福建省2022-2023学年高二年级上册11月期中数学试题

2022年秋季高二年期中质量监测数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.直线后+)'-2=°的倾斜角为()

A.工B.2C.生D.舁

6336

2.已知直线mx+2y+\=0,l2：x+(m+l)y+l=0,若，〃乙，则帆=()

A.0B.1C.2D.-2

3.如图所示，在平行六面体ABCO-AgCQ中，M为AG与片2交点，若AB="，AD=b，44,=c，

则BM=()

____________c,

:

AB

A.口+cB.L+411,11

+cC.——a——b+cD.——a+—b1+c

22222222

4.若点尸(1,1)在圆f+/+元一丁+左=0外部，则实数攵的取值范围是()

I"c11

A.(—2,+8)B.-2,--

L2j

cD.(-2,2)

5.在长方体A5c£)—44G。］中,AB=BC=1，A4,=6,则异面直线AA与DBt所成角余弦

值为

A1B6C.gD.@

5652

6.在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长

为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗板将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗标

的长度为（）

C.2D.3

7.设点尸为直线/：x+y-4=0上的动点，点4-2,0）,8（2,0）,则IEI+IP8I的最小值为

A.2V10B.V26C.2A/5D.VIo

8.设椭圆C:=l（a>b>0）的左、右焦点分别为6,工，点M,N在。上（/位于第一象限）,

且点M,N关于原点0对称，若=|耳囚，加闾=2|叫|,则C的离心率为（）

A.—B.—C.正D.75

463

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.对于直线/：x+y-1=0,下列说法正确的有（

A.直线/过点（0,1）B.直线/与直线y=尤垂直

C.直线/的一个方向向量为（1,1）D.直线/的倾斜角为45°

10.下列方程能够表示圆的是（）

Ax2+y2=1B.x2-y2=2

C.x24-y24-2x=1D.X2+>2+孙-1=0

2

11.椭圆C:三+y2=i的左、右焦点分别为Z，B，o为坐标原点，以下说法正确的是（）

4

A.椭圆C的离心率为方

B.椭圆C上存在点P,使得=0

C.过点工的直线与椭圆C交于A，B两点，则,ABF；的周长为8

D.若P为椭圆C:匕+丁=1上一点，。为圆V+y2=i上一点，则点尸，。的最大距离为2

4

12.在平面直角坐标系中，三点A(—l,0),B(l,0),C(0,7),动点尸满足抬=及28,则以下结论正确

的是()

A.点P的轨迹方程为。-3)2+产=8B.△外8面积最大时，PA=2叵

C.乙阴8最大时，B4=2&D.P到直线AC距离最小值为警

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.直线4：3x+2y-3=O与4：6x+4y-l=0平行，则它们的距离是

14.已知点M(a/)在直线5%-12丁+26=0上，则而了至最小值为.

15.如图所示，若正方形A8CD的边长为1,QD_L平面ABC。，且PD=1，瓦/分别为4民8。的中

点，则点A到平面PEF的距离为.

16.如图，椭圆的中心在坐标原点，4,4,B,,分别为椭圆的左、右、下、上顶点，入为其右焦点,

直线用鸟与&&交于点P,若N4P4为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17._ABC的三个顶点4(1,6)、8(-1,-2)、C(6,3),。为8c中点，求：

(1)BC边上的高所在直线的方程;

(2)中线AO所在直线的方程.

18.已知圆C的圆心在x轴上，且经过点4T,0),8(1,2).

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点P((),2)的直线/与圆。相交于",N两点，且|MN|=2jL求直线/的方程.

19.如图，已知PAJ_平面ABCO,底面A8CO为正方形，M=AZ)=AB=2,M,N分别为AB,尸C的中点.

20.如图所示，已知椭圆的两焦点为耳(一1,0),6(LO),P为椭圆上一点，且2|百鸟|=(「用+|Pg

(1)求椭圆的标准方程；

⑵若点P在第二象限，/乙耳「=120。，求片鸟的面积.

21.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2PA=PB=PC=AC=4，。为AC的中点.

(1)证明：尸。,平面A8C；

CM

⑵若点M在棱8C上，且二面角A7-BA-C为30。，求一的值.

22.已知椭圆C:[+[=1(。＞人＞0)经过点(收,1),离心率为卫

a-b-2

(1)求椭圆。的方程；

(2)设直线/：y=云+/«。())与椭圆。相交于人，B两点，若以。4,08为邻边的平行四边形。4PB的顶

点P在椭圆C上，求证：平行四边形。4PB的面积为定值.

2022年秋季高二年期中质量监测数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.直线6x+y-2=°的倾斜角为()

A.-B.£C.空D.工

6336

【答案】C

【解析】

【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角.

【详解】I•直线Gx+y-2=0的斜率k=_JL设倾斜角为9,贝Ijtan8=-石

27r

直线百x+y-2=0倾斜角为y.

故选C.

【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题

2.已知直线/1：如+2y+l=0,12：x+(m+l)y+l=0,若I、〃%,则〃?=()

A.OB.1C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】由题意，直线平行，根据公式求参数，解方程并验根，可得答案.

【详解】由题意，一=-----*一，贝ijm(〃z+l)=2,^2+m-2=0,(m+2)(m-l)=0,

1m+117

19

解得：机=一2或1，当m=1时，-=——=1,故不符合题意，

11+1

-221

当〃2=-2时，—=-----=-2。-，符合题意.

1—2+11

故选：D.

3.如图所示，在平行六面体ABCO-AgGA中，M为4C与耳。的交点，若AB=〃，

AD=b，AAj=c,则BM=()

U+cC117

A.儿」…B.C.——a——b+cD.

222222

11,

——a+—b+c

22

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间向量基本定理，用表示出3M即可.

【详解】由题意，因为M为AC与与。的交点，所以M也为AC与片。的中点,

因此=+4G)+c=—A.BH—AD+c

122

11■

=——Q+—匕+C.

22

故选：D.

4.若点尸(1,1)在圆V+y2+x—y+左=。的外部，则实数攵的取值范围是()

A.(—2,+oo)B.—2,

2

C.-2,；

D.(-2,2)

【答案】C

【解析】

【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案.

【详解】解：因为点在圆V+y+x—y+Z：。的外部,

1+1+1-1+攵>01

所以《，解得—2<k<一.

1+1—4左>()2

故选：C.

5.在长方体ABCD—4gGA中，AB=BC=1，A4,=6,则异面直线AD｝与

所成角的余弦值为

A.-B.@C.—D.—

5652

【答案】C

【解析】

【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根

据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.

详解：以D为坐标原点，DA,DC,DDi为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

ZXO,0,0),A(l,0,0),4(1,1,百),。(0,0,6)，所以AD}=(-1,0,6),DB}=(1,1,6)，

AQ•DB]_一1+3手，所以异面直线AQ与。片所成角的余

|皿怛闻-2x75

弦值为好，选C.

5

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的

空间直角坐标系;第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标;第三，破“求法向量关”，

求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

6.在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个

窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗根将长轴分为相等的四

段，则该窗户的最短的竖直窗根的长度为()

A—B.y/3C.2D.3

2

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，建立坐标系得椭圆的标准方程为二+丁=1,再结合题意计算即可得

4-

答案.

【详解】解：根据题意，建立如图所示的坐标系，

因为窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，

V-2

所以椭圆的标准方程为二+y2=I,

因为其中三条竖直窗杈将长轴分为相等的四段,

所以当x=l时，)，=土走，所以最短窗板的长度为6.

故选：B

7.设点尸为直线/：x+y-4=0上的动点，点4-2,0),8(2,0),则IA4I+IP8I的最

小值为

A.2V10B.V26C.275D.而

【答案】A

【解析】

［分析】设点5(2,0)关于直线I的对称点为B\a,b),利用对称性列方程组求得线(4,2),

利用对称性可得IPA|+|PB|=|PA|+1PBJ,结合图像即可得当A,P,B,三点共线时，

IPAI+IPBI最大，问题得解.

【详解】依据题意作出图像如下：

设点8(2,0)关于直线/的对称点为用,力)，

则它们的中点坐标为：且归却=归用

b-0

x（T）=T

a-2

由对称性可得:,解得：a=4,b=2

。+2

+--4=0

22

所以4(4,2)

因为|PA|+|PB|=|PA|+|P即，所以当AP用三点共线时，|PA|+|P3|最大

此时最大值为恒耳|=J(4+2p+(2-0『=2V10

故选A

【点睛】本题主要考查了点关于直线对称的点的求法，还考查了转化思想及计算能力，属于

中档题.

22

8.设椭圆C:「+%=l(a>b>0)的左、右焦点分别为E，K,点N在。上(M位

ab~

于第一象限)，且点M,N关于原点0对称，若|MN|=|K闾，|N闾=2可闾，则C的

离心率为()

A.正B.立C.BD.75

463

【答案】C

【解析】

【分析】由题意判断四边形町N6是矩形，设|咋|=加，结合椭圆定义表示出利,。之

间的关系，利用勾股定理列式，即可求得答案.

【详解】依题意作图，由于1MM=|耳月点M,N关于原点。对称，

并且线段MN,耳巴互相平分，

7T

四边形“耳”是矩形，其中g=],

由于|八码=2|叫设|咋|=加，则|叫|=2加，即阿国=2根,

-2a,：.3m-2a,

222

根据勾股定理，\MF^+\MFy=\F.F21,.-.W+m=4c,

故选：C.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.对于直线/：x+y-l=O,下列说法正确有（）

A.直线/过点（0,1）B.直线/与直线y=x垂直

C.直线/的一个方向向量为（1,1）D.直线/的倾斜角为45°

【答案】AB

【解析】

【分析】根据直线的斜截式，结合直线斜率与倾斜角的关系、直线方向向量的定义、互相垂

直两直线的性质逐一判断即可.

【详解】解析：直线/：x+y-l=0化成斜截式为y=-x+l,所以当x=0时，y=l,A

对；直线/的斜率为-1,倾斜角为135。，D错；直线y=x的斜率为1,（-1）x1=-1,

所以两直线垂直，8对・；直线/的一个方向向量为（1,-1）,c错.

故选：AB.

10.下列方程能够表示圆的是（）

A.x2+y2=1B.x2-y2=2

C.x2+y2+2x=\D.x2+y2+xy-1=0

【答案】AC

【解析】

【分析】依次判断各个选项中方程所表示的曲线即可得到结果.

【详解】对于A,V+y2=1表示圆心为（0,0）,半径为1的圆，A正确；

对于B,/一,2=2不符合圆的方程，B错误；

对于C,由％2+卜2+2%=1得：（x+lp+y2=2,则其表示圆心为（一1,0）,半径为0的

圆，C正确；

对于D,f+>2+盯一1=。含孙项，不符合圆的方程，D错误.

故选：AC.

2

11.椭圆C:二+y2=i的左、右焦点分别为耳，F,,。为坐标原点，以下说法正确的是（）

4

A.椭圆C的离心率为g

B.椭圆C上存在点P,使得产£/6=0

C.过点入的直线与椭圆C交于A,8两点，则工43月的周长为8

D.若尸为椭圆C:二+y2=1上一点，。为圆f+y2=i上一点，则点p,。的最大距离

4

为2

【答案】BC

【解析】

【分析】求得椭圆C的离心率判断选项A；求得满足条件的点尸判断选项B；求得，A86的

周长判断选项C；求得点P,。的最大距离判断选项D.

【详解】对于选项A,因为“2=4，b-=\,所以c?=4—1=3，即。=\/^，

所以椭圆C离心率e=£=Y3,故A错误；

a2

2

对于选项B,设点P(x,)，)为椭圆C:£+丁=1上任意一点，

则点尸的坐标满足亍+丁=1,且-2W2,又小-点0),^(73,0),

所以Pf\—(~>/3—羽—y),PF?=(V3—x,—y),

2q2

因此尸耳/6=(-V3-x)(V3-x)+y2=X2+1-^--3=^-—2,

令尸/尸"=苧一2=0,可得x=±平e[—2,2]，故B正确；

对于选项C,由椭圆的定义可得|然|+|4闾=忸周+忸勾=2。=4,

因此A%的周长为|A£|+忸用+|AB=|曲|+忸周+|伍|+怛闾=4a=8,

故C正确；

2

对于选项D,设点P(x,y)为椭圆C:—+/=1上任意一点，

4

由题意可得点P(x,y)到圆x2+y2=l的圆心的距离

|PO|=^jc+y1=74-4/+/=74-V-因为一IKyWL所以1尸。区2

则IPQL^POI+Jj^+JB，故D错误•

故选：BC.

12.在平面直角坐标系中，三点A(—1,0),8(1,0),C(0,7),动点P满足以=母尸8,

则以下结论正确的是()

A.点P的轨迹方程为(x—3>+炉=8B.△以B面积最大时，PA=20

C.N%B最大时，％=2&D.P到直线4c距离最小值为逑

5

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据=可求得点尸轨迹方程为（x-3f+y2=8,A正确；

根据直线AB过圆心可知点尸到直线A3的距离最大值为2及，由此可确定面积最大时

尸（3,±2/），由此可确定B不正确；

当NPAB最大时，胡为圆的切线，利用切线长的求法可知C错误：

求得AC方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可确定D正确.

【详解】解：对于A：设尸（x,y）,由PA=y/^PB得:PA2=2PB2>即

（x+l）2+y2=2^（x-l）2+y2J,

化简可得：（x—3『+y2=8,即点尸轨迹方程为（x—3）2+V=8,故A正确；

对于B：直线A3过圆（x—3）2+丁=8的圆心，，点p到直线A6的距离的最大值为圆

（万一3）2+丁2=8的半径r，即为20，

|AB|=2,.•一R45面积最大为:x2x20=2收，此时尸（3,±2五），

二|PA|=J（3+l/+（2可=2底,故B不正确；

对于C：当钻最大时，则A4为圆（》一3）2+:/=8的切线，

|PA|=>/（3+1）2-8=2>/2,故C正确；

对于D：直线AC的方程为7x—y+7=0,则圆心（3,0）到直线AC的距离为

7x3+7_1472

々+15，

点P到直线AC距离最小值为此2-272=谑，D正确.

55

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.直线4:3x+2y—3=0与4：6x+4y—l=0平行，则它们的距离是

【答案］士叵

26

【解析】

【分析】根据两个平行线之间的距离计算公式，计算得答案.

【详解】直线/,：3x+2y-3=0可化为直线4:6x+4y-6=0,

又/2：6x+4y—l=0,且4〃4，

所以它们的距离d==卜：一（-口=/=独3.

用/V5226

故答案为：之姮.

26

14.已知点加31）在直线5x-I2y+26=0上，则正寿的最小值为.

【答案】2

【解析】

【分析】将，片+从的最小值转化为原点到直线5x-12y+26=0的距离来求解即可.

【详解】yla2+b2可以理解为点（°，°）到点M（。，毋的距离，

又•.•点M（a,b）在直线5x-12y+26=0上，

22

・••y]a+h的最小值等于点（0,0）到直线5x-12y+26=0的距离，

|5x0-12x0+26|c

BaJ=------,---=2

V52+122

故答案为：2.

15.如图所示，若正方形ABC。的边长为1,PZ）_L平面48CO,且。。=1,瓦尸分别

为AB,BC的中点，则点A到平面PEF的距离为.

17

【解析】

【分析】设点A到平面P石厂距离为"，转化为三棱锥D-PEb的高，结合

VA-PF：F=VP-AEF＞利用锥体的体积公式，列出方程，求得"的值，即可求解・

【详解】如图所示，连接。耳。£,

因为正方形ABC。的边长为1,且E、F分别为AB、BC的中点，

ic1…，1111

可得SAEF=TAE-A=--X—X—=•—,

・w22228

又因为P£)J_平面A5CZ),且PZ)=1，所以匕—AE/=/XS,xPA=^x^xl=,

33824

设点A到平面P石下的距离为d,即为三棱锥D-PEF的高，

因为PD1平面且DE,OFu平面ABC。，所以PD_L。尸，

由正方形ABC。的边长为1，且P£>=1，

在直角VADE中，可得。£2=4。？+AE?=2,^\PE=^PD2+DE2=-,

42

在直角uCDE中，可得OF?=。。2+。/2=3,则PF=《PD2+DF2=2

42

在直角ZX3石户中，可得EF?=BE2+BF2=工,即4=立，

22

取£产的中点M,因为PE=PF，所以PM_LEE，且PM=丁手

所以SPEF=*F.PM=%与义浮=誓,

又由匕_PFF=9_AFF，可得:xSpE/MuL，即_LX姮Xd=-L,解得［=姮,

3»24382417

即点A到平面PEF的距离为姮

17

故答案为：叵

17

16.如图，椭圆的中心在坐标原点,A，A,B,,鸟分别为椭圆的左、右、下、上顶点,

写为其右焦点，直线与居与4与交于点尸，若为钝角，则该椭圆的离心率的取

值范围为.

【解析】

【分析】根据NBFA为钝角转化为B2A26B]<0,从而得到关于,c的不等式，即可

求解.

22

【详解】设椭圆的标准方程为—+/=l(a>b>0),E(c,o).

由题意，得&(。,0),4(0,-3，e2(o,b),

则B2Ay=,F2Bi=(-c,一6).

因为/q尸&为向量为儿与的夹角，且/4P4为钝角,

所以为4•64<0,所以〃一ac<0.

又。2=片一/,所以〃一QC-/v0,

即1一e—/<0,解得e<士诙或e>T+'，

22

因为ee(O,l),所以T；石<e<l，

故答案为：~~~A■

<27

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步

骤.

17._ABC的三个顶点4(1,6)、8(-1,-2)、C(6,3),。为BC中点,求：

(1)3C边上的高所在直线的方程；

(2)中线AO所在直线的方程.

【答案】(l)7x+5y-37=0

(2)Ux+3y-29=0

【解析】

【分析】(1)求出直线的斜率，即可得到8C边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜

式，即可求解.

(2)求出BC的中点。坐标，求出中线所在直线的斜率，代点斜式即可求解.

【小问1详解】

3-(-2)57

解：•.•8(-1,-2)、C(6,3),BC边斜率=＞故BC边上的高线的斜率--一，

6-(-1)75

7

故BC边上的高线所在直线的方程为y-6=—g(x—1),即7x+5y-37=().

【小问2详解】

6-1

解：BC的中点。(2,,)，中线4。所在直线的斜率为女=-2-=-^-,故BC边上的中线

22t,53

2

所在直线的方程为＞一6=-段(*一1),即llx+3y—29=0.

18.已知圆知的圆心在x轴上,且经过点A(-1,0),3(1,2).

(1)求圆C的标准方程；

⑵过点P(0,2)的直线/与圆C相交于M,N两点，且|MN|=20,求直线/的方程.

［答案］(D(x—l)2+y2=4(2)%=0或3工+4,_8=0

【解析】

【分析】(D根据题意，设A5的中点为。，求出。的坐标，求出直线CD的斜率，由直线

的点斜式方程分析可得答案，设圆C的标准方程为*-。)2+丁=/，由圆心的位置分析

可得。的值，进而计算可得广的值，据此分析可得答案；

(2)设F为MN的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线/的斜率是否存在两种情况讨论,

综合即可得答案.

【详解】解：(1)设的中点为》,则。(0,1),

由圆的性质得a)_LA8,

所以KCDXKAB=一1,得KCD=-1,

所以线段AB的垂直平分线方程是y=-x+l,

设圆C的标准方程为(x-a)2+y2=/,其中C(a,0),半径为r(r＞0),

由圆的性质，圆心C(a,0)在直线CD上，化简得。=1,

所以圆心C(l,0),r=|C4|=2,

所以圆C的标准方程为(XT)?+V=4；

⑵由（1）设尸为MN中点，则CF_L/，得|=|FN|=百，

圆心C到直线I的距离d=\CF\={4-（百年=1，

当直线/的斜率不存在时，/的方程x=0,此时IC尸1=1,符合题意；

当直线/的斜率存在时，设/的方程丁=履+2,即H-y+2=0,

,味xl+2|3

由题意得^=l—，解得左=一；；

y/k2+l4

3

故直线/的方程为y=--x+2,

4

即3x+4y-8=0；

综上直线/的方程为x=0或3x+4y-8=0.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题.

19.如图，己知。4_L平面A8CO,底面A8C。为正方形，PA=AD=AB=2,M,N分别为

AB,PC的中点.

⑴求证：用/V_L平面PCQ；

（2）求PD与平面PMC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵巨

3

【解析】

【分析】（1）取尸。的中点E，连接AE,NE,证明平面PC。，原题即得证；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出PD与平面PMC所成角的正弦值.

【小问1详解】

取的中点E,连接AE,NE,

,:N,E分别为PC,PO的中点，

:.NEHCD且NE=、CD,又M为A6的中点，底面ABCD为正方形,

2

，AM//C。且AM」C。,

2

:.NE/1AMANE=AM,故四边形AA/VE为平行四边形，，MN//AE.

PA=AD,PE=DE,AE±PD.

因为Q4,平面ABC，8在面A8C£>内，所以Q4，C0.

又CD_LAD,弘门⑷^二人丛渊0匚平面必。，

所以CD_L平面/W),AE在面出。内，所以COLAE.

又PDcCD=£>,PD,CDu平面PCD,

所以AE_L平面PC。，

所以MN，平面PCD.

由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，：e4=AD=AB=2,

所以C(2,2,0),M(1,0,0),P(0,0,2),0(0,2,0),

故尸。=(0,2,-2),PC=(2,2,-2),/C=(1,2,0),

PC-n=0[2x+2y-2z=0

设平面PMC的法向量〃=«y,z),则<=>-八，得〃=(2,-1,1),

MCn=0Ix+2y=0

设尸o与平面PMC所成角为e,则sine=卜os(皿〃)|=上月==更,

I\/I2V2.V63

故P。与平面PMC所成角的正弦值为且

3

20.如图所示，己知椭圆的两焦点为耳(一1,0),6(1,0),P为椭圆上一点，且

2\FtF2\=\PFt\+\PF2\-

(1)求椭圆的标准方程；

⑵若点P在第二象限，/乙耳2=120。，求的面积.

22

【答案】(1)上+汇=1

43

5

【解析】

【分析】(1)根据2|斗名|=|母;|+|依"，求出。，结合焦点坐标求出c,从而可求力，即可

得出椭圆方程；

(2)直线方程与椭圆方程联立，可得P的坐标，利用三角形的面积公式，可求的面

积.

【小问1详解】

解：依题意得16Kl=2,

又2|百心|=|尸耳|+|尸乙|,

.[PF}|+|PF21=4=2a,:.a=2,

,.c=L/.b1=a2-c2=3.

22

二所求椭圆的方程为0+J=1.

43

【小问2详解】

解：设P点坐标为(*,y),

ZF2FtP=\2Q0,

Pf；所在直线的方程为y=tanl20°-(x+l),即y=—6。+1).

8

y=-月(*+1)x=——

5

解方程组《%2y2,并注意到x<0,y>0,可得，

3石

143y=----

5

21.如图，在三棱锥尸—ABC中，AB=BC=2&PA=P8=PC=AC=4,。为AC

的中点.

(1)证明：P。，平面ABC；

CM

⑵若点M在棱8c上，且二面角C为30°,求——的值.

CB

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【解析】

【分析】(1)由等腰三角形三线合一得到P0,AC，由勾股定理逆定理得到30,尸。,

从而证明出线面垂直;

CM

(2)建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设——=丸，利用空间向量及二面角列出方程,

CB

求出答案.

【小问1详解】

在4c中，E4=PC=4,O为AC的中点.

则中线尸O_LAC，且AO=CO=2,OP=26；

同理在中有AB2+BC2=AC2,则AB16C；

因为AB=BC=2近，。为AC的中点•

所以B01AC且B0=2；

在匕POB中有PO?+BO?=BP?，则5O_LPO，

因为ACcBO=O,AC,30u平面ABC,

所以POL平面ABC.

【小问2详解】

由(1)得POL平面A8C,故建立如图所示空间直角坐标系。一肛z,

则B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,—2,0),尸(0,0,2石),

CM

设忘=几，则CM=/ICB，

Cn

而C3=(2,-2,0),PA=(0,-2,-25/3),PC=(0,2,-273),

CM=A,CB=(22,-22,0),

PM=PC+CM=(0,2,-2>/3)+(22,-22,0)=(2A,2-22,-2^),

设平面fiAM的一个法向量为机=(x,y,