高中数学历届数学高考试题34

历届高考中的"空间向量与立体几何”试题选讲

1.(2021模拟海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，ZPDA=60°。

(1)求DP与CC1所成角的大小；(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小。_

71

2.(2021模拟安徽文)如图，在四棱锥。一ABCD中，底面A8CD四边长为1的菱形，ZABC=—,

04_L底面ABC。，。4=2,“为04的中点。

(I)求异面直线AB与MD所成角的大小；

(n)求点B到平面0CD的距离。

3.(2005湖南文、理)如图1,已知ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为、与的等腰梯形，将它沿对

称轴。01折成直二面角，如图2。

(I)证明：ACJLBO1；(口)求二面角O—AC—O1的大小。

4.(2007安徽文、理)如图，在六面体ABC。-中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形

是边长为1的正方形,“)，平面_L平面ABCD,DD1=2。

1111111111

(I)求证:A]q与AC共面，B巴与BD共面.

(II)求证:平流A】ACC1平啬gBODj

(HI)求二面角AL丝c的大衣

5.(2007海南、宁夏理)如图，在三棱锥S—A5C中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，ZBAC=90,

。为8c中点.(I)证明：5。_L平面ABC；

(H)求二面角A-SC-5的余弦值.

6.（2007四川理）如图，PC8M是直角梯形，zPCB=900,PM||BC,PM=1,BC=2,又AC=

1,zACB=120°,AB±PC,直线AM与直线PC所成的角为60。.

(I)求证：平面PACJ_平面ABC；(II)求二面角M-AC-B的大小;

(HI)求三棱锥P-MAC的体积.

M

'B

7.(2006全国I卷文、理)如图，(、/,是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在(上,C在

/上，AM=M6。(I)证明AC_LNB；

2

(H)若AACB=60。，求NB与平面ABC所成角的余弦值。

8.(2006福建文、理)如图，四面体ABCD中，0、E分别是BD、BC的中点,

CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=叵

(I)求证：AO_L平面BCD；(II)求异面直线AB与CD所成角的大小；

(III)求点E到平面ACD的距离。

历届高考中的"空间向量与立体几何"试题选讲(参考答案)

1.解：如图，以。为原点，D4为单位长建立空间直角坐标系。一砂Z.

则DA=(1,0,0),CC'=(0,0,1).连结即,B'D'.

在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于".设DH=(tn,m,\\m>0),

由已知<DH,DA>=60,由DADH=回心叫cos<DA,DH>

所以<O",CC'>=45.即。尸与CC'所成的角为45.

(H)平面A4'。或的二个法向量是0c=(0，1，0).

因为谢<rDrH,DC〉二-±-----------------=/

12，x

所以<DH,DC>=60.

可得DP与平面所成的角为30.

,z

2.解：作”上£”点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为X,y,Z轴建立坐八标系

XBy

40,0,0),B(l,0,0),P(0,\,0),0(-：，:,0),0(0,0,2),M(0,0,1),

222

⑴设A8与所成的角为9,

：AB=(1,0,0),MD=(-力,’2

22

|ABi

/.cos0=J------------L=—,e=7一r

|A5|-IMD|.23

AB与MI5斯成角的大小为:

⑵OP=(0噂,WoD=(一华，，一2)

・••设平面OCD的法向量为〃=O,y,Z),则〃OP=0,nOD=0

立y—2z=L

2取z

即=嫄,解受〃=(03力

x+"y-2z=0

22-

设点B到平面OCD的距离为d,则d为。B在向量〃=(0,4,J7)上的投影的绝对值,

\OB-n\2

OB=(1,0,-2)：.d=!---------!=..

'网3

2

所以点B到平面OCDJ11距离为可

3.解：(I)证明由题设知0AJL001,OBXOO1.

所以NAOB是所折成的直二面角的平面角，

即OA_LOB.故可以0为原点，OA、0B、001

所在直线分别为X轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

如图3,则相关各点的坐标是A(3,0,0),

B(0,3,0),C(0,1,73),01(0,0,>/3).

从而衣=(-3,1,73),50=(0-3,73),

AC8。］=一3+75-、/3=0.所以人(：_1_801.

(II)解：因为=-3+JJ=O,所以B01_L0C,

由(I)ACJLB01,所以B01_L平面OAC,3Q是平面OAC的一个法向量.

设7=(x,y,z)是0平面O1AC的一个法向量，

由«AC「0=[-3》+了+>/^=0,取z=、氏得=(1，°，~3)・

n-OC=01y=0.

1__________

设二面角O-AC-Ol的大小为e,由“、8。的方向可知0=<",B0>,

11

nB0

所以cosO=cos<3,BO>=-,=

1hi\-\BOI4'

4.解(向量法)：以D为原点，以DA,DC,OR所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。-召Z

如图，则有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A(1,0,2),B(1,1,2),C(0,1,2),D(0,0,2).

1111

(I)证明：.・•Q=(-1,1,0),AC=(-2,2,0),D~B=(1,1,0),丽=(2,2,0),

______]1______11

•.AC=2AC*,Dfi=2D~B.

11I1

衣与刀不平行，丽与万方平行，

于是Aeg]共面，sd*BD共面.

1111

(II)证明：DD•AC—(0,0,2)•(―2,2,0)—0,

DB*AC=(2,2,0)•(-2,2,0)=0,

：.DD'±AC,DB±AC.

DD舄05是平面BBDD，内的两条相交直线,

AC1平面BBDD.又平面AACC过AC,

11一I1

平面AACC1平面5BDD.

1111

(in)解：AA=(-1,0,2),~BB=(-L-L2),CC*=(0,-l,2).

设〃=(；,y,z)为平面A’MB的法向量，

11111

rfAA=-x+2zBB=-x-y=2z=0,

i一ii.iiii

于是I=0,取q=1,则q=2,〃=(2,0,l).

设加=(；,y,z)'为平面ABCC的法向量，

22211_____

m•BB=-x-y+2z=0,m•CC=-y+2z=0.

于是x=0,取z=L则y=2,m=(0,2,1).

222

二面角A-88-C的余弦为—L

i5

5.证明：(I)由题设A8=AC=SB=SC=SA,连结。4,

△ABC为等腰直角三角形，所以。4=。8=。C=?SA,

且AO_L8C,

又ASBC为等腰三角形，故SOJ_BC,且SO=f幼，

从而。42+SO2=SA2.所以△SQ4为直角三角形，SOLAO.

又AOBO=O.

所以平面ABC.

(n以。为坐标原点，射线QB，分别为X轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系

O-xyz.设8(1,0,0),贝ijC(—1,0,0),A(0,l,0),S(0,0,l).

SC的中点M，o,g),

MO=\1,0,-11MA=l.L-l|,5C=(-l,0,-l).

(2222J

Xy

，MOSC=O,MASC=0.

故MO,SC,MAISC,<WQMA>等于二面角A—SC—8的平面角.

…ay当a

\MO\\MA\3

A

所以二面角A-SC必的^玄值为7

3

6.解：（I）•「PC，AB,PC，3C,A8BC=B

PC1平面A6C,八

又PCu平▼面PACn

平面/VIC_L平面ABC

（II）在平面ABC内，过C作CDLC8,建立空间直角坐标系孙z（如图）

由题意有/壶_10〕，设尸（0。z）G>0）,

[2,210°

则"（0,1,z）,4"=—,z,CP=（0,0,z）

o22o\/o

由直线AM与直线尸。所成的解为60。，得

AMCP-\AM||CP|-COS600，即ZJ.=-也;+3-z（,

解得z0=1

•%”=（0,。/）。=住,一川，设平面饱。的一个法向量为〃比，产｝,

y+z=0

11《,/一向

则M「A。取『1,得〃=

.2

平面A6C的法向量取为机=（0,0』）

设机与"所成的角为。，则cos。=j-7=—^

H|n|"

显然，二面角"一AC-8的平面角为锐角，

故三面角M-4。-8的平面角大小为28”《包

一-7

（DI）解法一：由（II）知，PCMN为正方形

11/T

/.V=V=V=V=_x_ACCN・sinl2G）MN=J

P-MACA-PCMA-MNCM-ACN3212

（ni）解法二：取平面PCN的法向量取为〃=（i,o,o）,则点A到平面尸。0的距离人

巧=中9=1,

V=V==1X1|PC|-|PM|-A=1X1X1X^^

P-MACA-PCM32lIII6212

7.解：如图,建立空间直角坐标系M=xyeMN=l,

则有A<-1,O,O),B(1,O,O),N(O,1,O),

(IJ/MN是II、12的公垂线,ll_LI2,二I2J■平面ABN.12平行于z轴.

故可设C(O,l,m).于是及=(l,l,m),施=(1,-1,0).

，京廉=1+(—1)+0=0AC±NB.

(II)---Ml=(1,1,m),旄|/|=|南,又已知NACB=60。：.△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2.在

RtACNB中,NB八「，可得NCf/i,故C(O,1而.

连结MC,作NH_LMC于H,设川0,人,镇人)(入>0).

冰=(0,1-入，一啦入)，

关=(0,1,的.=1-入-2入=0,.,.入=j,

H(o-i可得品=。|,一(),连结BH,则优1=(—W，$,

点•就=0+|-|=0,R1J■曲I,又MCnBH=H,.,.HNJ■平面ABC,

ZNBH为NB与平面ABC所成的角.又注=(一1,1,0),

4

„.1DU就♦笳3乖

-H而一xS3

8.⑴证明：连结OC.rBO=DO,AB=AD;AO±BD.

■/BO=DO,BC=CD,.1CO±BD.

在^AOC中，由已知可得A0=l,C0=>/3.而AC=2,

AO2+CO2=AC2,

ZAOC=90。,即AO±OC.

••・BDC\OC=0,

AO,平面BCD.

(口)解：以。为原点，如图建立空间直角坐标系,

则B(l,0,0),D(-l,0,0),

W1p

c(0,J3,0),A(O,O,1),E(-,2,0)，

BA=(-l,0,D,CD=(-1-73,0).

・••co《阮丽”雨・丽=江,

/\BAlCD\4

••・异面直线AB与CD所成角的大小为arccos0