2023-2024学年江西省高二年级上册期中小练卷数学模拟试题2（含答案）

2023-2024学年江西省高二上册期中小练卷数学模拟试题

一、单选题

1.复数Z=+3(i为虚数单位)的共输复数五=()

3-11-1

A.1-iB.1+iC.l+2iD.l-2i

【正确答案】D

【分析】直接根据复数的除法运算可得解.

【详解】依题意得z=字•+“2d：)=1+2i,所以三=j2i.

3-1(l-i)(l+i)

故选：D.

2.复数4在复平面内对应的点为(1,3),Z2=-2+i(i为虚数单位)，则复数生的虚部为().

z?

777.7.

A.-B.—C.—iD.—i

5555

【正确答案】B

根据题意，先得到4=l+3i,再由复数的除法运算求出五，即可得出其虚部.

【详解】因为复数4在复平面内对应的点为(1,3),所以z=l+3i,

又Zz=-2+i,

所以五=二=(1+3。(-2-，)=_2+,+6>3__乂=」_匕

z2-2+i(-2+z)(-2-z)4+1555，

7

因此其虚部为

故选：B.

本题主要考查求复数的虚部，考查复数的除法运算，涉及复数的几何意义，属于基础题型.

3.已知4-2,0),8(4,4)两点到直线/:3》-分+1=0的距离相等，贝lja=()

9

29

A.B.2-C.2或-8D.2或;

【正确答案】D

【分析】分A(-2,0),8(4,“)在/:3x-4y+1=0的同侧和异侧分类讨论求解.

【详解】(1)若4—2,0),8(4,。)在/:3万一4)，+1=0的同侧，

,,3,a39

则nil砥B=&=1，所CC1以>2=彳，«=

4O42

(2)若A(-2,0),3(4,a)在/:3x-4y+l=0的异侧,

贝ijA(-2,0),8(4,a)的中点(1,葭)在直线/:3x-4y+1=0上，

所以4—2。=0解得。=2,

故选:D.

4.已知圆(x-l)2+(y-2)2=2022关于直线ar+外一1=0(">0)对称，则,+上的最小值为

ab

()

A.3+2应B.3-2&C.6D.9

【正确答案】A

【分析】由题意可得直线过圆心，从而可得。力的关系式，再根据不等式中“1”的整体代换即

可得出答案.

【详解】解：由圆的方程知：圆心(1,2),

•.•由题意，直线"+勿-1=0(刈乂))过圆的圆心，

/.a+2b-\(ab>0),易知：0<a<l,0<Z><—,

2

>

=(a+26)fl+ll=3+-+—>3+2.1--—=3+2^,

ab\ab)ba\ba

当且仅当:="，即"=0-1€(0,1)力="正€(0一)时取等号，

ba22

.,.-+7的最小值为3+2&-

ab

故选：A.

5.设尸是椭圆|^+三=1上一点，M、N分别是两圆：(X+4?+V=1和(x-4)2+y2=1上

的点，则归叫+|尸川的最小值和最大值分别为()

A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12

【正确答案】C

先依题意判断椭圆焦点与圆心重合，再利用椭圆定义以及圆的性质得到最大值和最小值即

可.

【详解】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为A(Y,。),8(4,0),恰好是椭圆的两

个焦点,由椭圆定义知|酬+|阳=2。=10,

连接MP8分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最小，最小值为归A|+|阳-2R=8；

连接以，PB并延长，分别与圆相交于M,N两点,此时|PM|+|PN|最大，最大值为

附+阀+2R=12.

故选：C.

本题考查了椭圆的定义，考查了圆外的点到圆上的点的距离最值问题，属于中档题.

6.(2017新课标全国卷I文科)设A,B是椭圆C：《+£=1长轴的两个端点，若C上存

3m

在点M满足/AM8=120。，则m的取值范围是

A.(0,11[9,+8)B.(0,x/3][9,+oo)

C.(0,1]I4,4^o)D.(0,百]I[4,+oo)

【正确答案】A

【详解】当0VzM＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足NAMB=120,则

—>tan60=A/3即~Y=26，得0<〃?41;当机＞3时，焦点在＞轴上，要使c上

b

则…S即等5得…，故〃，的取

存在点"满足ZAMB=120,

值范围为(0,l]U[9,e),选A.

点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题.解答问题的关

键是利用条件确定的关系，求解时充分借助题设条件ZAMB=120转化为

60=6,这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中

的焦点位置进行逐一讨论.

7.设"，死是双曲线当卡=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3闸=5附|,则

△P4用的面积等于()

A.24B.155/2C.12&D.30

【正确答案】A

【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得写的三边长，进而求得心的面积

【详解】由3附=5附可得闸=引用

丫2“27

又尸是是双曲线宁-三■=1上的一点，则|尸耳|-上均=§上用=4,

则|尸61=6,归4|=10,又由闾=8

则|「鸟"IE闾2=|尸制之,则「心，丹心

则△Pf；g的面积等于;山周.但周=gx6x8=24

故选：A

8.设耳（-2,0）,玛（2,0）,“（不力满足|孙卜|峭|=2,且x?+y2=4,则玛”的面

积为（）

39

A.3B.-C.9D.-

22

【正确答案】A

【分析】依题意可得N耳知入=90。，再利用勾股定理得到|吗『+|叫『=16,将

|M用-|Mg|=2两边平方，即可得到IMIJM用，最后根据面积公式计算可得；

【详解】解：依题意N相隼=90。，阳闾=4,

所以|M用2+阿玛「=忻名「=16,

又（|M用一眼用）2=4,BP|M/<|2+|M^|2-2|M/<|-|M^|=4,

所以|用/讣|叫卜6,

所以以匕虫=；|“耳卜|屿|=3；

故选：A

二、多选题

9.若复数z满足z（l—2i）=10,则（）

A.z=2-4/

B.z-2是纯虚数

C.复数z在复平面内对应的点在第三象限

D.若复数z在复平面内对应的点在角a的终边上，则sina=f

【正确答案】AB

,、1010(1+2/)

【分析】先由z1-2i=10得z=7==八'=2+4/,然后逐项分析判断即可得答

l-2z(l-2z)(l+2z)

案

,、1010(1+2/)

【详解】由题意，复数z满足zl-2i=10,可得复数z=r=7i，八七=2+4"所

1-2/(1-2/)(1+2/)

以z=2-4i,故选项A正确;

z-2=4，是纯虚数，故选项8正确；

复数z在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限，故选项C错误;

因为z=2+4f在复平面内对应的(2,4)在角a的终边上，所以sina==~故选项。

错误,

故选：AB.

10.已知圆（x-l）2+（y_l）2=4与直线x+/ny_/n_2=0,则（）

A.直线与圆必相交B.直线与圆不一定相交

C.直线与圆相交所截的最短弦长为2石D.直线与圆可以相切

【正确答案】AC

【分析】求出直线经过的定点A,根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系,

结合几何知识可知当直线与过定点A和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案.

【详解】由题意，圆(x-l)2+(y-l)2=4的圆心C(L1),半径r=2,

直线2=。变形得x—2+/n(y—1)=0,得直线过定点A(2,l),

22

V|CA|=>/(2-1)+(1-1)=1<2,

，直线与圆必相交，故A对，B、D错;

由平面几何知识可知，当直线与过定点A和圆心的直线垂直时，弦长有最小值,

此时弦长为262一=2百，故C对;

故选：AC.

22

11.已知双曲线C:——r+二v一=1(0<%<1),则()

9-kk-\

A.双曲线C的焦点在x轴上

B.双曲线C的焦距等于4&

c.双曲线c的焦点到其渐近线的距离等于7n

双曲线C的离心率的取值范围为",平)

D.

【正确答案】ACD

【分析】根据双曲线的简单几何性质，对各选项逐一分析即可得答案.

【详解】解：对A：因为0<大<1,所以9-Z>(),

22

所以双曲线C:」----匚=1(0<%<1)表示焦点在工轴上的双曲线，故选项人正确；

9一k\-k

对B：由A知a"=9—厅=1—A,所以c?=储+0?=]0—2北，所以c=J10—2Z,

所以双曲线C的焦距等于2c=2710^21(0<1),故选项B错误;

22

对C：设焦点在X轴上的双曲线C的方程为土方=1(“>0/>0),焦点坐标为(土c,o),则

渐近线方程为y=±2》，即加士ay=0,

a

所以焦点到渐近线的距离d==b,

所以双曲线c：3——匕=KO<忆<1)的焦点到其渐近线的距离等于^/n,故选项c正

9一%\-k

确；

Q1n

因为。<%<1,所以1<2，故选项D正确.

故选：ACD.

12.在长方体ABC。-44GA中，|/叫=|A0|=1，|M|=2,动点尸在体对角线上（含

端点），则下列结论正确的有（）

A.当P为中点时，NAPC为锐角

B.存在点P,使得8R_L平面APC

c.|M+|pq的最小值26

D.顶点8到平面4PC的最大距离为克

2

【正确答案】ABD

【分析】如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，设=当尸为8。中

PA-PC

点时,根据cos/APC=可同判断cosZAPC得符号即可判断A；当平面APC,则

BDJARBDJCP,则有［求出几，即可判断B；当8。，AP,8A，CP时,

I0

|AP|+|PC|取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点8到平面APC的距离，分析

即可判断D.

【详解】解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

^BP=ABDI（O<A<1）,

则A（l,0,0）,3（1,1,0）,C（0,1,0）,。（0,0,2）,

则BD、=（-1,-1,2）,故而=4BR=（-2,-A,2A）,

则AP=AB+BP=(0,1,0)+(-A,-2,2A)=(-2,1-A,22),

CP=CB+BP=(1,0,0)+(-2,-2,2A)=(1-2,-2,2A),

对于A,当P为中点时,

则AP=CP=

-

则抬=Q，-；，-Tpc=4*?-1

所以cosZAPC=可因=卜。,

所以/"C为锐角，故A正确;

当BQJ平面APC,

因为AP,CPu平面APC,所以3。J_AP,BDt1CP,

BD.AP=A+A-1+4A=0I

则1,解得;1=一,

8DtCP=A-\+A+4A=06

故存在点户，使得BQ，平面APC,故B正确;

对于C,当时，|A"+|PC|取得最小值,

由B得，此时2=，,

6

1515

则"=-,,)CP=

663,1663

所以网=|CP卜粤，

即HH+|PC|的最小值为普，故c错误;

对于D,AB=(0,l,0),AC(-l』,0),

设平面APC的法向量〃=(x,y,z),

〃AC=-x+y=0

则有，

n-AP=-2x+(l-2)+22z=0,

可取“(2/1,2424-1),

ABn\

则点B到平面APC的距离为网底(4民〃

|«|712/12-42+1，

当；1=0时，点B到平面4PC的距离为0,

当0<241时，

-42+1

当且仅当兀=；时，取等号，

所以点8到平面APC的最大距离为正，故D正确.

X

三、填空题

13.设i是虚数单位，若复数2-1二（〃€/?）是纯虚数，则。=________.

2-1

【正确答案】5

根据分母实数化，化简原复数，然后根据复数是纯虚数，得到复数的实部为零虚部不为零,

由此求解出。的值.

【详解】；2一旦=2-“（2+0=2-生，

lU'"J2-i（2-/）（2+/）55

又：复数2一六（i）是纯虚数,

2——=0,J3.——0,a=5.

故答案为.5

14.写出与圆/+丁=1和(彳-3)2+(>-4)2=16都相切的一条直线的方程

【正确答案】一93+5=或>>=7口_=25或尸_1

442424

【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.

【详解】［方法一］:

显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为x+加+c=0,

于是不手二］，"7^=4

故=］+/①，13+4"阴4cl.于是3+的+c=4r或3+4Z>+c=-4c,

24

b=----b=-

再结合①解得L[/?=0产7r3

255，

C一——___c—/"»—-._

73

所以直线方程有三条，分别为x+l=0,7x-24y-25=0,3x+4y-5=().

(填一条即可)

［方法二］:

设圆/+/=1的圆心0(0.0),半径为4=1,

圆(x-3>+(y-4)2=16的圆心C(3,4),半径弓=4,

则|OC|=5=4+4，因此两圆外切，

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然x+l=0符合题意;

又由方程(x-3)2+(y-4)2=16和Y+/=1相减可得方程3x+4y—5=0,

即为过两圆公共切点的切线方程，

又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x-3y=0,

4

直线OC与直线x+l=0的交点为

设过该点的直线为y+：=&(x+D,则卜4―,解得k=三，

3行」24

从而该切线的方程为勿-24)，-25=0.(填一条即可)

［方法三］:

圆/+>2=［的圆心为0(0,0),半径为1,

圆(x—3)-+(y—4厂=16的圆心。］为(3,4),半径为4，

两圆圆心'总叵为J32+4?=5，等于两圆半径之和，故两圆外切,

如图，

433

当切线为/时，因为&四=§,所以勺=-^，设方程为丁=一11+'">°)

I-=1535

。到/的距离d=~「丁，解得r=：,所以/的方程为y=-尸+=,

口+而444

当切线为加时，设直线方程为丘+y+p=o,其中P>O,%<o,

4=17

2k=-一725

y/l+k24

y一X

=一

由题意1解得，2-4-

25一

伙+4+p\_24

4P=24

y/\+k2

当切线为〃时，易知切线方程为k-1,

故y3仙5或y7“一五25或L|.

2

15.直线，〃与椭圆千+^=1交于P/,P2两点，线段户上2的中点为尸，设直线，"的斜率为

%/（&/#））,直线OP的斜率为左2,则大永2的值为.

【正确答案】-J

利用点差法可求解.

【详解】设4（方S），£（%,当），中点，（々，几），

V

+y2

2=1

=1

则满足＜2两式相减得（…叶…）+（%一%）（y+%）=o，

V+y2

2

整理得;1sA即;•比=0,即4+匕/,=0,

2xi—x2x{+x22x1-x2x02'

j.k^=---.

故答案为「!

2

思路点睛：本题考查中点弦斜率问题，一般采用点差法建立关系，即先设两交点坐标，代入

曲线方程，两式相减利用平方差公式化简，即可得出直线斜率与中点关系.

16.已知片，尸2分别是双曲线C：3-鼻=1的左右焦点，双曲线C的右支上一点。满足

a'b'

|OQ|=|O制，O为坐标原点，直线匕。与该双曲线的左支交于P点，且「0=2片尸，则双曲

线C的渐近线方程为.

【正确答案】y=±2x

【分析】设|。用=加，由题可知|PQ|=??，归用=/〃.再根据双曲线定义求出|。段，|空|,

然后在Rt△耳。尸2和Rtj。鸟中利用勾股定理有|°耳『+血用2=山闾2,

用2=1尸用2,即可化简得出b=2a,从而得解.

o1

设|Q£|=m,则|尸。|=(桃，|W|=g*由双曲线的定义知，|。耳|一|。闾=24，

\PF2\-\PF]\^2a,：.\QF2\=m-2a,\PF^m+2a.又|0。|=|0耳|=g忻吊|,

.♦•4凿=90。.在Rt△耳Q6中，有|。月『+|0段2=恒桂，...1+("L2ay=4c2①.在

RtPQ玛中,有|PQ「+|°R「=|尸/叶，二+(m-2a)2=(gm+2a)②，由②化简可得

m=4a,将其代入①中，得20a2=4/=4(/+叫，即Z?=2a,

：•双曲线的渐近线方程为y=±?x=±2x.

a

故y=±2x.

四、解答题

17.已知圆C的圆心在直线y=gx上，且过圆C上一点"(1,3)的切线方程为y=3尤.

(I)求圆C的方程；

(H)设过点M的直线/与圆交于另一点N,以MN为直径的圆过原点，求直线/的方程.

【正确答案】(I)(x-4)2+(y-2)2=10(II)y=-2x+5

【分析】(I)由题意，过M点的直径所在直线方程为y-3=-g(x-l)，再联立

y-3=--(x-1)

「।求得圆心坐标为(4,2),再求得半径即得圆的方程.(H)先求得直线ON方

1

y——x

程为y=一$

，由，-3可得N点坐标为(3,-1),再利用两点式写出直线

(X-4)2+(^-2)2=10

1的方程.

【详解】(I)由题意，过M点的直径所在直线方程为y-3=-；(x-l)

y-3=-*-i)r=4

-；解得v=2'•••圆心坐标为(4,2)

y=—x

I2

半径,=（4-1）2+（2—3）2=10

.•.圆C的方程为(x-4)，+(y-2)2=10

(II):以MN为直径的圆过原点，LON

乂MM=3kON=——

,直线ON方程为y=—

,1

y=——x

由3,可得N点坐标为(3,T)

(X-4)2+(^-2)2=10

，直线MN方程为52■=:二

3+11-3

即直线/的方程为y=-2x+5

本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识

的掌握水平和分析推理计算能力.

22

18.已知椭圆C：二+与=1的左、右焦点分别为B,F,且点B到椭圆C上任意

ab2

一点的最大距离为3,椭圆C的离心率为

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在斜率为一1的直线/与以线段B七为直径的圆相交于A,B两点，与椭圆相交

于C,D,且禺=串，若存在，求出直线/的方程：若不存在，说明理由.

【正确答案】⑴二+《=1⑵存在，y=-x土走

433

【分析】(1)根据题意，设E，K的坐标分别为(-GO),(c，0),由椭圆的几何性质可得

a+c=3

•Cl,解可得。、C的值，计算可得6的值，将其代入椭圆的方程即可得答案；

­=一

a2

(2)假设存在斜率为T的直线/,设其方程为丁=一1+机，与椭圆的方程联立，结合根与系

数的关系分析，用机表示陶=苧，计算可得加的值，分析可得结论.

【详解】(1)根据题意，设A,尸2的坐标分别为(-C.0),(C,0),

a+c=3

根据椭圆的几何性质可得C1,

一=一

42

解得。=2,。=1,则/=〃2一/=3,

故椭圆C的方程为£+*=1.

43

(2)假设存在斜率为T的直线/,那么可设为y=-x+m,

则由(1)知K，&的坐标分别为(-1,0),(1,0),可得以线段片行为直径的圆为丁+丁=1,

圆心(0,0)到直线/的距离"=号<1,得|间<0,

|AB|=2yJ\-d2=2,1-与二夜x,2-济,

22

—厂+—y=1

联立,43得7X2—8加+4>-12=0,

y=—x+m

设C(x，y),D(X2,%)，

则△=(8m)2-4x7(4/-12)=336-48m2=48(7-/)>0,

2r4/7z2-12

得tn<7,%+/=,XjX2=----------------------,

卬=何…|=必传匚而科=&X秒湃L半="即券,反目?

解得机2=1<2,得根=土也.

33

即存在符合条件的直线/:y=-x土#.

本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，考查了运算能力，属于中档题.

19.如图，在四棱锥P—ABCQ中，底面ABC。是4长为的正方形，侧面孙。，底面ABC。,

M为％的中点，B4=PD=Vi0.

(1)求证：PC〃平面BMD；

(2)求二面角"一8£＞一尸的大小.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)30

【分析】⑴连接AC交3£＞于M连接MN.由三角形中位线知MN〃PC即得证；

(2)取AO的中点O,连接OP,ON.说明OP、OD、ON两两相互垂直，则分别以。4ON、

OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。-町z利用向量法即可求出二面角的

大小.

【详解】(1)连接AC交8。于N,连接MN.

在正方形ABC。中，ACcBD=N,

.♦.N是AC的中点.

又M是4P的中点，

...MN是△APC的中位线，MN//PC,

二PC〃平面BMD,

(2)取40的中点O,连接OP,ON.

在，.皿>中，PA=PD,。是AO的中点,

，OP1AD,

又平面幺£>_L平面4BCD,OPu平面以。，平面必£>c平面ABC。=AD,

QP_L平面ABCD

在正方形4BCO中，O,N分别是A。、8。的中点，

二ONLAD,

：.0P,OD,ON两两相互垂直，分别以。。，ON,OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如

图所示的空间直角坐标系。-孙z.

P(0,0,布)，。(2,0,0),B(-2,4,0),A/(-1,0,—)>

2

ADM=(-3,0,^).DP=(-2,0,76),£>B=(-4,4,0).

设平面MBD的一个法向量“=(x,y,z),

一3x+多=0,

则

一4x+4y=0,

取x=l,得“=（1,1,庭），

4=（1,1,遥）是平面MB。的一个法向量：

同理，%=（"6血）是平面PBQ的一个法向量，

/\ixG+ixG+#x&6

"''|，M同J-+F+（府X5（6）2+（6）2+诋22

设二面角M-3£>-P的大小为（9,

由图可知，COS0—COS<Yly>〃2>=^^，且。为锐角，

・・・6=30。，

故二面角M—的大小是30。.

22__

20.在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线6言-卓=1（。>0,〃>0）过点（△⑹

（1）求双曲线的方程；

（2）已知点4（61）,斜率为女的直线/与双曲线交于RQ两点（不同于点A）,且

kAP+kAQ=^>求证直线/过定点•

【正确答案】（l）/-y2=l

（2）证明见解析

【分析】（1）由题意。多，代入点求解即可;

（2）设/:y=H+m,联立直线和双曲线，用坐标表示+原。=血，结合韦达定理，可得

m=-&&+1或〃/=1,分析即得解.

【详解】（1）由等轴双曲线知。

又过点（6,后），所以号窄•=1,

2

解之得。=6=1,

所以双曲线的方程为/-/=1

(2)Vil:y=kx+m,^(^,^)，2(^2,)?2),

,器；得（"）F2协一31=0,

联立

当1一二*0$>0时，x+羽二义二,中,二一”「二1,

\-k2\-k'

又因为勤+的广技即力》+隹3=&，

kx,+m-\kx^+m-\rr

即=r+Rr=©

（2%―挺）玉入2_（0%—机一1）（石+x2）-2\f2m=0

化简得力+（扬：-2）〃?-扬:+1=0解得根=_及4+1或加=1,

当机=-0女+1,直线方程为y=履-&Z+1=%（%-上）+1,过定点（四』）,与重合，不

成立，舍去;

当，"=1,直线方程为＞=丘+1,恒过点（0,1）.

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21.已知椭圆E:\+方=1（。＞人＞0）,耳、6为其左右焦点，牛区为其上下顶点，四边形

《用用2的面积为2.点尸为椭圆E上任意一点，以尸为圆心的圆（记为圆P）总经过坐标原

点。.

（I）求椭圆E的长轴44的最小值，并确定此时椭圆E的方程；

（2）对于（1）中确定的椭圆E,若给定圆耳：（x+l『+y2=3,则圆尸和圆K的公共弦MN

的长是否为定值？如果是，求|用明的值；如果不是，请说明理由.

【正确答案】（1）长轴A4的最小值为20，此时椭圆£的方程为与+尸=1;（2）2.

【分析】（1）利用四边形”46当的面积求得2历=2,利用基本不等式求得A4的最小值,

同时求得椭圆的方程.（2）设出户点坐标，代入椭圆方程，得到尸点两个坐标的关系式.求得

圆尸的方程和圆K的方程，两者作差求得公共弦所在直线方程，求得圆心到公共弦的距离，

由此求得弦长|同为定值.

【详解】解:⑴依题意四边形耳与入々的面积为2历,，2反=2,

因为长轴A&=2a=27^7/220元=2五，当且仅当b=c=1时取“=”

此时a=y/l,

故长轴A4的最小值为2立，此时椭圆E的方程为y+/=l.

（2）设点产5,为）为椭圆E上任意一点，则亨+为2=1=靖=1号.

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圆P的方程为：（工一与