上海市普陀区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

2022-2023学年上海市普陀区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）

1.已知抛物线y=5一1）/的开口向上，那么a的取值可以是（）

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用二次函数图象与系数的关系得到a—1>（）,然后解不等式即可.

【详解】解：抛物线y=（a—l）/开口向上，

a—1>0,

那么a的取值可以是2.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=a/+法+或。/0）,二次项系数a决

定抛物线的开口方向.当。>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口.

2.如图，点C、。分别在以的边3。、AO的延长线上，AB//CD,AO:DO=1:2,那么下列结

论中，一定成立的是（）

A.BO.BCA.2B.CO:BC=2:3C.43:8=1:3D.AD:BC=1:2

【答案】B

【解析】

【分析】根据AB〃CD,证明得到A3：C£)=BO:CO=A。：。。=1:2,即可解决

问题.

【详解】,：AB//CD,

Z4=ZD-ZB=NC,

：.4AoBS&DOC,

4B:Cr>=30:C0=A0:D0=l:2,故C选项错误；

A.•：BO:CO=\:2,

BO:BC=BO:(BO+OC)=\:(1+2)=1:3,故A选项错误;

B>'：BO:CO=\:2,

CO:BO=2:1,

CO:BC=CO:(CO+30)=2:(2+1)=2:3,故B选项正确；

D、由AB：CZ)=3O:CO=AO:£)O=1:2不能得出AO:BC=1:2,故D选项错误.

故选：B.

【点睛】本题主要考平行线的性质、相似三角形的判定与性质和比例式的变形，熟练运用比例的性质是解

题的关键.

3.如图，AC与BO相交于点O，ZB=NC,如果OC:QB=2:3,那么下列说法中错误的是()

0A3AB33^^AOB3

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得NC=/B,ZDOC=NAQB,从而可以得到DOCAOB,然后即可得到两个

三角形的相似比，从而可以得到它们的面积比，然后即可判断各个选项是否符合题意.

【详解】解：•；NC=NB,NDOC=NAOB,OC:OB=2:3,

,DOCAOB,

°D_CD_°C_C&DOC_2

故选项A、B、C正确，不符合题意,

~OA~~BA~~OB~C^OB-3

红"=j史)故选项D错误，符合题意;

SAWB【OBJ9

故选：D.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用相似三角形的判定和性质

解答.

4.已知向量”、b、e为非零向量，下列条件中，不能判定a〃〃的是()

A.同=3WB.ci=2c,b=cC.d//c>b//cD.a——5b

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面向量的性质逐一判断即可.

【详解】解：=不能确定两个向量的方向，

•••无法判断“〃〃，选项A符合题意；

•a—2c,b=c，

a-2b>

:.aHb、选项B不符合题意；

a//c,b//c<

a//选项C,不符合题意；

••a=-5b>

-'­a//b'选项D,不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了平面向量的性质，熟练掌握平面向量的性质是解题的关键.

5.如果抛物线的对称轴是直线x=2,与x轴的一个交点的坐标是(6,0),那么它与x轴的一个交点的坐标

是()

A.(-6,0)B.(-4,0)C.(-2,0)D.(4,0)

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线的对称性解答即可.

【详解】解：抛物线与x轴的一个交点坐标为(6,0),对称轴为直线x=2,

二抛物线与x轴另一交点的横坐标为2x2—6=—2,

抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-2,0),

故选：C

【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，正确理解抛物线的对称性是解题的关键.

6.下列说法中，不一定成立的是（）

A.所有的等边三角形都相似

B.有一个钝角相等的两个等腰三角形相似

C.腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似

D.两边对应成比例的两个直角三角形相似

【答案】D

【解析】

【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可.

【详解】解：A、所有的等边三角形都相似一定成立，不符合题意；

B、有一个钝角相等的两个等腰三角形相似一定成立，不符合题意；

C、腰和底边对应成比例的两个等腰三角形相似一定成立，不符合题意；

D、两边对应成比例的两个直角三角形相似不一定成立，符合题意；

故选：D

【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真

假关键是要熟悉课本中的性质定理，本题的解题关键需要掌握相似三角形的判定定理.

二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

x2x+y

7.已知一=：7,则---=______.

了3y

【答案】-

3

【解析】

x222x+y

【分析】根据一=不可得到》=-y,将x=-y代入--求解即可得到答案.

y333y

x2

【详解】解：一=彳，

y3

2

：.x=—y,

3-

2x+y

将龙=彳y代入一^得

3y

25

—v+y—y匚

尤+y_3”_3，=5,

yyy3

故答案为：—.

3

【点睛】本题考查代数式求值，根据条件用一个未知数表示另一个未知数代入求值是解决问题的关键.

8.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>8P,如果AP=火一1,那么A8=—.

【答案】2

【解析】

【分析】根据黄金分割的定义可得AP=叵口A8,进而即可求解.

2

【详解】解：•.•点尸是线段AB的黄金分割点，且AP>BP,

二AP^^^-AB，

2

•：AP=y/5-^

：.AB=2.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，掌握黄金分割点与黄金比的关系是解题的关键.

9.如图，已知a〃b〃c,它们依次交直线〃?、〃于点A、8、C和点Q、E、F,如果A8=1,AC=4,OE=JL

那么EF=.

【答案】3亚

【解析】

【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可.

【详解】解：

.ABDE

.•=，

ACDF

•/AB=1,AC=4,OE=V^,

.1V2

••--=-------f

4DF

解得。F=4收，

EF=DF-DE=4C-C=3五.

故答案为：372.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成

比例是解题的关键.

10.若向量d与单位向量©的方向相反，且忖=2,则。=.（用。表示）

【答案】-2e

【解析】

【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答.

【详解】解：：向量4与单位向量e的方向相反，且忖=2,

a=—2e•

故答案为：—2e.

【点睛】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长

度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向.

11.抛物线y=—2（x—1）2-1的对称轴是直线.

【答案】x=\

【解析】

【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出抛物线的对称轴.

【详解】解：=

该抛物线的对称轴是直线x=l,

故答案为：x=l.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，由顶点式可以直接写出对称轴.

12.已知二次函数y=/+3x+m—4的图象经过原点，那么机=.

【答案】4

【解析】

【分析】将（0,0）代入解析式求解.

【详解】解：将（（）,o）代入旷=/+3%+，〃一4得0=m—4,

解得7/1=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系.

13.已知点A（X|,y）,^（々，^，在抛物线了二-工?上，如果玉＜X2＜°，那么M一切•（填“＞”、

或“=”）

【答案】＜

【解析】

【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=-x2的开口向下，对称轴为y轴，则在对称轴左侧，y随x的

增大而增大，所以王＜X2＜。时，凹＜》2

【详解】解：•一=*,

抛物线开口向下，对称轴为y轴，在对称轴左侧，），随x的增大而增大，

,/王＜x2＜0,

二%＜%，

故答案为：＜

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟知其性质是解题的关键.

14.如图，在等边△4BC中，AB=12,P、。分别是边BC、4c上的点，且/APQ=60。，PC=8,则QC

的长是.

Q

【答案】7

3

【解析】

ABBP

【分析】通过证明△ABPS/XPCQ,可得---二---可-求解.

PCCQ

【详解】解：:△ABC是等边三角形,

ZABC=ZACB=60°,AB=BC=12,

,?PC=8,

：.BP=4,

•：/4PC=/B+/BAP=ZAPQ+ZCPQ,

：.ZBAP=ZCPQ,

又；ZB=ZC=60°,

XABPsXPCQ,

.ABBP

"PC-CQ"

124

：'~8=QC'

8

.•.QC=§,

Q

故答案为：一.

3

【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关犍是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理.

15.已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12,那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是

131

【答案】—##4-

33

【解析】

【分析】先根据勾股定理求出斜边的长度，再利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1求

解可得答案.

【详解】解：•••直角三角形的两条直角边长分别为5和12,

A斜边的长度为752+122=13，

这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是一xl3x-=，.

233

13

故答案为：—.

3

【点睛】本题主要考查三角形的重心和勾股定理，解题的关键是掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点

的距离之比为2:1及勾股定理.

16.如图，将等边AABC分割成9个全等的小等边三角形，点。是其中一个小等边三角形的顶点，设AB=a,

BC=b，那么向量80=（用向量d、/?表示）

A

【分析】根据8O=3C+CO,求解即可.

2

【详解】解：:CA=CB-\-BA=-b-&，CD=-AC,

:・CD=—(-b-a),

一2^、21,

BD=BC+CD=b+-(-Z?~a)=--a+-b,

21

故答案为：—ciH—b.

33

【点睛】本题考查平面向量，三角形法则，等边三角形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形法则解决

问题，属于中考常考题型.

17.如图，在ABC中，A8=6,AC=8,。是边AB上一点，且40=2,如果点E在边AC上，且

VA0E与工ABC相似，那么A£=.

o3

【答案】&或士

32

【解析】

ABACARAC

【分析】分两种情况：ABCAOE或VABC:NAED,得到一=——或——=——，分别代入数

ADAEAEAD

值求解即可.

【详解】解：•••VAOE与一ABC相似，

.ABCADE或VA3C:NAED，

ABACiABAC

：.——=—,或一=——，

ADAEAEAD

6868

2-AEAE2-

Q3

解得：AE=?或AE=±,

32

QQ

故答案为：2或二.

32

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

18.如图，在Rt_48C中，ZC=90°,AB=6,AC=A，CO是斜边A6的中线，将绕点A

s

旋转，点B、C的对应点分别是点E、F,如果点F在射线CO上，那么^

【答案】-

3

【解析】

【分析】过点A作4HLCD于点儿设。厂=x,利用勾股定理列出x的方程求得x,进而求得三角形的

面积便可求得比值.

【详解】解：过点A作AHLCZ）于点”,

VZACB=90°,CD是斜边AB的中线，AB=6,

:.CD=AD=BD=3,

设。尸=x,则CT=x+3,

由旋转性质知，AC=AF=屈,

：.CH=FH=

2

Z.DH=FH-DF=^^,

2

由勾股定理得AC2-CH2=AH2=AD2-DH2，

；.（而>—甘）2=32一（芋）2,

解得x=2,

:.DF=2,J15-（马马，后，

V22

■■SADF=-DFAH=-y/35,

22

।______3__

S^EF=5AApc=]xV15x，6--15=--^5,

.S—OF_1

,,瓦13,

故答案为：:

3

【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，关键在于构造直角

三角形，利用勾股定理列出方程求得。尸.

三.解答题（本大题共7题，满分78分）

19.如图，已知两个不平行的向量。、b.先化简，再求作：2（a-g/2）-g（2“+46）.（不要求写作法，

但要指出图中表示结论的向量）

\<

【答案】a-3b，图见解析

【解析】

【分析】首先利用平面向量的运算法则，化简原式，再利用三角形法则画出向量.

【详解】解：原式=2。-5-4-2万

=a-3b•

如图：A8=a,AC=3b>

则CB即为所求・

【点睛】此题考查了平面向量的运算.注意掌握三角形法则是解此题的关键.

20.已知二次函数的图象经过点A（-1,1）、8（1,3）和。（0,1）,求这个二次函数的解析式，并指出这个二

次函数图象的对称轴.

【答案】这个二次函数的解析式是y=/+x+i,二次函数的对称轴为直线x=

【解析】

【分析】设二次函数关系式为y=o?+Ax+c,把A（—1,1）、3（1,3）和。（0,1）代入，列出三元一次方

a-b+c=l

程组＜4+8+C=3,解方程组得到。=1,b=l,c=l，得到二次函数的解析式y=Y+x+i,利用对

c=1

b1

称轴公式X=——即可求得对称轴为直线X=—―.

2a2

【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+Zzx+c,

•••二次函数的图象经过点A（—l,1）、8（1,3）和。（0,1）,

a-h+c=\

c=1

a=l

解得＜。=1,

c=1

•••这个二次函数的解析式是y=x2+x+\,

二次函数的对称轴为直线%=

2

【点睛】本题主要考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，对称轴公式，是解题的关

键.

21.已知抛物线y_4x+a经过点（-3,2）.

(1)求a值，并将抛物线的表达式写成y=a(x+〃z)2+Z的形式；

(2)将(1)中的抛物线先向右平移〃个单位，再向下平移〃个单位.

①平移后新的抛物线的表达式为；(用含字母〃的式子表示)

②如果新的抛物线的顶点在第四象限，求〃的取值范围.

【答案】(1)-1,y=—(x+2)?+3

⑵①y=—(x+2—+3—〃；②〃>3

【解析】

【分析】(1)把点(―3,2)代入抛物线丁=以2-4》+4,求出。的值，再转化成顶点式即可；

(2)①根据平移的规律解答；②求出顶点坐标，根据题意列出不等式解答.

【小问1详解】

解：•••抛物线丁=好2-4%+4经过点(-3,2),

，2=-(-3/xa-4x(-3)+a,

解得。=一1.

・・・抛物线表达式为y=-x2-4x-i

写成y=Q(X+根『+k的形式为：y=-(x+2)~+3.

【小问2详解】

解：①根据平移规律y=—(x+2-〃P+3-〃.

②由①得，新抛物线得顶点坐标为(n—2,3-〃)，

又顶点在第四象限，

〃—2>0

/.〈，

3-〃<0

・•・〃的取值范围为〃>3.

【点睛】本题主要考查定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关

键，即“左加右减，上加下减”.

22.如图.在和中，ZBAC=NZME=90°,AB=3坦,AD=6，BC=6,DE=2.

A

E

D

B

(1)求证：Rt_ABCsRf_ADE；

,,BDM_

求一的值.

CE

【答案】（1）见解析（2）6

【解析】

ARAD

【分析】（1）由勾股定理求得AC=3,AE^JE2-AD2=1＞则一=—=8，即可根据“两边成

DACAE

比例且夹角相等的两个三角形相似"证明AbCsRfADE；

，、上ABA[)40AC

⑵由————，变形为——=——，而N8W=NC4E=90°-NC4Z)，即可证明△AB£>SAACE,

ACAEADAE

“，BDAB厂

得——=——=5

CEAC

【小问1详解】

证明：VZBAC=ZDAE=90°,AB=3g,AD=6，BC=6,DE=2.

•••AC=ylBC2-AB2="6?-(3百大=3,AE=dDE2-AD°=收-(至丫=1,

ABAD「

前=罚=5

：.RtABC^Rt.ADE.

【小问2详解】

ABAD

解：由(1)得——=——

ACAE

AB_AC

AD-AE

•••ABAD=ZCAE=90°-ZCAD,

/\ABDSAACE,

BDAB广

——的值是.

【点睛】此题重点考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据勾股定理求得AC=3,AE=l,

4RAn

进而求得——=—=也，是解题的关键.

ACAE

23.已知：如图，在..ABC和VADE中，是.ABC的角平分线，ZADE=/B，边。E与4c相交

于点F.

(1)求证：AFBD=ADDF；

(2)如果AE〃3C,求证：ABAF=DFDE.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】(1)由NZMF=NB4O,NAr>E=N8,根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明

A/7DF

ADFABD，得——=——，所以"皿二反小。/：

ADBD

(2)先由AE〃3C,得NC=ZE4C,则ZADB=NC4D+NC=NC4D+NE4C=NE4D,而

ABBDqAFDF…"FBD,ABDF5

ZADE=ZB，则..AQB.EDA，得­=—，由一==一变形得一二=二=，则n===，所

DEADADBDAFADDEAF

以ABAF=DFDE.

【小问1详解】

证明：•••A。是_ABC的角平分线,

•••ZDAF=ZBAD,

ZADE=/B，

；..ADF:.ABD，

,AFDF

••=9

ADBD

•••AFBD=ADDF.

【小问2详解】

证明：VAE//BC,

，NC=NE4C,

，ZCW+ZC=ZCAD+ZEAC,

ZADB=ZCAD+ZC,ZEAD=ZCAD+ZEAC,

ZADB^ZEAD，

•：ZADE二ZB，

；•.ADBEDA，

ABBD

AFAD

ABDF

••—,

DEAF

•••ABAF=DFDE.

【点睛】此题重点考查三角形的角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相

似三角形的判定与性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明,ADFABD及

ADB是解题的关键.

24.在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线的顶点是41,-5）,且经过点8（—1,一1）,过点B作

轴，交抛物线的对称轴于点C.

5

1

3

123451

（1）求抛物线表达式和点C的坐标；

（2）连接A3,如果点。是该抛物线上一点，且位于第一象限，当=时，求点。的坐

【答案】（1）抛物线的表达式为y=（x-If-5,C（l,-1）

75

(2)D

254

【解析】

【分析】(1)根据抛物线的顶点是41，-5),可设抛物线的表达式为丁="(彳-1)2-5(。工0),将点

3(—1,-1)的坐标代入表达式，即可得出结论；

(2)设。。〃,加2—2加—4)。〃>0)过点。作。”，3。，垂足为点H,所以。〃=>一2加一3，

BH=m+L根据题意可证明所以DH:B1BH:AC,即

(m2-2m-3):2=(?n+1):5,解之即可.

【小问1详解】

解：由抛物线的顶点是4L-5),

可设抛物线的表达式为y=a(x-1>—53/0),

•••抛物线经过点8(—1,—1),

.1=/一1—1)2—5=4。-5,解得a=l,

...抛物线的表达式为y=(x-1)?-5,

轴，交抛物线的对称轴于点C,

【小问2详解】

解：..•抛物线的一般式y=--2x-4

设D(m,m2-2m-4)(m>0)

如图，连接8A,过点。作。H_L3C,垂足为点H,连接80，

DH=m2-2m-3>BH=m+\

在，BHD与ZVICB中，

ZDHB=NBCA=90。,/DBC=/BAC,

ABHDs^ACB,

...DH:BC=BH:AC,

•：BC=2,AC=4,

(n?2—2m-3):2=(/〃+1):4,

4(m2-2m-3)=2(m+l),

2机2—5加—7=0，

/.(2m—7)(m+1)=0,

7

解得加=一或机=-l(舍)，

2

75

即点。的横坐标为一，代入y=--2x—4,解得y=1,

24

【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，解一元二

次方程等相关知识，得出二次函数的解析式是解题关键.

25.在矩形ABCO中，AB=6,AO=8,点尸是线段8。上的一动点(不与点B、。重合)，过点尸作

PEVBD,交射线0c于点E,联结BE.

图1图2备用图

(1)如图1,当点E与点C重合时，求BP的长;

(2)当直线B