2023-2024学年吉林省长春二中高三（上）第二次调研数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春二中高三(上)第二次调研数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知P：10g2%<1，贝物的充分不必要条件是()

A.%<2B.0<%<2C.0<%<1D.0<%<3

2.已知正实数a,b满足;+；=6,则(a+l)(b+9)的最小值是()

A.36B.32C.16D.8

3.已知函数f(x)=lg[(a2-1)/+9+1汝+1]的值域为凡则实数a的取值范围是()

A.[1,|]B.(1.|]

C.(-8,-1]u(|,+8)D.(-05,-1)u[1,|)

x

n-4-1Y<1

{2x2-(a+l)x+5,x>l，对"“I，型eR，/M亚，旃足(今一次)[/(%1)一/(%2)]>0，

则实数a的取值范围是()

A.1<a<3B.1<a<3C.1<a<|D.1<a<!

5.已知定义在R上的函数满足f(-x)+f(x)=0,/(x+l)=/(l-x),且当x€(-1,0)时―，/(x)=1-

，。。式一力则/■(当=()

A.|B.-1C.D.1

6.如图，在边长为2的正方形4BCD中，其对称中心。平分线段MN,且MN=2BC,点E为DC的中点，则前.

EN=()

Q1

A.-3B.-2C.一捻D.

22

7.已知函数/(x)=x2+m与函数9(%)=一3x(%G眩,2])的图象上至少存在一对关于％轴对称的点，则

实数m的取值范围是()

A.区+)2,2]B.[2—仇2j+仇2]C.+ITI2,2+Zn2]D.[2—m2,2]

8.将函数f(x)=cosX的图象先向右平移:兀个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的!®>0)倍

O(A)

纵坐标不变得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在G，：)上没有零点，则3的取值范围是()

A.(0,|]U疆B.(0,1]C.(0,1]U有1]D.(0,1]

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.设函数/(x)=sin2x+V_3cos2x,则下列结论正确的是()

A.“X)的最小正周期为兀B."X)的图象关于直线x="对称

C.f(x)的一个零点为x=守D.f(x)的最大值为，3+1

10.下列说法中错误的为()

A.已知a=(i,2),6=(i,i),且日与a+2反的夹角为锐角，则实数;I的取值范围是(一1+8)

B.向量瓦>=(2,-3),行=(；,-令不能作为平面内所有向量的一组基底

C.若有〃方，则益在3方向上的正射影的数量为|即

D.三个不共线的向量加~0B,~0C，满足04.(需+晨)=0B•(=7+T=|?)=0C­(-==-4--=£-)=0,则。

|/ioI|C/i|Io/i||CoI|C/1||oC|

是△ABC的内心

11.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，而

信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数!函数/'(x)=羽=1网整网的图象就可以近似的模拟某种信号的

波形，则下列说法正确的是()

A.函数/Q)为周期函数，且最小正周期为兀

B.函数/(x)为奇函数

C.函数y=/(x)的图象关于直线％=3对称

D.函数/(x)的导函数1(x)的最大值为7

12.设函数f(x)=sin(3x+$(3>0),已知/"(X)在[0,2网有且仅有5个零点，下述结论正确的是()

A./(%)在(0,2兀)有且仅有3个极大值点B.f(x)在(0,2兀)有且仅有2个极小值点

C.f(x)在(0,帝单调递增D.3的取值范围是哈的

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.如果函数/(%)在区间。上是凸函数，那么对于区间。内的任意与，%2,xn,都有地止卑±二坯辿工

/(勺+"2：+"")•若y=sinX在区间(0,乃)上是凸函数，那么在△A8C中，sinA+sinB+si?iC的最大值是

14.在AABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,己知cos2?1—cos2B+siMC=sinBsinC=/且△ABC

的面积为2，耳，则边a的值为.

15.如图，在△力BC中，^BAC=AD=2D6-P为CD上一点,且满足Q=C

mAC+^AB,若AABC的面枳为2「，则|Q|的最小值为.

4DB

16.若函数/(x)=a+bcosx+csinx的图象经过点(0,1)和(一余,a),且当久6[0,刍时，|/(x)|<恒成立，

则实数a的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知函数/'(x)=xlnx+ax+b在处的切线为2x—2y-1=0.

(1)求实数a,b的值；

(2)求/(x)的单调区间.

18.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=>J~3cos2a)x+sina)xcosa)x—/(3>0)的最小正周期为兀.

(I)求函数/(x)的单调递减区间；

(H)若/(乃>好，求x取值的集合.

19.(本小题12.0分)

如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线48,4C为湿地两边夹角

为120。的公路(长度均超过2千米)，在两条公路48,4C上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建

造两条观光线路PM，PN,测得4M=2千米，AN=2千米.

AR

(1)求线段MN的长度；

(2)若4MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.

20.(本小题12.0分)

2

已知函数/'(x)=x-ax+alnx有两个极值点Xi，x2.

(1)求a的取值范围；

7424

(2)证明：/(xi)+/(x2)+r+r<16/n2.

21.(本小题12.0分)

设函数/(x)=ex+asinx+b.

(1)当a=l,%6[0,+8)时，/(%)Z0恒成立，求力的范围；

(2)若f(x)在x=0处的切线为x-y-l=0,且方程/(x)=与在恰有两解，求实数小的取值范围•

22.(本小题12.0分)

已知函数/'(%)=sinx+5白%G[-71,.

(1)求证："X)在[一兀苧上单调递增；

(2)当%G[一匹0]时,[/(%)—sinx]ex—cosx<Ashi%恒成立,求々的取值范围.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：log2》<1，0<x<2,

•••p：0<x<2,

••・选项中只有选项C是｛x|0<%<2｝的真子集，

故选：C.

先求出x的范围，再找真子集即可.

本题考查了充分必要条件，考查解对数不等式问题，是一道基础题.

2.【答案】C

【解析】解：正实数a,b满足工+:=6,

ab

即［前21，当且仅当”看时，即a岩，b=3时取等号，

1,9,

•・‘一+工=

ab6,

・•・b+9Q=6ab,

・•・(a4-1)(6+9)=9Q+b+ab+9=7ab+9之7+9=16,

故(a+1)(/?+9)的最小值是16,

故选：C.

先根据基本不等式的性质得到ab>1,再由题意得到2a+b=3ab,即可求出(a+l)(d+9)的最小值.

本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】【分析】

因为函数值域为R,讨论二次项系数为0时的情况，及系数不为0时，让系数大于0且根的判别式大于等于。求

出a的范围即可.

考查学生理解对数函数定义域和值域的能力，以及理解函数恒成立条件的能力.

【解答】

解：当a?—1=0时，得a=1,a~—1,

a=l时，/(x)=lg(2x+1).符合题意;

。=-1时;/(%)=]gl=o,不符合题意；

2,

当a2_1H0时，t=(l+i)2-4(a-l)>0

解得1<a式|，

综上得

故选：A.

4.【答案】D

【解析】解：由题意得/。)是R上的增函数，

a>1

竽W1，解得1<。号.

(a+1〈2—(a+1)x1+5

故选：D.

先判断/(x)是R上的增函数，列关于实数a的不等式组，即可求得实数a的取值范围.

本题主要考查分段函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：•・•/(一x)+/(x)=0,

・••/(x)关于点(0,0)对称，

f(x+1)=/(I—X),

・・•/(%)关于直线％=1对称，

•••f(x)的最小正周期为4x|1—0|=4,

•1•吗)=f岑—4x2)=/(I)=-/(-1)=-(1-ZO54i)=-l.

故选：B.

根据函数即关于(0,0)中心对称，又关于工=1轴对称，可求得函数的周期为4,再结合已知范围的解析式即

可得出答案.

本题主要考查利用函数性质求函数值，考查推理能力及计算能力，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：在边长为2的正方形中，其对称中心。平分线段MN,且MN=2BC,点E为CC的中点，

则MN=2BC=4,0M=2,OE=1,

则丽-EN=(EO+OM}•(EO+ON)=(EO+OM)-(EO-OM)=|FO|2-|OM|2=l-4=-3.

故选：A.

利用平面向量的线性运算表示出丽•£W=(£0+0M)-(E0+ON)=(E0+0M)-(E0-0M)=\E0\2-

\0M\2,结合题意，即可得出答案.

本题考查平面向量的线性运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：由已知，得到方程/+Hi=］n：+3xom=Tnx+3x—/在旅花］上有解.

设九(x)=—Inx+3%—%2,

求导得：»(x)=-*3-2x=_(2J)(1),

xzxXX

VI<x<2,

令"(%)=0,解得x=g或％=1,

当九'(x)>0时，1<x<1,函数单调递增，

当//(%)<0时，1VXV2,函数单调递减，

・•.在x=1有唯一的极值点，

vh(1)=ln24-1，九(2)=一仇2+2,以外瑟大值=h(1)=2,且九(2)<九弓)，

故方程m=—Inx+3%—/在8,2］上有解等价于2—ln2<m<2,

从而m的取值范围为［2-m2,2］.

故选：D.

由己知，得到方程m=-仇％+3%-/在整,2］上有解，构造函数八⑶=一)工+3%一产,求出它的值域，

得到m的范围即可.

本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程/+m=ln-+3x«m=

X

-Inx+3x-/在g,2］上有解.

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题.

根据三角函数的图象变换关系求出函数的解析式，结合三角函数的性质建立不等式组进行求解即可.

【解答】

解：将函数/(久)=COSX的图象先向右平移:兀个单位长度，

O

得到y=cos(x一工6兀)，

再把所得函数图象的横坐标变为原来的(3>0)倍，纵坐标不变得到函数g(x)的图象.

即g(X)=COS(d)X—|TT),

若函数g。)在6样)上没有零点，

则。N孚一J=7T,即7>2TT,即3>2TT,则0V3W1,

2220)

52

XG3X--E3-6372T576T

«?)'67T

2

7T-7r

62-

故r2k67

t32^

7T<+

6372TfcTT

82

解得+kf

-<3<149+-c6z

32fc_3

2

得O

<<-

V0<60<1,故令Z=-2,9

令k——1,得:<a><^,

故3的取值范围是(0,仙品］

故选:A.

9.【答案】ABC

【解析】解：f(x)=sin2x+y/~3cos2x=2sin(2x+,

选项A,最小正周期7=亨=兀，即A正确；

选项B,令2x+g=?+k7r,k€Z,则乂==+"，k&Z,即8正确；

3112.2.

选项C,令2X+W=/CT,k&z,则％=—外空，kez,当k=l时，X=£即C正确；

36L3

选项。，f(x)的最大值为2,即。错误.

故选：ABC.

利用辅助角公式化简可得f(x)=2sin(2x+金，再分别根据正弦函数的周期性，对称性，零点问题和值域问

题，得解.

本题考查三角函数的综合，熟练掌握辅助角公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能

力和运算能力，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：对于选项A,va=(1,2),另=(1,1),2与G+花的夹角为锐角，

-.a(a+Ab)=(1,2).(1+2,2+2)=1+2+4+22=32+5＞。且4H0(此时日与d+4石的夹角为0°)，

即实数；I的取值范围是(一|,0)U(0,+oo),

故选项A错误：

对于选项B,•.•向量部=(2,-3)=4蒜，

即京*与瓦共线，

故可与蔡不能作为平面内所有向量的一组基底，

即选项B正确；

对于选项C,若苍〃),

则a在»方向上的正射影的数量为±|矶，

故选项C错误；

对于选项D•••三个不共线的向量加禧元，满足而.襟+熹)=丽.(黑+第=元.(禺+盖)=

|71DI|C/i||D71||CDI|C/i|\DLI

0,

则就与湍।+赢=荏(E在NB4c的外角平分线上)垂直，

所以。在NBAC的平分线上，

同理，。在乙4BC的平分线上，。在乙4cB的平分线上，

故。为△ABC的内心，

故选项。正确.

故选：AC.

由平面向量数量积的运算，结合向量共线及垂直的运算逐一判断即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了向量共线及垂直的运算，属中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解：正弦型函数/(x)=2L则喏闻=sinx+等i+等+…+誓，

对于从正弦型函数y=sin(2i-l)x,i=1,2,3，…，7是周期函数，其最小正周期为怒，所以函数/'(x)为

周期函数，其最小正周期为7=2兀，A错误；

对于B,根据正弦函数是定义域R上的奇函数知，/(x)是奇函数，所以8正确；

对于C,函数y=sin(2i-l)x,其中i=1,2,317；在x时取得最值，所以y=/(x)的图象关于直

线x=5对称，C正确；

对于D,函数/(x)的导函数/'(x)=cosx+cos3x+cos5x4----Fcosl3x,所以/''(x)的最大值为7,。正确.

故选：BCD.

根据正弦型函数的图象与性质，对题目中的命题分析、判断正误即可.

本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题.

12.【答案】ACD

【解析】解：当xe［0,2兀］时，弓,2兀3+图,

因为/(x)在［0,2河有且仅有5个零点，

故/(x)在(0,2兀)上有且仅有3个极大值点，而极小值点有2个或3个，

故A对，B错，

7T

57r<2na)+-<6五,

所以Q正确，

当xe(0总时，3无+"生然母

若/(x)在(0志)单调递增，则然史<》即3<3,

因为933<窘，故C正确，

故选：ACD.

根据/(x)在［0,2初有且仅有5个零点，可得57Ts2兀3+£<6兀，解出3,然后判断是否正确即可得到答案.

本题考查了三角函数的图象与性质，关键是数形结合的应用，属中档题.

13.【答案】亨

【解析】解：:y=sinx在区间(0,兀)上是凸函数，且在△ABC中，A,B,Ce(0,7r),A+B+C=

sinA+sinB+sinC,.A+B+C.n

-------------<sin--——=sm-=-T-

・•・sinA+sinB+sinC<—r—•

故答案为：卑

依题意，y=sinx在区间（0,兀）上是凸函数，则幽誓过更ssi吗从而可得答案.

本题考查函数恒成立问题，理解新定义凸函数是难点，考查理解与转化的能力，属于中档题.

14.【答案】

【解析】【分析】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转

化思想，属于中档题.

由题意利用正弦定理可得b2+c2-a2=bc,由余弦定理可求得4再结合正弦定理得=3儿，利用面积

公式可求得加，进而得到a.

【解答】

解：因为cos2/l-COS2B+sin2c=sinBsinC,所以1—sin2^-1+sin2B+sin2C=sinBsinC,

即siMB+sin2c-siMa=sinBsinC,由正弦定理=-r-r=-7可得/+c2-a2=be,

sinBsinC

由余弦定理可得cos4=ttI=L因为ae（o㈤，所以4=刍

2bc2J

由正弦定理仁=刍=告，则一*=耳，即牛=各，整理可得。2=3儿，

sinAsinBsinCsinfisincsin'A彳sin可

又S=IbesinA=2V~3,所以be=8,则a?=24,

所以a=2A/~%，

故答案为

15.【答案】「

【解析】解：・.・加=加前+g加

又而=2丽，

3

-

2-

3

正

而

而

-+-

Tn4

又因为C,P,。三点共线，

则m+3=1,

即m=7,

4

■■.AP=^AC+^AB,

42

---->21---->21---->21---->---->1---->---->1----»----»JT3----*----»

：.AP=^AC+^AB+^AC-AB>2x^\AC\\AB\+^\AC\\AB|cos^=1|/1C||/1B|>

SMBC=：I正II画s呜=2/7,

砌|荏||=8,

23

而83

->-X-

8

\AP\>V_3>即|4P|的最小值为

故答案为：V-3.

首先利用C,P,D三点共线求得m值，再通过费?结合不等式即可求解其最小值.

此题考查了向量之间的转化，数量积，向量的模，不等式等，综合性较强，属于中档题.

16.【答案】［0,4+247］

【解析】解：因为f(x)经过点(0,1)和(―aa),

所以/(0)=a+b=1,一：)=a+=a，可得b=c=l-a,

故/'(x)=a+(1—d)cosx+(1—a)sinx=a+(1—a)(sinx+cosx)=a+V-^(l—a)sin(x+/，

因为OWx*,所以Rx+上占所以?Wsin(x+))41，

当a<1时，1—Q>0,可得1-aWV2(1—a)sin(x+令工V2(1—a),

所以1</(x)</2(1-a)+a，要使—JI</(x)<ATI恒成立，

只要，^(l-a)+a即a20,又a<1,从而0Sa<1；

当a=1时，/(x)=1G［-4,「］；

当a>l时,1—a<0,所以1—a/V~^(l—a)sin(x+.)N—a),

所以12/(x)><7(1-a)+a.要使</(x)</I恒成立，

只要q(l-a)+aN—，7,解得aW4+2。，又a>1,从而1<aS4+2「.

综上所述，a的取值范围为0Wa44+2C.

故答案为：［0,4+2d

先根据/(0)=1,/(-力=a将b,c转化为a来表示，由此化简“为的解析式，对a进行分类讨论，根据|/(x)|<

，至恒成立列不等式来求得a的取值范围.

本题主要考查了不等式恒成立的问题，主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解，体现了转化思想

的应用，属于中档题.

17.【答案】(1)依题意可得：2-2"1)-1=0,即"1)=；,

•・'/(%)=xlnx+a%+b,

・'•f(x)=Inx+Q+1,

又•.,函数/'(x)在(Lf(1))处的切线为2x-2y-1=0,/(I)=p

-f(l)=a+1=1

/(l)=a+b=^'

a=0

解得:

(2)由(1)可得：<(x)=1+Inx,

当xG(0,勺时，f(x)<0,/(为单调递减;

当*e(；,+8)时，r(x)>o,y(x)单调递增，

・•.f(x)的单调减区间为(0,；),f(x)的单调增区间为(；,+8).

【解析】(1)首先对f(x)求导，求出(14(1))点处的切线方程与2x—2y-1=0相等即可：

(2)结合(1)然后利用导数求解函数的单调区间即可.

题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性的求法，以及计算能力

18.【答案】解：(I)v/(x)=V^cos2a»x+sina)xcosa)x—(1+cos2a)x)+1sin2a»x—

=?cos2cox+^sin2a>x=sin(2cox+g)，

因为周期为熹=兀，所以3=1,故〃x)=sin(2=+》.

由弓+2kji<2x+—<—+2/CTT,keZ,得石+kn<x<—+kn,k6Z,

故函数/(x)的单调递减区间为哈+k兀堵+kn],k&Z.

(II)/(x)>^.即sin(2x+今>?，

由正弦函数得性质得：+2/OT<2x+g<与+2/OT,/CCZ,

解得一3+2kn<2.x<黑+2k.iT,所以一^+kn<x<^+kn,k&Z>

则》取值的集合为{x|-最+k?r<x<霄+/ot,keZ}.

【解析】(I)利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性求得3的值，从而确定/(为的

解析式，再根据正弦函数的单调性求出函数/(%)的单调递减区间.

(0)利用正弦函数的图象和性质，求出f(x)>?的解集.

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，正弦函数的图象和性质，属于中档题.

19.【答案】解：(1)在△4MN中，由余弦定理得，

MN2=AM2+AN2-2AM-ANcosl20°

=22+22-2X2X2X(一乡=12,

所以“N=2c千米.

(2)设NPMN=a,因为ZJWPN=60。，所以Z_PNM=120。-a,

在APMN中，由正弦定理得，

MN_PM_PN

sinZ-MPNsin(120°—a)sina'

因为」^=吗=4，

sinz.MPNsin60

所以PM=4sin(120°-a),PN=4sina,

因此PM+PN=4sin(120°-a)+4sina

=4(^^cosa+gsina)+4sina

=6sina+2y/-3cosa-4V_3sin(a+30°),

因为0。<a<120°,所以30。<a+30°<150°.

所以当a+30。=90。，即a=60。时，PM+PN取到最大值4v-5.

答：两条观光线路距离之和的最大值为4二千米.

【解析】本题考查解三角形的实际应用，关键是正确建模，然后利用正弦定理、余弦定理解三角形.

(1)在AAMN中，利用余弦定理得到MN：

(2)设NPMN=a,得到NPNM=120°-a,利用正弦定理将PM+PN用a表示，结合三角函数的有界性求

最值.

20.【答案】解：(1)八%)=2/_"=2/20,

/(%)有两个极值点%1，%2，则((%)=0在(0,+8)上有两个实数根%1，x2,

所以2%2-ax4-a=0在(0,+8)上有两个实数根久%2,

"4=a2—8a>0

则,x/2=与>0,解得°>8,

%1+x2=1>0

故a的取值范围为(8,+8)；

(2)证明:由⑴知%1%2=,/+%2=5，且J>8,

)

f01)+f(%2+§+F=诏-Q%1+Qm%1+诏一ax2+alnx2+§+乡

人2人142

OA，CY1Y、

2

=(%i+%2)—2%I%2—Q(%T+%2)+Qm石％2-------—~~2

xlx2

=「一Q—Q£+aln^-V24=―—―Q+aln^-V24，

42242

令9(。)=一:一Q+Q，W+24(a>8),g'(。)=~1+1哆

令九⑷=g，(a)=4+1吟"(a)=一+工=1<0在(8,+8)上恒成立，

所以九⑷="(a)=一升呜在(8,+8)上单调递减，

故"(a)=—+In]<g'(8)=-44-Zn4<0,

因此g(a)在Q>8单调递减，

故g(a)<g(8)=-16-8+8)4+24=16/n2,

故。(。)=一手一Q+出W+24<161n2,得证.

【解析】(1)求导，将问题转化为2/一"+Q=O在(0,+8)上有两个实数根%，%2,根据二次方程根的分

布即可求解，

(2)结合=5,尢1+%2=5，代入化简式子，将问题转化为g(a)=—^—a+aln+24<16Zn2>利用导

数即可求解.

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能

力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)由/(%)=e”+asinx+b,

当a=1时，得f'(x)=e*+cosx.

当％W[0,+8)时，ex>1,cosxE[—1,1],且当cosx=-1时，x=2kn+TT,kEN,此时e”>1.

所以f'(x)=ex4-cosx>0,即f(%)在[0,+8)上单调递增,

所以f()nin=/(0)=l+b，

由f(%)NO恒成立，得l+/?N0,所以bz-l.

(2)由/(%)=e*+asinx+b得((％)=e*+acosx,且f(0)=1+b.

由题意得f'(0)=e°+Q=1,所以Q=0.

又(0,1+匕)在切线％-y-1=0上.

所以0—