2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛A卷）暨全国高中数学联合竞赛一试及加试试题（含解析）

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛A卷）暨全国高中

数学联合竞赛一试及加试试题（A）卷

一、填空题（本大题共8小题，共64.0分）

1.设复数z=9+10爪为虚数单位），若正整数n满足|z，S2023,则n的最大值为.

2.若正实数a,b满足小0=2,小。1电卜=5,则（时）电的的值为.

3.将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为x,y,z,则事件"g<<夕”

发生的概率为.

4.若平面上非零向量及，/P满足HJL用心声=2|：|，p•左=3|由，贝山力的最小值为__.

5.方程sinx=cos2x的最小的20个正实数解之和为.

6.设a,b,c为正数，a<b.若a,b为一元二次方程a/-bx+c=0的两个根，且a,b,c是

一个三角形的三边长，贝ija+b-c的取值范围是.

7.平面直角坐标系xOy中，已知圆。与支轴、y轴均相切，圆心在椭圆厂:a+方=l（a>b>0）

内，且0与下有唯一的公共点（8,9）.则「的焦距为.

8.八张标有4,B,C,D,E,F,G,H的正方形卡片构成下图.现逐一取走这些卡片，要求

每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按。，4B,E,C,

F,G,H的次序取走卡片，但不可按。，B,A,E,C,F,G,H的次序取走卡片），则取走

这八张卡片的不同次序的数目为.

二、解答题（本大题共3小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

9.（本小题16.0分）

平面直角坐标系xOy中，抛物线7:y2=4x,F为r的焦点，A,B为r上的两个不重合的动点,

使得线段4B的一个三等分点P位于线段OF上（含端点），记Q为线段4B的另一个三等分点.求点

Q的轨迹方程.

10.（本小题20.0分）

已知三棱柱。：ABC-4遇£的9条棱长均相等.记底面4BC所在平面为a.若0的另外四个面（即

面占BiCi，4BBi4,4CCi4,BCC/D在a上投影的面积从小到大重排后依次为2/3,30-

4口,5「，求。的体积.

11.(本小题20.0分)

求出所有满足下面要求的不小于1的实数t：对任意a,6e[-l,t],总存在c,de[-l,t],使得

(a+c)(b+d)=1.

答案和解析

I.【答案】2

【解析】解：\zn\=\z\n=(V924-102)n=(1面产因忆2|=181<2023,而当n23时，邛|=

(<l81)n>13n>2023,故n的最大值为2.

2.【答案】20

b

【解析】解：因为“a=10恒algb=a\gb=2,所以(ab)lgab=(帅)3+励=俗碗.小”.a^•

"ga=5x2x2=20.

3.【答案】摄

【解析】解：由于C)=O<爵=O<废=的,因此当x,y,zG{1,2,3,4,5,6}时，事件“稚<

C；<门”发生当且仅当"xe{1,6},y6{2,5},ze{3,4}”成立，相应的概率为(|尸=

4.【答案】2/3

【解析】解:由不妨设4=(a,0),耳=(0,b),其中a,b>0,并设P=(x,y),

则由心p=2|五|得by=2a,由力匠=3|彳|得ax=3b.

所以I刃=Vx2+y2>y/2xy=I=2'/-3.

取a=b=，至，此时％=y=V"石，|再取到最小值21^.

5.【答案】1307r

【解析】解:将cos2%=1-2siMx代入方程,整理得(2sinx-l)(sinx+1)=0,解得％=2kn+3，

2/C7T+管，2/OT+当(kWZ).

O4

上述解亦可写成％=学+1(卜6Z),其中k=0,1,…，19对应最小的20个正实数解，它们的和

DO

4,vi9/2/czr,加、2n19x20.n

+g)=y+g-20=d13O0A7T.

6.【答案】《，口一1)

【解析】解：由条件知山心一bx+c=a(%—a)(x—b)=ax2—(a2+ab)x+a2b,比较系数得b=

从而a+b-c=a+言=a+a2+a3.

由于0<a<b=£，故g<a<1.此时显然b>c>0.因此，a,b,c是一

个三角形的三边长当且仅当a+c>b,即a+±>互，即a(a2+a—1)<0,

1—a1—a

结合;<a<1,解得：<a<中.

令/(x)=x+/+炉，则a+b-c=/(Q).显然当x>0时/(%)连续且严格

递增，故a+6-c的取值范围是｛/&,/(话匚)卜即(,—一1).

7.【答案】10

【解析】解：根据条件,可设圆心为P(r,r),则有(r一87+(丁-9产=解得丁=5或r=29.因

为P在下内，故r=5.

椭圆在点4(8,9)处的切线为播+*1,其法向量可取为记=(今觌

oo97

由条件，I也是圆0的切线，故元与福平行，而方=(3,4)，所以次=/.

又冒+m=1，解得a?=160,〃—135.从而厂的焦距为2，a?—炉=io.

8.【答案】392

【解析】解：如左下图重新标记原图中的八张卡片.现将每张卡片视为顶点，有公共边的两张卡片

所对应的顶点之间连一条边，得到一个八阶图，该图可视为右下图中的m+n+2阶图G(m,n)在

取卡片(顶点)的规则可解释为：

⑴若顶点P已取走，则以下每步取当前标号最小或最大的顶点，直至取完；

(〃)若顶点P未取走，则必为某个G(ni,n)(7n,n20)的情形，此时若m=0,则将P视为—1号顶点，

归结为心的情形;若zn=0,n=0,则将P视为1号顶点，归结为①的情形;若zn,n>1,则当前可

取P或一m号顶点或?i号顶点，分别归结为(。或G(?n-l,n)或G(m,n-1)的情形.

设G(m,7i)的符合要求的顶点选取次序数为f(m,n),本题所求即为f(3,3).

由(i)、(it)知f(m,0)=2m+i(mN0),/(0,n)=2n+1(n>0),且

f(m,n)=2m+n+f(m-l,n)+f(m,n-l)(m,n>1).

由此可依次计算得/(l,1)=12,f(1,2)=/(2,1)=28,/(1,3)=f(3,1)=60,

/(2,2)=72,/(2,3)=/(3,2)=164,『(3,3)=392,即所求数目为392.

9.【答案】解：设4al，乃），8（%2,丫2）•不妨设存=而=证，则PI智建，生手.

易知F（1,O）.由于点P位于线段OF上，故智建6[0,1],驾鱼=0.

可设为=3y2=-2t,则与=。，刀2=产.此时有驾1巡=（w[0,1]，且由4，B不重合知t#0,

432

所以《2e（0,2].

设QOQ，%），则XQ=f2-=尹,%=丫1；>2=T,有诳=g%Q.

注意到XQ=1t2G（o,|],故点Q的轨迹方程为y2=1x（0<x<I）.

【解析】略

10.【答案】解：设点4,Bi，G在平面a上的投影分别为D,E,F,则面481G,4BB14,ACC^,

在a上的投影面积分别为S^DEF，^ABED»^ACFD9^BCFE*

由已知及三棱柱的性质，ADEF为正三角形，且/BED,ACFD,BCFE均为平行四边形.

由对称性，仅需考虑点。位于484c内的情形（如图所示）.

显然此时有S^BEO+SACFD=^BCFE•

由于{S^DEF，SHBED，S<CFD，S^CFE}={2，3,3>/3,4A/3,5，3},故S^BED，S.CFD必为2—3，3，？的

排列，SBCFE=5AT3,进而SSEF=4C，得△DEF的边长为4,即正三棱柱。的各棱长均为4.

不妨设SABE。=2y/~~3iSACFD=3A/-3»则=V_3»^^ACD=

取射线40与线段BC的交点X,则%=率迪=之故3X=4

LX、XACD45

因此

-----------------------------------------A___

AX=VAB2+BX2-2AB-BX-cos60°=^<T9,

而禁=%嘤处/=宗故人八印.

AXS^ABC82

于是0的高九=7AAl-AD2=等.

又SXABC=4<3>故。的体积V=SA.BC•h=6「耳

【解析】略

11.【答案】解：iB/t=[-l,t],S=(a+c)(b+d).

假如t>2,则当a=b=t时，对任意c,de/t,均有S2(t-1)2>1,不满足要求.

假如则当a=-1，b=2—t时，对任意c,dG/c,均有—2Wa+c<t—1,1—t<

b+dW2.

若a+c,b+d同正或同负，则SW2(t—l)<l,其余情况下总有SWO<1,不满足要求.

以下考虑|<t<2的情形,为便于讨论，先指出如下引理.

引理：若u,uN；,且〃+贝如"21.

事实上，当'_训三|时，=(等产-(3)22()2_弓)2=J.

当|“一切>削寸，1W>2•(g+》=1.引理得证.

下证对任意a,belt,可取q,刈€/「使得

Si=(a+q)(b+由)>