2023-2024学年山东省枣庄市滕州市鲍沟中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023.2024学年山东省枣庄市滕州市鲍沟中学九年级（上）开学

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如果关于％的方程a/+匕％+©=0（aM0）中a—b+c=0,那么方程必有一个根是（）

A.1B.-1C.0D.2

2.若x=-2是一元二次方程/+ax+2=0的一个根，则此方程的另一个根是（）

A.x=1B.%=-1C.x=3D.x=-3

3.某商品原每件售价400元,经过连续两次降价后每件仍能获利56元,若每件商品进价为200

元，则平均每次降价的百分率为（）

A.10%B.20%C.25%D.60%

4.某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元.已知两次降价的百分率都是X,则x满

足的方程是（）

A.64（1-2%）=100B.100（1-%）2=64

C.64（1-X）2=100D.100（1-2x）=64

5.若关于x的方程（x—a/—4=b有实数根，则b的取值范围是（）

A.b>4B.b>—4C.b24D.b>—4

6.用配方法解一元二次方程——4x=5时，此方程可变形为（x+a）2=b的形式，贝必+b的

值为（）

A.3B.-1C.11D.7

7.如图，在四边形力BCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,

CD,的中点.要使四边形EFG”为矩形，可以添加的一个条件

是（）

A.四边形4BCD是矩形

B.AC.BD互相平分

C.AC=BD

D.AC1BD

8.已知一元二次方程/+kx-3=0有一个根为一1,则化的值为（）

A.2B.-2C.4D.-4

9.如图是一张矩形纸片ABC。,48=4cm,点E为边BC上一点，且EC=2,

连接4E,若将其沿4E对折，使得点B落在边上的点名处，则4D的长

为（）

A.5cm

B.6cm

C.7cm

D.8cm

10.如图，将边长为，3的正方形4BCD绕点B逆时针旋转30。得到正方形ABC'。',AD与CD'交

于点M,那么图中点M的坐标为（）

A.（V3,l）B.（1,C）C.（）,？）D.（三,「）

11.如图，菱形4BCC的顶点4,B分别在y轴正半轴，x轴正半轴

上，点C的横坐标为10，点。的纵坐标为8,若直线AC平行x轴，

则菱形4BCD的边长值为（）

A.9B.V-41C.6D.3

12.如图，菱形ABCD,点4、B、C、。均在坐标轴上.4ABe=120。，点4（-3,0）,点E是CD的

中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（）

A.3B.5c.2/7D.|C

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.关于x的一元二次方程（m-I,M+（2m+1）久+m2-1=0的一个根为0,则zn的值为

14.如果是方程2/—3%—6=。的两个根,那么+X2=；Xj-x2=

15.如图，一次函数y=-2x+3的图象交工轴于点4,交y轴于

点8,点P在射线84上（不与4、B重合），过点P分别作x轴和y轴

的垂线，垂足为C、。.当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为

16.如图，在RtA/lBC纸片中，44cB=90。，CD是4B边上的中A'

线，将AACD沿CD折叠，当点4落在点4处时,时好CA14B,若

BC=2,贝UC4'=.

17.如图，在矩形4BC0中，48=4,AD=6,点E为边BC上的动点，

连接4E,过点E作EF14E,且EF=4E,连接CF,则线段CF长度

的最小值为.

18.如图，^BOD=45°,BO=。。，点4在OB上，四边形ABCD是矩DC

形，连接4C,BD交于点E,连接OE交4。于点F.下列4个判断：①OE1/'W

BD；@AADB=30°;@DF=>/~2AF;④若点G是线段OF的中点，

则A4EG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是.(填序号)0乂B

三、解答题(本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本小题6.0分)

选取最恰当的方法解方程：

(l)(x-3)2=5(3-x)；

(2)3/-6x=48.

20.(本小题8.0分)

已知：如图，边长为a的正方形4BCD的对角线4C、BD交于点。，E、F分别为DC、"上的点，

且DE=CF.

(1)求证：EOJ.FO；

(2)M、N分别在OE、OF延长线上，OM=ON=a,求证：四边形MONG与正方形2BCD重合

部分的面积等于;。2.

21.(本小题8.0分)

今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、

五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件.

Q)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率.

(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，

经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利

4250元？

22.(本小题8.0分)

已知关于x的方程7n/+(2m—l)x+m—1-0(m*0).

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值.

23.(本小题8.0分)

如图，在菱形ABCD中，点M、N分别是边BC、DC上的点，BM=痴,DN=^DC

44

接2M、AN,延长4V交线段8c的延长线于点E.

(1)求证：XABM任ADN；

(2)若4。=4,求MC的长.

24.(本小题8.0分)

如图，在菱形4BC0中，AB=6,44=60。，点。是CD边的中点，点E是边BC上一动点(不与

点C重合)，延长E。交射线4。于点F,连接DF,CF.

(1)求证：四边形DECF是平行四边形；

(2)当BE=时，四边形DECF是矩形.

O

BEC

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：•；a-b+c=0,且当x=-l时，a-b+c=0,

••・*=-1是原方程的一个根.

故选：B.

根据题意知，当x=—1时，a-b+c=0,由此可以判定％=-1是原方程的一个根.

本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解，

就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.

2.【答案】B

【解析】解：设方程的另一个根为3

根据根与系数的关系得-2t=2,

解得t=-1,

即方程的另一个根是-1.

故选:B.

设方程的另一个根为t,利用根与系数的关系得-2t=2,然后解t的方程即可.

本题考查了根与系数的关系：若乙,乃是一元二次方程a/+bx+c=0(ar0)的两根时，xx+

b_c

X2=X1X2---

3.【答案】B

【解析】解：设平均每次降价的百分率为工,

根据题意得：400(1-x)2=200+56,

解得：%!=0.2=20%,x2=1.8(不符合题意，舍去)，

二平均每次降价的百分率为20%.

故选：B.

设平均每次降价的百分率为X,利用经过两次降价后的价格=原价X(1-平均每次降价的百分率产,

可列出关于X的一元二次方程，解之取其符合题意，即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：根据题意，得100(1—£)2=64,

故选:B.

根据某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元，列一元二次方程即可.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：•••(x-a)2-4=b,

•••(x-a)2=b+4,

•••方程(x-ay=b+4有实数根，

，/7+4N0,

bN-4,

故选：D.

利用解一元二次方程-直接开平方法，进行计算即可解答.

本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程-直接开平方法是解题的关

键.

6.【答案】D

2

【解析】解：Tx-4x=5,

•••x2—4x4-4=5+4,BP(x—2)2=9,

则a=-2,b=9,

a+b=—2+9=7,

故选：D.

两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，继而可得答案.

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解

法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解.

7.【答案】D

【解析】解：添加的条件为理由如下：

•：E、尸分别为AB,BC的中点，

•••EF是的中位线，

EF="C,EF//AC,

同理可得EH=；BD=FG,HG=^AC=EF.EH//BD,

.••四边形EFGH为平行四边形，

又；AC1BD,

•••EH1EF,

••・四边形EFGH为矩形，

故选：D.

根据E、F、G、H分别为AB、BC、CD、D4的中点，利用三角形中位线定理先证明EF=HG=

\AC.EH=FG=^BD,EF//AC,EH//BD,进而得到四边形EFGH为平行四边形，再由AC1BD可

得EHJ.EF,即可证明四边形EFGH为矩形.

本题主要考查三角形中位线定理、矩形的判定，解题的关键是熟知三角形的中位线定理：三角形

的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半.

8.【答案】B

【解析】解：把x=-1代入方程得1一k-3=0,

解得k=-2.

故选:B.

根据一元二次方程的解的定义，把％=-1代入方程得关于k的一次方程1-3-k=0,然后解一

次方程即可.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解.

9.【答案】B

【解析】解：由题意可知：乙4BiE=NB=90。，ABT=AB,

又：4BAD=90°,

.••四边形ABEBi是正方形，

・・.BE=AB=4cmf

:.BC=BE+EC=6(cm).

故选：B.

根据翻折的性质可得NB=乙4815=90。，AB=AB19所以四边形是正方形，再根据正方

形的性质可得5E=AB=4cmf然后根据BC=BE+EC即可得解.

本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABE/是正方形

是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：•••四边形ABCD是边长为，？的正方形，正方形4BCD绕点8逆时针旋转30。得到正方

形4‘BC'D',

AB=BC=V-3,/.BAM=乙BC'M=90°,

在Rt△ABM和Rt△C'BM中,

(BM=AM

lAB=C'B'

RtAABM^RtACBM(HL),

••zl=z2,

••・将边长为C的正方形4BCD绕点B逆时针旋转30。，

/.CBC=30°,

z.1=z.2=30°,

在中，AB==30°，

AB—y/~3AM—y/~3t

.-.AM=1,

•••点M的坐标为(1,，？),

故选：B.

由正方形和旋转的性质得出AB=BC'=q,^BAM=/.BCM=90°,证出RtAABM三RtA

C'BM(HL),得出41=42,求出Z,1=42=30。，在中，求出AM=1即可.

本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、直角三角

形的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

11.【答案】B

【解析】解：连接4C,8。交于M,

•••四边形4BCD是菱形，

AC1.BD,AM=^AC,BM=^BD,

•••AC平行x轴，AO1OB,

•••BD1OB,

・・•点C的横坐标为10,点。的纵坐标为8,

AC=10,BD=8,

：.AM=^x10=5,BM=gx8=4,

•••AB=VAM2+BM2>J52+42=V^T.

.•.菱形ABC。的边长值为d.

故选：B.

由菱形的性质得到4C1BD,AM=^AC,BM=：BD,由点C的横坐标为10,点。的纵坐标为8,

得到AM=5,BM=4,由勾股定理即可求出4B的长.

本题考查菱形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，关键是掌握菱形的性质，勾股定理.

12.【答案】A

【解析】解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E',连接DE'交4c与点P,此时P。+PE

有最小值为

•••四边形4BCD是菱形，^ABC=120°,点4(-3,0),

OA=OC=3,Z.DBC=60°,

BCD是等边三角形，

DE'=。。=3,

即PD+PE的最小值是3,

故选：A.

根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E',连接DE'交4c与点P,此时PD+PE有最小值,

求出此时的最小值即可.

本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键.

13.【答案】-1

【解析】解：把x=0代入方程得：m2-l=0,m-1^0,

解得：m=-1.

故答案为：-1.

把x=0代入方程得到僧2-1=0,m-1*0,求出即可.

本题主要考查对一元二次方程的解，一元二次方程的定义的理解和掌握,能根据已知得出血2一1=

0和加一1是解此题的关键.

14.【答案】|；-3

【解析】解：根据题意得X]+g=-三=会xi,x2="y=-3-

故答案为3.

直接根据根与系数的关系求解.

本题考查了一元二次方程a-+故+c=0(aM0)的根与系数的关系：xr,x?是一元二次方程

ax2+bx+c=0(a*0)的两根时，/=«­

15.【答案】(1,1)或G,2)或占F，咨马

【解析】解：设点P横坐标为a,点P在一次函数y=—2%+3的图象上，

•••当P在》轴上方时，

•••点P的纵坐标为—2Q+3,

•.・矩形OCPD的面积为1,

a(-2.0,+3)—1,

解得：%=1,a2=p

当Q=1时，—2a+3=L

当a=g时，一2。+3=2,

・••点P的坐标为(1,1)或台,2),p\p

•・,当P在%轴下方时，

・••点P的纵坐标为一2a+3,oC—~\>x

・,•矩形。CPD的面积为1,'

・••a(2a-3)=1,

解得：的=上了(不合题意舍去)，。2=再卫，

当a=时，—2a+3=^^,

；•点P的坐标为(组工，匕?马.

4L

故答案为：(1,1)或4,2)或(三/,土尹).

乙4L

设点P横坐标为a,则点P的纵坐标为-2a+3,然后再利用矩形OCPD的面积为1列出方程，计算

出a的值，进而可得答案.

此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是利用函数解析式正确表示出P点坐标.

16.［答案］2V-3

【解析】解：设C4交4B于。，如图：

v/.ACB=90°,CD是4B边上的中线，

•••CD=AD=DB,

Z.A=Z.ACD,

由翻折的性质可知乙4CD=N4'CD,AC=CA',

■•Z.A=Z.ACD=/.A'CD,

A'CLAB,

^AOC=90°,

乙A'CD+AACD+NA=90°,

•••乙4=^ACD="'CD=30°,

在RMABC中，tanA=

/Ic

2

・•・tan300=—,

ZiC

AC=2V-3,

/.CA'=

故答案为：2，？.

由乙4cB=90°,CD是ZB边上的中线，可得NA=^ACD,由翻折的性质可知乙4CD=乙4'CD,AC=

CA',故NA=4ACZ)=4&CD,而ACJ.AB,即得NA=NACD=々ACC=30。，在中，

tan30°=可解得AC,从而可得答案.

本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练掌握含30。角的直角三角

形三边的关系.

17.【答案】y/~2

【解析】解：如图：在BA取一点T使得BT=BE,连接E7,在EC上取一点K,使得

Z.FKC=45°,连接FK

v/-B=90°,BT=BE

・•・Z-BTE=乙BET=45°,

・・・Z.ATE=乙EKF=135°,

•・•Z.BAE+Z.AEB=90°,乙AEB+乙FEK=90°,

・•・Z.TAE=(EFK,

vAE=EF,

•^ATE^^EKF^AAS^

・・・AT=EK,

•・•矩形4BCD中，4B=4,AD=6

CD=AB=4,BC=AD=6

•・•BT=BE,

・・.AB=BK=4,

:・CK=BC-BK=2,

点F在射线KF上运动，当CFJ.KF时，C尸的值最小，最小值为sin45。•CK=?x2=

故答案为：＞/~2.

如图：在B4取一点7使得87=BE,连接E7,在EC上取一点K,使得NFKC=45。，连接FK,利

用全等三角形的性质证明BK=4B=4,由矩形的性可得CD=AB=4,BC=AD=6,进而推出

点?在射线KF上运动，当CF1KF时CF值最小.

本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助

线、构造全等三角形并确定是解答本题的关键.

18.【答案】①③④

【解析】解：①•.•四边形力BCD是矩形，

・•・EB=ED,

vBO=DO,

•••OELBD,故①正确；

②•••乙BOD=45°,BO=DO,

：./.ABD=1(1800-45°)=67.5°,

•••/.ADB=90°-27.50=22.5°,故②错误;

③■■■OE1BD,

乙BOE+乙OBE=90°,

・•・乙BOE=乙BDA,

•・•Z.BOD=45°,WAD=Z.DAB=90°,

AZ.ADO=45°,

・••AO—ADf

・•・△/OF三△ADBG4s4),

・••AF=AB,

：.BF=—AF,

vBE=DE,OE1BD,

OE是BE的垂直平分线，DF=BF,

DF=CAF,故③正确；

④根据题意作出图形，如图2,

D

图2

•・・G是OF的中点，^OAF=90°,

:.AG=OG,

:.Z.AOG=Z.OAG,

vZ.AOD=45°,OE平分N400,

・・・^AOG=Z.OAG=22.5°,

・・・/.FAG=67.5°,

•••四边形4BCD是矩形，

AEA=ED,

・・・Z.EAD=£,EDA=22.5°,

・•・Z.EAG=90°,

•・・Z.AGE=Z-AOG+Z-OAG=45°,

・・・Z,AEG=45°,

・•・AE-AG,

.•.△4EG为等腰直角三角形，故④正确；

••・判断正确的是①③④.

故答案为：①③④.

由矩形得EB=ED,再由等腰三角形的三线合一性质可判断①的正误；根据矩形的性质可得

/LADB=22.5°,便可判断②的正误；证明AZOF三△ADB,得=连接BF,由线段的垂直

平分线得BF=OF,进而便可判断③的正误；由直角三角形斜边上的中线定理得4G=OG,进而

求得N4GE=45°,由矩形性质得ED=EA,进而得NEAO=22.5°,再得ZE4G=90°,便可判断④

的正误.

本题属于四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形，全等

三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，关键是熟记这些图形的性质.

19.【答案】解：(1)-3)2=5(3-乃，

(%—3)2+5(x-3)=0,

则(％-3)(x+2)=0,

A%—3=0或久+2=0,

解得无i=3,x2--2；

(2)v3x2-6%=48,

:.x2—2x—24=0,

・•・(x+4)(%-6)=0,

则％4-4=0或％—6=0,

解得%i=-4,x2=6.

【解析】(1)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于工的一元一次

方程，再进一步求解即可；

(2)先整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次

方程，再进一步求解即可.

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公

式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

20.【答案】⑴证明：・・・四边形48CD为正方形，

DO=OC,Z-ODE=Z.OCF=45°,Z.COD=90°,

・・•DE=CF,

：・ADOEWACOF(SAS),

・•・乙DOE=Z.COF,

•・・Z.DOE+ZEOC=90°,

・・.Z,COF+Z.EOC=90°,

即EOJ.FO；

(2)・・•△DOE^LCOF,

S^DOE=S^COF»

・・・四边形MONG与正方形A8CD重合部分的面积等于

119

S〉OEC+S^ocF=S^OEC+S^OOE=^AODC=四边形人口。。=・

【解析】(1)由四边形4BC0为正方形得到。。=OC,Z,ODE=LOCF=45°,LCOD=90。,又由

DE=CF,即可证明^DOE=ACOF(SAS),则4DOE=乙COF,由4DOE+乙EOC=90。得至lj4cOF+

^EOC=90°,即可得到结论；

(2)由4DOE=L。。尸得至IJS^DOE=S〉COF，根据S^OEC+S^OCF=四边形ABCD即可得到四边形

MONG与正方形4BC，重合部分的面积.

此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关

键.

21.【答案】(1)解：设平均增长率为x,由题意得：256X(1+X)2=400,

解得：兀=0.25或％=-2.25(舍)；

••・四、五这两个月的月平均增长百分率为25%；

(2)解：设降价y元，由题意得：(40-y-25)(400+5y)=4250,

整理得：y2+65y-350=0,

解得：丁=5或丫=一70(舍)；

•••当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元.

【解析】(1)利用平均增长率的等量关系：a(l+x)2=b,列式计算即可；

(2)利用总利润=单件利润x销售数量，列方程求解即可.

本题考查一元二次方程的实际应用.根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键.

22.【答案】(1)证明：•••m*0,

.••方程为一元二次方程，

(2m—I)2-4m(m-1)=1>0,

此方程总有两个不相等的实数根；

⑵..丫_一所1)±1

.1"

**•%!=-1,X2=——1,

•.•方程的两个实数根都是整数，且m是整数,

:,m=1或m=-1.

【解析】(1)由于m*0,则计算判别式的值得到^=1,从而可判断方程总有两个不相等的实数根;

(2)先利用求根公式得到Xi=-1,x2=^-l,然后利用有理数的整除性确定整数m的值.

2

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c=0(a^0)的根与A=b-4ac有如下关系:

当A>0时，方程有两个不相等的实数根；