山东省聊城市茌平区2022-2023学年七年级下学期期中考试数学试题

山东省聊城市茌平区2022-2023学年七年级下学期期中考试数学试题一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列图形中，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．2．据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到14nm．已知1nm＝10﹣9m，则14nm用科学记数法表示是（）A．14×10﹣9m B．1.4×10﹣8m C．1.4×10﹣9m D．1.4×10﹣10m3．二元一次方程3x+4y＝20的自然数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个4．下列说法：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④同位角相等，两直线平行．正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．计算的结果为（）A．﹣2 B．2 C． D．6．射线OC在∠AOB内部，下列条件不能说明OC是∠AOB的平分线的是（）A．∠AOC＝∠AOB B．∠AOB＝2∠BOC C．∠AOB﹣∠AOC＝∠BOC D．∠AOC＝∠BOC7．一条公路修到金牛湖边时需要拐弯绕湖而过，如图所示，若第一次拐弯的∠A是118°，第二次拐弯的∠B是146°，第三次拐弯的角是∠C，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是（）A．118° B．130° C．146° D．152°8．若∠A＝26°18'，∠B＝26°15'30″，∠C＝26.25°，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B9．如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC．下列关于距离的语句：①线段PB的长是点P到直线a的距离；②PA，PB，PC三条线段中，PB最短；③线段AC的长是点A到直线PC的距离；④线段PC是点C到直线PA的距离．其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（3a+b）的大长方形，则需要C类卡片（）张．A．5 B．6 C．7 D．811．小明与叔叔的年龄和是30岁，小明对叔叔说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是30岁．”如果现在小明的年龄是x岁，叔叔的年龄是y岁，下列所列方程组正确的是（）A． B． C． D．12．如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，点E在AD的延长线上，连接EC，∠ECD＝∠CED．下列结论不正确的是（）A．BC∥AD B．∠B＝3∠CED C．∠B＝∠CDA D．AC⊥EC二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果）13．钟表3时30分时，时针与分针所成的角的度数为．14．若17x＝2023，119y＝2023，则代数式xy与x+y之间关系是．15．若（x﹣2m+1）与的积不含一次项，则m＝．16．如图，三角形ABC的边BC在直线MD上，直线HE平行于MD分别交AB，AC于点G，F，则图中共有内错角的对数为．17．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则a＝，b＝，c＝．三、解答题（本题共8个小题，共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（7分）先化简，再求值：2（x+1）（x﹣2）﹣2（2+a）（3﹣a），其中，a＝﹣3，x＝1．19．（8分）解方程组：（1）；（2）．20．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝78°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝5：7，求∠BOD的度数．21．（8分）已知关于x，y的方程组．（1）试用含m的式子表示方程组的解；（2）若方程组的解也是方程3x﹣y＝﹣12的解，求m的值．22．（8分）（1）已知ax＝3，ax+y＝12，求ax+ay的值；（2）已知8α＝5，8β＝6，求82a+2β的值．23．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，在F在AB上．（1）若DG∥BC，∠1＝∠2，CD与EF平行吗？为什么？（2）在（1）的条件下，CD平分∠ACB，且∠2＝54°，求∠3的度数．24．（10分）聊城大外环在平区某施工路段需要运送大量土石，现有A，B两种运输车参与运送土石，如下表是施工方三次运送土石的情况：A种运输车（辆）B种运输车（辆）共运送土石（方）第一次运送土石（方）34125第二次运送土石（方）26150第三次运送土石（方）ab200（1）求出A、B两种运输车每辆一次可以运送多少方土石？（2）施工方第三次同时利用a辆A种运输车和b辆B种运输车共运送200方土石，请直接写出a和b的所有可能的值．25．（12分）【阅读材料】在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．理由如下：过点P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ＝180°．∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∴∠PCD+∠CPQ＝180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD＝180°+180°＝360°【问题解决】（1）如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系是；（只写结论）（2）如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，，，写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并写出理由；（3）如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，若∠BAP，∠DCE＝∠DCP，可得∠AEC与∠APC间的等量关系是；（只写结论）（4）如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，，．可得∠AEC与∠APC间的等量关系是．（只写结论）

山东省聊城市茌平区2022-2023学年七年级下学期期中考试数学试题参考答案一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列图形中，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．【分析】根据角的表示方法和图形逐个判断即可．【解答】解：A、能用∠1，∠ACB表示，不能用∠C表示，故选项不符合题意；B、能用∠1，∠ACB表示，不能用∠C表示同一个角，故选项不符合题意；C、能用∠1，∠ACB，∠C表示同一个角，故选项符合题意；D、∠1和∠ACB表示不同的角，故选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了角的概念．解题的关键是掌握角的表示方法的运用．2．据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到14nm．已知1nm＝10﹣9m，则14nm用科学记数法表示是（）A．14×10﹣9m B．1.4×10﹣8m C．1.4×10﹣9m D．1.4×10﹣10m【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：14nm＝14×10﹣9m＝1.4×10﹣8m，故选：B．【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．3．二元一次方程3x+4y＝20的自然数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【分析】用x表示出y，确定出方程的自然解即可．【解答】解：方程3x+4y＝20，解得：y＝（20﹣3x），当x＝0时，y＝5；x＝4时，y＝2，则方程的自然数解有2个．故选：B．【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4．下列说法：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④同位角相等，两直线平行．正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分别根据平行线的判定以及平行线定义和平行公理分析得出即可．【解答】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题正确；②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误；④同位角相等，两直线平行，故原命题正确．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行公理等知识，正确把握相关定理是解题关键．5．计算的结果为（）A．﹣2 B．2 C． D．【分析】先根据乘方意义，把写成的形式，然后根据有理数的乘法运算律和积的乘方法则进行计算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝＝，故选：C．【点评】本题主要考查了实数的有关运算，解题关键是熟练掌握逆用积的乘方法则进行简便计算．6．射线OC在∠AOB内部，下列条件不能说明OC是∠AOB的平分线的是（）A．∠AOC＝∠AOB B．∠AOB＝2∠BOC C．∠AOB﹣∠AOC＝∠BOC D．∠AOC＝∠BOC【分析】根据角平分线的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、射线OC在∠AOB内部，当∠AOC＝∠AOB时，OC是∠AOB的平分线，故本选项不符合题意；B、射线OC在∠AOB内部，当∠BOC＝∠AOB时，OC是∠AOB的平分线，故本选项不符合题意；C、如图所示，射线OC在∠AOB内部，∠AOB﹣∠AOC＝∠BOC，OC不一定是∠AOB的平分线，故本选项符合题意；D、射线OC在∠AOB内部，当∠AOC＝∠BOC时，OC是∠AOB的平分线，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的定义．解题的关键是掌握角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．7．一条公路修到金牛湖边时需要拐弯绕湖而过，如图所示，若第一次拐弯的∠A是118°，第二次拐弯的∠B是146°，第三次拐弯的角是∠C，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是（）A．118° B．130° C．146° D．152°【分析】过B作BK∥AM，得到BK∥CN，推出∠ABK＝∠A＝118°，∠C+∠CBK＝180°，求出∠CBK＝146°﹣118°＝28°，即可得到∠C＝180°﹣28°＝152°．【解答】解：过B作BK∥AM，∵AM∥CN，∴BK∥CN，∴∠ABK＝∠A＝118°，∠C+∠CBK＝180°，∵∠ABC＝146°，∴∠CBK＝146°﹣118°＝28°，∠C＝180°﹣28°＝152°．故选：D．【点评】本题考查平行线的性质，关键是过B作BK∥AM，BK∥CN，由平行线的性质来解决问题．8．若∠A＝26°18'，∠B＝26°15'30″，∠C＝26.25°，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B【分析】先把∠C的度数化成度、分、秒，再比较即可，也可把∠A和∠B的度数化成度，再进行比较．【解答】解：∵∠C＝26.25°＝26°+0.25°0.25°＝0.25×60′＝15′，∴∠C＝26°15′，∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∴∠A＞∠B＞∠C．故选：A．【点评】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，主要考查学生能否正确进行度分秒之间的换算．9．如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC．下列关于距离的语句：①线段PB的长是点P到直线a的距离；②PA，PB，PC三条线段中，PB最短；③线段AC的长是点A到直线PC的距离；④线段PC是点C到直线PA的距离．其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据点到直线距离的定义及垂线段最短，对题目中给出语句逐一进行判断即可得出答案．【解答】解：∵PB⊥a，∴线段PB的长是点P到直线a的距离，故①正确；根据垂线段最短得：PA，PB，PC三条线段中，PB最短，故②正确；∵AC与PC不垂直，∴线段AC的长不是点A到直线PC的距离，故③不正确；∵PA⊥PC，∴线段PC是点C到直线PA的距离，故④正确．综上所述：正确的是①②④，共3个．故选：C．【点评】此题主要考查了点到直线距离的定义及垂线段最短，准确识图，熟练掌握点到直线距离的定义及垂线段最短是解决问题的关键．10．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（3a+b）的大长方形，则需要C类卡片（）张．A．5 B．6 C．7 D．8【分析】按照长方形面积公式计算所拼成的大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可得解．【解答】解：∵（a+2b）（3a+b）＝3a2+7ab+2b2∵一张C类卡片的面积为ab∴需要C类卡片7张．故选：C．【点评】本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，属于基础知识的考查，比较简单．11．小明与叔叔的年龄和是30岁，小明对叔叔说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是30岁．”如果现在小明的年龄是x岁，叔叔的年龄是y岁，下列所列方程组正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据“小明与叔叔的年龄和是30岁，”叔叔与小明的年龄差不变得出30﹣y＝y﹣x，列出方程组即可．【解答】解：由题意得，．故选：D．【点评】此题考查由实际问题列方程组，注意找出题目蕴含的数量关系解决问题．12．如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，点E在AD的延长线上，连接EC，∠ECD＝∠CED．下列结论不正确的是（）A．BC∥AD B．∠B＝3∠CED C．∠B＝∠CDA D．AC⊥EC【分析】根据平行线的判定定理与性质定理进行逐一判断即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠B+∠BCD＝180°，∵AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，∴∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠B＝∠CDA，∴∠CDA+∠BCD＝180°，∴BC∥AD；故A、C正确，不符合题意；∵BC∥AD，∴∠BCD+∠CDA＝180°，∵∠CDA＝∠ECD+∠CED，∠ECD＝∠CED，∴2∠ECD＝2∠CED＝∠CDA，∵CA平分∠BCD，∴∠1＝∠4，∴∠ECA＝∠ECD+∠1＝（∠BCD+∠CDA）＝×180°＝90°，∴AC⊥EC，故D正确，不符合题意；∵∠B＝∠CDA，2∠CED＝∠CDA，∴∵∠B＝2∠CED，故B错误，符合题意；故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定定理与性质定理．二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分.只要求填写最后结果）13．钟表3时30分时，时针与分针所成的角的度数为75°．【分析】钟表表盘被分成12大格，每一大格又被分为5小格，故表盘共被分成60小格，每一小格所对角的度数为6°．分针转动一圈，时间为60分钟，则时针转1大格，即时针转动30°．也就是说，分针转动360°时，时针才转动30°，即分针每转动1°，时针才转动（）度，逆过来同理．【解答】解：∵3时30分时，时针指向2与3之间，分针指向6．钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴3时30分时分针与时针的夹角是2×30°+15°＝75°．故答案为：75°．【点评】本题考查了钟表角．解题的关键是掌握钟表表盘与角度相关的特征．能更好地认识角，感受角的大小．14．若17x＝2023，119y＝2023，则代数式xy与x+y之间关系是xy＝x+y．．【分析】利用幂的乘方和积的乘方的运算法则进行计算即可．【解答】解：∵17x＝2023，119y＝2023，∴（17x）y＝2023y，（119y）x＝2023x，∴（17x）y•（119y）x＝17xy•119xy＝（17×119）xy＝2023xy，∵2023y•2023x＝2023x+y，∴2023xy＝2023x+y，∴xy＝x+y．故答案为：xy＝x+y．【点评】本题主要考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握以上知识点．15．若（x﹣2m+1）与的积不含一次项，则m＝．【分析】先根据多项式乘多项式法则求出（x﹣2m+1）与的积，再根据它们的积不含有一次项，列出关于m的方程，解方程即可．【解答】解：＝＝，∵（x﹣2m+1）与的积不含一次项，∴，，，故答案为：．【点评】本题主要考查了整式的乘法运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．16．如图，三角形ABC的边BC在直线MD上，直线HE平行于MD分别交AB，AC于点G，F，则图中共有内错角的对数为9对．【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可得到答案．【解答】解：内错角有∠BGH和∠CBG，∠BGF和∠MBG，∠EFC和∠BCF，∠A和∠AGH，∠A和∠AFE，∠AFG和∠BGF，∠AGF和∠CFG，∠A和∠ACD，∠A和∠ABM，∴图中共有内错角的对数为9对．故答案为：9对．【点评】本题考查内错角，关键是掌握内错角的定义．17．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则a＝0.25，b＝0.75，c＝﹣3．【分析】首先根据题意，可得：，据此求出c的值，然后根据乙同学因把c写错而得到，可得﹣a+3b＝2，所以，应用加减消元法，求出a、b的值即可．【解答】解：∵解方程组时，甲同学正确解得，∴，解得c＝﹣3，∵乙同学因把c写错而得到，∴﹣a+3b＝2，∴，①+②×2，可得8b＝6，解得b＝0.75，把b＝0.75代入②，可得：﹣a+3×0.75＝2，解得a＝0.25，∴原方程组的解是，∴a＝0.25，b＝0.75，c＝﹣3．故答案为：0.25，0.75，﹣3．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．三、解答题（本题共8个小题，共69分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（7分）先化简，再求值：2（x+1）（x﹣2）﹣2（2+a）（3﹣a），其中，a＝﹣3，x＝1．【分析】利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．【解答】解：2（x+1）（x﹣2）﹣2（2+a）（3﹣a）＝2（x2﹣x﹣2）﹣2（6+a﹣a2）＝2x2﹣2x﹣4﹣12﹣2a+2a2＝2x2﹣2x﹣16﹣2a+2a2，当a＝﹣3，x＝1时，原式＝2×12﹣2×1﹣16﹣2×（﹣3）+2×（﹣3）2＝2﹣2﹣16+6+18＝8．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．19．（8分）解方程组：（1）；（2）．【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；（2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可．【解答】解：（1），①+②×2得：11x＝﹣10，解得：x＝﹣，将x＝﹣代入①得﹣﹣2y＝2，解得：y＝﹣，故原方程组的解为；（2）原方程组整理得，②﹣①×2得：5y＝4，解得：y＝，将y＝代入①得x﹣＝1，解得：x＝，故原方程组的解为．【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．20．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝78°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝5：7，求∠BOD的度数．【分析】（1）由角平分线的定义即可求出∠AOC的度数，再根据对顶角相等即可求出∠BOD的度数；（2）根据∠EOC：∠EOD＝5：7即可求出∠EOC的度数，由角平分线的定义即可求出∠AOC的度数，再根据对顶角相等即可求出∠BOD的度数．【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，∠EOC＝78°，∴∠AOC＝＝39°，∴∠BOD＝∠AOC＝39°；（2）∵∠EOC：∠EOD＝5：7，又∵∠EOC+∠EOD＝180°，∴∠EOC＝75°，∠EOD＝105°，∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝＝37.5°，∴∠BOD＝∠AOC＝37.5°．【点评】本题考查了对顶角，角平分线的定义，角的和差，熟练掌握对顶角相等的性质以及角平分线的定义是解题的关键．21．（8分）已知关于x，y的方程组．（1）试用含m的式子表示方程组的解；（2）若方程组的解也是方程3x﹣y＝﹣12的解，求m的值．【分析】（1）应用加减消元法，用含m的式子表示方程组的解即可；（2）把（1）求出的方程组的解代入方程3x﹣y＝﹣12，根据解一元一次方程的方法，求出m的值即可．【解答】解：（1），①+②，可得4x＝8m+8，解得x＝2m+2，把x＝2m+2代入②，可得：2m+2+y＝6m，解得y＝4m﹣2，∴原方程组的解是．（2）∴方程组的解也是方程3x﹣y＝﹣12的解，∴是方程3x﹣y＝﹣12的解，∴3（2m+2）﹣（4m﹣2）＝﹣12，∴6m+6﹣4m+2＝﹣12，∴6m﹣4m＝﹣12﹣6﹣2，∴2m＝﹣20，解得m＝﹣10．【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用，二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．22．（8分）（1）已知ax＝3，ax+y＝12，求ax+ay的值；（2）已知8α＝5，8β＝6，求82a+2β的值．【分析】（1）先根据已知条件逆用同底数幂的乘法法则，求出ay的值，再把ax＝3和ay的值代入计算即可；（2）先根据已知条件逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，把所求算式写成含有8a，8b的形式，代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵ax＝3，ax+y＝12，∴ax+y＝ax•ay＝12，∴ay＝4，∴ax+ay＝3+4＝7；（2）∵8α＝5，8β＝6，∴82α+2β＝82α•82β＝（8α）2•（8β）2＝52×62＝25×36＝900．【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则．23．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，在F在AB上．（1）若DG∥BC，∠1＝∠2，CD与EF平行吗？为什么？（2）在（1）的条件下，CD平分∠ACB，且∠2＝54°，求∠3的度数．【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可；（2）根据平行线的性质、角平分线的定义求出∠ACB＝108°，再根据平行线的性质求解即可．【解答】解：（1）CD∥EF，理由如下：∵DG∥BC，∴∠1＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠BCD＝∠2，∴CD∥EF；（2）∵CD∥EF，∠2＝54°，∴∠BCD＝∠2＝54°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠BCD＝108°，∵DG∥BC，∴∠3＝∠ACB＝108°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．24．（10分）聊城大外环在平区某施工路段需要运送大量土石，现有A，B两种运输车参与运送土石，如下表是施工方三次运送土石的情况：A种运输车（辆）B种运输车（辆）共运送土石（方）第一次运送土石（方）34125第二次运送土石（方）26150第三次运送土石（方）ab200（1）求出A、B两种运输车每辆一次可以运送多少方土石？（2）施工方第三次同时利用a辆A种运输车和b辆B种运输车共运送200方土石，请直接写出a和b的所有可能的值．【分析】（1）设A种运输车每辆一次可以运送x方土石，B种运输车每辆一次可以运送y方土石，根据第一、二次使用车辆数及共运送土石方数，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据施工方第三次共运送200方土石，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为自然数，即可得出结论．【解答】解：（1）设A种运输车每辆一次可以运送x方土石，B种运输车每辆一次可以运送y方土石，根据题意得：，解得：．答：A种运输车每辆一次可以运送15方土石，B种运输车每辆一次可以运送20方土石；（2）根据题意得：15a+20b＝200，∴b＝10﹣a．又∵a，b均为自然数，∴或或或．答：a和b的所有可能的值为0，10或4，7或8，4或12，1．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．25．（12分）【阅读材料】在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．理由如下：过点P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ＝180°．∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∴∠PCD+∠CPQ＝180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD＝180°+180°＝360°【问题解决】（1）如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系是∠BAP+∠PCD＝∠APC；（只写结论）（2）如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，，，写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并写出理由；（3）如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，若∠BAP，∠DCE＝∠DCP，可得∠AEC与∠APC间的等量关系是∠AEC＝∠APC；（只写结论）（4）如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，，．可得∠AEC与∠APC间的等量关系是∠AEC＝90°﹣∠APC．．（只写结论）【分析】（1）过点P作PQ∥AB，因为AB∥CD，所以PQ∥CD，所以∠BAP＝∠APQ，∠PCD＝∠CPQ，因为∠APC＝∠APQ+∠CPQ，所以∠BAP+∠PCD＝∠APC；（2）过点P作PQ∥AB，过E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以PQ∥CD，EF∥CD，所以∠BAP＝∠