山东省冠县联考2023-2024学年数学九年级上册期末经典模拟试题含解析

山东省冠县联考2023-2024学年数学九上期末经典模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.若正六边形的半径长为4,则它的边长等于（）

A.4B.2C.2√3D.4百

2.如图，在AABC中，AB=1S,BC=15,cosB=-3,DE//AB,EF±AB,若L=一j,则BE长为（）

5AF2

A.7.5B.9C.10D.5

3.把二次函数y=-（x+l）2-3的图象沿着X轴翻折后，得到的二次函数有（）

A.最大值y=3B.最大值y=-3C.最小值y=3D.最小值y=-3

4.如图，在..ABC中，中线AD,BE相交于点F,EG〃BC,交于AD于点G,下列说法①BD=2GE；②AF=2FD；

③一AGE与，应邛面积相等；④AB厂与四边形DCEF面积相等.结论正确的是（）

A.①③④B.②③④C.①②③D.①②④

5.如图，AB是。O的弦，NBAC=30。，BC=2,则。O的直径等于（）

B.3C.4D.6

6.二次函数y=0r2+⅛x+c{a≠0）的图象如图，有下列结论:①而c<0,②2α+b=0,③m≠l时，a-∖-b<am2+bm，

④α-A+c<O,⑤当or；+bX]=QZ?+历⅛且玉WX2时，再+%=2,⑥当-IVXV3时，y>0.其中正确的有（）

A.①②③B.②④⑥C.②⑤⑥D.②③⑤

7.如图，在。O的内接四边形ABCD中，AB是直径，ZBCD=120o,过D点的切线PD与直线AB交于点P,贝（JNADP

的度数为（）

A.40°B.35°C∙30°D.45°

8.如图，在AABC中，中线BE、CF相交于点G,连接EF,下列结论:

S1

EF1令SEGF③"此④产=：.其中正确的个数有（）

武5；②K于

ABGB，AEF3

A.1个B.C.3个D.4个

9.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如表:

X-3-2-10~τ~

y______■705898

利用该二次函数的图象判断，当函数值y>0时，X的取值范围是（）

A.0<x<8B.xV（）或x>8C.-2<x<4D.x<-2^x>4

10.已知A、B、。三地顺次在同-直线上，甲、乙两人均骑车从A地出发，向C地匀速行驶.甲比乙早出发5分钟；甲

到达B地并休息了2分钟后，乙追上了甲.甲、乙同时从B地以各自原速继续向C地行驶.当乙到达C地后，乙立即掉

头并提速为原速的2倍按原路返回A地，而甲也立即提速为原速的二倍继续向C地行驶，到达。地就停止.若甲、乙

4

间的距离y（米）与甲出发的时间，（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）

A.甲、乙提速前的速度分别为300米/分、400米/分.

B.A。两地相距7200米

C.甲从A地到。地共用时26分钟

D.当甲到达C地时，乙距A地6075米

11.如图，四边形ABC。是边长为5的正方形，E是。C上一点，Z）E=I,将AADE绕着点A顺时针旋转到与ΔA3E

重合，则EE=（）

A.√41B.√42C.5√2D.2√B

12.已知函数y=aχ2+bx+c(aRO)的图象如图，下列5个结论，其中正确的结论有()

①abcVO

②3a+c>0

③4a+2b+cV0

④2a+b=0

(S)b2>4ac

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，OO的半径OC=IOcm,直线IjLOC,垂足为H,交。O于A,B两点，AB=16cm,直线1平移Cm

时能与。。相切.

14.方程J—?—=。的解是•

15.有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm,从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是.

16.如图，在RtZ∖A3C中，ZC=90o,AC=6,AD∕∕BC,OE与A3交于点尸，已知AO=4,DF=2EF,SinNoAB

17.关于X的方程4（x+m/+人=。的解是芭=-9,X2=H（α,m,Z＞均为常数，0≠0）,则关于X的方程

a（x+m+3）2+b=O的解是.

OE4FG

18.如图，四边形ABCD与四边形EFG"位似，其位似中心为点0,且一-=则——=______.

EA3BC

20.（8分）已知抛物线y=f-2∕nχ+3∕〃+4

（1）抛物线经过原点时，求的值；

（2）顶点在X轴上时，求加的值.

21.（8分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售

单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成

本.

（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

⑵求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3汝口果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？

22.（Io分）如图①，在AABC中，NBAC=90。，AB=AC,点E在AC上（且不与点A,C重合），在AABC的外部

作ACED,使NCED=90。，DE=CE,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.

（1）请直接写出线段AF,AE的数量关系一；

（2）将ACED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE,请判断线段AF,AE的数量关系，

并证明你的结论；

（3）在图②的基础上，将ACED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③

写出证明过程；若变化，请说明理由.

23.（10分）某市2017年对市区绿化工程投入的资金是5000万元，为争创全国文明卫生城，加大对绿化工程的投入,

2019年投入的资金是7200万元，且从2017年到2019年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.

(1)求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；

(2)若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2020年预计需投入多少万元？

24.(10分)如图，已知BCLAG圆心。在AC上，点M与点C分别是AC与。。的交点，点。是M5与。。的交点,

点尸是AO延长线与SC的交点，且AO∙AdAΛ∕∙AP,连接。尸.

(1)证明：MDUOP；

(2)求证：尸。是。。的切线；

BP

(3)若AD=24,AM=MC,求——的值.

MD

25.(12分)某经销商销售一种成本价为10元Zkg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销

售价不得高于18元∕kg.在销售过程中发现销量y(kg)与售价X(元∕kg)之间满足一次函数关系，对应关系如下表

所示：

X12141517

y36323026

⑴求y与X之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；

⑵若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润，求售价应定为多少元∕kg?

⑶设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与X之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时,

才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？

26.某活动小组对函数y=Y-2∣x∣的图象性质进行探究，请你也来参与

(1)自变量X的取值范围是;

(2)表中列出了X、y的一些对应值，贝!］加=；

(3)依据表中数据画出了函数图象的一部分，请你把函数图象补充完整；

X-3-2-10123

y3m-1O-1O3

(4)就图象说明，当方程d-2N=α共有4个实数根时，”的取值范围是.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【解析】试题分析：正六边形的中心角为360X6=60。，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形,

故正六边形的半径等于1,则正六边形的边长是L故选A.

考点：正多边形和圆.

2、C

DECE

【分析】先设OE=x,然后根据已知条件分别用X表示AF、BF、BE的长，由OE〃A8可知——=——，进而可求出

ABCB

X的值和BE的长.

【详解】解：设OE=χ,则A尸=2x,BF=18-2x,

VEFLAB,

.∙.ZEF^=90o,

BF3

VcosB=---=—，

BE5

：.BE=-(18-2x),

3

9JDE∕∕AB,

DECE

ΛB-CB,

.r15-f(18-2x)

•∙ʌ_J_________

Ti^15-

Λx=6,

5

：・BE=-X(18-12)=10,

3

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了三角形的综合应用，根据平行线得到相关线段比例是解题关键.

3、C

【分析】根据二次函数图象与几何变换，将y换成-y,整理后即可得出翻折后的解析式，根据二次函数的性质即可求

得结论.

【详解】把二次函数y=-(x+l)2-3的图象沿着X轴翻折后得到的抛物线的解析式为-y=-(x+l)2-3,

整理得：y=(x+l)2+3,

所以，当X=-I时，有最小值3,

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，求得翻折后抛物线解析式是解题的关键.

4、D

【分析】。,E为BC,AC中点,可得AE=EC,BO=OC;由于GEBC,可得AE:AC=I:2；可证Bf>=2GE故①正确.②

由于G£BO=1:2,则GF:ED=I:2可证A尸=2/7),故②正确.设SGEF=X，，可得

SBDF=4x,SABF=8x,SAGE=3x,S四迦gpɑ-=8X可判断③错,④正确.

【详解】解：①∙.∙D,E为BC,AC中点，

.,.AE=EC,BD=DC;

GEBC1

.∖AEιAC=1:2；

.\GE:CD=\:2,GE:BD=1:2,：.BD=2GE.故①正确.

②GE:BD=12..GF:FD=12

GA:Go=I:1,.∙.AF:尸。=2:1,.∙.AF=2∕T>,故②正确.

③®设SGEF=X，则SBDF=4x,SΛBF=SXISage=3x,S四翊"心》=心，

故③错，④正确.

【点睛】

本题考查了平行线段成比例，解题的关键是掌握平行线段成比例以及面积与比值的关系.

5、C

【分析】如图，作直径BD,连接CD,根据圆周角定理得到ND=NBAC=30。，NBCD=90。，根据直角三角形的性

质解答.

【详解】如图，作直径BD,连接CD,

YNBDC和NBAC是BC所对的圆周角，NBAC=30。，

.,.ZBDC=ZBAC=30o,

TBD是直径，NBCD是BD所对的圆周角，

：.NBCD=90。，

ΛBD=2BC=4,

故选：C.

【点睛】

本题考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或

直径）所对的圆周角是直角；90。圆周角所对的弦是直径；熟练掌握圆周角定理是解题关键.

6、D

【分析】①只需根据抛物线的开口、对称轴的位置、与y轴的交点位置就可得到a、b、C的符号，从而得到abc的符

h

号；②只需利用抛物线对称轴方程X=-==1就可得到2a与b的关系；③只需结合图象就可得到当x=l时y=a+b+c

2a

最小，从而解决问题；④根据抛物线x=-l图象在X轴上方，即可得到χ=-l所对应的函数值的符号：⑤由

2

<ax1+bxi=OX2,+力W可得+bxi+c=ax^+hx2+c,然后利用抛物线的对称性即可解决问题；⑥根据函数图像,

即可解决问题.

【详解】解：①由抛物线的开口向下可得a>0,

由对称轴在y轴的右边可得x=-2>0,从而有b<0,

2a

由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可得c<0,

则abc>O,故①错误；

h

②由对称轴方程X=------=1得b=-2a,即2a+b=0,故②正确；

Ia

③由图可知，当x=l时，y=a+b+c最小，则对于任意实数m（mH1）,都满足“+O+c<am?+ZWJ+C，即

a+b<am2+bm）故③正确；

④由图像可知，x=-I所对应的函数值为正，

.∙.x=-1时，有a-b+c>O,故④错误；

⑤若OXj+A*∣=+"2，且X1≠X2,

2

贝!|αrj+bxi+c=ax2+bx2+c,

.∙.抛物线上的点（xι,yι）与（X2,y2）关于抛物线的对称轴对称，

.∙.1-X1=X2-1,即X1+X2=2,故⑤正确.

⑥由图可知，当-l<x<3时，函数值有正数，也有负数，故⑥错误；

...正确的有②③⑤；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的性质（开口、对称轴、对称性、最值性等）、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的

思想即可解决问题.

7、C

【分析】连接DB,即NADB=90°,又NBCr>=120。，故〃AB=60。,所以/084=30°；又因为P。为切线,

利用切线与圆的关系即可得出结果.

【详解】解：连接BD,

VZDAB=180o-NC=60°,

：AB是直径，

ΛZADB=90o,

ZABD=90o-NDAB=30。,

VPD是切线，

.∙.NADP=NABD=30°,

故选C.

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解.

8、C

【解析】根据三角形的中位线定理推出FE//BC,利用平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质和等底同

高的三角形面积相等一一判断即可.

AT7FEGE

【详解】'：AF=FB,AE=EC,J.FE∕∕BC,FEiBC=I:2,：.—=—=——，故①@正确.

ABBCGB

'：FE//BC,FE:BC=I:2,：.FG：GC=I:2,∆FEG^∆CBG.设SAFGE=S,贝!|

S1

SAEGC=2S,SABGC=4s,：.,故②错误.

3.CGB4

*∙*SAFGE=S9SAEGC=2Sf：•SAEFC=3S.

,

:AE=EC,.∙.SΔAEF=3S,.∙.ɪɪ=L,故④正确.

，AEF3

故选C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题，属于中考常考题型.

9、C

【分析】观察表格得出抛物线顶点坐标是(1,9),对称轴为直线x=l,而当x=-2时，j=0,则抛物线与X轴的另一交点

为(1,0),由表格即可得出结论.

【详解】由表中的数据知，抛物线顶点坐标是(1,9),对称轴为直线X=I.当XVl时，y的值随X的增大而增大，当X

>1时，y的值随X的增大而减小，则该抛物线开口方向向上，

所以根据抛物线的对称性质知，点(-2,0)关于直线直线x=l对称的点的坐标是(1,0).

所以，当函数值y>0时，X的取值范围是-2VXVL

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数与X轴的交点、二次函数的性质等知识，解答本题的关键是要认真观察，利用表格中的信息解决

问题.

10、C

【分析】设出甲、乙提速前的速度，根据“乙到达B地追上甲”和“甲、乙同时从B出发，到相距900米”建立二元一次

方程组求出速度即可判断A,然后根据乙到达C的时间求A、C之间的距离可判断B,根据乙到达C时甲距C的距离

及此时速度可计算时间判断C根据乙从C返回A时的速度和甲到达C时乙从C出发的时间即可计算路程判断出D.

【详解】A.设甲提速前的速度为匕米/分，乙提速前的速度为匕米/分,

由图象知，当乙到达B地追上甲时，有：（14—2）K=（14—5）%,化简得：4用=3匕,

当甲、乙同时从B地出发，甲、乙间的距离为900米时，有：（23-14）%-（23—14）乂=900,化简得：V^-V1=100,

W，得:IV1=300

解方程组：

V2=400'

故甲提速前的速度为300米/分，乙提速前的速度为400米/分，故选项A正确;

B.由图象知，甲出发23分钟后，乙到达C地，

则A、C两地相距为：（23—5）x400=7200（米），故选项B正确；

C.由图象知，乙到达C地时，甲距C地900米，这时，甲提速为300x2=600（米/分）,

则甲到达C地还需要时间为：—=1.5（分钟），

600

所以，甲从A地到C地共用时为：23+1.5=24.5（分钟），故选项C错误；

D.由题意知，乙从C返回A时，速度为：400×-=500（米/分钟），

4

当甲到达C地时，乙从C出发了2.25分钟，

此时，乙距A地距离为：7200-500x2.25=6075（米），故选项D正确.

故选：C.

【点睛】

本题为方程与函数图象的综合应用，正确分析函数图象，明确特殊点的意义是解题的关键.

11、D

【分析】根据旋转变换的性质求出“∖CE,根据勾股定理计算即可.

【详解】解：由旋转变换的性质可知，ΔADE^ΛABF,

：.正方形ABCD的面积=四边形AECF的面积=25,

ʌBC=5,BF=DE=X,

：.FC=6,CE=4,

∙∙∙EF=√FC2+CE2=√52=2√13∙

故选D.

【点睛】

本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握性质的概念、旋转变换的性质是解题的关键.

12、B

【解析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.

【详解】①由抛物线的对称轴可知：,HVL

2a

Y抛物线与y轴的交点可知：c>l,.∙.α旅VI,故①正确；

b

②∙.∙-------=1,.*.Z>=-2a,.∙.由图可知X=-Lj<l,'.y=a-b+c=a+2a+c=3a+c<1,故②错误；

2a

③由（-1,1）关于直线x=l对称点为（3,1）,（1,1）关于直线x=l对称点为

（2,1）,.∙.x=2,j>l,.∖j=4α+2⅛+c>l,故③错误；

④由②可知：2a+b=l,故④正确；

⑤由图象可知：Δ>1,.*.⅛2-4oc>1,Λb2>4ac,故⑤正确.

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、4或1

【分析】要使直线I与。O相切，就要求CH与DH,要求这两条线段的长只需求OH弦心距，为此连结OA,由直线

l±0C,由垂径定理得AH=BH,在RtAAOH中，求OH即可.

【详解】连结OA

Y直线ILOC,垂足为H,OC为半径，

Λ由垂径定理得AH=BH=—AB=8

2

VOA=OC=IO,

在RtAAOH中，

由勾股定理得OH=√OA2-AH2=VIO2-82=6，

CH=OC-OH=10-6=4,

DH=2OC-CH=20-4=l,

直线1向左平移4cm时能与。O相切或向右平移Icm与。O相切.

故答案为：4或L

【点睛】

本题考查平移直线与与。O相切问题，关键是求弦心距OH,会利用垂径定理解决AH,会用勾股定理求OH,掌握引

辅助线，增加已知条件，把问题转化为三角形形中解决.

14、XI=3,Xz=-I

【分析】利用因式分解法解方程.

【详解】X2-2X-3=0,

(x-3)(x+l)=0,

.*.xι=3,X2=-l,

故答案为:xι=3,X2=-l∙

【点睛】

此题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点选择适合的方法解方程是关键.

【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，

根据概率的计算方法，计算可得答案.

【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5,共4种取法，而能搭成

3

一个三角形的有2、3、4；3、4,5,2、4、5,三种，得P=一.

4

3

故其概率为：

4

【点睛】

本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

16,2√10

ADDF

【分析】作OGJ_8C于G,则OG=4C=6,CG=Ao=4,由平行线得出△AOfs4j?ER得出——-——=2,求

BEEF

出5E=LAO=2,由平行线的性质和三角函数定义求出AB=*C=IO,由勾股定理得出8C=8,求出EG=BC-8E

23

-CG=I,再由勾股定理即可得出答案.

【详解】解：DGIBCTG,则OG=AC=6,CG=Ao=4,

,JAD//BC,

：.AADFsABEF,

ADDF

••--=----=2,

BEEF

1

・・BE=-AZ)=2,

2

•：AD〃BC,

：.NABC=NDAB,

VZC=90o,

AC3

/.SinZABC=——=SinZDAB=一,

AB5

55

AB=—AC=—×6=10,

33

22

∙,∙BC=Λ∕1O-6=8,

：.EG=BC-BE-CG=8-2-4=2,

2222

--DE=yjDG+EG=√6+2=2√W；

故答案为：2国.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及解直角三角形等知识；证明三角形相似是解题的关键.

17、Xl=-12,X2=1

【分析】把后面一个方程中的x+3看作一个整体，相当于前面方程中的X来求解.

【详解】解：♦.•关于X的方程”(x+m)2+b=0的解是玉=-9,X2=H(a,m,b均为常数，a和)，

二方程α(x+∕"+3)2+b=0变形为α[(x+3)+M?+b-0,即此方程中x+3=—9或x+3=ll,

解得Xi=-12,X2=l,

故方程a{x+zjz+3)2+b=0的解为Xi=-12,X2=1.

故答案为Xi=-12,X2=I.

【点睛】

此题主要考查了方程解的含义.注意观察两个方程的特点，运用整体思想进行简便计算.

【解析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案.

且A

【详解】四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O,

EA3

OE_4

OA^7

,FGOE4

则π——

BCOA7

4

故答案为：

【点睛】

本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.

三、解答题(共78分)

31

19、xl--,X2--

【解析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为1,两因式中至少有一个为1转化为两个一元一次方程来求解.

【详解】分解因式得：(2x-3)(2x-l)=1,

可得2x-3=l或2x-l=l,

/31

解得：Xl=->X2=—.

22

【点睛】

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

4

20、(1)m=---；(2)，〃=4或，”=-1

3

【分析】(1)抛物线经过原点，则c=0,由此求解;

(2)顶点在X轴上，贝!!从-4αc=0,由此可以列出有关切的方程求解即可;

【详解】解：(1)Y抛物线y=x2-2mx+3∕π+4经过原点，

4

.*.3nz+4=0,解得：m=---

3

(2)V抛物线J=X2-2mx+3m+4顶点在x轴上，

.,.b2-4ɑc=0,

(-2∕n)2-4×1×(3∕M+4)=0,解得：,〃=4或Wl=-I

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的有关性质是解决此类题的关键.

21、(1)y=-5X2+800X-27500(50≤x≤100)；(2)当x=80时，y最大值=4500；(3)70≤x≤l.

【分析】(1)根据题目已知条件，可以判定销量与售价之间的关系式为一次函数，并可以进一步写出二者之间的关系式;

然后根据单位利润等于单位售价减单位成本，以及销售利润等于单位利润乘销量，即可求出每天的销售利润与销售单

价之间的关系式.

(2)根据开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值，即可计算出每天的销售利润及相应的销售单价.

(3)根据开口向下的抛物线的图象的性质,满足要求的X的取值范围应该在-5(x-80)2+4500=4000的两根之间,即可

确定满足题意的取值范围.

【详解】解：(1)y=(x-50)[50+5(100-x)]

=(χ-50)(-5x+550)

=-5x2+800x-27500,

Λy=-5X2+800X-27500(50≤x≤100)；

(2)y=-5x2+800x-27500=-5(x-80)2+4500,

Va=-5<0,

.∙.抛物线开口向下.

V50≤x≤100,对称轴是直线x=80,

当x=80时,y最大值=4500；

(3)当y=4000时,-5(x-80)2+4500=4000,

解得xι=70,X2=l.

.∙.当70≤x≤l时，每天的销售利润不低于4000元.

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用.

22、(I)AF=√2AE5(2)AF=√2AE,证明详见解析；(3)结论不变，AF=√2AE,理由详见解析.

【分析】(1)如图①中，结论：AF=√2AE,只要证明4AEF是等腰直角三角形即可.(2)如图②中，结论：AF=夜AE,

连接EF,DF交BC于K,先证明△EKFgAEDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可.(3)如图③中，结论不变，

AF=0AE,连接EF,延长FD交AC于K,先证明△EDF且4ECA,再证明△AEF是等腰直角三角形即可.

【详解】解：⑴如图①中，结论：AF=√2AE.

理由：T四边形ABFD是平行四边形，

二AB=DF,

VAB=AC,

AC=DF,

VDE=EC,

ΛAE=EF,

VZDEC=ZAEF=90o,

：.△AEF是等腰直角三角形，

ΛAF=√2AE.

(2)如图②中，结论：AF=√2AE.

理由：连接EF,DF交BC于K.

四边形ABFD是平行四边形，

ΛAB/7DF,

ΛZDKE=ZABC=45o,

ΛEKF=I80°-ZDKE=1350,

VZADE=180o-ZEDC=180o-450=135o,

：.NEKF=NADE,

VZDKC=ZC,

ΛDK=DC,

VDF=AB=AC,

二KF=AD,

在AEKF和AEDA中，

EK=DK

{ZEKF=ZADE,

KF=AD

Λ∆EKF^∆EDA,

二EF=EA,ZKEF=ZAED,

ΛZFEA=ZBED=90o,

.∙.aAEF是等腰直角三角形，

ΛAF=√2AE.

(3)如图③中，结论不变，AF=√2AE.

理由：连接EF,延长FD交AC于K.

•：ZEDF=180o-ZKDC-ZEDC=135o-ZKDC,

NACE=(90o-ZKDO+ZDCE=135o-NKDC,

ΛZEDF=ZACE,

VDF=AB,AB=AC,

：.DF=AC

在4EDF和4ECA中，

DF=AC

<ZEDF=ZACE,

DE=CE

Λ∆EDF^∆ECA,

二EF=EA,ZFED=ZAEC,

ΛZFEA=ZDEC=90o,

.∙.aAEF是等腰直角三角形，

ΛAF=√2AE.

【点睛】

本题考查四边形综合题，综合性较强.

23、(1)20%;(2)8640万元.

【分析】(1)设平均增长率为X,根据题意可得2018年投入的资金是5000(l+x)万元,2019年投入的资金是5000(l+x)(1+x)

万元，由2019年投入的资金是7200万元即可列出方程.，求解即可.

(2)相当于数字7200增长了20%,列式计算.

【详解】解：(1)设两年间每年投入资金的平均增长率为X,根据题意得，

5000(l+x)2=7200

解得，xι=0.2=20%,X2=-2.2(不符合题意，舍去)

答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为20%；

(2)根据题意得，7200(1+20%)=8640万元.

答：在2020年预计需投入8640万元.

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用，增长率问题，根据a(l+x)2=b(a、b、x、n分别表示增长前量、增长后量、增长

率和增长次数)列方程是解答增长率问题的关键.

24、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)里=Y6.

MD2

【分析】(1)根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明，然后利用平行线的判定定理即可.

(2)欲证明PD是。。的切线，只要证明ODjLPA即可解决问题；

(3)连接CD.由(2)可知：PC=PD,由AM=MC,推出AM=2MO=2R,在RtaAOD中，Or)?+=,

可得a+242=9R2,推出R=6√L推出8=6√LMC=12内由爷=翳=|，可得八⑵再利

用全等三角形的性质求出MD即可解决问题；

【详解】（1）证明：连接8、OP、CD.

••_A__D____A__M___

,~AP~~AOZA=ZA,

：.ΛADMΛAPO,

：.ZADM=ZAPO,

：.MD//P0