离散型随机变量的均值 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章

随机变量及其分布7.3.1

离散型随机变量的均值复习旧知1、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.2、两点分布列X01P1-pp复习旧知3、数据的均值和方差已知一组样本数据：x1，x2，…，xn样本均值：样本方差：学习目标1.

理解离散型随机变量均值的概念和含义,会根据离散型随机变量的分布列求出均值;2.

掌握离散型随机变量的均值的性质和两点分布的均值;3.

会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平,解决一些相关的实际问题.4.

核心素养:数据分析、逻辑推理、数学运算。情境导学情境一：某人射击10次，所得环数分别是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环数是多少？权数情境导学情境二：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示：环数X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比较他们射箭水平的高低呢?情境导学假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为甲n次射箭射中的平均环数为

当n足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于

即甲射中平均环数的稳定值为9，该值可以反映甲运动员的射箭水平.所以，从平均值的角度比较，甲运动员的射箭水平比乙运动员高.

情境导学情境三：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3:2:1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？如果用X表示一颗糖果对应的单价，请写出随机变量X的分布列.新知生成一般地，若离散型随机变量X的分布列为：离散型随机变量的均值（数学期望）：Xx1x2...xnPp1p2...pn则称

为随机变量X的均值或数学期望，简称期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.典例剖析例1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少?解：因为P(X=1)=0.8

，

P(X=0)=0.2,

所以E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8.

即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.思考：通过例1，你能总结什么经验？X01P1-pp归纳总结求随机变量X的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)定值：确定随机变量X的所有可能取值；(2)求概率：求出每种取值相应的概率；(3)写分布列：写出随机变量X的分布列并检验；(4)求期望：利用公式计算E(X)．典例剖析例2抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.新知探究观察掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别?探究：1、样本平均值和随机变量均值的区别与联系新知探究①区别:

随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本的不同而变化；②联系:

对于简单随机样本,随着样本容量的增加样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此我们常用样本的平均值估计总体的均值.探究：1、样本平均值和随机变量均值的区别与联系新知探究探究

设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．（1）Y的分布列是什么？

（2）E(Y)=？探究：2、随机变量均值的性质XX1X2...Xi...XnYP新知生成离散型随机变量均值的运算性质：(1)E(X＋b)＝E(X)＋b，(2)E(aX)＝aE(X)，(3)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.小试牛刀m典例剖析例3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示.歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000规则如下:按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.典例剖析典例剖析思考1:如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果按ACB的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值是多少？典例剖析思考2:你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值最大；对于例3，决策的原则是选择期望值大的猜歌顺序，这称为期望值原则.典例剖析例4根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元；方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；方案3：不采取措施.工地的领导该如何决策呢？典例剖析典例剖析巩固练习1.

甲乙两台机床生产同一种零件，他们生产的产量相同，在1h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为哪台机床更好