山西省重点中学2023-2024学年数学九年级上册期末复习检测模拟试题含解析

山西省重点中学2023-2024学年数学九上期末复习检测模拟试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

区B®

<8>决

2.关于抛物线》=%2一2%+1,下列说法错误的是（）

A.开口向上B.与x轴有唯一交点

C.对称轴是直线x=lD.当X>1时，y随x的增大而减小

3.如图，四边形ABCD是。O的内接四边形，若NBOD=86。，则NBCD的度数是（）

A.86°B.94°C.107°D.137°

4.向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为）'米，且高度与时间的关系为>=依2+法+。370）,若此炮弹在第6秒

与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）

A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

5.把抛物线了=-21+4彳+1的图象绕着其顶点旋转180。，所得抛物线函数关系式是（）

A.y=2x2-4x-1B.y=2x2-4x+5C.y=-2x2+4x-lD.y=-2x2-4x+5

6.如图，QABCD的对角线相交于点O,且ABWAD,过点O作OE丄BD交BC于点E,若-CDE的周长为10,

贝旧ABCD的周长为（）

D

o

BEC

A.14B.16C.20D.18

7.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,BC边上的点，且DE〃AC,若5加无=4,CD£=16,则△ACD的面积

为（）

8.如图所示，抛物线y=ax2-x+c（a>0）的对称轴是直线x=l,且图像经过点P（3,0）,则a+c的值为（）

A.0B.-1C.1D.2

9.27的立方根是（)

A.±3B.±36C.3D.373

10.已知圆心角为120。的扇形的弧长为6兀，该扇形的面积为（)

A.18万B.27万C.367rD.544

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球.己知袋中有红球5个，白球

23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是些,则袋中黑球的个数为.

12.将方程x2-2（3%-2）+x+1=0化成一般形式是.

13.已知m为一元二次方程x2-3x-2020=0的一个根，则代数式2m2-6m+2的值为

14.分解因式：a2-9=.

15.在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-4,0),半径为1的动圆OP沿x轴正方向运动，若运动后。P与y轴相

切，则点P的运动距离为.

91

16.如图，点A为函数y=—(x>0)图象上一点，连接OA,交函数y=—(x>0)的图象于点B,点C是x轴上一点,

xx

且AO=AC,则AABC的面积为.

।25

17.一男生推铅球，铅球行进高度y与水平距离x之间的关系是y=-一+则铅球推出的距离是_____.此

1233

时铅球行进高度是.

18.一元二次方程x2-16=0的解是.

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，直线A5和抛物线的交点是A(0,-3),B(5,9),已知抛物线的顶点。的横坐标是1.

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；

(1)在x轴上是否存在一点C,与A,B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；

(3)在直线A8的下方抛物线上找一点P,连接出，尸3使得AR13的面积最大，并求出这个最大值.

20.（6分）在正方形A3CO中，点E是BC边上一点,连接AE.

图1图2

4

（1）如图1,点尸为4E的中点，连接CF.已知tan/EBE=—,BF=5,求CF的长；

3

（2）如图2,过点E作AE的垂线交8于点G,交AB的延长线于点“，点。为对角线AC的中点，连接G。并

延长交于点M，求证：AM+BH=BE.

21.（6分）如图，已知一次函数y=与反比例函数y=:的图象交于A（-5,-l）、B（l,5）两点.

（1）求一次函数与反比例函数的表达式；

（2）求AAO3的面积；

22.（8分）为了提高教学质量，促进学生全面发展，某中学计划投入99000元购进一批多媒体设备和电脑显示屏，且

准备购进电脑显示屏的数量是多媒体设备数量的6倍.现从商家了解到，一套多媒体设备和一个电脑显示屏的售价分

别为3000元和600元.

（1）求最多能购进多媒体设备多少套？

3

（2）恰逢“双十一”活动，每套多媒体设备的售价下降m。％，每个电脑显示屏的售价下降5a元，学校决定多媒体设

备和电脑显示屏的数量在（1）中购进最多量的基础上都增加。%,实际投入资金与计划投入资金相同，求。的值.

23.（8分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别.

（1）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，搅匀，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.2,求

n的值；

（2）若〃=2,小明两次摸球（摸出一球后，不放回，再摸出一球），请用树状图画出小明摸球的所有结果，并求出

两次摸出不同颜色球的概率.

24.（8分）《庄子•天下》：“一尺之極，日取其半，万世不竭.”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不

完.我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题.

（规律探索）

（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影i==J

如图2,在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则$関影2=1一?一（；）2=一

同种操作，如图3,s隧3=1—J-（9）2-（；）3=；

234

如图4,sR!B4=I-y）-（7）-（y）=!

...若同种地操作n次，则S阴影n=l-J—（；）2—（J）3—…一（：）n=

于是归纳得到：J+（J）2+（J尸+…+（J尸=.

（理论推导）

（2）阅读材料：求1+2+2?+材+24+...+2珈5+22016的值.

解：设S=l+2+22+23+24+...+22°i5+22*»6,①

将①X2得：2S=2+22+23+24+...+22016+22017,②

由②-①得：2S—S=220'7—1,BP=220,7-l.

即1+2+2?+23+24+…+22015+22。16=220i7.1

根据上述材料，试求出户+（|户+…+（；尸的表达式，写出推导过程.

（规律应用）

（3）比较丄+丄+二+......1（填“〉”、“〈”或“=”）

22223--------------

25.（10分）在一个不透明的盒子中装有4张卡片.4张卡片的正面分别标有数字1,2,3,4,这些卡片除数字外都相同，将卡

片搅匀.

⑴从盒子任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是：;

（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概

率（请用画树状图或列表等方法求解）.

26.(10分)如图，在口ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=-CD

2

⑴求证:AABFs^CEB

(2)若ADEF的面积为2,求ACEB的面积

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1,A

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合图形的特点选出即可.

【详解】解：A、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；

D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键.

2、D

【分析】先把抛物线化为顶点式，再根据抛物线的性质即可判断A、C、D三项，令尸0,解关于x的方程即可判断B

项，进而可得答案.

【详解】解：y=x2-2x+l=(x-l)2；

A、•••a=l>0,.•.抛物线的开口向上，说法正确，所以本选项不符合题意；

B、令尸0,贝!|(x-1『=0,该方程有两个相等的实数根玉=乙=1,所以抛物线与x轴有唯一交点，说法正确，所以

本选项不符合题意

C、抛物线的对称轴是直线x=l,说法正确，所以本选项不符合题意；

D、当x>l时，y随x的增大而减小，说法错误，应该是当x>l时，y随x的增大而增大，所以本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题考査了二次函数的性质和抛物线与x轴的交点问题，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键.

3、D

【详解】解：,••NBOD=86。，

:.ZBAD=86°-r2=43°,

VZBAD+ZBCD=180°,

.".ZBCD=180°-43°=137°,

即NBCD的度数是137。.

故选D.

【点睛】

本题考查圆内接四边形的对角互补.②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).

4,C

【分析】根据二次函数图像的对称性，求出对称轴，即可得到答案.

【详解】解：根据题意，炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，

二抛物线的对称轴为：彳="乜=11.5秒，

2

•.•第12秒距离对称轴最近，

二上述时间中，第12秒时炮弹高度最高；

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质和对称性，解题的关键是掌握二次函数的对称性进行解题.

5、B

【分析】根据图象绕顶点旋转180°,可得函数图象开口方向相反，顶点坐标相同，可得答案.

【详解】•••y=-2Y+4x+l

=-2(X2-2X+1-1)+1

=—2(1)2+3,

...该抛物线的顶点坐标是(1,3),

.••在旋转之后的抛物线解析式为：

y=2(x-l)2+3=2x2-4x+5.

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移和旋转，解决本题的关键是理解绕抛物线的顶点旋转180°得到新函数的二次项的系

数符号改变，顶点不变.

6、C

【解析】由平行四边形的性质得出AB=CD,BC=AD,OB=OD,再根据线段垂直平分线的性质得出BE=DE,

由CDE的周长得出BC+CD=6cm,即可求出平行四边形ABCD的周长.

【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，

.-.AB=CD,BC=AD,OB=OD,

OE丄BD,

BE=DE>

•••aCDE的周长为10,

.,.DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10,

,平行四边形ABCD的周长=2(BC+CD)=20；

故选：C.

【点睛】

本题考査了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的

性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.

7、C

【分析】根据题意得出BE：CE=1：4,由DE〃AC得出△DBE和AABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似

比的平方求出aABC的面积，然后求出4ACD的面积.

【详解】VSABDE=4,SACDE=16,

SABDE：SACDE=1：4,

vABDE和ACDE的点D到BC的距离相等，

.殷—丄

••一9

CE4

:.—BE=—1,

BC5

VDE/7AC,

.,.△DBE<^AABC,

•••SADBE：SAABC=1：25,

SAABC=100

==

**•SAACD=SAABC-SABDE-SACDE100-4-16l.

故选c.

【点睛】

考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平

方，用aBDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键.

8、B

【解析】二•抛物线.丫=依2-％+。(。>0)的对称轴是直线％=1,且图像经过点P(3,0),

r八1

9a—3+c=0a=-

2

：•<—1，解得：\Q,

I2a

/•n+c——+(-1)—-1.

故选B.

9、C

【分析】由题意根据如果一个数x的立方等于a,那么x是a的立方根，据此定义进行分析求解即可.

【详解】解：..T的立方等于27,

•••27的立方根等于1.

故选：C.

【点睛】

本题主要考査求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方.由开立方和立方是互逆运算，用

立方的方法求这个数的立方根.注意一个数的立方根与原数的性质符号相同.

10、B

【分析】设扇形的半径为r.利用弧长公式构建方程求出r,再利用扇形的面积公式计算即可.

【详解】解：设扇形的半径为r.

,即安120nr,

由题意：———=6n,

180

r=9,

120乃x92

・・3扇形=---------Lm，

360

故选B.

【点睛】

本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、1

【分析】袋中黑球的个数为％,利用概率公式得到一--=丄，然后利用比例性质求出》即可.

5+23+x10

【详解】解：设袋中黑球的个数为》,

根据题意得—=」，解得x=22,

5+23+x10

即袋中黑球的个数为22个.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查概率的计算问题，关键在于根据题意对概率公式的应用.

12、X2-5X+5=O

【分析】先将括号乘开，再进行合并即可得出答案.

【详解】x2-6x+4+x+l=0,

X?—5x+5—0•

故答案为：x2-5x+5=0.

【点睛】

本题考査了一次二次方程的化简，注意变号是解决本题的关键.

13、1

【分析】由题意可得m2-3m=2020,进而可得2m2-6m=4040,然后整体代入所求式子计算即可.

【详解】解：:!!!为一元二次方程x2-3x—2020=0的一个根，

二m?—3m—2020=0,

.".m2—3m=2020,

2m2_6m=4040,

二2m2-6m+2=4040+2=L

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，熟练掌握基本知识、灵活应用整体思想是解题的关键.

14、（a+3）（a-3）

【解析】试题分析：本题考査实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进

行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止.先把式子写成a?-32,符合平方差公式的特点，再利用平方差公

式分解因式.

a2-9=a2-32=(a+3)(a-3).

故答案为(a+3)(a-3).

考点：因式分解-运用公式法.

15、3或1

【解析】利用切线的性质得到点P到y轴的距离为1,此时P点坐标为(-1,0)或(1,0),然后分别计算点(-1,0)

和(1,0)至!|(-4,0)的距离即可.

【详解】若运动后。P与y轴相切，

则点P到y轴的距离为1,此时P点坐标为(-1,0)或(1,0),

而-1-(-4)=3,1-(-4)=1,

所以点P的运动距离为3或1.

故答案为3或1.

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.

16、6.

91

【分析】作辅助线，根据反比例函数关系式得：SAAOD=-,SABOE=y,再证明ABOES/^AOD,由性质得OB与OA

的比，由同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论.

【详解】如图，分别作BE丄x轴，AD丄x轴，垂足分别为点E、D,

，BE〃AD,

/.△BOE^AAOD,

S'AOD

VOA=AC,

.*.OD=DC,

SAAOD=SAADC=—SAAOCJ

2

9

•••点A为函数y=-(x>0)的图象上一点,

x

.9

••SAAOD=—■>

2

同理得：SABOE=—,

2

1

2

S^BOE_-

9

S'AOD

2

.OB\

,,—•—9

OA3

.AB2

••=-9

OA3

S'ABC_2

SVAOC3

2x9

6,

故答案为6.

17、12

【分析】铅球落地时，髙度y=0,把实际问题理解为当y=0时，求x的值即可.

【详解】铅球推出的距离就是当高度y=0时x的值

I25

当)'=0时，x2+—%+—=0

1233

解得：X,=10,X2=-2（不合题意，舍去）

则铅球推出的距离是1.此时铅球行进高度是2

故答案为：1;2.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，理解铅球推出的距离就是当高度y=0时X的值是解题关键.

18、Xl=-1,X2=l

【分析】直接运用直接开平方法进行求解即可.

【详解】解：方程变形得：好=16,

开方得：X=+1,

解得：Xl=-1,X2=l.

故答案为：Xl=-1,X2=l

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，掌握直接开平方法是解答本题的关键.

三、解答题(共66分)

]248639775

19^(1)y=~—x2——x—3,顶点D(1,——)；(1)C(±4A/FO，0)或(5±2>/22，0)或(—-,0)；(2)—-

JJJ11/乙

【解析】(1)抛物线的顶点〃的横坐标是1,则x=-2=l,抛物线过4(0,-2),贝(J：函数的表达式为：尸加+法

2a

-2,把8点坐标代入函数表达式，即可求解；

(1)分妬4C、AB-BC.AOBC,三种情况求解即可；

(2)由加科=丄•部&,即可求解.

2

b

【详解】(1)抛物线的顶点〃的横坐标是L贝ijx=-k=1①，抛物线过2(0,-2),贝人函数的表达式为：尸戒+bx

2a

1248

-2,把8点坐标代入上式得：9=15^56-2②，联立①、②解得：G-2,.•.抛物线的解析式为：

12.48

y——X----x-2.

55

当年1时，y=-y,即顶点，的坐标为(1,-y);

(1)A(0,-2),B(5,9),则仍12,设点。坐标(m,0),分三种情况讨论：

①当四时，贝！I：(加*+(-2)解得：犷±4而，即点C坐标为：(4710»0)或(-4痴，0)；

②当四=交时，贝！I：(5-加491=12)解得：炉5±2伝，即：点C坐标为(5+2722,0)或(5-1夜，0)；

9797

③当Z俏a'时，贝!J：5-而(加=(-2)\解得：2ZF—,则点。坐标为(记，0).

97

综上所述：存在，点C的坐标为：(±4而，0)或(5±2夜，0)或(记，0)；

12

(2)过点尸作y轴的平行线交居于点"设直线相的表达式为尸&-2,把点5坐标代入上式，9=54-2,则4二不，

1212481?15

故函数的表达式为：y——x-2f设点尸坐标为(血—而----。-2),则点〃坐标为(妬—m-2),S^PAB——•PH*XB=—

555522

12575575

(------227+11JB7)-—6方+20犷—6。%—)~H------9当斤一时，皮总取得最大值为：—.

52222

75

答：△府的面积最大值为

2

【点睛】

本题是二次函数综合题.主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结

合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

20、(1)CF=屈;(2)证明见解析.

【分析】⑴作EP丄于点P,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出AE=10,FE=5,在RtMFP

中，利用三角函数求出BP,FP,在等腰三角形MEE中，求出BE,再由勾股定理求出AB,进而得到BC和CP,再

次利用勾股定理即可求出CF的长度.

(2)过G作GP垂直AB于点P,得矩形8CGP,首先证明AAMgACGO,得AM=GC,再证明

AABE/△GPH,可推出得+

【详解】解：(1)RMBE中,为中线，BF=5,

...AE=10,FE=5.

作FP丄BC于点P,如图，

4

RtMFP中,BF=5,tanZFBE^-

3

...8P=3,FP=4

在等腰三角形MFE中,

BE=2BP=6,

由勾股定理求得AB=V102-62=8=BC，

.•.0=8—3=5

.-.CF=742+52=V41

(2)过G作G尸垂直AB于点P,得矩形BCGP,

H

VAB/7CD

:.ZMAO=ZGCO

在△AMO和△CGO中，

VZMAO=ZGCO,AO=CO,ZAOM=ZCOG

.,.△AMO^ACGO(ASA)

.,.AM=GC

•.•四边形BCGP为矩形，

，GC=PB,PG=BC=AB

VAE±HG

ZH+ZBAE=90°

又,.•NAEB+NBAE=90°

AZAEB=ZH

在AABE和△GPH中，

VZAEB=ZH,ZABE=ZGPH=90°,AB=PG

/.△ABE^AGPH(AAS)

:.BE=PH

XVCG=PB=AM

:.BE=PH=PB+BH=CG+BH=AM+BH

即AM+BH=BE.

【点睛】

本题考查了正方形和矩形的性质，三角函数，勾股定理，以及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，利用全等

三角形对应边相等将线段进行转化是解题的关键.

21、(1)y=-5(2)12

x

【分析】(1)将点A分别代入一次函数与反比例函数，即可求出相应的解析式；

(2)如图，将△AOB的面积转化为△AOC的面积和△BOC的面积和即可求出.

【详解】(1)解：y=x-b过A(-5,-1)

-l=-5-b；b=-4

y=x-+4

kj,

y二一过A(-5,-1),

x

k=-5x(-l)=5

5

y=一

X

(2)如下图，直线与y轴交于点C,连接AO,BO

•・•直线解析式为：y=x+4

AC(0,4),CO=4

由图形可知，SAOB=SAOC+SCOB

•••SAOB=g.C0.|“+；.CO.N|=；.4.|-5|+14川=12.

【点睛】

本题考查一次函数与反比例函数的综合,求aAOB面积的关键是将aAOB的面积转化为aAOC和△BOC的面积和来

求解.

22、(1)15套；(2)37.5

【分析】(1)设购买A种设备x套，则购买B种设备6x套，根据总价=单价x数量结合计划投入99000元，即可得出

关于x的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；

(2)根据总价=单价x数量结合实际投入资金与计划投入资金相同，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即

可得出结论.

【详解】(D设能购买多媒体设备X套，则购买显示屏6x套，

根据题意得：3(XX)x+6(X)x6x499000

解得：x<\5

答：最多能购买多媒体设备15套.

(2)由题意得：3000^1-1x15(1+a%)+(600-5a)x90(1+a%)=99000

设f=a%,则原方程为：

30001l一x15(1+f)+(600-500。x90(1+f)=99000

整理得：8r-3/=O

解得：4=0.375,t2=0(不合题意舍去)

:.a=37.5.

答：。的值是37.5.

【点睛】

本题考査了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，找出关于

x的一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程.

23>(1)〃=3；(2)-

6

【分析】(1)利用频率估计概率，则摸到绿球的概率为0.2,然后利用概率公式列方程即可；

(2)画出树状图，然后根据概率公式求概率即可.

【详解】解：(1)•.•经过大量实验，摸到绿球的频率稳定于0.2,

•••摸到绿球的概率为0.2

解得：〃=3,经检验〃=3是原方程的解.

(2)树状图如下图所示：

红绿白白

/N/1\/N/N-

緑白白红白白红绿白红绿白

由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中两次摸出不同颜色球的结果共有10种,

故两次摸出不同颜色球的概率为：10+12=3

【点睛】

此题考査的是利用频率估计概率、画树状图及概率公式，掌握画树状图分析结果和利用概率公式求概率是解决此题的

关键.

24>(1)—；—；—；(!尸；1-(77)n5(2)7+(彳)4(7)斗…+(7)n=1-(g尸，推导过程见解析；(3)=

48162222222

【分析】(1)根据有理数的混合运算计算前几项结果，并观察得出规律即可得解

(2)根据材料中的计算求和的方法即可求解；

(3)根据(2)的化简结果，结合极限思想即可比较大小.

【详解】解：⑴S皿=1一;一(；)2=1]=；=<)2,

11,1,11

S^n=l---(-)2-(-)3-...-(y)n=(-)n>

于是归纳得到：J+(J产+(y)3+…+(y)n=l-(y)n

故答案为：g)2；g)3；(1)4.(1)".

(2)解：设5=y+(y)2+(y)3+...+(y)n,①

将①X；■得：9s=(