上海市静安区青云中学2022-2023年度九年级上学期数学学科期中试卷

2022学年度第一学期数学学科九年级阶段练习试卷（2022.11）

（考试时间：100分钟，满分：150分）

考生注意：

1.本试卷含三个大题，共25题.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作

答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.

2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或

计算的主要步骤.

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.下列各关系式中，属于二次函数是（x为自变量）（）

222

A.y=-xB.y=Jx-1C.y=-4D.y=ax

8x

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】解：A、是二次函数，正确；

8、被开方数含自变量，不是二次函数，错误；

C、分母中含自变量，不是二次函数，错误；

。、4=0时,/=0,不是二次函数，错误.

故选A.

【点睛】本题考查二次函数的定义.一般地，把形如y=or2+云+c（其中“、Ac是常数，@0,h,c可以

为0）的函数叫做二次函数，其中。称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项/为自变量，y为因变量，

等号右边自变量的最高次数是2.

2.下列命题中，真命题的个数是（）

①有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；②两个全等三角形一定相似；

③有一个角对应相等的两个等腰三角形一定相似；④等边三角形都相似；

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】根据相似三角形的判定方法对选项逐个判断即可.

【详解】解：有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似，说法正确，为真命题；

两个全等三角形一定相似，说法正确，为真命题；

有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定相似，说法错误，为假命题;

等边三角形都相似，说法正确，为真命题；

真命题个数为3,

故选：C

【点睛】本题考查了命题与定理，正确的命题为真命题，错误的命题为假命题，涉及了相似三角形的判

定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法.

3.如图，下列条件不能判定一ABC与VADE相似的是（）

AEDE

ZB=ZADEC./C=ZAEDD.-----------

ACBC

【答案】D

【解析】

【分析】本题中已知NA是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断.

【详解】解：由图得：ZA=NA

,•当N8=或NC=NAED或A£:AC=AD:A3时，ABC与VAOE相似;

也可AE:AZ>=4C:AB.

D选项中角A不是成比例的两边的夹角.

故选：D.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且

其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.

4.二次函数〉=々/+/^+。的图像如图所示，则下列关系式中错误的是（）

C.c>0D.b2-4ac>0

【答案】B

【解析】

【分析】由抛物线的开口方向可以判断。与0的关系，再通过对称轴的位置，即可判断b与0的关系，由抛

物线与X、y轴的交点情况，可以判断△与0的关系以及C与0的关系.

【详解】A.由图像可知，开口向上，>0,故本选项正确，不符合题意；

b

B.由图像可知，函数对称轴——>0,而a>0,.../?<（）,故本选项错误，符合题意；

2a

C.由图像可知，二次函数交y轴于正半轴，...€•>（）,故本选项正确，不符合题意：

D.由图像可知I,二次函数与x轴有两个交点，.•.）2—4ac>0,故本选项正确，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

5•点&,乂）,（£，%）均在抛物线y=f-i上,下列说法正确的是（）

B.若玉=一々，则X=一、2

C.若0<占<々，则M>%D.若王</<0，则必>%

【答案】D

【解析】

【详解】解：由图象，根据二次函数的性质，有

A.若弘=必，则玉=±々，原说法错误；

B.若X]=一々，则y=%，原说法错误；

c.若0<%<*2,则y<%，原说法错误；

D.若玉<々<o，则M>必，原说法正确.

故选D.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质.

6.如图，平行四边形ABCO中，£是上一点,BE:EC=2:1,AE交BD于F,则5^8心：5^"乂

等于（）

A.2：3B.4：9C.1：2D.1：4

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得△BEFsAJMF，且相似比为2:3,利用相似三角形的性质，即可求解.

【详解】解：平行四边形A8CO中，AD^BC,AD//BC

ABEF^ADAF，

BE:EC=2:\,

.BEBE2

'AD-3

Q

,.,“qABFE•.*qAFUK_-4•'

故选：B

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定

方法与性质.

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.已知一x=：?,则——x-y

y3y

【答案】~

【解析】

【分析】由x一=;2得％=彳2丫，代入要求的式子进行计算即可.

）33

x?

【详解】解「•厂屋

21

-y-v—y1

X-)'=3-=3.=_1>

yyy3

故答案为：-5

【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键.

8.计算：3(«+b-3c)~(a+3b-c)=.

【答案】2a—8c##—8c+2a

【解析】

【分析】先去括号，然后合并即可获得答案.

【详解】解：3(ii+b—3c)—(d+3b—d)

=3a+3b-9c-a-3b+c

=(3-l)«+(3-3)/>+(-9+l)c

=2a-8c.

故答案为：2a-8c.

【点睛】本题主要考查了平面向量的运算，掌握相关运算法则是解题关键.

9.甲、乙两地在地图上距离约为5厘米，地图的比例尺为1：1000000,则甲、乙两地的实际距离约为

________千米.

【答案】50

【解析】

【分析】根据比例尺=图上距离+实际距离，即可得出结论.

【详解】根据题意得甲、乙两地的实际距离约为：

5x1000000=5000000(厘米)=50(千米)，

故答案为：50.

【点睛】本题主要考查了比例尺，正确运用公式是解题的关键.

10.已知点P是线段的黄金分割点(AP>BP),若AP=6,则

【答案】36-3##-3+36

【解析】

【分析】根据黄金分割的定义列出方程即可求出结论.

【详解】解：根据黄金分割的定义，得AP2=A8-3P，

即62^(BP+6\BP,

整理得：8尸+68尸一36=0,

解得BP=—3+3石或-3-3行（不符合实际，舍去），

因此8P=3括一3，

故答案为：375-3.

【点睛】本题考查黄金分割点，掌握黄金分割的定义是解题的关键.

11.如果两个相似三角形的周长比是1：4,那么它们的面积比是.

【答案】1:16

【解析】

【分析】根据相似三角形的相似比等于周长比，可得两个相似三角形的相似比是1：4,再由相似三角形的

面积比等于相似比的平方，即可求解.

【详解】解：；两个相似三角形的周长比是1：4,

两个相似三角形的相似比是1：4,

.,.它们的面积比是1:16.

故答案为：1:16

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的面

积比等于相似比的平方是解题的关键.

12.如图，如果4〃4〃4，AC=12,DE=3,EF=5,那么3C=.

*1

12

h

【答案】7.5

【解析】

【分析】设8C=x，则AB=I2-x,利用平行线分线段成比例的性质，即可求解.

【详解】解：设=则A8=12-x,

•••IJ/1,//%

...空=空，即—=3

BCEFx5

解得尤=7.5,即3C=7.5

故答案为：7.5

【点睛】此题考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键是掌握此性质.

13.在中，BC=6,G是JSC的重心，过G作边BC的平行线交AC于点H,则6H的长为

»

【答案】2

【解析】

【详解】连接AG,并延长AG交BC于D；根据重心的性质知：D是BC中点，且AG：AD=2：3；可根据

平行线分线段成比例定理得出的线段比例关系式及CD的长求出GH的值.

解：如图，连接AG,并延长AG交BC于D；

/.AG：GD=2：3,且D是BC的中点；

：GH〃BC,

.GHAG_2

,•布一茄一家

VCD=|BC=3,

：.GH=2.

“点睛”此题考查了平行线分线段成比例定理以及重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的

交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍.

14.一个正方形的面积为16a后,当把边长增加xCM时•，正方形面积为＞cm2,则）关于x的函数为

【答案】y=(4+x)2(x>0)

【解析】

【分析】求出正方形的边长，利用边长的平方等于正方形的面积即可解题.

【详解】解：•.•正方形的面积为16cm2,

，正方形的边长为4cm,

当边长增加xcm时，正方形的边长为(4+x)cm,

A正方形面积为y=(4+x)2(x>0).

【点睛】本题考查了列二次函数关系式,属于简单题,求出正方形的边长是解题关键.

15.的三边之比为3:4:6,^ABC^AA'B'C,若中最长的边为14厘米，则最短的边

长为____________厘米，

【答案】7

【解析】

【分析】利用相似三角形的性质可得，A'3'C的三边之比为3:4:6,再根据最长的边为14厘米，即可求

解.

【详解】解：..ABC的三边之比为3:4:6,

AAB'C'的三边之比为3:4:6,

二A'3'C中最长的边为14厘米，

则最短的边长为14+6x3=7(厘米)，

故答案为：7

【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质.

16.将抛物线y=3/-2的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位的抛物线为.

【答案】y=3(x+2)2+]

【解析】

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【详解】解：将抛物线y=3f一2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式

为：y=3(x+2)2+l.

故答案为：y=3(x+2)2+l.

【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数图象平移的法则.

17.如图，将边长为6cm的正方形ABC。折叠，使点。落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在

点。处，EQ与BC交于点、G,则一E3G的周长是cm.

【解析】

【分析】首先根据翻折的性质可得。F=EE设EF=xcm,表示出AF,然后利用勾股定理列方程求出x,从

而得到”、EF的长，再证出aAE尸和△BGE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BG、EG,然

后根据三角形周长的定义列式计算即可得解.

【详解】解：由翻折性质得，DF=EF,设EFrcm,贝ljAF=(6-x)cm,

,••点E是A8的中点，

AE=BE=gx6=，

在用△4£'尸中，AE^+AF^E产,即32+(6-x)2=/,

解得x="，

4

.EE_15159,、

•■EF——，AF—6------——(cm)，

444V7

,/ZF£G=Z£>=90°,

ZAEF+ZBEG=90°,

"：ZAEF+ZAFE=90°,

:.NBEG=/AFE,

又：ZB=ZA=90°,

:.丛BGESXAEF,

.BEBGEG

3BGEG

即可=亍=亘，

4J

BG=4cm,EG=5cm,

：.丛EBG的周长=3+4+5=12(cm).

故答案为：12.

【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出△AEF的各

边的长，利用相似三角形的性质求出aEBG各边的长是解题的关键.

18.如图，在mAA3C中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,CD上AB，垂足为。，E为5c的中

点，AE与CD交于点、F,则。尸的长为.

【答案■

【解析】

【分析】过点F作FHLAC于H,则AFHAAEC,设FH为x,由己知条件可得

33

AH=-FH=-x,利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的

22

值，利用SAAFC=|ACXFH=|CFXAD即可得到DF的长.

【详解】如解图，过点E作切_LAC于H,

,/ZACB=90°,

/.BC±AC.

FH//BC,

•••BC=4,点E是BC的中点,

BE=CE-2，

,/FH//BC,

：..AFHs/\AEC

.AHAC3

''~FH~~EC~2

3

：.AH=—FH，

2

3_____

设FH为x,则A〃=]X,由勾股定理得AB=J42+32=5,

又~ACxBC——ABxCD,

,3把型占

AB5

则4。=勿。2一829

5

•••ZFHC=ZCDA=90°且ZFCH=ZACD,

/.MFHs_CAD，

FHCH

AD-CD

.3

3—x

呜=2

12

55

1o

解得％=生

17

17

=-ACxFH=-CFxAD

22

」3X0CFX2

21725

〜30

CF=—

17

：.DF^CD-CF^—--=—

51785

54

故答案：—

85

【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形.

三、解答题(本大题共7题，满分78分)

19.已知抛物线,=改2+法+。经过点(0,1),(1,3),(-1,1).

(1)求该二次函数的解析式;

(2)写出该抛物线的对称轴和顶点坐标.

【答案】(1)y=x2+x+l

_1_3

(2)x——

2254

【解析】

【分析】(1)把三个已知点的坐标代入得到关于。、b,。的方程组，然后解方程组即可;

（2）将y=f+x+l化为顶点式即可求解.

【小问1详解】

解：将(0,1),(L3),(-1,1)代入y=o?+瓜中,

c=1

得，a+b+c=3,

a-b+c-\

a—\

解得"=1,

c-1

所以抛物线解析式为：y=x2+x+h

【小问2详解】

,C1V3

解：y=x2+x+l=x+—+—>

对称轴为：%=--

2

顶点坐标为1一万,wj

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、顶点式，解题的关键是求出二次函数的解析式.

20.有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截

面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系xOy的原点。是桥拱截线与水位正常的水面截线相

交处的一点，x轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到A8的距离为L8米.

（1）求桥拱截线所在抛物线的表达式；

（2）求达到警戒线AB位置时水面宽度.

1,

【答案】（1）y=----+x；

（2）达到警戒线AB位置时水面的宽度为12米.

【解析】

【分析】(1)由题意可得，抛物线与X轴的交点为(0,0)，(20,0),顶点坐标为(1(),5),设抛物线解析式为

y=a(x—IO)?+5，再将(0,0)代入求解即可：

(2)将y=3.2代入抛物线，求解一元二次方程，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意可得，抛物线与x轴的交点为(0,0),(20,0),顶点坐标为(10,5),

设抛物线解析式为y=a(x—IO]+5

将(0,0)代入可得100a+5=0,解得“=

121

即y=---+5=--一-x2+x

-20')20

【小问2详解】

解：由题意可得，A、8两点的纵坐标为5-1.8=3.2,

1.1,

将y=3.2代入y=------x+x,可得3.2=—1—x+x>

化简可得X2-20X+64=0.

解得：玉=4,々=16

即A(4,3.2),5(16,3.2)

则43=16—4=12米，

答：达到警戒线A6位置时水面的宽度为12米.

【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得二次函数解析式.

21.如图，在ABC中，平分NABC交AC于点£>,DE〃BC交AB千点、E,DE=4,

BC=6,AD=5,求CD和AE的长.

【解析】

Anr)p

【分析】根据平行线分线段成比例，可得——=—，求出AC,从而得到。。的长.根据等腰三角形的性

ACBC

DPspA

质得到OE=3E=4,再由平行线分线段成比例，可得芸=等=二?，得到AE的长.

BCAE+46

【详解】解：DE//BC，

ADDE

,•二,

ACBC

又DE=4,BC=6,AD=5,

,54

,.=一,

AC6

/.AC=—,

2

CD=AC-AD=-,

2

DE//BC，

AEDE

：.ZDBC=ZEDB

QB。平分/ABC,

：./EBD=/DBC,

;.ZEBD=AEDB,

:.DE=BE=4,

AE_4

AE+4~6'

：.AE=S.

【点睛】本题综合考查了平行线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是找

准对应关系，避免错误.

22.如图，梯形ABC。中，AB//CD,且AB=2CD,E、尸分别是AB、BC的中点，E尸与6。相

交于点M.

(1)求证：八FDMSMRM:

（2）若DB=6,求BA/.

【答案】（1）见解析；（2）BM=2.

【解析】

【分析】（1）先证明CD=EB,再证明四边形CBEQ是平行四边形，然后得出CBDE即可证的

NEDMs.BM；

r）MDE

（2）根据（1）中得出的AEOMsAEBM得出——=——，得出。£=2班'再根据相似得出

BMBF

DM=2BM，再根据已知条件即可求解.

【详解】证明：E是AB的中点，

AB=2EB>

AB=2CD,

：.CD=EB.5LAB//CD,

四边形CBED是平行四边形，

/.CBDE,

:.ZDEM=ABFM，ZEDM=/FBM，

\EDM^\FBM；

解：MDMs/\PBM，

.DMDE

厂是BC的中点，

:.DE=BC=2BF,

:.DM=2BM，

：.DB=DM+BM=3BM,

03=6,

:.BM=>DB=2.

3

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握判定定理及性质

是关键.

23.如图，M是平行四边形的对角线上的一点，射线AM与8c交于点片与OC的延长线交于点

H.

（1）求证：

(2)若BC=BD.DM,求证：ZAMB=ZADC.

B

H

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由于AD〃BC,AB〃CD,通过三角形相似，找到分别于«竺，竺竺都相等的比也

把比例

MFAMMB

式变形为等积式，问题得证.

（2）推出△ADA/S&3D4,再结合A3//C0,可证得答案.

【详解】（1）证明：•••四边形A3CD是平行四边形，

AAD//BC,AB//CD,

.AMDMDMMH

'~MF~MB'

.AMMH，

K■n即nAM'MF-MH-

"~MFAM

（2）:四边形ABCD是平行四边形,

AAD=BC,又,：BC?=BDDM，

,ADDM

••・他=皿。MH即n而=布

又•:NADM=/BDA,

AADMs^BDA，

/.ZAMD=ZBAD^

■：ABIICD,

/.ZBAD+ZADC=180，

ZAMB+ZAMD=ISO，

...ZAMB^ZADC.

【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性

质.

24.如图，已知在直角坐标系中，抛物线y=G?一8or+3(a<0)与y轴交于点A,顶点为£).其对称轴

交x轴于点8,点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧.

(1)当AB=8D=5时，求抛物线的表达式；

(2)在(1)的条件下，当。时，求点P的坐标；

(3)点G在对称轴BD上，且求一48G的面积.

2

【答案】(1)y=~x2+x+3

8

(2)P(10,-)

2

(3)5谢=10或22

【解析】

【分析】(1)用抛物线的解析式化为顶点式确定顶点坐标，对称轴，利用两点间距离，即可；

(2)先确定出直线AB解析式，再由小〃43确定出直线。P解析式，利用方程组确定出交点坐标；

(3)利用平面坐标系中求三角形面积常用的方法解决，即选用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的线段作

为底.

【小问1详解】

解：,y=ax2-8ar+3=tz(x-4)24-3-166?,

.•.对称轴为x=4,5(4,0),A(0,3),

AB=BD=5,

抛物线的顶点为。，其对称轴交“轴于点

3—16。=BD=5,

1

CL=--,

8

y=—+x+3,

8

【小问2详解】

解：B(4,0),A(0,3),

3

・•・直线A3解析式为y=--元+3,

4

DP//AB>

3

设直线0P解析式为y=--x+b,

4

。(4,5)在直线OP上，

.,./?=8,

3

六直线。尸解析式为y=--x+8,

4

y=——x+8

由|,

y=——x2+%+3

二.玉=10,x2=4(舍),

••.尸(10,3；

2

【小问3详解】

①以8为圆心，84为半径作圆，交£>3延长线于G，

BG=AB,

ZBAGl=NBQA,

ZAGB=-ZABD,

2

AB=5.点G在对称轴8。上x=4,

二.G](4,—5),

•-5AeC1=^BG,xAH=1x5x4=10;

②以A为圆心，AG1为半径作圆，交3。延长线于G2,

过点A作AaJ_80于，，

HG2=HGt=BH+BG、=8,

BG、=11,

x

ABC、；

SAtiij5=~2BG/xAH=—2xllx4=22

即：5Ase=10或22・

【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的一般形式化成顶点形式的方法，图象交点坐标的确

定，两直线平行的特点，坐标系中确定三角形面积的常用方法，解题的关键是确定出抛物线的解析式.

25.如图，直角梯形ABC。中，ABDC,ZDAB=90°,AZ)=2Z)C=4,AB=6.动点M以每秒1

个单位长的速度，从点A沿线段向点8运动；同时点尸以相同的速度，从