2022-2023学年山东省青岛市高一年级下册期末数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省青岛市高一下学期期末数学试题

一、单选题

1.已知i为虚数单位，复数z=i5-2i）的虚部与实部互为相反数，则实数。=（）

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】B

【分析】由复数虚部，实部定义可得答案.

【详解】由题，z=2+ai,则a+2=0=a=—2.

故选：B

2.圆锥和圆柱的底面半径、高都是R,则圆锥的表面积和圆柱的表面积之比为（）

A.（x/2+l）:4B.72:2C.1:2D.（五+1）:2

【答案】A

【分析】直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值.

【详解】由题意圆锥的全面积为：加片+；X6RX2〃R=（1+近）乃R?

圆柱的全面积为：2%炉+乃x2RxR=4;rR2

所以，圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：叶正

4

故选：A

【点睛】本题考查圆锥、圆柱的全面积，正确应用面积公式是解题的关键，考查计算能力，是基础

题.

3.中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺

功能、血管弹性、肌肉力量等.下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

则下列结论中不正确的是（）

A.这一星期内甲的日步数的中位数为11600B.乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上

C.这一星期内甲的日步数的平均值大于乙D.这一星期内甲的日步数的方差大于乙

【答案】B

【分析】对于A：直接求出中位数；

对于B：求出乙的星期三和星期四步数，计算可得；

对于C：分别计算出甲、乙平均数，即可判断；

对于D：分别计算出甲、乙方差，即可判断；

【详解】对于A：甲的步数：16000,7965,12700,2435,16800,9500,11600.从小到大排列为：

2435,7965,9500,11600,12700,16000,16800.中位数是11600.故A正确；

12970

对于B：乙的星期三步数7030,星期四步数12970.因为永万al.84<2,所以没有增加1倍上.故B

不正确；

一1

对于C：所=y(16000+7965+12700+2435+16800+9500+11600)=11000,

=1(14200+12300+7030+12970+5340+11600+10060)=10500.

所以与>%乙.故C正确；

对于D：

际2=g[(16000-11GOO?+(7965_00-11000)2+(2435-11000)2+(l6800-11000)2+(9500-11000)2+(l16

f,000^+Q27

sj=g[(14200-105OO)2+(12300-10500)2+(7030-105(X))2+(12970-1O5OO)2+(5340-10500)2+(11600-10500)2+(10

所以s『>s乙2.故D正确；

故选：B.

112

4.己知4、B、C是平面上不共线的三点，。是AABC的重心，点P满足

663

则与[8CP面积比为()

A.5:6B.1:4C.2:3D.1:2

【答案】B

【分析】利用三角形重心的性质及平面向量的线性运算，结合三角形的面积公式即可求解.

【详解】如图所示

A

。是的重心,

...OA+O8+OC=0,

:.OB+OC=-OA,

OP=-OB+-OC+-OA,

663

6OP=OB+OC+4OA,

6OP=3OA^即20P=04,

・・•点P为。4的中点，即点PQ为8c边中线AD的两个三等分点,

-sACP=^sACD=^sABC,

SBcP=jsABC,

SACP=1x3=1

°BCP624

故选：B.

5.如图，在圆锥SO中，AB,8为底面圆的两条直径，ABCD=O,且SO=OB=3,

SE=*异面直线SC与。E所成角的正切值为()

c£

【答案】D

【分析】以OD,OB,OS为x,y,z轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦

值，再得正弦值.

【详解】由题意以OROMOS为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，

40,-3,0),8(0,3,0),C(-3,0,0),5(0,0,3),

又SE'SB,

4

1139

OE=OS+S£=OS+-SB=(0,0,3)+-(0,3,-3)=(0,-,-).

4444

5C=(-3,0,-3),

OESC36

则cos<OE,SC>==

|o耶。「:Mx3近

设异面直线SC与OE所成角为6>,则cos<9=|cos<OE,SC>|=笔

8为锐角,

N/55

J55一，sin。inA/TT

sin@==^,所以tana=-----=--T=-=-.

10cos。3V53

10

6.己知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不

是次品“，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件是次品“，则下列结

论正确的是()

A.尸与G互斥B.E与G互斥但不对立

C.E,F,G任意两个事件均互斥D.E与G对立

【答案】D

【分析】列出基本事件，再结合互斥事件，对立事件的定义即可判断.

【详解】设1表示取到正品,0表示取到次品,所有事件。={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,0)}.

则E={(1,1,1)},F={(O,O,O)},G={(1,1,0),(1,0,0),(0,0,0))

FCG=F,故尸与G不互斥，故A,C错

EcG=0,EuG=C，故E与G互斥且对立，故B错，D正确

故选：D

7.如图，在“ABC中，BM=/c,NC=AAC，直线AM交BN于点、Q,若BQ=]N,则2=()

A

BMC

A.-B.-C.-D.-

5533

【答案】A

uuuuuuuu

【分析】由A",Q三点共线可得存在实数，使得80=〃8M+（1-〃）8A,再由AMC三点共线可解

得〃=々，利用向量的线性运算化简可得NC=：AC,即义=：

【详解】根据图示可知，A,M,Q三点共线，由共线定理可知，

ULHlUUUUU

存在实数〃使得BQ=+（1-//）BA,

uuir1muuLin5uuu51uunuir

又BM=-BC,BQ=-BN,所以=5〃5C+（1—〃）R4,

514

又AN,C三点共线，所以,=5〃+1一〃，解得〃=

uim7uun?uiruiruuur2/"uuu、3uir

即可得=所以（z胡+四）x=《（胡+4。）+）&4,

7uuuuum7uu®uum3uum

所以AN=14C,^AC-NC=-AC,可得NC=《AC,

3

又NCKAC，即可得2=丁

故选：A

8.我国古代的数学著作《九章算术・商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图

所示的“堑堵”A8C・ANG中，AB=AC=AA]=2f/、N分别是叫和AG的中点，则平面截

“堑堵，，A8C-所得截面图形的面积为

D,也

3

【答案】A

【分析】延长AN,与CG的延长线交于点P,则Pe平面BBCC.连接PM,与耳G交于点E,连接

NE,可得截面图形，然后计算其面积.

【详解】延长AN,与CG的延长线交于点尸，则Pe平面连接p例，与4G交于点E,连接

NE,得到的四边形AMEN就是平面AMN截“堑堵”A8C-所得截面图形.由已知可求得:

AM=AN=M+l=5

由△PC£SZ\EB|M,可得用E==手,<7逐=半

22

MN=y]AlN+A]M=

【点睛】本题考查作出平面截空间立体几何图形的截面并计算其面积，属于中档题.

二、多选题

9.某团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示,

年龄28293032364045

人数1335431

有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（）

A.众数是32B.众数是5C.极差是17D.25%分位数是30

【答案】ACD

【分析】根据人数最多确定众数；最大值减去最小值为极差；利用分位数的定义求解25%分位数.

【详解】年龄为32的有5人，故众数是32,A正确，B错误；

45-28=17,极差为17,C正确；

因为20x25%=5,所以（30+30）+2=30,故25%分位数是30,D正确.

故选：ACD

10.已知a,尸是两个不重合的平面，机，”是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）

A.若mJ.”，mVa,nl/0,则

B.若加_La,n/la,则机_L〃

C.若相〃<?,，"〃”，则〃//a

D.若加〃*a〃尸，则，"与a所成的角和〃与尸所成的角相等

【答案】BD

【分析】根据直线、平面的位置关系、等角定理，结合图形，通过举反例进行判断.

【详解】对于A,根据已知条件，可得如下图的反例：

故A错误；

对于B,若能_La,则机垂直于平面a内的任意一条直线，又〃//a,

由等角定理可知，mVn,故B正确；

对于C,根据己知条件，可得如下图的反例，〃在面a内：

tn

故C错误；

对于D,若加〃”，all13,根据等角定理以及线面角的定义可知,

机与a所成的角和”与夕所成的角相等，故D正确.

故选：BD.

11.已知向量a=(cosa,sina),6=(2,1),则下列命题正确的是()

A.|a-》|的最大值为逐+1B.^\a+b\=\a-b\,则tana=g

C.若e是与人共线的单位向量，贝麋=(马叵，@)D.当，(a)=。/取得最大值时，tana=；

【答案】AD

【分析】设。4=a=(cosa,sina),0B=b=(2,1),利用向量的减法的几何意义可判定A；利用向量

的数量积运算法则转化为a为=2cosa+sina=0,可判定B；根据与。共线的单位向量有两个相反

的方向，可以否定C；利用向量的数量积等于一个向量的模与另一个向量在第一个向量上的投影的

乘积，转化为求何时向量d=(cosa,sine)在向量b=(2,l)上的投影最大，利用向量共线且方向相同

的坐标表示即可判定D.

【详解】V|<rz|=A/COS2a+sin2a-\,；."=(cosa,sina)是单位向量，设。4=a=(cosa,sin(z),

OB=b=(2,l),则|a-b|=|A8|4|OA|+|O8|=1+逐，当a=(cosa,sina),1=(2,1)方向相反,即

cose=2sine<0时取等号，|a-A|的最大值为石+1,故A正确;

|a+6|=|a-6|等价于(a+6)=(a-b)即J+b2+2a-b=a+b~-2a-b>即夕6=2cosa+sina=0，

tana=——,故B错误;

2

b

与匕共线的单位向量为±M=,故C错误;

f(a)=a-b最大,当且仅当向量a=(cosa,sina)在向量b=(2,l)上的投影最大，即向量

a=(cosa,sina)与〃=(2,1)同向，亦即cosa=2sina>0,此时tanau,,故D正确.

故选：AD

12.已知正方体ABCQ-A8GR的棱长为1,点P为线段BG上的动点，则()

A.OP〃平面A8Q

B.RP+CP的最小值为瓜7百

C.直线。尸与平面ABC。、平面。CGR、平面AOZ)M所成的角分别为a,£,y,则

sin2a+sin2/7+sin2y=1

4

D.点C关于平面的对称点为例，则M到平面ABC。的距离为3

【答案】ACD

【分析】根据正方体的几何性质结合线面平行判定定理、勾股定理、余弦定理、线面夹角的定义、

点到平面的距离，逐项盘点即可得答案.

【详解】对于A,如图连接。

在正方体ABCD-AMGR中，因为AB//£>C，A8=〃G，所四边形A8CQ为平行四边形，所以

ADJg,又BGu平面BCQ,4。<2平面86。，所以A。//平面BQ。，

同理可得。4//。8,又DBu平面BCQ,。由(z平面B£。，所以。百〃平面BCQ,由

A。C2用=。,A4,〃与u平面ABQ,所以平面BG。〃平面AB、D、,

因为£>Pu平面BCQ,所以DP“ABR,故A正确.

对于B,如图将平面RGB和平面BGC展开到同一个平面，连接。C

。尸+CP的最小值即为RC，在正方体可得RG，平面2GC,GBu平面8CC，所以。

且CC=BC，GC，3C,所以NBCC=；

则平面中N〃CC=^37r，由余弦定理得

22=2+应，即℃=也+夜，故

DtC=+CtC-2DlClClCcosZDlClC=l+l-2xlxlx

B错误;

对于C,如图，过p作PNLCC于N,PEJ.BC于E,P。工平面AQRA于。，连接

QD,DE,DN,PC

由正方体易得尸'人平面。CGR,PE_L平面ABC。，又直线QP与平面ABC。、平面QCCQ1、平

面AORA所成的角分别为a,£,y,

PFPNPO

所以sine=sinZP£>£=-^^,siny?=sinZ.PDN=,sin/=sinZ.PDQ=,

则sin?a+sin»+siry=（^\+j空丫+fM二>炉+一”+尸。，

{PDJ\PD）\PD）PD2

因为尸。_2平面4ORA，CQ_L平面则PQ〃8,且PQ=8,所以四边形P0DC为平行

四边形，所以OQ=PC,

2

又在矩形PNCE中可得「炉+pN2=pE?+EC2=pC2t所以PE。+PN。=DQ,

在Rt^PQf）中，DQ2+PQ2=PD2,所以PE?+PN?+PQ2=P》,即

sin2a+sin2/?+sin2y=1,故C正确；

对于D,连接AC,〃C,AG，连接AC交平面于尸，过F作“//AC交AC于H

在正方体中可得，AGJ.BR,CG，平面ABCQ，因为BQu平面ABCB，所以CG^BQ,

又CGCAG=G，CG，A6U平面AGC,所以片口，平面AGC,又ACU平面A£C，所以

B,D,±AC.同理可得A。J.AC,

因为ARcBQ=R,AR,BQu平面A8Q,所以A,C，平面A8Q,即4尸，平面A8Q,

因为正方形的面对角线的=4。=做=收，所以A4。为正三角形，又9T他,=1^曲，所以

XLXLXLXL

11sAHI).M^Jj

-SABDA,F=-SiBD-A4),则4,1=f=1.........................=v_

JJ3A5a-xV2xV2xsin-J

23

l1FHCF2

因为正方体的体对角线4。=百，所以a歹=彳4。，因为切//AC，所以7T=:K=可，即

3ZXjZ*Zl|5

22

FH、,因为的，平面ABC。，所以尸到平面ABC。的距离为

、.4

由于点。关于平面ABQI的对称点为“，则尸为CM中点，于是M到平面ABCQ的距离为故D

正确.

故选：ACD.

三、填空题

13.已知向量a=(5,5),ft=(A,l),若〃+〃与a-b的夹角是锐角，则实数4的取值范围为

【答案】(—7,l)u(l,7)

【分析】利用(a+析•(a-〃)>0去掉同向的情形即得.

【详解】由题意(。+1)(£一〃)>0，即蓝一片>o,524-52>A2+12,/.-7<2<7,

,3

5+2=^(5-2)K=—

a+b=k(a-b),贝U5+13),解得2,

2=1

综上2的范围是(―7,1)口(1,7).

故答案为：(-7,1)<J(1,7).

【点睛】本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，。力是两个非零向量，则a,b夹角是锐角时,

a-b>0>a,b夹角是钝角时，a-/?<0>反之要注意a,6可能同向也可能反向.

四、双空题

14.已知我国某省二、三、四线城市数量之比为1:3:6.2022年3月份调查得知该省二、三、四线

城市房产均价为0.8万元/平方米，方差为11.其中三、四线城市的房产均价分别为1万元/平方米，05

万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8,则二线城市房产均价为万元/平方米，

二线城市房价的方差为

【答案】229.9

【分析】根据平均值及方差的定义列方程求解即可.

【详解】设二线城市房产均价为x,方差为y,

因为二、三、四线城市数量之比为1:3:6,二、三、四线城市房产均价为0.8万元/平方米，三、四线

城市的房产均价分别为1万元/平方米，0.5万元/平方米，

所以—xHx1Hx0.5=0.8,

101010

解得x=2(万元/平方米)，

由题意可得11=，口+(2-0.8)2]+得[10+(1-0.8)2]+\[8+(0.5—0.8)2],

解得y=29.9,

故答案为：2；29.9.

五、填空题

15.A45c的内角A氏。所对的边分别为〃也c,已知36FCOSA=Z?8SC+CCOSB,A+C=3,则。的最

小值为.

【答案】G

【分析】先由正弦定理将3,zcosA=bcosC+ccosB化为3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sinA一可求

出cosA=-,再由余弦定理可得/=从+-28cosA=(b+cy~^bc>[b+cy--(b+cy,即可的a

的最小值.

【详解】因为3acosA=hcosC+ccosB,所以3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sinA,因为sinAH0,

1Q?29

所以cosA=§,由余弦定理，得/=^+c2-2AosA=S+c)9——§/>c*e+c)--§e+c)=34|]awG

【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用，结合基本不等式即可求三角形边的最值.

16.如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径r=4,。2分别

为圆柱上、下底面的圆心，。为球心，EF为底面圆Q的一条直径，若P为球面和圆柱侧面的交线

上一动点，线段PE与PF的和为PE+PF,则PE+P尸的取值范围为.

E

【答案】[4+46,8g]

【分析】设P在底面的投影为P,连接PE,PF,PP,则尸产_L平面EFP',则PE_LP产，PFVPP,

在RjPP'E,放PPP中由勾股定理表示出PE和PF,^a(EP,)2+(FP,)2=64,设(砂午=fe[0,64],

得出(PE+PF)2,求出其范围即可得出PE+PR的取值范围.

【详解】由题可知，点尸在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设尸在底面的投影为P，连接P'E,

PF,PP',则小_L平面“尸，PP=4,

又PE,PF<=平面EFP',

所以产EJ_尸产，PFLPP,

所以PE=/EP)2+(PP¥=«EP)2+16，PF="(FPH+(PP)2=J(Fpy+16，

(EP')2+(BP')?=EF2=82=64,

设(EP)2=te[0,64],

则PE+PF=Jr+16+j64-r+16=Vz+16+J80T,

(PE+PF)2=96+25/(r+16)(80-0=96+2j-(f-32了+2304,

因为re[0,64],

所以"-(-32)2+2304e[166,48]，

所以PE+PFe[4+4后,8g],

故答案为：[4+4石,84].

六、解答题

17.设向量4,6满足向=1|=1,且k-2陷=近.

⑴求。与。的夹角；

⑵求|2“+3可的大小.

【答案】（I）专2兀

⑵"

【分析】（1）设d与b的夹角为。，利用卜-2。卜砂豆『即可求出答案；

（2）利用|2〃+34=,2。+3”即可求出答案

【详解】（1）设a与人的夹角为。（0W64兀），

\a-2k^=^a-2b^=扬-4〃++4/=布n同?-4回•阵0$7+4,1=7,

将向=网=1代入得l-4cosd+4=7,

八1八2兀

COSU———.

23

（2）忸+3+J（2&+3”=^cr+\2a-b+9h-=+12同阵0$61+9,

将向=1卜1代入得|2a+3々=j4+12x1_g）+9=近，

:.\2a+3b\=y/l.

18.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段

［90,100）,［100,110）,…，［140,150）后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列

问题：

频率/组距

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O90100110120130140150分数

（1）求分数在［120,130）内的频率，并补全这个频率分布直方图；

⑵估计本次考试的第50百分位数；

（3）用分层抽样的方法在分数段为［110,130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总

体，从中任取2个，求至多有1人在分数段［120,130）内的概率.

【答案】（1）0.3,直方图见解析

【分析】（1）由频率分布直方图，能求出分数在口20,130）内的频率，并能补全这个频率分布直方图：

（2）由频率分布直方图能估计本次考试的第50百分位数；

（3）用分层抽样的方法在分数段为010,13（））的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为WO,

120）中抽取的学生数为2人，分数段为口20,130）中抽取的学生数为4人，从中任取2个，利用列举

法列举出所有基本事件，再根据古典概型即可得解.

【详解】（1）解：由频率分布直方图，得：

分数在口20,130）内的频率为：1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）x10=0.3,

片=0.03,补全后的直方图如右图所示:

频率/组距

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

°90100110120130140150分数

(2)解：［90,120)的频率为(0.010+0.015+0.015)x10=0.4,

[120,130）的频率为：0.030x10=0.3,

二第50百分位数为：120+若/xlO=¥；

（3）解：用分层抽样的方法在分数段为W0,130）的学生中抽取一个容量为6的样本,

则分数段为[U。，⑵）中抽取的学生数为：而鬻丽X6=2人，设为A8,

分数段为口2。，13。）中抽取的学生数沏而鬻丽x6=4人，设为她CH

从中任取2个，有AB,Aa,Ah,Ac,Ad,Ba,Bh,Be,Bd,ab,ac,ad,be,bd,cd共15种,

其中符合题意得有AB,Aa,A仇Ac,Ad,劭,&,氏/共9种，

n□

所以至多有1人在分数段[120,130）内的概率为1=].

7T

19.如图，在五面体ABCDEF中，面ABCO是正方形，ADYDE,4）=4,DE=EF=2,且NEDC.

（1）求证：AD_L平面CDEF；

（2）求直线8。与平面AQE所成角的正弦值；

（3）设M是CF的中点，棱AB上是否存在点G,使得MG//平面AOE?若存在，求线段4G的长;

若不存在，说明理由.

【答案】（1）答案见详解；（2）如；（3）存在，AG=3.

4

【解析】（1）由ADJ_DC和AOLOE,利用线面垂直的判定定理即证结论;

(2)先根据等体积法计算点B到平面ADE的距离d,再利用正弦等于"即得结果；

(3)先取£>C,上点N,G使得CN=BG=\,证明平面MNGH平面ADE,即得〃平面ADE,AG=3.

【详解】解：(1)证明：正方形45a>中，ADVDC,

又ADJ_OE,DCDE=D,£>C,OEu平面COEF,所以4)，平面COEF；

(2)设直线8。与平面ADE所成角为。，点B到平面AOE的距离“，贝ljsin6=得.

依题意，8。=4血，由(1)知4)，平面CDEF,得平面ABCD工平面CDEF，故点E到平面ABCD

的距离％=£>E-sin?=6,

RtAADE中,SADE=-ADDE=^X2X4=4,又S,g=[•A£>-A8=gx4x4=8,故根据等体积法

%-m£=匕-"。，得;SADE-d=；SABD-hi，即d==26,故Sill。==^=半，故直线

334BD4。24

BD与平面ADE所成角的正弦值是如；

4

(3)AB//DC,OCu平面CDEF,平面CDEF,〃平面CDEF,

又平面CDEF、平面ABEF=EF,46匚平面/1的/，，/3〃所〃8.

分别取OC,AB上点N,G,使得CN=BG=1,又CN〃5G,故四边形CNGB是平行四边形，BC//NG,

又NG在平面AOE外，BC在平面AZJE内，.•.人心7/平面49£,

取0c中点H,则DH=EF=2,又DHUEF,故四边形EFDH是平行四边形，.•.£>£〃”/,

又CN=l=、DC=LcH,M是CF的中点，故MN是中位线，〃”/〃政V,又MN在平面AOE

42

外，OE在平面AOE内，.1MN//平面ADE,

因为例N,NG相交于平面MNG内，所以平面例NG〃平面ADE,又MGu平面MNG,

故此时MG〃平面ACE,AG=3.

【点睛】本题考查了线面垂直的判定、线面成角的求法和存在性问题的探究，属于中档题.求空间中

直线与平面所成角的常见方法为：

(1)定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；

(2)等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线线段长的比值即线而成

角的正弦值；

(3)向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.

20.如图，四边形中，ZDAB=ZDCB=^,AB=3,BC=2,5A=¥且/ABC为锐角.

⑴求08；

⑵求一ACD的面积.

【答案】(1)岑

3

【分析】(1)由三角形面积公式求得/ABC,利用余弦定理求得AC,分析可知B4是四边形ABC。

外接圆的直径，再利用正弦定理可求解；

(2)由面积公式即可得解.

【详解】(1)由已知=LA8BC-sinNABC=^^,;.sin/A8C=X^

Zi/ioc222

jr

；/ABC是锐角，：.ZABC=-.

由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=7,则AC=6.

TT

,：ZDAB=ZDCB=一，；.8。是四边形ABCD外接圆的直径，

2

.••8。是一43c外接圆的直径，利用正弦定理知8。=二"=万、2=马巨

ZABCV33

(2)由NZMB=NQCB=¥,80=冬旦，AB=3,BC=2,

23

则AO=@,CO=迪，

33

又NABCJ,则NAOC=&，

33

因此SAA8=TAO.CO-sinNADC=gx^x¥x^=等，

故二ACD的面积为更.

3

21.如图(1),六边形A3CDEF是由等腰梯形4)£尸和直角梯形A8CZ)拼接而成，且

ZBAD=ZADC=90°，AB=AF=EF=ED=2,AD=CD=4,沿AO进行翻折，得到的图形如图(2)

所示，且NAEC=90".

⑴求二面角C—4E—。的余弦值：

(2)求四棱锥C-4£>£户外接球的体积.

【答案】(1)日

c、6472

(2)------n

3

【分析】(1)作区M_LA£>,连接AC,则AC=4夜，证得CDJ■平面相>防，得到CD_LAE再证

得4E_L平面CDE,得到A£_LOE，进而得到NCED就是二面角C-AE-。的平面角，在直角

中，即可求解；

(2)取A。的中点储，连接。田,。尸，得到。|为等腰梯形AOEF的外心，取AC的中点。，连接

。4。。,。瓦。目，证得。OJL平面的>£•尸，得到。为四棱锥C-AOEF外接球的球心，利用球的体积

公式，即可求解.

【详解】(1)解：在等腰梯形AftE产中，作EM_LA£>于M,

则DM=A。："/=1,4M=3,EM=6所以AE=^/^=2^/5,

连接AC,则AC=4V2>

因为NAEC=90，所以EC=2石，所以ED?+OC?=石。?，所以C£>_LE£),

又因为CD_LAO,且AOED=D,AQ,EQu平面A£)EF,所以C£>_L平面ADEF,

又由AEu平面ADEF,所以CD_LAE,

因为CE_LAE且CEcC£)=C,CE,COu平面COE,所以平面C£)£,

又因为AEu平面CDE,所以AE_LOE,

因为AE_LCE,所以NCED就是二面角C-AE-O的平面角,

在直角C£>£'中，cosZCDE=—=^==—,

CE2V55

所以二面角C-AE-O的余弦值为日.

(2)解：取A。的中点Q,连接。也,0尸，可得证四边形OQEF、QAFE均为平行四边形,

所以4。=。俨=。£=0F=2,所以01为等腰梯形ADEF的外心,

取AC的中点0,连接。A,OD,OE,。。，可得OOJ/CD,

因为CD_L平面所以。|。上平面4DEE,

又因为OC=OA=OD=OE=OF=26,所以。为四棱锥C-AOEF外接球的球心,

所以球的半径为R=20,所以丫=g7r*=g兀、(2&)3=等?兀.

22.如图，在二ABC中，AB^f7iAC(meR),AO是角A的平分线，且相>=必C(&eR).

(1)若加=3,求实数％的取值范围.

(2)若8。=3,由22时，求4?C的面积的最大值及此时人的值.

【答案】(1)]。，£);(2)当％=平时，/1BC的面积取最大值3.