2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练 椭圆的焦点弦中点弦弦长问题(解析版)

专题02椭圆的焦点弦，中点弦，弦长问题

限时：120分钟满分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.过椭圆,+丁=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，贝等于（）

A.4B.26

C.1D.4月

【解析】因为椭圆工+丁=1,可得“2=4万=1,所以02=42一加=3,

4

所以椭圆的右焦点的坐标为歹（6,0）,

将x=，代入椭圆的方程，求得y=±g,所以卜L故选：C.

2.直线、=履+1,当上变化时，此直线被椭圆三+9=1截得的弦长的最大值是（）

4

A.2B.史C.4D.不能确定

3

【解析】直线>=h+1恒过定点（。,1）,且点（0,1）在椭圆上，

2

设另外一个交点为(x,y),所以亍+y2=i,则/=4-4/，弦长为

yjx2+(j—1)2=^4—4y2+(y—l)2=3y2—2y+5,当丁=-§时，弦长最大，为.故选:B.

22

3.若椭圆土+匕=1的弦A2的中点为(TT),则弦A3的长为()

42

AaR2A/6

33

L.---u.---

33

【解析】设4%,%）,5（冗2，、2），因为弦的中点为（-LT）,可得石+W=-2,弘+%=-2,

江+

=1

又因为A5在椭圆上，可得4

强+=1

14

两式相减可得（…产一"以+*3=。,

2•（M+x,）11

可得运即直线钻的斜率为人-万,

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113

所以弦A3的直线方程为y+l=-5（%+l）,^y=--x--f

1

-2,XX

123,

3（一2『一4、：=圾故选：A.

3

2

4.椭圆4x+9y2=144内有一点P（3,2）,设某条弦过点P且以P为中点,那么这条弦所在直线的方程为（）

A.3%+2y—12=0B.2x+3y—12=0

C.4x+9y-14=0D.9x+4y—14=0

【解析】设满足题意的直线与椭圆交于A（不乂）,3（尤2,%）两点，贝IJ4丁+9弁=144,4尤；+9式=144,

两式相减得4（x；一x；）+9（才一团=0,即=_1.

又直线过尸（3,2）,由此可得所求的直线方程为y-2=-§（尤-3）,

所以弦所在直线的方程为2x+3y-12=0,故选：B.

22

5.己知椭圆。:，+当=1（。>6>0）的左焦点为F,离心率为J倾斜角为120。的直线与C交于A3两点,

ab

\AB\1_

并且满足卜4Tz尸广院,则。的禺心率为（）

A.；B.走C.也D.逅

2323

__________________22

【解析】设4（%,乂）,3（尤2，%），则|A川=，（占+靖+才,由与+今■=l（a>6>0）,

22222222

消去％,得（%+c）+y；=（玉+c）+b-b'=———?泗+2c&+c+&=exf+2cxl+a=（a+ext）,

注意到㈤4。，则a+ex1>0.于是体刊=+4+y；=a+exx，

同理，\BF\=^x2+c^+y1=a+ex2.因此|”|—忸川=«（不一超）.

至的倾斜角为120。，.•.直线的斜率％=-6，根据弦长公式，可得|48|=717淳、-司=2|玉-到

\AB\2...,

由"卜波广了。,可得|/用>|①$故%>/,

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\AB\2|x（-x2\2（玉一々）2，，、=；.故选:A

|AF|-|BF|6（%一%2）e（%一%）e

22

6.已知椭圆氏5+2=1（°>6>。）的右焦点为歹（4,0）,过点P的直线交椭圆于A、B两点，若加（1,-1）,

ub

S.OA+OB=2OM，则E1的方程为（）

A.3=1丈一—1

B.

48323620

r2y2

C.工+匕=1D.

248204

【解析】，右焦点"4,0）,...1=行+16,

设4国，%）,8（%2,%），由。4+03=2。而可知"是A5的中点，：.X,+X2=2,%+%=—2,

且M+W=i，¥+岑=i,两式相减得』+超乎一三）+（%+-,

ababab

222

%一%b（x1+々）2bb0+1r1999「9

：.kAB-万=/=Q=&M=W，I=3b=6+16,.•万=8,a-=24,

X-x2/（%+%）

故椭圆E方程为三+上=1,故选：c

248

7.已知椭圆。!+鸟=1的左、右焦点分别为耳，F2,直线y=r«e（O,2））与椭圆C交于A,8两点（其中

o4

点A在点8的左侧），记AA8£面积为S,则下列结论错误的是（）

A.|4A|+|K@=4血B.4月，8耳时，t=^3

C.S的最大值为2&D.当/月A耳=?时，点A的横坐标为-竽

【解析】由椭圆C：［+==l，可得a=2&，6=2,c=2,由对称性可知|人4|=|町|,

o4

・・・|耳H+由同=忸阊+|耳5|=2〃=40,故A正确;

设A（—%/）,,AfJ=（—2+x,—，），BF{=（—2—x,—,若A月_L5月时，可得

2222

AFl-BFl=4-x+t=4-（8-2t）+t=0,解得/=竽，故B错误；

.直线y=t«e（O,2））与椭圆C交于A,B两点，

AA,3两点的坐标分别为卜，8-2/,,,（，8—2训,

S=||AB|xd=gx2x也一2/xt=，8-2/xt=&x,4-产xt

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<0x(Q)+"=20，当且仅当g=r

即，=0时取等号，故C正确;

2

小用的坐标分别为（一2,0）,（2,0）设A（x,y）（x<0）,当A8=q时，|A闾+忸A|=2a=4&,设|A蜀=7〃,

则由余弦定理可得病+n2-2mxnxcosJ1-=42,

/\216

\m+n)—2mn—mn=42,mn=—

473v1___4百._273

S^F—，乂,xZcxy=5*心=—^―，・,>=—^―

223

下2=1,解得x=—速，故D正确.故选：B.

VX—+广

843

8.已知A,3两点的坐标分别为（-2,0）,（2,0）,O是坐标原点，直线AM,8M相交于点且它们的斜

3

率之积是-斜率为/的直线与点M的轨迹交于P,。两点，则△OP。的面积的最大值是（）

A.1B.BC.1D.73

22

【解析】设"（匹y）因为"（羽y）满足初4与MB的斜率之积为-

所以有------=——（xw+2）,—+^—=l（xw+2）；M的轨迹为土+^—=l（xw±2）

x+2x-2474343

土+匕=1

设直线尸Q：y=%+m,联立，43,nTW7x2+8/nx+W-12=0,

y=x+m

8m

玉+%2=---

A>°,由水+1)卜明'-4x网产

4/-12YL''

点O到直线尸。：y=x+M的距离”=，,

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合

题目要求的.

尤2V2

9.已知椭圆E:三+==1（4>6>0）的右焦点为"3,0）,过点尸的直线交椭圆£于A3两点.若A3的中点

ab

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坐标为则（）

A.直线AB的方程为y=；（x-3）

B.a2=2b2

22D.椭圆的离心率为变

C.椭圆的标准方程为土+匕=1

932

【解析】因为直线过点尸（3,0）和点（L-D,所以直线的方程为y=g（x-3）,

22

代入椭圆方程=+多=i,消去y,得%力一—a1x+—a2—a^b1=0,

ab24

九2

2

所以AB的中点的横坐标为=1,即。2=2凡

2］。

又/=6+，，所以力=。=3,〃=3&,离心率为无，所以圆£的方程为=+父=1.故选：ABD.

2189

2224

10.已知椭圆C:土+匕=1内一点M,上、下焦点分别为F,直线/与椭圆C交于A,8两点,

483532

且M为线段A8的中点，则下列结论正确的是（）

A.椭圆的焦点坐标为（2,0）,（-2,0）B.椭圆C的长轴长为4立

C.直线/的方程为尤+广2=0D.g的周长为80

【解析】由椭圆方程知：焦点在y轴上，且4=8,b2=4,c2=a2-b2=4,

即a=2&，b=2,c=2,所以椭圆的焦点坐标为（0,2）,（0,-2）,故A错误;

椭圆C的长轴长为2a=40，故B正确;

8

由题意，可设4（石,丹）,8（巧,为），贝人

8

两式作差得（占+尤2）（%-%）।（%+%）（%-%）

=0,

48

8(%+%)8x|

即3江及8(%+%2)2

=-1,

士-々4(%+%)4(1+%)4

24

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所以直线/的方程为丫-3=-1-才，即x+y-2=0,故C正确;

由C知，直线/过椭圆的上焦点片,

根据椭圆的定义，所以居AB的周长为44=80，故D正确.故选：BCD.

?«1

11.已知椭圆E：二+2=1(4>"0)的离心率为；，左、右焦点分别为kF2,上顶点为P,若过耳且

ab乙

倾斜角为30。的直线/交椭圆E于A,B两点,E4B的周长为8,则()

A,直线尸工的斜率为-6B,椭圆E的短轴长为4

LILUULILIUAQ

C.PFtPF2=2D.四边形AP叫的面积为二

a=2c

【解析】对于选项A：设椭圆的半焦距为c>0,因为‘="=5,解得<

b=^3c

a2=b2+c2

可知尸倒,A),月(-c,0),6(c,0),

直线P弱的斜率为心尸=叵/=-』，故A正确；

20-C

对于选项B：由选项A可知：/PF/i=6Q°,且归耳|=|尸局，则笆为等边三角形,

由题意可知：耳耳二30。，即直线/为NP耳后的角平分线,

则点尸,6关于直线/对称，所以工48的周长为8,贝|4。=8,可得。=2,6=囱,c=l,

所以椭圆E的短轴长为26=26，故B错误;

uuinLOT1

对于选项C：因为俨5=|尸闾=。=2,/甲运=60。，所以依「尸乙=2'2*万=2,故C正确,

22

对于选项D：因为直线/的方程为尤-石y+l=0,椭圆E方程为土+乙=1,

43

+1=0

设A&,%),3a2,%)，联立方程，元22,消去x得13y2_6gy-9=0,

——+—=1

143

则A二-6指)-4xl3x(-9)=576>0,可得%+%，63,%%=_■—,

，点区(1,0)直线/的距离为"

12+(-73)

14848

所以四边形4PBg的面积为=2SA.&=2*5、力*1=\,故D正确;

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故选：ACD.

22

12.已知椭圆,+]=1,点/为右焦点，直线,=履（入0）与椭圆交于尸，。两点，直线"与椭圆交于

另一点则（）

A.尸。“周长为定值B.直线尸M与。M的斜率乘积为定值

C.线段座的长度存在最小值D.该椭圆离心率为g

【解析】该椭圆中a=4,6=2石c=2,则网2,0）,所以离心率为[故D正确;

设〃（和X），尸（彳2，%），。（一无2,-%），

则在尸Af、加斜率都存在的前提下有％=旌，%”=出，

（%-%）（%+%）J；-%?

于是kpM-,^QM

（再一工2）（再+%）X\~X2

由题意可设PA/的方程为冗=冲+2,联立＜1612消X得（3病+4）/+12Mly-36=0,

x=my+2

12m36

贝！1%+%=一，%%=一

3m2+43m2+4

24（m2+l）24_24

所以191=J1+疗4yM3疗+4-3+

3m2+4

m2+1m+1

则当帆=0时，归加仁=6,所以线段PM的长度存在最小值，故C正确.

当左=也时，直线V2122

与椭圆工+匕=1交于点

y=-----x

61612

不妨取点尸为，得直线尸产方程为求得交点M为

则|尸网=工，|0叫=乂子，|PQ|=回，此时.PQM的周长为弓+乂子+历,

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22

土+匕=1

当后=3;时,联立＜1612,解得x=±2,不妨取P（2,3）,

y=­x

2

则PM垂直于x轴，此时|PM|=6,闾=4,|PQ|=2屈,

此时PQM的周长为10+2旧，显然周长不为定值，故A错误;

故选：BCD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

22

13.过椭圆二+匕=1的左焦点且斜率为1的弦A5的长是

259

22__________

2

【解析】设点A&,%）、台（林%），在椭圆+］=l中，a=5,b=3,c=yl^-b=725-9=4-

所以，椭圆的左焦点坐标为（T,0）,则直线AB的方程为y=x+4,

y=x+4

联立］J2,可得34f+200x+175=0,A=200x200-4x34x175=200x81>0,

—+—=1

〔259

〜士、100175

由韦达7E理可得%+%=--7Z->x\x2=~TT1

1（100丫4x175_72x781x200_90

所以，［4邳=Jl+俨—=0XyC~HJ――34~~34~17

22

14.已知椭圆=1（。＞b＞0）的左、右焦点分别为片（-30）、8（c,0）,P为椭圆上一点（异于左右顶点）,

ab

△PGK的内切圆半径为广，若厂的最大值为:，则椭圆的离心率为.

【解析】设内切圆的圆心为0「连接尸。］,。书,。心，

S尸片外=S。叱2+S0FF2+S。冏=5（出村+|尸团+|尸闾）=耳（2。+2。）厂,

由题意可得：s不弓=gx2cx瓦卜;（2C/+2C）/,

所以当|人|取到最大值b时，「有最大值，且最大值为1，

所以;x2c/=；（2a+2c＞；c,整理可得：6=：（a+c）,

两边同时平方可得：9b2=9（a2-c2）=a2+2ac+c2,

4

所以84一2ac-10c2=0,所以5e2+e-4=0,解得：e=-^e=-l（舍去）.

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22

15.已知直线/与椭圆匕+土=1在第二象限交于A2两点，且/与X轴、y轴分别交于两点，若

63

MN=26,贝心的方程为

【解析】设%),以今,为)，线段AB的中点为E,

由式+4=1,或+其=1,两式相减可得二互=_2,即适二结&±工=-2,

6363xf-Af%-占三+占

%+X

又由^AB=―一―'k°E~j~一~'贝U^OE^AB=-2，

X2—玉芯2十一%2+玉

一2一

m

设直线/的方程为y=h+九左V。,机＞。，可得M(-丁,0),N(0,加)，

k

所以E(-差()，所以k°E=-k,所以一公左=一2,解得k=也,

因为|跖7|=2括，所以小卓+病=26,可得加=8(加＞0),解得机=20,

所以直线/的方程为丁=岳+2五.

16.椭圆C：5+%=i(a＞6＞0)的左，右焦点分别为耳，F],上顶点为4(0,1),离心率为当，直线

丁=丘+相优＞0)将△做网分成面积相等的两部分，则加的取值范围是.

b=\

【解析】依题意，£=?,解得。=VIc=l,所以椭圆C的方程为看+丁=1,

a22

a2=b2+c2

由于|Q4j=|O耳|=|O玛|=1,|A周=|A段=0,|耳段=2,所以△曲乙是等腰直角三角形,

所以S3=gx&x0=l,

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直线A工的方程为尤+y=l,直线A耳的方程为y=x+l,

设直线y=辰+M左>o）与A乙的交点为。，与X轴的交点为E,

0=—k+m

①当E与1重合时，g*2x%=gxl,%=1,则乙=L所以1，解得％=根=，

相

22-L4+

122

②当E在。，月之间时，所以gx|%|x%=gxl,但用x%=l,

x+y=1k+m1k+ml-m

由,=爪+，"解得%=KT，

k+mr

由尸质+根令y=0,得乙=-?,所以但用=1+?,所以噌x-------=1,

KK1+左

———>0解得—<m<—.

1-2m32

③当E在《左侧，贝”0<〃7<；,0<左<1,0<k2_]<1,

设直线丫=履+根（左>0）与A耳的交点为P,

y=kx+HIink—m11

由二+i解得辱=口，”言，因为打"暖=5,

所以;x（l一川冈出一如|=1,（1一,w）xl—ml—m

=1,

I+kk-I

2（1—m）2=--,

所以1—,m>I—，所以1—<m<—.

2223

综上所述，加的取值范围是“一.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

、

17.已知椭圆C：，+/=l（a>b>0）的离心率为手，点V3

在椭圆。上.

，3

7

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（1）求椭圆c的标准方程；

（2）过点N（2,0）的直线与椭圆C交于A,8两点，求SAOB的最大值.

【解析】（1）由椭圆C的离心率为逅，可得£=1^=1,可得/=3/,

3a\a23

设椭圆方程C:£+m=l,将点（乎，乎］代入方程，可得〃=1,故方程为且+/=1.

3b-I33J3

（2）设如：％=数+2且4（%,4）,5@,%）,

联立方程：3'整理得（31+1）丁+12"、+9=0,

12〃9

由A>0，可得/—I>。，且%+泗=-3/+］，%%=3"+］，

10-0-212

又由原点到心的距离h=1,，

71+nVI+n

由圆锥曲线的弦长公式，可得恒目=717/|乂-%|，

所以SAOB二;J1+"-二|%一%|=J（T+%）2

，，1+及

1H-

3/+1

=pfa_6<V3

令f="-l>0,可得"一丫⑶+钎一/16-2

vJ9t+24+—

当且仅当力=d,即/=:时，面积取到最大值走.

332

18.已知椭圆环衿=1,圆M（x+l）»、5,直线,过椭圆M右焦点尸且倾斜角盯.

⑴求直线/方程及椭圆M的焦距.

\AB

（2）直线/交椭圆M于A、B两点,直线/交圆N于C、。两点，求/万・

22_

【解析】（1）由题意知椭圆跖,+、=1，则长半轴长。=百，短半轴长6=啦,

______JT

则焦距为2c=27^万=2,其右焦点厂（1，。）,宜线/过椭圆加右焦点F且倾斜角为彳，其斜率为1,

故直线/的方程为丫=xT;

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(2)将y=x—1代入土+匕=1中，可得5必_6%—3=0,A=96>0,

32

63

设A(X],%),3(%2,%)'则玉+%2=M，玉%2=一—»

|A.B|=J1+仔•{(X]+%2)2-4%]%2=,

圆N：(%+1)2+>2=5的圆心(-1,0)到直线>=》-1的距离为“=匕?=后,

4

则|CD|=25/5^2=26

5

19.已知椭圆C：5+/=15>g0)的焦距为2右，离心率为当.

⑴求椭圆C的方程；

(2)已知£>[$0；E为直线x=3上一纵坐标不为0的点，且直线。E交C于8,G两点，证明:

\HD\-\GE\=\GD\-\HE\.

【解析】⑴设C的半焦距为c(c>0).由已知得。=石，£=且，又由片=62+02,

a2

解得。=2,匕=1.所以椭圆C的方程为工+丫2=1；

4

(2)设直线DE的方程为彳="+：(”0),则£(3,得[

将x=(y+1•代入=+,2=1,得,2+4)y2+^y一晋=0.

设H,G的坐标分别为(毛,兀)，(n，％)，

St20

则y尸%,必+%=一1^,y^=-^4)-

⑷.|GE卜历刁讣717+.=(1+产"%，》，

22

\GD\-\HE\=y/i+t1y21-y/i+tJ=(1+/)y^i-^yi-

要证\HD\-\GE\=\GD\-\HE\,只要证-%=必%-，%

第12页共16页

艮［I要证］必%=0.即要证2%%-京%+%)=。,

即要证21听R三

(*).

3,+4)

2028r4040

因为2--+

9(r+43t3『+4)9(?+4)9(？+4)

所以（*）式成立,所以|印不仁目=|GD|•|7/E|成立.以\HD\-\GE\=\GD\•|阿|成立.

20.已知椭圆C：1+/=1（。>6>0）的一个端点为3（0,1）,且离心率为白，过椭圆左顶点A的直线/与

椭圆C交于点M,与，轴正半轴交于点N,过原点。且与直线/平行的直线，交椭圆于点尸，Q.

（D求椭圆C的标准方程;

|AM|-|A?/|

（2）求证:为定值.

■\OP\-\OQ\

22

【解析】⑴因为椭圆C：,方过点8（0,-1）,所以廿=1,

又椭圆的离心率为孝，则《=/?=等，所以。=2,

故椭圆方程为二+丁=1

4

(2)设直线/的方程为y=%(x+2),N(Q,2k),所以|A7V|=，4+4/=2717^,

y=攵(％+2)

由「

设“(西,%),21得(1+4左2)》2+16左2彳+16左2-4=0,

——+y=1

14

第13页共16页

-16V

则一2+%=

1+4/'1+止

24a+V

所以|AM|=Jl+』2.^(-2+X1)-4(-2)X1

1+4〃

y=kx

设直线OP的方程为>=区，由，得（1+4/*-4=0,

「=1

设9（。几），则片=]+4左2'则%=1::廿'所以IOPF=X；+¥=：：：：2

J.十H*/vJ.十QK1十4K

4A/1+F

2，1+丘

回卜刖|制函774^'四训心中估

故］---U-----1-=2,因此|0斗|•10@为定值.

I。叶\OP\24+4/

1+4/

22

21.已知椭圆:二+1=l（a>b>0）的一个焦点为F,椭圆上的点到F的最大距离为3,最小距离为1.

ab

（1）求椭圆的标准方程;

（2）设椭圆左右顶点为AB,在x=4上有一动点尸，连接尸AM分别和椭圆交于C,£>两点，上4B与“PCD的

S4

面积分别为SpS?.是否存在点尸，使得肃=£，若存在，求出尸点坐标；若不存在，请说明理由.

D25

【解析】（1）设椭圆£+4=1的半焦距为C,

ab

因为椭圆上的点到F的最大距离为3,最小距离为1,

所以a+c=3,a—c=l,又/=廿十。?，解得〃=2,c=1,b=6，

22

故椭圆的标准方程为'+匕=1；

43

S4

（2）由（1）可得A（—2,0）,5（2,0）,假设存在点P（4/）,使得?=§，

：|叫|叫sin6

则会PA-PBPAPB

设ZAPB=e,

；|PCHP£>|・sin6PC-PDPCPD

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_PA4—（—2）PB4-2S16x24

设CO横坐标为左,x。，则记=不二’记=匚京，所以受=（4-%＞（4-标）="

整理得（4一%＞（4-丘）=9,①

设尸点坐标为（4,«彳0）,直线上4斜率为幻A=；，尸8斜率为

62

故kpB=3kpA，设直线丛的斜率为左，

故直线B1方程为y=Mx+2）,直线PB方程为y=3Mx-2）,

土+上=[

将直线上4和椭圆联立43一’可得（3+