5.1导数的概念及其意义（1）课件高二上学期数学人教A版选择性

第五章

一元函数的导数及应用

十七、十八世纪期间，数学家常把自己的研究内容跟不同领域，如物理、化学、力学、技术等的研究联系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰．其中，牛顿和莱布尼茨在前人探索的基础上，凭着敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑．牛顿莱布尼茨莱布尼茨（1646--1716），德国哲学家、数学家，职业是律师、外交官，他是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德。牛顿（1643--1727），爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家、数学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》。微积分的创立与四类科学问题处理直接相关:一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等问题.

导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具．在本章，我们将通过实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想，感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义．5.1导数的概念及其意义1

“已知物体运动的路程关于时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等”和“求曲线的切线”问题是导数产生过程中比较经典的两个问题，今天这节课就让我们追随这些伟大数学家的脚步，也从物体的速度开始研究.

结合之前学习的函数单调性，不同类型函数的增或减的快慢也不同．我们能否精确定量刻画变化速度的快慢呢？

我们以高台跳水运动员的速度为例来研究.问题1高台跳水运动员的速度全红婵，2007年3月28日出生于广东湛江，中国国家跳水队女运动员.

2022年6月，全红婵在2022年布达佩斯世界游泳锦标赛中勇夺跳水3米板/10米台混合全能金牌、女子单人十米跳台银牌、女子双人十米跳台金牌

，她实现了奥运会、世锦赛和世界杯的金牌大满贯。

在一次高台跳水运动中,某运动员的重心在运动过程中相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：

h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11

如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？问题1高台跳水运动员的速度

直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段，运动得越来越慢，在下降阶段，运动得越来越快．思考1：运动的快慢程度用哪个物理量来描述？我们可以把整个运动时间段分成许多小段,用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.速度

我们发现，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－5.事实上，由可以发现，当∆t在无限趋近于0时，－4.9∆t也无限趋近于0,所以无限趋近于－5.这与前面得到的结论一致.数学中，我们把－5叫做“当△t无限趋近于0时，的极限”，记为从物理的角度看，当时间间隔|∆t|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t=1时的瞬时速度，因此，运动员在t=1s时的瞬时速度v(1)=－5m/s.平均速度的极限即为瞬时速度方法归纳求运动物体瞬时速度的步骤:

设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：①写出时间改变量Δt，位移改变量Δs,Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0);②求平均速度：

；③求瞬时速度v：当Δt→0时，→v是常数.

题型二求瞬时速度

[典例2]已知质点M做直线运动，且位移(单位：cm)随时间(单位：s)变化的函数为s＝2t2＋3.(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求平均速度；(2)求质点M在t＝2时的瞬时速度．思考3：什么叫直线与圆相切？如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.如果一条直线与一条抛物线只有一个公共点，那么这条直线与这条抛物线相切吗？.F思考4：对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？下面以抛物线f(x)=x2为例进行研究.探究：你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？问题2

抛物线的切线的斜率与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线，我们通常在点P0(1,1)的附近任取一点P(x,x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况.xyOf(x)＝x2112234P0

我们发现，当点P________________，割线P0P____________________位置.这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线．观察

如图，当点P(x,x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1,1)时，割线P0P有什么变化趋势?T无限趋近于一个确定的无限趋近于点P0时探究：我们知道斜率是确定直线的一个要素。如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0呢？

从上述切线的定义可见，抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系．记点P的横坐标x=1+Δx，则点P的坐标即为

(1+Δx,(1+Δx)2).于是割线P0P的斜率

我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.发现：当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2.从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T

.

这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线的斜率k0.因此，切线P0T的斜率k0=2.xyO121234PP0T事实上，由可以发现，当∆x在无限趋近于0时，

无限趋近于2，我们把2叫做“当△x无限趋近于0时，的极限”，记为求抛物线在某点处的切线方程的步骤：题型三抛物线的割线、切线的斜率

[典例3]已知函数f(x)＝－x2＋x图象上两点A(2