湖北省宜荆荆随2023-2024学年高二年级上册10月联考数学试卷（含解析）

2023年宜荆荆随高二10月联考高二数学试卷

考试时间：2023年10月9日下午15：00-17：00试卷满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z=2+i,其中i是虚数单位，则z的虚部为（）

答案：D

解析：复数z=2+i，则三=2-i，所以）的虚部为T.

故选：D

2.已知空间向量。=（0,1,2）,力=（—1,2,2）,则向量々在向量人上的投影向量是（）

A-B（-t-3-3）C.（-2,44）D.[4,t-t）

答案：B

解析：由已知可得，a心=6，恸=3,

a-bh2.（244、

所以，向量a在向量b上的投影向量是而,闻=§。=[-5,5,51

故选：B.

3.抛郑两枚质地均匀的硬币，设事件A="第一枚硬币反面向上“，事件3="第二枚硬币正面向上”，下列

结论中正确的是（）

A.A与8为互斥事件B.P（A）=P（8）=；

C.A与B为相互独立事件D.A与8互为对立事件

答案：C

解析：由相互独立事件的定义知，A与B为相互独立事件，C正确；

事件A,8可以同时发生，则A与8不是互斥事件，也不是对立事件，A错误；D错误；

P（4）=P（B）=；,B错误.

故选：c.

4.直线/：土+上=1过点4（2,3）,则直线/与X、y正半轴围成的三角形的面积最小值为（）

mn

A.6B.12C.18D.24

答案：B

23

解析：因为直线/：2+»=1过点4(2,3),所以—+巳=1,

mnmn

令x=0,可得y=〃，即直线/与y轴交于点（0,〃），

令y=o,可得x=“，即直线/与x轴交于点（加,0）,

依题意可得加>0、〃>0,所以±+2=122、仔？，则利后24,当且仅当一二二，

mn\mnmn

即〃2=4、〃=6时取等号，

所以直线/与X、y正半轴围成的三角形的面积S=L〃2〃N12,当且仅当〃2=4、〃=6时取等号，

2

即直线/与X、y正半轴围成的三角形的面积最小值为12.故选：B

5.贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收

藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，

中间的几何体n是棱台，下面的几何体in也是棱台，几何体in的下底面与几何体I的底面是全等的六边形,

几何体in的上底面面积是下底面面积的9倍，若几何体I、n、in的高之比分别为3：3：5,则几何体I、

n、in的体积之比为（）

A.3:9:25B.9:21:35C.3:39:65D.9:39:65

答案：D

解析：设上面的六棱柱的底面面积为S,高为3根，由上到下的三个几何体体积分别记为匕,匕,匕,

则V,=3ms,

%=§(S+9S+>/9s2)x3m=13mS,

匕=g(S+9S+5^F)x5，〃=F，〃S,

AS

所以乂：匕：匕=3/〃S:13，〃S：W，〃S=9:39:65.

7

6.一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,4,x,7,8,若该组数据的第60百分位数是众数的一倍，则该组

4

数据的方差是（）

363738

A.5B.—C.—D.—

777

答案：B

解析：由题意该组数据共7个数，7x0.6=42,故第60百分位数为从小到大第5个数x,又众数为4,故

“7r

x=4x—=7,

4

故该组数据的平均数为；*（1+4+4+4+7+7+8）=5,

故该组数据的方差是

-x（5-1）2+（5-4）2+（5-4）2+（5-4）2+（5-7）2+（5-7）2+（5-8）2-=|x（16+3+8+9）=y.

故选：B

7.已知一ABC满足21nsinB=lnsinA+lnsinC,且两条直线方程分别为4：sin2Ar+sinAy+a=0,

/2：sin28r+sinCy+c=0,试判断两条直线位置关系是（）

A.平行B.重合C.垂直D.相交且不垂直

答案：B

解析：由21nsinB=lnsinA+lnsinC可得lnsin28=ln（sinA-sinC）,sin2B=sinA-sinC-且

sinA,sinB,sinC〉0,设^ABC外接圆半径为R,则：

4:sin2Ax+sinAy+a=0即：sinAx+y+2R=0

2

l2:sinBx+sinCy+c=0,即5缶45缶0：+5皿。+。=0,故sinAx+y+2R=0.

故4,4两条直线位置关系是重合.故选：B

8.在空间直角坐标系Qcyz中，定义：经过点尸且一个方向向量为m=（a,4c）（访c/0）的直

线I方程为三%=上芦=三包，经过点。（%，为，Z。）且法向量为〃=（44。）的平面方程为

丸（%一事）+4（〉-%）+口（2—4））=0,己知：在空间直角坐标系。xyz中，经过点P（0,0,1）的直线/方程

Y

为万=y=l—Z,经过点p的平面a的方程为x+y+2z-2=o,则直线/与平面a所成角的正弦值为

)

答案：A

解析：经过点Z。）直线/方程为：=y=l-z,即三2=三卫=三

221-

故直线/的一个方向向量为m=（2,l,—1）,

又经过点P的平面。的方程为尤+y+2z—2=0,即（x-0）+（y-0）+2（z-l）=0,故a的一个法向量

为〃=（1,1,2）.

|，〃府2+1-21

设直线I与平面a所成角为0,则sin0=',,'=--厂==-.故选：A

卜忡V22+l2+l2Vl2+l2+226

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若十个学生参加知识竞赛的得分分别为90,82,87,93,9（）,92,88,87,90,85,则下列说法正确的是（）

A.极差为11B.众数为90

C.平均数为88D.中位数是90

答案：AB

解析：将该组数据从小到大排列有：82,85,87,87,88,90,90,90,92,93.

对A,极差为93—82=11,故A正确；

对B,众数为90,故B正确；

对C,平均数为'（82+85+87+87+88+90+90+90+92+93）=88.4,故C错误；

QQ।90

对.D,中位数为-------=89,故D错误.故选：AB

2

10.已知点尸（2,3）与直线/1一＞+2=0,下列说法正确的是（）

A.过点P且直线/平行的直线方程为x-y+l=0

B.过点P且截距相等的直线与直线/一定垂直

C.点尸关于直线/的对称点坐标为（1,4）

D.直线/关于点尸对称的直线方程为x-y=0

答案：ACD

解析：对于A：设所求直线方程为x—y+〃=（）,则2-3+〃=0,解得〃=1,

所以过点尸且直线/平行的直线方程为x-y+l=0,故A正确：

3

对于B：若截距都为0,即过点P（2,3）且经过坐原点的直线为y=

333

此时直线的斜率但是勺=1,所以直线y=与直线/不垂直，故B错误;

'3-b,

----二-]（C1

2—ci6Z—1

对于C：设点P关于直线/的对称点坐标为（a,。），则，:+：3+b，解得%-4,

----------------1-2=0

22

所以点尸关于直线I的对称点坐标为（1,4）,故C正确;

对于D：因为点（一2,0）、（0,2）在直线/上，点（一2,0）关于点尸（2,3）对称点为（6,6）,

点（0,2）关于点网2,3）对称的点为（4,4）,

则过（6,6）和（4,4）的直线方程为y—4="々尤—4）,即无—y=0,

6—4

所以直线/关于点尸对称的直线方程为x-y=o,故D正确；故选：ACD

II.如图，AC为圆锥S。底面圆。的直径，点8是圆O上异于A,C的点，SO=OC=2f则下列结论正确

的是（）

A.圆锥SO的侧面积为80%

Q

B.三棱锥S-A8C体积的最大值为一

3

（71万、

C.ZSAB的取值范围是

D.若AB=BC,E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为2（石+1）

答案：BD

解析：由已知SC=2灰，圆锥侧面积为5="乂0。乂5。=万'2'2夜=40万，A错;

]1Q

B圆周上，易得(SNC)M=5X4X2=4,%=,x4x2=§.B正确;

\AB_AB

又..ABC中，0<AB<4,所以0<cosNSA8〈亚,

cosZSAB

SA-402

所以上7T<NSA6<TVT.C错;

42

=寸，把△S46和一ABC摊平，如图，

SE+CE'的最小值是SC,此时，AB=BC=20=SA=SB，ABJ.BC,ZSBC=150°,

SC=yjSB2+BC2-2SB-BCcosZSBC=《8+8—2x272x20cos150°=2(6+1)>D正确.

故选：BD.

12.已知iO的内接四边形ABC。中，A3=2,BC=6,AZ）=CQ=4,下列说法正确的是（）

A.四边形A6C£＞的面积为86

B.该外接圆的直径为近

3

C.BOCD^-4

D.过点。作。P±BC交BC于点、F,则。0。尸=8

答案：AC

解析：对于A,连接4C,在_ACD中，COSD=16+16-AC2,cos34+36-AC?

24

由于3+。=兀，所以cosB+cosZ)=0,

解得3=苧

所以cos£)=-1，cosS=-,所以sin8

77

故SABC==A3-BCsinB=—x2x6x,

ABC2277

1mM•c1-4A/332V3

Sc=-AD,DCsinD——x4x4x---=-----,

ADnCr2277

故四边形ABC。的面积为史।+也叵=86，故A正确;

77

L

[256

AC_'亍_4®

对于B,设外接圆半径为R,则2R=

sinB45/33

7

故该外接圆的直径为生旦，半径为近，故B错误；

33

对于C,连接BD,过点0作OGJ_CZ）于点F,过点B作BEA.CO于点E,则由垂径定理得：CG=28=2,

2

4+16-BD216+36-BD2

由于A+C=7i,所以cosA+cosC=0,即-----------1------------=0,

1648

1jri

解得BD-2-\/7，所以cosC=—，所以C=—,且CE=BC♦cosC=6x—=3,

232

所以阀|=3-2=1,即30在向量CO上的投影长为1，且EG与CO反向，

故50-8=-忸6、04=-4,故C正确；

71近=2后，且NC£>P=30°,

对于D,由C选项可知：C=—,故[D*=CO.sin6()o=4x

32

因为A£>=C。，由对称性可知：。。为/A0C的平分线，故N。。/=，N4DC—30°,

2

由A选项可知：cosZA£>C=--,显然为锐角,

72

故=叵，2A/7

sin-ZADC

2V272~1~^T

所以cosZ.ODF=cos|Z^Z)C-30°

=cos-ZADC-cos30°+sin-NAOC•sin30°=亚，

2214

所以。0-。尸=|oo，。目COS/O0F=¥IX2GX誓=10，故D错误.

故选：AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%,用随机模拟的方法进行试验，由1、2、3、4

表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0~9之间随机整数的20组如下:

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为.

…1

答案:0.25##-

4

解析：解：由数据可知，

表示恰有两天下雨的数据为191,271,932,812,393共5组，

所以三天中恰有两天下雨的概率近似为』=0.25.

20

故答案为：0.25.

14.平行于直线3x+4y—2=0,且与它的距离是1的直线方程为

答案：3x+4y+3=0或3x+4y-7=0

-2-c

解析：设所求直线方程为3x+4y+c=0(c#—2),则d=-=1

V32+42

即所求直线方程为3x+4y+3=0或3x+4y-7=0.

15.已知圆柱体体积是1,设M,N分别是圆柱的上、下底面的中心，以圆柱的两底面作为圆锥体的底面,

以分别互为顶点和底面中心做2个圆锥体，则这两个圆锥体公共部分的体积.

答案.

解析：设圆柱的底面半径为广，高为6,则圆柱体体积V=兀/％=],

以圆柱的两底面作为圆锥体的底面，以M,N分别互为顶点和底面中心做2个圆锥体,

如下图,

两个圆锥体公共部分为两个相同的圆锥，底面半径为二，高为

22

1尸2〃11

即每个圆锥的体积为：V=上兀.2.2=」-兀/力=」_,

3422424

所以两个圆锥的公共部分为：2x—=—.

2412

故答案为：—.

16.如图，已知一A3C为等边三角形，点G是,ABC的重心.过点G的直线/与线段A8交于点。，与线

段AC交于点E.设AO=2A8,A£=〃AC,且沏x().设VADE的周长为q,J13C的周长为c2，

设，="，记/(。=2—，则/⑺的值域为.

C2

延长AG,交3C于尸，因为G为一ABC的重心，所以，尸为3C中点,

所以，AF^-AB+-AC,所以,

22

221111111

AG=-A尸=-x-(AB+AC)=——AD+-AE=—AD+—AE,得

332314〃J323〃

T+-=3,整理得，丸+〃=3沏，设—ABC的边长为1,则A£>=X,AE=〃，在VAOE中，由余弦

A/J,

定理得，DE=J"+初一九K，所以，

2_4+〃+/2+〃2白〃=3沏+59(加)2-3初因为/=",所以

。233

乙、3/+79产一3,

fQ)=--------------1=

因为0</lWl,0<//<1,所以，->1,->1,又?=3-142,则有

;)=%=1=11

因为〃=于7,所以，〃一豆二1一厂「一尸瓦不，因为1«彳42,

3小7-r七一5)十42

13994141

24一(；—二)*■+:〈二，所以义〃的最小值为一，最大值为不，所以/=办£^■，二］,

22449292

单调递增，则-所以，/Q)c［［，器＞即/⑺的值域为*,

故答案为：77，',

96

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知坐标平面内两点M(〃?+3,3〃?+5),N(2m—l,l).

(1)当直线MN的倾斜角为锐角时，求加的取值范围；

(2)若直线MN的方向向量为。=(1,一2023),求比的值.

4

答案：(1)---<771<4

3

2024

(2)m-

505

(1)

3册+5—13/?24-4

因为倾斜角。为锐角，则人tane＞°,又人心殖^=丁盲＞°

即(3m+4)(加一4)vO,解得一3＜相＜4.

(2)

直线MN的方向向量为日=(1,—2023)

_3加+42024

=—2023,m

—m+4505

18.在一ABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,且“cosB=2ccosB—AosA.

(1)求8；

(2)若b=3,BO为角B的平分线，点。在AC上，且比＞=2,求ABC的面积.

答案：（1）B=^

⑵乎

（1）

因为acosB=2ccosB-bcosA,

由正弦定理可得sin4cos3+sinBcosA=2sinCcosB，

所以sin（A+8）=2sinCcosB

在中，sin（A+B）=sinC,sinCwO,

]_

所以sinC=2sinCcosB,则cosB

2

TT

因为0<8<兀，所以8=三.

3

（2）

由=S4ABD+SgCD，

得—ttcsin60°=—c-BD-sin30°+L.BD-sin300,

222

即KQC=2（4+C）①.

由余弦定理得b1=cr+C1-2accosB，

所以/+。2-〃c=9②.

由①②得。。=一2（舍去）或。。=6,

r-r-pin1.八3"\/3

所以SABC=_QcsinB————«

19.某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了60名学生的成绩，经统

计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照［40,50),［50,60),［60,70),

［70,80),［80,90),［90,100］分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中。的值，以及该组数据的众数和中位数；

(2)若采用分层随机抽样的方法，从成绩在［60,70),［80,90)和［90,100］的三组中抽取6人，再从这6人

中任选2人，求这2人的成绩在同一组的概率.

答案：(1)a=0.03,众数为85,中位数为76

(2)—

15

(1)

由图可知：(0.005+0.01+0.02+0.025+a+0.01)x10=1,所以a=0.03,

众数为四必=85,

2

因为(0.005+0.01+0.02)x10=0.35<0.5,(0.005+0.01+0.02+0.025)x10=0.6>0.5,

所以中位数位于［70,80),设中位数为x,则70)x0.025+0.35=0.5,

，X=76,即中位数为76.

(2)

由图可知分数在［60,70)的概率为0.2,分数在［80,90)的概率为0.3,分数在［90,100］的概率为0.1,

所以若按分层抽样从这三组中抽6人，则分数在［60,70)的人数为2人,

分数在［80,90)的人数为3人，分数在［90,100］的人数为1人，

抽取的6人中分数在［60,70)内的有2人，记这2人分别为。力,

分数在［80,90）内的有3人，记这3人分别为c&e,

分数在［90,100］内的有1人，记这1人分别为了,

从6人中随机抽取2人的情况为他皿。4,34/1,儿',切,她妙,戊/,，4。1,加，df,矽■共15种，

其中2人均在［60,70）内的情况为ab,2人均在［80,90）内的情况为cd,ce,de,

故2人的成绩在同一区间的情况共4种，

4

所以2人的成绩在同一区间的概率为一.

15

20.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，

那么这样的坐标系称为“斜坐标系现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60。，我们将这种

坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义”空间斜60°坐标系”下向量的斜60。坐标：

分别为“斜60。坐标系”下三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向上的单位向量，若向量〃=刀+切+zA,

则”与有序实数组［x,y,z］一—对应，称向量〃的斜60。坐标为［x,y,z］,记作〃=［x,y,z］.

（1）若。=［1,2,3］力=［一1,1,2］,求a+b的斜60。坐标；

（2）在平行六面体中，AB^AD=2,AA］=3,Z5A£>=ZBA4,=ADAA,=60°,建

立“空间斜60°坐标系”如下图所示.

①若B^=EB],求向量ER的斜60。坐标；

②若AM=[3,^,0],且AM_LAG，求,加|.

答案:(1)[0,3,5]

-3"

(2)①-2,2,;②3

(1)

a=[1,2,3],。=[-1,1,2],

:.a+b=^i+2/+3Z)+(-i+/+2%)=3/+5左=[0,3,5],

.•・a+8的斜60°坐标为[0,3,5].

(2)

设i,分别为与AB,AD,A4,同方向的单位向量，

则48=27,4)=24,",=3%,

①印=AO；—AE=(AO+A4j—(A3+；A4,)

I33

-AB+AD+-AA,=-2i+2j+^k=-2,2,1

2

②由题43=灿+池+9=2i+2/+3A,

由加=[3,/,()],知AM=3i+"',

由AM_LAG，知：

AMAC,=(2z+2/+3Z)・(3i+")=0,

:.6i2+2tj2+(6+2t)i-j+9k-i+3tkj=Q,

io3/

.•.6+2r+(6+2/)--+-+-=0,解得。=一3,

则|AM|=|3"3_/[=J（3"3"）2=3.

21.如图，由直三棱柱ABC-和四棱锥。一构成的几何体中，NB4c=90°，

AB=T,BC=BB]=2,£)G=DC=石，平面C0。，平面AC£4.

D

(1)M为三角形。CG内(含边界)的一个动点，且4WJ_£>G，求M的轨迹的长度；

nRP

(2)在线段5c上是否存在点P,使直线。尸与平面所成角的正弦值为火？若存在，求的值;

4BC

若不存在，说明理由.

答案：(1)生叵；(2)存在；—

5BC2

解析：(1)作CHJ_£>G，连接AT/，

由题知CG平面A8C,

所以CG^AC,

因为平面平面ACGA，平面CGDc平面ACGA=CCt,

所以ACJ_平面。CG，

所以,

因为CH1DC,,且C”cr)G=H,

所以。GJ■平面AC”，

所以M的轨迹为线段c”，

在△0C0中可解得CH=—;

5

(2)存在.

以A为坐标原点，AC,AA,AB分别为x，Xz轴建立空间直角坐标系，

所以A(0,0,0),C(V3,0,0),G(G,2,0),D(瓜1,2),3(0,0,1),B、(0,2,1)，

所以BB]=(0,2,0),BD=(V3,l,l),

设平面BBi。