2023-2024学年浙江省宁波市高一年级下册期中联考数学试卷

2023-2024学年浙江省宁波市高一下册期中联考数学试卷

选择题部分

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.）

1-i

1.已知复数Z满足z-2i=——（i为虚数单位），则Z的虚部是（）

1+i

A.1B.iC.-iD.-1

2.在A4BC中，已知命题p：∆A5C为钝角三角形，命题^AB∙8C>0,则P是q的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2

3.用半径为3cm,圆心角为一》的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为（）

3

A.IcmB.夜CmC.2cmD.2>∕2cm

IT

4.在ZVUSC中，AB=7,BC=8,NC=—,则边AC的长为（）

3

A.3B.5C.3或5D.以上都不对

5.设〃?，〃是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（〉

A.m±n,n//a,则B.m//β,β±a,则

C.mLa,aVβ,则用〃/D.m±σ,m±β,则0〃,

6.已知Sin-,则sin2a----的值为（

77

2525

7.记α=0.2°J∕=0.1°∙2,c=（√∑Γo∙5,则（）

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.oa>b

8.有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知走廊的宽度与高度都是3米，现有不能

弯折的硬管需要通过走廊，设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为1米.为了方便搬运，

规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为加=0.9/米，则〃1的值是（）

D.6√2

二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的

得2分.）

9.如图，正方体ABeo—4gG2中，AB=2,点。为qG的中点，点N为OA的中

点，则下列结论正确的是（）

A.。。与JBN为异面直线B.CQ±C1D1

2

C.直线5N与平面ABCr）所成角为30。D.三棱锥Q-NBC的体积为W

1

10.已知q,/是平面单位向量，且e//=］,若该平面内的向量。满足α∙q=。∙^2=1，

则（）

C.”|心9D∙⑷昔

11.已知函数/（》）=5皿（0%+夕）（口＞0,-5＜/＜］）,则下面说法正确的是（）

JTTT

A.若口=2且/（x）图象关于直线X=上对称，则e=°

66

B.若勿=2且/（x）图像关于点（萼,θ］对称，则夕=V

C.若夕=巳且/*）在（θ,f［上单调递增，则。的最大值为2

4I8J

π

若工且（）在［词上的图象有且仅有个最高点，则刃的取值范围为

D.9=/x0,24'4J

4

12.在锐角A46C中，已知AB=4,AC=3,。为边BC上的点，ZBAD=^CAD,则

线段AO长的可能取值为（）

A.√6B.√7C.3.3D.2√3

非选择题部分

三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分.）

13.已知复数马=3+i*2=-l+3i（i为虚数单位）在复平面上对应的点分别为Z∣,Z2,

则XOZ区的面积为.

14.已知直三棱柱ABC—A4G的高为4，AB=AC=2,Zβ4C=90o,则该三棱柱的

外接球的体积为.

15.已知人钻。满足48・4。=（48+4。＞3。，则CoSC的最小值为.

16.已知正∆ABC边长为1,点。满足8。=2DC,P为直线AD上的动点，设BA在BP

RP

的投影向量为加一^,则m的取值范围为________.

∖BP∖

四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.）

17.（本题满分10分）已知复数z=l+历（⅛∈R,i为虚数单位），z在复平面上对应的点

在第四象限，且满足∣z∣=2.

（1）求实数6的值；

（2）若复数Z是关于X的方程∕z√+2χ+q=0（p≠0,且p,qwR）的一个复数根，求

P+4的值.

18.（本题满分12分）在四棱锥P-ABC。中，PA_L平面ABcD,底面ABcD为正方形,

PA=AB,E和尸分别为PD和BC的中点.

(1)证明：EF〃平面243；

(2)求二面角尸一£。一A的余弦值.

TT

19.(本题满分12分)在AMBC中，已知8=—,AC=2,B。为边AC上的高.设

2

y=BD+DC,记y关于A的函数为y=∕(A).

(1)求y=/(A)的表达式及/(A)的取值范围；

(2)若不等式时(A)+m≥∕"A)恒成立，求实数机的取值范围.

20.(本题满分12分)如图，在A45C中，。是线段BC上的点，且OC=23。，。是线

段AD的中点延长30交AC于E点，设8。=/IAB+“AC.

(1)求4+〃的值;

(2)若ZXABC为边长等于2的正三角形，求OE∙BC的值.

21.(本题满分12分)已知锐角ZVLBC的内角A,B,C所对的边分别为m6,c,向量

机=(SinC,cosC),n=(2sinA-cosB,-sinB),且〃zJ_“.

(1)求角C的值；

(2)若α=2,求ZXABC周长的取值范围.

22.(本题满分12分)已知函数/(x)=ar2+x+2+∣0χ2—3x+2∣,其中αeR.

(1)α=l时，求函数/(x)的单调增区间；

(2)已知存在三个不相等的实数α,尸,7,使得/(a)=/(乃)=/(7)成立，求α+∕+y的

取值范围.

答案

四、解答题：(本大题共6小题，共70分)

17.(1)；z在复平面上对应的点在第四象限.∙.b<0

∙.∙Iz∣=2,1+b~=4,：.b=—ʌ/ɜ

(2)(法一)由题可知，Z=I-Gi,2=1+JGi为关于X方程的两个复数根

_2

Z+Z=--

P

Z-Z=—

P

P=-I

：・〈，p+q=—5

q=-4

(法二)将X=I-√5i代入方程可得(—2〃+2+q)+(―-2√3)i=0

—2p+2+q=0

^^-2√3p-2√3=0

P=-I

.*.<∙*∙p+q=-5

g--4

18.(1)(法一)取的中点连接ME,MB

'：M,E分别为B4,PO的中点.∙.ME是APAD的中位线

AD且ME=LAO

2

又F为BC的中点

：.8尸〃AD且BF=-AD

2

ME〃BF且ME=BF

.∙.四边形MeEE是平行四边形

.∙.EF〃MB,EF（z平面PAB,MBu平面PAB：.E产〃平面PAB

（法二）取Ao的中点M连接EN,FN

`:E,N分别为Pr>,A£>的中点.∙.NE是APAD的中位线.,.NE//PA

'：FTV〃75A,EVZ平面抬氏PAu平面B48/.EN〃平面AzLB

同理.∙.FN〃平面P43,ENFN=N

二平面〃平面硒/

又EFU平面ENF

：.£/〃/平面RLB

(2)(法一)取AD的中点M连接尸N,过N作NG上PD交PD于G,连接尸G

：PA_1_平面ABCD,/Wu平面ABCD：.PA人FN

又FN上AD,PAAD=A

：.FN_L平面

.∙.FN1PD又NG±PD

；•PD，平面尸NG

PD±FG

：.NEGN即为二面角产一七D—A的平面角

设B4=AB=4则FN=4,NG=应,FG=30

FG2+NG2-FN21

，cosZFGTV=

2FG∙NG3

二面角F-ED-A的平面角的余弦值为

3

(法二)取Ar),DE的中点MG,连接NG,FG

设PA=AB=4,0F=EF=2√5

.,.ADEF为等腰三角形.∙.FG±DE

VPA=AB：.AE±PD即NG±DE

：.NEGN即为二面角/一JED-A的平面角

FG2+NG2-FN2ɪ

.∙.CoSNFGN=

IFG-NG3

；・二面角F-ED-A的平面角的余弦值为

3

19.解：(1)由己知可得：AB=2cosA,8C=2sinA

.*./(A)=BD+DC=2cosAsinA+2sin2A

sin2A+1-cos2A=V∑sin(2A-?)+1

.八A冗.冗c4式37T

・0<A<—,••—<2A----<—

2444

.∙.0</(A)≤0+1即/(A)的取值范围为伍,、历+1].

B

(2)由⑴知：/(A)+1>0

/2(A)

.∙.m≥

/(A)+1

→.∣(〃-1)~u—-2〃÷11c*(qcΓ^~∖IM

记〃=/(A)+l∈(l,2+√2],则lt=1------=-------------=〃+一一2在1,2+√2上单

Uu〃'」

调递增.

__Q/ɔ

.∙.当M=2+JΣ,即/(A)+1=2+JΣ,/(A)=I+√Σ,A=三时,r取到最大值为1+&-.

82

.∙.m≥ι+也^/y

即实数，〃的取值范围为1+、一,+8

22√

20.解：(1)因为。为AD的中点，DC=IBD,

BOBA+AOBA+-AD

2

=BA+-(-AB+-Ac}

2(33)

21

=——AB+-AC

36

211

又Bo=∕IA8+4AC,故几=—,4=—,4+//=—

362

(2)(法一)设AC=rAE,因为。为AD的中点，DC=2BD,

：.AO=-AD=-(AB+BD)=-AB+-BC=-AB+-(AC-AB)=-AB+-AC

22262636

=-AB+-AE

36

VB,O,E三点共线，所以,+《=1,得，=4

故OE=AE—A。=上AC—-AB+-AC∖^--AB+-AC

4(36J312

因为Z∖A5C为边长为2的正三角形

故OEBC=(-+AC]∙8C=∙ABC+-J-C4∙CB

312J312

Tt1π

ɪʒlBA∣∙∣βC∣cos→-∣C4∣∙∣CB∣cosy

1n211c215

321226

(法二)设AC=fAE

OE^AE-AO-AC--ADAC--∖~AB+-AC\

t2t2U3J

=—京8+If)AC

—21

又由(1)知BO=--AB+-AC,6。与OE为非零的共线向量。

36

80与。应为非零的共线向量，所以∖6=-∣∙,得，=4

6—3

：.OE=--AB+—AC

312

因为AABC为边长为2的正三角形

故OE∙3C=(-LΛB+LAC]∙BC=UA∙BC+LCA∙CB

I312J312

1711Tt

=-∣BA∣∙∣BC∣cosy+-∣C4∣∙∣CB∣cosy

∖--~AB+-~Ac∖~BC=-~Bλ~BC+-CACB

312J312

/.sinC(2sinA-cosB)_cosCsinS=O

.∙.2sinCsinΛ-(sinCcosB÷cosCsinB)=0.*.2asinC-(ccosB+bcosC)二O

，24sinC-a=0/.sinC="

2

7Γ

•.,△ABC为锐角三角形，：.C=-

(1)(法二)VmlnʌsinC(2sinΛ-cosB)-cosCsinB=0

.∙.2sinCsinA-(sinCcosB÷cosCsinB)=0

.∙.2sinCsinA-sin(C+β)=0/.2sinCsinA-sinA=O

/.sinA≠0.*.sinC=—

2

:△ABC为锐角三角形，・・・C=—

八4_、，asinB(6JCOSA+6SinA∕τcosA

(z2)(法一)b=--------=-------又-------L=------------------=√3+-------

sinAsinAsinAsinA

αsinC1

c=--------=-------

sinAsinA

周长∕=α+"c=2+6+0+-L=2+G+0D

sinAsinAsinA

2ɔcos2—A]

=2+ʌ/ɜd-----------=2+ʌ/ɜd------------T-

2cos—sin—tan—

222

/冗、ɔʃr冗

由于ZVLBC为锐角三角形∙.∙AG0,-,0<C=———A<-

I262

πTtAππ

解得：A∈—∈

3^,T2^6,7

.∙.AABC的周长/的取值范围为(3+6,2+2√3).

_asmB_(6)_cosA+ʌ/ɜsinA_AcosA

(,法一.)D——;---=-----------=-----;------ɪVɔH;---

sinAsinASinAsinA

同法一得Ae

222

由余弦定理得C=y∣a+b-2abcosC=y∣(b-y∕3)+l

周长/=α+人+C=T(^^)+。+2

记/(Z?)=√0-√3)2+l+h+2

贝∣J/(3在6,竽)单调递增

ZXABC的周长/的取值范围为(3+0,2+2百).

22.解：(1)当α=l时，解不等式α√-3χ+2≤0得：14χ≤2

当x∈[1,2]时，

/(x)=X2+X+2-(X2-3X+2]=4X,此时f(x)单调递增；

当x∈(-oo∕)(2,+∞)时，

/(%)=X2+X+2+(X2-3%+2)=2^%-^+1,对称轴为直线x=g<l

此时/(X)在(一8，；)单调递减，在(g/)，(2,+8)单调递增.

/(%)在R上连续，所以/(%)的单调递增区间为(g,+8)

(2)由题意可得：函数/(X)至少有三个单调区间.

C2

—LX+4yI,无<一

3

(a)当Q=O时，f(x)=X+2+1—3x+21=<〜

4x,x>—

13

/(x)在卜8,|)单调递减，在(|,+8)单调递增.

此时不存在α,∕7/符合题意；

(b)当α>0时

9

i)A=9-8α<0即“≥—时，依9一3x+2≥0恒成立

8

则/(x)=2a√一2χ+4,在[-8,单调递减，在(A,+8)单调递增，

此时也不存在a,β,γ符合题意;

9ɔ

ɪi)A=9-84>0即0<α<—时，记Gr-3x+2=0的两根为X,w(x∣<々)，

8l

2ax1-2x+4,x<%或X>X

则/(χ)=<