天津市西青区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 一含答案解析

天津市西青区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

L“垃圾分类，利国利民”，在2019年7月1日起上海开始正式实施垃圾分类，到2020

年底先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统.以下四类垃圾分类标

志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

\zG

△zx

可回收物有害垃圾易腐垃圾其他垃圾

RecyclableHazardouswastePerishablewasteOtherwaste

A.可回收物B.有害垃圾C.厨余垃圾D.其他垃圾

2.方程d-2x+l=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.无实数根

C.有两个相等的实数根D.无法判定

3.如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C',点3'恰好落在C4的延

长线上，/B=30。，ZC=90°,则/&VC'为（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

4.将方程d-6x+l=0配方后，原方程可变形为（）

A.(x—3)2=8B.(尤一3)2=-10C.(x+3)2=-10D.(x+3)2=8

1

5.抛物线y（尤-20『一3的顶点坐标是（）

A.(2-3)B.(2,3)C.(-2,3)D.(-2,-3)

6.如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y=-（x-2）

2+6,则水柱的最大高度是（）

A.2B.4C.6D.2+5/6

7.设A（-2,竺），B（1,”），C（2,心）是抛物线y=f-2x+c上的三点，”，”，

”的大小关系为（）

A.yi>y2>ysB.yi>ys>y2C.y3>y?>yiD.y3>yi>y2

8.如图，已知菱形OLBC的顶点0（0,0）,A（-4,0）,NB=60。，若菱形绕点。顺时针旋转90。

得到菱形片G，则点G的坐标是（

C.（―—2）D.（2①2）

9.如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，

要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米.则小道的宽为多

少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）

A.（40—2x）（34—尤）=960B.40*34—40》一34工+2尤2=960

C.（40-力（34-2x）=960D.40x34-40x-2x34x=960

10.二次函数>="2+法+，的图象如图所示，则一次函数，=-办+6的图象大致是（）.

试卷第2页，共6页

11.关于二次函数y=2x2+4x-l,下列说法正确的是（）

A.图像与＞轴的交点坐标为（。,1）B.图像的对称轴在y轴的右侧

c.当尤＜0时，y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-3

12.如图，抛物线丁=加+法+。（。力0）的对称轴为直线x=l,与y轴交于点3（0,-2）,

点A（T,〃z）在抛物线上，有下列结论：①/＜0；②一元二次方程依2+fct+c=0的正实

-4-。1

数根在2和3之间；③。二三一；④点E（0J,8G+1，%）在抛物线上，当实数，＞耳时，

%＜%.其中，正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

二、填空题

13.若方程（％-l）f+3x+l=0是关于尤的一元二次方程，则上满足的条件是

14.若-1是关于尤的方程2/一3x4=0的一根则上的值为.

15.已知抛物线>=必+桁+1的顶点在坐标轴上，则6的值为.

16.若二次函数丫=（7"+2）尤2+3了+7〃2_4的图象经过原点，则根=.

17.如图，将Q4B绕点。逆时针旋转20。得到。CD,若点B在8上，则NO54=

22

18.已知实数m，nri）满足等式加。—2%-1=0,〃?—2〃—1=0,则1—的值

mn

是.

三、解答题

19.解方程：

⑴4f—4无一1=0;

（2）x（2x-5）=4x-10.

20.在平面直角坐标系中，/1BC的A点坐标为A（2,-l）,请你写出B,C点的坐标.画

出MBC关于原点。成中心对称的4A4G.并写出A,4，G点的坐标.

21.已知关于x的一元二次方程f+（24+l）x+^+l=0有两个不等实数根为，巧.

（1）求上的取值范围;

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(2)若玉％=5,求人的值.

22.某商品现在的售价是每件60元，每周可卖出300件.市场调查反映：若调整价格,

每涨价1元，每周可少卖出10件.已知该商品的进价是每件40元.

设该商品每件涨价x元(0M30).

(1)根据题意填写表：

售价(元/件)每件利润(元)每周销量(件)每周利润(元)

现在602030020x300=6000

2Q+x

涨价后60+x——

(2)若计划每周的利润为6160元，该商品每件应涨价多少？

23.已知二次函数y=-f+2x+l的图象为抛物线C.

(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)当0WxW3时，求该二次函数的函数值y的取值范围；

(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移1个单位长度后，所得抛物线为

C.请直接写出抛物线C'的函数解析式.

24.在qABC中，ZACB-120°,将ABC绕点C顺时针旋转，得△EDC,D,E分别

是点、B,A的对应点.记旋转角为a.

(1)如图①，连接AD,若8c=6,AC=8,a=30°,求的长；

(2)如图②，连接80,若(z=60。，求证：BD//AC.

25.如图，关于x的二次函数y=-尤2+笈+3的图象与无轴交于A、2两点，与y轴交于

点C,且过点0(—1，4).

(1)求b的值及该二次函数图象的对称轴；

(2)连接AC,AD,CD,求△ADC的面积；

(3)在AC上方抛物线上有一动点请直接写出的面积取到最大值时，点M的

坐标.

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参考答案：

1.B

【分析】由题意根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项进行判断，即可得出答案.

【详解】解：4是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B,既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D,既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握判断轴对称图形的关键是寻

找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后

与原图重合.

2.C

【分析】把。=1,6=-2,c=l代入判别式4在进行计算，然后根据计算结果判断

方程根的情况.

【详解】解：；一元二次方程/-2》+1=0,

••a=\,b=—2,c=l9

：.『/-4ac=(-2)2-4xlxl=0,

方程有两个相等的实数根.

故选：C.

【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键.当判别式

­=。2-4">0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式_=b2-4ac=0时，一元

二次方程有两个相等的实数根；当判别式一=62-4℃<0时，一元二次方程没有实数根.

3.B

【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出—A4c的度数，由旋转可知ZB4c=NB'AC',

在根据平角的定义求出NBAC的度数即可.

【详解】：N3=30。，ZC=90°,

二ZBAC=90°-ZB=90°-30°=60°,

,/由旋转可知ZBAC=ZB'AC=60°,

ZSAC=180°-ABAC-ZB'AC=180°-60°-60°=60°,

故答案选：B.

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【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答

本题的关键.

4.A

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即

可得出答案.

【详解】解：f-6x+l=0

x2—6x=—1

x2-6x+9=-l+9

33)2=8.

故选A.

【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程.掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本

题的关键.

5.A

【分析】根据二次函数y=a(x-h)^k的性质解答即可.

1

【详解】解：抛物线，竹(》-2)02-3的顶点坐标是(2,-3),

故选A.

【点睛】本题考查了二次函数产a(xd)2+wa,〃，上为常数，"0)的性质，熟练掌握二次函数

尸a(x-/z)2+Z的性质是解答本题的关键.尸z(xd)2+%是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形

状和开口方向，其顶点是S，幻，对称轴是A/Z.

6.C

【分析】根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可.

【详解】解：；抛物线形水柱，其解析式为y=-(x-2)2+6,

a=-l<0

当后2时，水柱的最大高度是：6.

故选C.

【点睛】本题考查二次函数的实际应用一喷水问题.根据二次函数的解析式得到抛物线顶点

坐标是解决此类问题的关键.

7.B

【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小

答案第2页，共13页

关系求解.

【详解】解：：y=x2-2x+c,

二抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,

VI-(-2)>2-1>1-1,

'.yi>y3>y2.

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数的函数值与对称轴之间的关联，了解知识点并知道如何利用二次

函数的对称性比较函数值大小是解题关键.

8.D

【分析】过G作轴于，根据菱形与旋转的性质，得出。G长和NGOD的度数，然

后利用直角三角形性质与勾股定理求解即可.

【详解】解：过G作轴于。，如图所示，

:.ZCtDO=90°,

菱形Q4BC的顶点A(T,0),ZB=60。，菱形绕点。顺时针旋转90。得到菱形。，

ZAOC==NB=60°,OC=OCl=OA=4,

.•.NCQD=30。，

.•.qo=；OG=2,

.-.OD=V42-22=2A/3，

故点G的坐标为(2石,2)；

故选：D.

【点睛】此题考查了菱形的性质、图形旋转的性质、含30。的直角三角形的性质与勾股定理

答案第3页，共13页

等知识，熟练掌握相关的性质是解答此题的关键.

9.A

【分析】把三条小道平移到边上，可以得到一个完整的种植区域，然后根据已知条件，列出

方程即可.

【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植区域是矩形，

由题干可知，大的矩形长40米、宽34米，小路宽为x米，所以种植区域的长为（40-2x）

米，宽为（34-尤）米，

根据矩形面积公式可得，（40-2x）（34-尤）=960.

【点睛】本题考查列一元二次方程解决问题，关键是把握平移的性质，构造完整的矩形，方

便列出方程.

10.C

h

【分析】观察二次函数y=q2+6.X+C的图象得：a<0,---<0,可得b<0,-<7>o,从而

2a

得到一次函数y=-冰+匕的图象经过第一、三、四象限，即可求解.

b

【详解】解：观察二次函数y="2+bx+c的图象得：a<0,-—<0,

2a

b<0,-a>0,

一次函数的图象经过第一、三、四象限.

故选：c

【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和二次函数

的图象和性质是解题的关键.

11.D

【详解】"：y=2x2+4x-l=2（x+1）23

•,.当a=0时，y=-l,故选项A错误，

答案第4页，共13页

该函数的对称轴是直线x=-l,故选项B错误，

当x<-l时，y随x的增大而减小，故选项C错误，

当x=-l时，y取得最小值，此时产-3,故选项D正确，

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二

次函数的性质解答.

12.B

【分析】由抛物线开口方向得到。>0,利用抛物线的对称轴方程得到6=-2.<0,即可判断

①；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在(2,0)与(3,0)之间，

则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；把2(0,-2),A(-1,m)和b=-2a代

入抛物解析式可对③选项进行判断；利用二次函数的增减性对④进行判断.

【详解】解：•••抛物线开口向上，

.,.a>Q,

••.抛物线的对称轴为直线x=-h^-=l,

2a

ab<0,故①正确；

•••抛物线的对称轴为直线x=l,抛物线与x轴的一个交点坐标在(0,0)与(-1,0)之

间，

•••抛物线与x轴的另一个交点坐标在(2,0)与(3,0)之间，

一元二次方程ax2+bx+c=Q的正实数根在2和3之间，故②正确；

把B(0,-2),A(-1,m)代入抛物线得c=-2,a-b+c=m,

而b=-2a,

a+2a-2=7/1,

，。=等，故③正确；

:点B(t,"),P2(r+1,-)在抛物线上，

,当点P/、尸2都在直线x=l的右侧时，yj<y2>此时仑1；

当点B在直线％=1的左侧，点尸2在直线x=l的右侧时，此时0W1且什1-1

>1-即《V.V1,

答案第5页，共13页

.,•当或仑1时，yi<yi,故④错误；

故选B.

【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物

线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根.也考查了二次函数的性质，熟练掌握二

次函数的相关知识是解题的关键.

13.krl

【分析】根据定义二次项系数不为。解题即可.

【详解】解：.•关于x的方程仅-l)d+3x+l=0是一元二次方程，

左一1"0,

解得底1.

故答案是：k^l.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，能够熟记定义并列式是解题关键.

14.5

【分析】根据方程的解满足方程直接代入求解即可得到答案.

【详解】解：=-I是关于x的方程2d-3x-左=0的一根，

?.2X(-1)2-3X(-1)-^=0,

解得左=5,

故答案为5.

【点睛】本题考查方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值.

15.-2或。或2

【分析】将抛物线化成顶点式y=无+1=卜+?：+1-!，求出顶点坐标卜

再根据顶点在坐标轴上，分在x轴上或者y轴上两种情况求解即可得到结论.

【详解】解：抛物线>=/+区+1=［犬+|^+1—当，

(bb2

••・顶点坐标--J—

I/4

抛物线,=必+法+1的顶点在坐标轴上,

答案第6页，共13页

2

(hAAL2

・・・当顶点-个1-丁在X轴上时，1=0,解得b=i2；

(24

'bb°'b

当顶点一子1一五在,轴上时，-§=0,解得匕=°；

综上所述，。的值为-2或。或2,

故答案为：-2或。或2.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握一般式化为顶点式，会求顶点坐标，并理解

坐标轴上点的坐标特征是解决问题的关键.

16.2

【分析】根据二次函数图象过原点，把(。,0)代入解析式，求出机的值，还需要考虑二次项

系数不能为零.

【详解】解：根据二次函数图象过原点，把(0.0)代入解析式，

得0=加2—4,整理得加之=4,解得m=+2,

*.*m+2^0,

:.m^-2,

m=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐

藏条件.

17.800/80

【分析】由旋转的性质得=20。，OB=OD,ZD=ZOBA,即可得.

【详解】解：:Q4B绕点。逆时针旋转20。得到，OCD,

AZDOB=20°,OB=OD,ZD=ZOBAf

：.ZOBD=ZD=1(180°-/DOB)=80°

ZOBA=ZD=80°,

故答案为：80°.

【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键掌握旋转的性质.

18.-4

【分析】根据已知判断出如九是方程一一2x7=0的两实数根，然后利用根与系数关系即

答案第7页，共13页

可求解.

【详解】解：；实数机，”（相满足等式“一2机一1=0,n2-2n-l=0,

”是方程x2-2x-l=0的两实数根，

m+n=2,mn=—1,

2(m+n)2x2

mn~-T

故答案为：-4

【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义

得至！Jm,〃是方程——2%-1=0的两实数根是解题的关键.

19.(1)占=竦11-V2

(2)xt=—,&=2.

【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；掌握公式法与因式分解的方法解方程是关键.

（1）先计算A=32>0,再利用求根公式解方程即可；

（2）先把方程移项，再分解因式为（2%-5）（尤-2）=0,再化为两个一次方程，再解一次方

程即可.

【详解】⑴解：4尤2-41=0,

AA=(-4)2-4X4X(-1)=32,

4±40_1±&

I+A/21-A/2

解得:X]=

22

(2)x(2x-5)=4x-10,

/.%(2x-5)-2(2x-5)=0,

(2x-5)(x-2)=0,

2x-5=0或x-2=0,

解得：西=|,X2=2.

20.画图见解析，B(3,-3),C(0,-4),A(-2,1),4(-3,3),6(0,4).

【分析】本题考查的是坐标与图形，画关于原点对称的三角形，先确定A,B,C关于原点

答案第8页，共13页

的对称点A,用，G，再顺次连接即可，再根据点的位置可得其坐标，熟记中心对称的性

质并进行画图是解本题的关键.

【详解】解：如图，△ABiG即为所画的三角形,

5（3,-3）,C（0,-4）,A（-2,1）,4（-3,3）,6（0,4）.

21.⑴人＞；

（2）2

【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；

（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得占尤2=^+1=5,再结合（1）的结论即可

得.

【详解】（1）解：关于x的一元二次方程/+（2左+l）x+左2+1=0有两个不等实数根，

此方程根的判别式A=（2左+1『-4俨+1）＞。，

3

解得上＞:.

4

2

（2）解：由题意得：xxx2=k+1=5,

角翠得左二—2或左=2,

3

由（1）已得：k＞~,

4

则人的值为2.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方

答案第9页，共13页

程的相关知识是解题关键.

22.（1）（300-10^）；（20+x）（300—10x）

（2）该商品每件应涨价2元或8元

【分析】（1）根据题意列出代数式即可求解；

（2）根据（1）的结论，结合题意，列出一元二次方程，解方程即可求解.

【详解】（1）解：依题意得：该商品每件涨价x元时，每件利润为（20+x）元，每周销量为

（300—10x）件，每周利J润为（20+^）（300-10x）元.

故答案为：（300-10%）；（20+x）（300-10x）.

（2）依题意得：（20+x）（300-10x）=6160,

整理得：X2-10X+16=0,

解得：士=2,%=8.

答：该商品每件应涨价2元或8元.

【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，根据题意列出代数式以及方程是解题

的关键.

23.（1）抛物线C的开口向下，对称轴为直线x=l,顶点坐标为（1,2）；

（2）y的取值范围为-2Wy这2；

⑶y=_（x+iy+3

【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）根据二次函数的性质可得出答案；

（3）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式.

【详解】（1）解：y=~x2+2x+1=—（x—I）-+2,

.••抛物线C的开口向下，对称轴为直线x=l,顶点坐标为（1，2）；

（2）解：Vy=-（x-l）2+2,

当尤＞1时，y随尤的增大而减小，当尤＜1时，y随x的增大而增大，

当x=0时，y=1；

答案第10页，共13页

当x=3时，产-2；

.♦.当0VxW3时，二次函数的函数值y的取值范围为-2WyW2；

(3)解：•.•抛物线C：y=-(x-l)2+2向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度

得到抛物线C'.

C：y=-(x-l+2f+2+l,即y=-(x+lf+3.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移的规律，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

24.(1)10；(2)见解析

【分析】(1)根据/BCD=a=30,NAC3=120,则ZACD=90,由旋转的性质得

BC=CD=6,然后在RtADC中利用勾股定理求解即可；

(2)由(1)知，BC=CD,由旋转的性质得/BCD=c=60,则△CBD是等边三角形,

得到NCB£>=60,则NCB£>+ZACB=180,AC//BD.

【详解】解：(1)由旋转的性质可得BC=CD=6,ZBCD=a=30,

:ZACB=120,

ZACD=90.

AEDC是,ABC旋转得到的，

...在HADC中，根据勾股定理得4)=Jeu?+C4?=^/^莪？=10.

(2)由(1)知，BC=CD,由旋转的性质得/BCD=tz=60,

△CB。是等边三角形.

ZCBD=60.

又ZACB=120,

/.ZCBD+ZACS=180.

AC//BD.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，平