k＜0）上依次有A，B，C，D四点，它们分别是直线与x轴、双曲线、y轴的交点，若AB＝BC＝CD，则k＝．9．（2019•宝山区校级自主招生）反比例函数与二次函数y＝﹣x2+4x﹣3的图象的交点个数为．10．（2019•徐汇区校级自主招生）已知点C（3，5），D（0，1），A、B两点在x轴上且AB＝2．已知点A在x轴右侧，求CABCD的最小值为．11．（2017•杨浦区校级自主招生）如图所示，直线l经过点P，且垂直于AB，当长方形AOBP的周长为20时，请求出无论图形如何变化，l始终经过的定点坐标．12．（2017•杨浦区校级自主招生）在反比例函数y＝上存在点C，以点C为圆心，1为半径画圆，圆上存在两点到O点距离为2，则k的取值范