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文档简介
2023-2024学年华中师大新高考数学二模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数的图象在点处的切线方程是,则()A.2 B.3 C.-2 D.-32.已知定义在上的函数满足,且当时,.设在上的最大值为(),且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.3.已知等差数列的公差不为零,且,,构成新的等差数列,为的前项和,若存在使得,则()A.10 B.11 C.12 D.134.已知直线:过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行,则双曲线的方程为()A. B. C. D.5.已知数列为等差数列,为其前项和,,则()A. B. C. D.6.已知,,,是球的球面上四个不同的点,若,且平面平面,则球的表面积为()A. B. C. D.7.已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是()A.1 B.2 C. D.8.在声学中,声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).,,那么()A. B. C. D.9.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,若点在角的终边上,则()A. B. C. D.10.已知函数若函数在上零点最多,则实数的取值范围是()A. B. C. D.11.设,分别是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于,两点,且,,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.12.抛物线C:y2=2px的焦点F是双曲线C2:x2m-y21-m=1A.2+1 B.22+3 C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知i为虚数单位,复数,则=_______.14.已知数列的前项和且,设,则的值等于_______________.15.如图所示,在正三棱柱中,是的中点,,则异面直线与所成的角为____.16.双曲线的离心率为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若正数、满足,求证:.18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)把的参数方程化为极坐标方程:(2)求与交点的极坐标.19.(12分)已知抛物线的准线过椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若,求直线AB的方程.20.(12分)在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ+).(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于M,N两点,求△MON的面积.21.(12分)已知椭圆的离心率为,直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点).(1)求椭圆的方程;(2)已知直线,为椭圆的右顶点.若直线交于点,直线交于点,试判断是否为定值,若是,求出定值;若不是,说明理由.22.(10分)已知椭圆的离心率为,椭圆C的长轴长为4.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线与椭圆C交于两点,是否存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据求出再根据也在直线上,求出b的值,即得解.【详解】因为,所以所以,又也在直线上,所以,解得所以.故选:B【点睛】本题主要考查导数的几何意义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2、C【解析】
由已知先求出,即,进一步可得,再将所求问题转化为对于任意正整数恒成立,设,只需找到数列的最大值即可.【详解】当时,则,,所以,,显然当时,,故,,若对于任意正整数不等式恒成立,即对于任意正整数恒成立,即对于任意正整数恒成立,设,,令,解得,令,解得,考虑到,故有当时,单调递增,当时,有单调递减,故数列的最大值为,所以.故选:C.【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题,涉及到求函数解析、等比数列前n项和、数列单调性的判断等知识,是一道较为综合的数列题.3、D【解析】
利用等差数列的通项公式可得,再利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】由,,构成等差数列可得即又解得:又所以时,.故选:D【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式,需熟记公式,属于基础题.4、A【解析】
根据直线:过双曲线的一个焦点,得,又和其中一条渐近线平行,得到,再求双曲线方程.【详解】因为直线:过双曲线的一个焦点,所以,所以,又和其中一条渐近线平行,所以,所以,,所以双曲线方程为.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.5、B【解析】
利用等差数列的性质求出的值,然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.【详解】由等差数列的性质可得,.故选:B.【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用,同时也考查了等差数列求和,考查计算能力,属于基础题.6、A【解析】
由题意画出图形,求出多面体外接球的半径,代入表面积公式得答案.【详解】如图,取BC中点G,连接AG,DG,则,,分别取与的外心E,F,分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线,相交于O,则O为四面体的球心,由,得正方形OEGF的边长为,则,四面体的外接球的半径,球O的表面积为.故选A.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法,考查空间想象能力与思维能力,是中档题.7、C【解析】
画出不等式表示的平面区域,计算面积即可.【详解】不等式表示的平面区域如图:直线的斜率为,直线的斜率为,所以两直线垂直,故为直角三角形,易得,,,,所以阴影部分面积.故选:C.【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法,考查数形结合思想和运算能力,属于常考题.8、D【解析】
由得,分别算出和的值,从而得到的值.【详解】∵,∴,∴,当时,,∴,当时,,∴,∴,故选:D.【点睛】本小题主要考查对数运算,属于基础题.9、D【解析】
由题知,又,代入计算可得.【详解】由题知,又.故选:D【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,诱导公式,二倍角公式的应用求值.10、D【解析】
将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题,画出函数的图象,易知直线过定点,故与在时的图象必有两个交点,故只需与在时的图象有两个交点,再与切线问题相结合,即可求解.【详解】由图知与有个公共点即可,即,当设切点,则,.故选:D.【点睛】本题考查了函数的零点个数的问题,曲线的切线问题,注意运用转化思想和数形结合思想,属于较难的压轴题.11、C【解析】
根据表示出线段长度,由勾股定理,解出每条线段的长度,再由勾股定理构造出关系,求出离心率.【详解】设,则由椭圆的定义,可以得到,在中,有,解得在中,有整理得,故选C项.【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率,是求椭圆离心率的一个常用方法,通过几何关系,构造出关系,得到离心率.属于中档题.12、A【解析】
先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值,再利用双曲线的定义可求得a的值,即可求得离心率.【详解】由题意知,抛物线焦点F1,0,准线与x轴交点F'(-1,0),双曲线半焦距c=1,设点Q(-1,y)ΔFPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,即PF所以PQ⊥抛物线的准线,从而PF⊥x轴,所以P1,2∴2a=P即a=故双曲线的离心率为e=故选A【点睛】本题考查了圆锥曲线综合,分析题目,画出图像,熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先把复数进行化简,然后利用求模公式可得结果.【详解】.故答案为:.【点睛】本题主要考查复数模的求解,利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.14、7【解析】
根据题意,当时,,可得,进而得数列为等比数列,再计算可得,进而可得结论.【详解】由题意,当时,,又,解得,当时,由,所以,,即,故数列是以为首项,为公比的等比数列,故,又,,所以,.故答案为:.【点睛】本题考查了数列递推关系、函数求值,考查了推理能力与计算能力,计算得是解决本题的关键,属于中档题.15、【解析】
要求两条异面直线所成的角,需要通过见中点找中点的方法,找出边的中点,连接出中位线,得到平行,从而得到两条异面直线所成的角,得到角以后,再在三角形中求出角.【详解】取的中点E,连AE,,易证,∴为异面直线与所成角,设等边三角形边长为,易算得∴在∴故答案为【点睛】本题考查异面直线所成的角,本题是一个典型的异面直线所成的角的问题,解答时也是应用典型的见中点找中点的方法,注意求角的三个环节,一画,二证,三求.16、2【解析】三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析【解析】
(1)等价于(Ⅰ)或(Ⅱ)或(Ⅲ),分别解出,再求并集即可;(2)利用基本不等式及可得,代入可得最值.【详解】(1)等价于(Ⅰ)或(Ⅱ)或(Ⅲ)由(Ⅰ)得:由(Ⅱ)得:由(Ⅲ)得:.原不等式的解集为;(2),,,,,当且仅当,即时取等号,,当且仅当即时取等号,.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式,考查三角不等式的应用及基本不等式的应用,是一道中档题.18、(1)(2)与交点的极坐标为,和【解析】
(1)先把曲线化成直角坐标方程,再化简成极坐标方程;(2)联立曲线和曲线的方程解得即可.【详解】(1)曲线的直角坐标方程为:,即.的参数方程化为极坐标方程为;(2)联立可得:,与交点的极坐标为,和.【点睛】本题考查了参数方程,直角坐标方程,极坐标方程的互化,也考查了极坐标方程的联立,属于基础题.19、(1);(2)或.【解析】
(1)由抛物线的准线方程求出的值,确定左焦点坐标,再由点F到直线l:的距离为4,求出即可;(2)设直线方程,与椭圆方程联立,运用根与系数关系和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.【详解】(1)抛物线的准线方程为,,直线,点F到直线l的距离为,,所以椭圆的标准方程为;(2)依题意斜率不为0,又过点,设方程为,联立,消去得,,,设,,,,线段AB的中垂线交直线l于点Q,所以横坐标为3,,,,平方整理得,解得或(舍去),,所求的直线方程为或.【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式,合理运用两点间的距离公式,考查计算求解能力,属于中档题.20、(1)直线l的普通方程为x+y-4=0.曲线C的直角坐标方程是圆:(x-)2+(y-1)2=4.(2)4【解析】
(1)将直线l参数方程中的消去,即可得直线l的普通方程,对曲线C的极坐标方程两边同时乘以,利用可得曲线C的直角坐标方程;(2)求出点到直线的距离,再求出的弦长,从而得出△MON的面积.【详解】解:(1)由题意有,得,x+y=4,直线l的普通方程为x+y-4=0.因为ρ=4sin所以ρ=2sinθ+2cosθ,两边同时乘以得,ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,因为,所以x2+y2=2y+2x,即(x-)2+(y-1)2=4,∴曲线C的直角坐标方程是圆:(x-)2+(y-1)2=4.(2)∵原点O到直线l的距离直线l过圆C的圆心(,1),∴|MN|=2r=4,所以△MON的面积S=|MN|×d=4.【点睛】本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识,解题的关键是正确使用这一转化公式,还考查了直线与圆的位置关系等知识.21、(1)(2)定值为0.【解析】
(1)根据直线方程求焦点坐标,即得c,再根据离心率得,(2)先设直线方程以及各点坐标,化简,再联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理代入化简得结果.【详解】(1)因为直线过椭圆的右焦点,所以,因为离心率为,所以,(2),设直线,则因此由得,所以,因此即【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系,考查综合分析求解能力,属中档题.22、(1);(2)存在,当时,以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O.【解析】
(1)设椭圆的焦半距为,利用离心率为,椭圆的长轴长为1.列出方程组求解,推出,即可得到椭圆的方程.(2)存在实数使得以线段为直径的圆恰好
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