北师大版七年级数学下册举一反三 专题1.6 乘法公式的几何背景专项训练（30道）（举一反三）（原卷版+解析）

专题1.6乘法公式的几何背景专项训练（30道）【北师大版】1．(2023秋•无为市期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．b2+ab＝b（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值．②计算：(1−12．(2023秋•商城县期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形．如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，则S1＝，S2＝（直接用含a，b的代数式表示）（2）请写出上述过程所揭示的数学公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．3．(2023秋•长春期末）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝，S2＝；（不必化简）（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是；（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．4．(2023春•奉化区校级期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是．（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．5．(2023秋•东莞市期末）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②计算：(1−16．(2023秋•黔西南州期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：．（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．7．(2023秋•科左中旗期末）探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．8．(2023秋•西城区校级期中）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，如：学习平方差公式和完全平方公式，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请尝试解决问题．构图一，小函同学从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图（1）），然后拼成一个平行四边形（如图（2）），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）．A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）构图二、小云同学在数学课上画了一个腰长为a的等腰直角三角形，如图3，他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段，得到一个腰长为b（a＞b）的新等腰直角三角形，请你利用这个图形推导出一个关于a、b的等式．9．(2023秋•思明区校级期末）用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为a，b的正方形和长为b宽为a的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）图3可以解释为等式；（2）要拼出一个两边长为a+b，2a+b的长方形，需要图1中的三种纸片各多少块？请先画出图形，再利用整式乘法验证你的结论．10．(2023春•东海县期末）如图1，是边长分别为a和b的两种正方形纸片．（1）若用这两种纸片各1张按照如图2方式放置，其未叠合部分（阴影部分）面积为S1，则S1＝；（用含a，b的代数式表示）（2）在（1）中图2的基础上，再在大正方形的右下角摆放一张边长为b的小正方形纸片（图3），两个小正方形叠合部分（阴影部分）面积为S2，试求S2．（用含a，b的代数式表示）11．(2023秋•孝义市期末）完全平方公式是多项式乘法（a+b）（p+q）中，p＝a，q＝b的特殊情形．完全平方公式可以用图形表示说明．知识再现如图1，大正方形的面积有两种表示方法．方法一：大正方形可以看作是边长为（a+b）的正方形，则大正方形的面积可以表示为；方法二：大正方形的面积还可以看作是两个正方形的面积与两个长方形的和，即S1，S2，S3，S4的和，则大正方形的面积可以表示为；所以图1中大正方形的面积可以说明的公式是；经验总结完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图1，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1∴a2+b2＝7．方法二：解：∵a+b＝3，即大正方形的面积为9，∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．应用迁移如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，连接BD，若AB＝5，两正方形的面积和S1+S2＝13，求△BCD的面积．（用两种方法解答）12．(2023秋•章贡区期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为．（2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．13．(2023秋•龙岩期末）（1）【观察】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：．（2）【应用】若m+n＝6，mn＝5，则m﹣n＝；（3）【拓展】如图3，正方形ABCD的边长为x，AE＝5，CG＝15，长方形EFGD的面积是300，四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．14．(2023秋•巧家县期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．方法1：；方法2：．（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值．15．(2023秋•花都区期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．方法1：；方法2：；请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：．（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．16．(2023秋•上蔡县期末）利用平面图形中面积相等的等量关系可以得到某些数学公式．例如：根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）根据图②，可以得到的数学公式是；（2）根据图③，请写出（a+b）、（a﹣b）、ab的等量关系是．（3）根据图④，请写出一个等式：；（4）小明同学使用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，恰好拼成一个面积为（3a+b）（a+3b）的长方形，则可得x+y+z的值为；（5）类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．现请你根据图⑥，写出一个等式：．17．(2023秋•西峰区期末）阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．请仿照上例解决下面的问题：（1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）类比探究：若x满足(2023﹣x）2+(2023﹣x）2＝2020．求(2023﹣x）(2023﹣x）的值；（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．18．(2023秋•宽城区期末）【教材呈现】图①、图②、图③分别是华东师大版八年级上册数学教材第33页、第34页和第52页的图形，结合图形解决下列问题：（1）分别写出能够表示图①、图②中图形的面积关系的乘法公式：，．（2）图③是用四个长和宽分别为a、b的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、4ab之间的等量关系：．【结论应用】根据上面（2）中探索的结论，回答下列问题：（3）当m+n＝5，mn＝4时，求m﹣n的值．（4）当A=m+34，B＝m﹣3时，化简（A+B）2﹣（A﹣B）19．(2023秋•南昌县期末）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．图1给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长为a、b的长方形纸片．请解答下列问题：（1）图2是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝；（2）请写出图3中所表示的数学等式：；（3）请按要求利用所给的纸片在图4的方框中拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为（2a+b）（a+b），进而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝；（4）利用（3）中得到的结论，解决下面的问题：若4a2+6ab+2b2＝5，a+b=12，求2a+20．(2023秋•丹棱县期末）阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．21．(2023秋•永春县期中）发现与探索：小丽发现通过用两种不同的方法计算同一几何体体积，就可以得到一个恒等式．如图是棱长为（a+b）的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（1）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为；（2）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．22．(2023春•盐湖区校级期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种方式表示，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图1或图2来表示．（1）上述的方法体现了一种数学思想方法，这种数学思想方法是．A、转化思想B、方程思想C、数形结合思想D、分类讨论（2）请写出图3中所表示的整式乘法的等式．（3）试画出一个几何图形，使它的面积能够表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．（4）请仿照上述方法写出另一个含有a、b的等式，并画出与之对应的几何图形．23．(2023春•龙华区期末）阅读下面的材料，然后解答后面的问题：在数学中，“算两次”是一种常用的方法．其思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如，我们运用“算两次”的方法计算图1中最大的正方形的面积，可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2．理解：（1）运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积，可以得到的等式是；应用：（2）七（1）班某数学学习小组用8个直角边长为a、b的全等直角三角形拼成如图3所示的中间内含正方形A1B1C1D1与A2B2C2D2的正方形ABCD，运用“算两次”的方法计算正方形A2B2C2D2的面积，可以得到的等式是；拓展：如图4，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D是AB上一动点．求CD的最小值．24．(2023春•靖江市月考）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．（1）根据上述过程，写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系：；（2）利用（2）中的结论，若x+y＝4，xy=94，则（x﹣y）2的值是（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：；（4）如图④，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2…，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为Sn时，试求S2021﹣S2020的值．25．(2023秋•天河区期末）某地产公司为了吸引年轻人购房，推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米（0＜9b＜a）．阴影部分作为入户花园，如图2所示．户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．解答下列问题：（1）设两种户型的主房面积差为M，入户花园的面积差为N，试比较M和N的大小．（2）若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型单价较低，并说明理由．26．(2023春•临渭区期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式．（2）用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你写出这三个代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系．（3）根据（2）中你探索发现的结论，完成下列问题：①当a+b＝5，ab＝﹣6时，则a﹣b的值为．②设A=x+2y−34，B＝x﹣2y﹣3，计算：（A+B）2﹣（A﹣B）27．(2023秋•延边州期末）（1）在数学中，完全平方公式是比较熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．若a﹣b＝3，ab＝2，则a2+b2＝；（2）如图1，线段AB上有一点C，以AC、CB为直角边在上方分别作等腰直角三角形ACE和CBF，已知，EF＝2，△ACF的面积为6，设AC＝a，BC＝b，求△ACE与△CBF的面积之和；（3）如图2，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知AM＝7，CN＝3，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为60，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为．28．(2023秋•二道区期末）例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝；（3）如图所示，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝2，长方形EMFD的面积是12，分别以MF、DF为边作正方形MFRN和正方形GFDH，则x的值为．29．(2023秋•朝阳区校级期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式．（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张两边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）的长方形，则x+y+z＝．30．(2023春•姑苏区期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S＝S2﹣S1，则当a与b满足时，S为定值，且定值为．（用含a或b的代数式表示）专题1.6乘法公式的几何背景专项训练（30道）【北师大版】1．(2023秋•无为市期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是C；（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．b2+ab＝b（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x的值．②计算：(1−1分析：（1）分别计算图1和图2中阴影部分的面积，根据面积相等即可得出答案；（2）①逆用平方差公式，求出x﹣2y＝3，联立方程组求x即可；②逆用平方差公式，中间项全部约分掉，只剩下第一项和最后一项，从而得出答案．【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：C；（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），∴12＝4（x﹣2y），得：x﹣2y＝3，联立x+2y=4①x−2y=3②①+②，得2x＝7，解得：x=7②(1−＝（1−12）（1+12）（1−13）（1+13）（1−14）（1=1=1=10112．(2023秋•商城县期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形．如图2所示是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，则S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）（直接用含a，b的代数式表示）（2）请写出上述过程所揭示的数学公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．分析：（1）分别根据图1和图2表示阴影部分的面积即可；（2）由（1）题结果可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）将原式变形为（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，再运用（2）题结论进行计算即可．【解答】解：（1）由图1可表示阴影部分的面积为：a2﹣b2，由图2可表示阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）结果可得公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）或（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）利用（2）题结论可得，（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）+1＝216﹣1+1＝216．3．(2023秋•长春期末）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）；（不必化简）（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．分析：（1）根据图形的和差关系表示出S1，根据长方形的面积公式表示出S2；（2）由（1）中的结果可验证的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）由（2）中所得公式，可得2020×2022＝(2023+1）(2023﹣1）＝20212﹣1，从而简便计算出该题结果．【解答】解：（1）由题意得，S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）中的结果可验证的乘法公式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）由（2）中所得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2可得，20212﹣2020×2022＝20212﹣(2023+1）(2023﹣1）＝20212﹣(20232﹣1）＝20212﹣20212+1＝1．4．(2023春•奉化区校级期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．分析：（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，可得等式；（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形．【解答】解：（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，因此可得a2+2ab+b2＝（a+b）2，即完全平方公式；（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形，拼图如图所示：5．(2023秋•东莞市期末）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②计算：(1−1分析：（1）分别表示出图1剩余部分的面积和图2的面积，由二者相等可得等式；（2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可；②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可．【解答】解：（1）图1剩余部分的面积为a2﹣b2，图2的面积为（a+b）（a﹣b），二者相等，从而能验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴21＝（a+b）×3，∴a+b＝7；②（1−122）×（1−132）×（1＝（1−12）（1+12）（1−13）（1+13）（1−14）（1=1=1=10116．(2023秋•黔西南州期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝4；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．分析：（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分的面积；（2）①利用平方差公式计算即可，②利用平方差公式计算，然后再根据等差数列的求和公式计算．【解答】解：（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵4a2﹣b2＝24，∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，∵2a+b＝6，∴2a﹣b＝4，故答案为：4，②2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12＝（200+199）（200﹣199）+（198+197）（198﹣197）+...+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝200+199+198+197+...+4+3+2+1=1＝20100．7．(2023秋•科左中旗期末）探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（用式子表示），即乘法公式中的平方差公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．分析：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；平方差公式；（2）①原式＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；②原式＝（x﹣3z）2﹣（2y）2＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．【解答】解：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，平方差．（2）①原式＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；②原式＝（x﹣3z）2﹣（2y）2＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．8．(2023秋•西城区校级期中）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，如：学习平方差公式和完全平方公式，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请尝试解决问题．构图一，小函同学从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图（1）），然后拼成一个平行四边形（如图（2）），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（D）．A．a2﹣b2＝（a﹣b）2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）构图二、小云同学在数学课上画了一个腰长为a的等腰直角三角形，如图3，他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段，得到一个腰长为b（a＞b）的新等腰直角三角形，请你利用这个图形推导出一个关于a、b的等式．分析：（1）根据图（1）中阴影部分面积和图（2）图形面积的不同表示方法，可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）通过表示图（3）中梯形面积，可推导出等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：构图一，∵图（1）中阴影部分面积为：a2﹣b2，图（2）的面积为：：（a+b）•2[12（a﹣b）]＝（a+b）（a﹣b∴可得等式为；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选D；构图二、用两种方式表示梯形的面积，可得到12（a2﹣b2也可表示为：12（a+b）（a﹣b∴可得等式12（a2﹣b2）=12（a+b）（a即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．9．(2023秋•思明区校级期末）用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为a，b的正方形和长为b宽为a的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）图3可以解释为等式；（2）要拼出一个两边长为a+b，2a+b的长方形，需要图1中的三种纸片各多少块？请先画出图形，再利用整式乘法验证你的结论．分析：（1）根据图形面积和求解列式可得此题结果；（2）根据边长画出图形，并根据面积列式写出结果即可．【解答】解：（1）∵图3面积为（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，∴图3可以解释为等式（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．（2）需要边长为a的正方形2块，长为b宽为a的长方形3块，边长为b的正方形1块．如下图所示：整式乘法验证，（a+b）（2a+b）＝2a2+ab+2ab+b2＝2a2+3ab+b2，∴需要a×a的正方形2块，需要a×b的长方形3块，需要b×b的正方形1块．10．(2023春•东海县期末）如图1，是边长分别为a和b的两种正方形纸片．（1）若用这两种纸片各1张按照如图2方式放置，其未叠合部分（阴影部分）面积为S1，则S1＝a²﹣b²；（用含a，b的代数式表示）（2）在（1）中图2的基础上，再在大正方形的右下角摆放一张边长为b的小正方形纸片（图3），两个小正方形叠合部分（阴影部分）面积为S2，试求S2．（用含a，b的代数式表示）分析：（1）由题意可得S1＝a²﹣b²；（2）由题意得S2＝2b²﹣ab．【解答】解：（1）由题意可得，S1是图1中两个正方形面积的差，又∵图1中大正方形的面积为a²，小正方形的面积为b²，∴S1＝a²﹣b²，故答案为：a²﹣b²；（2）由题意可得，S2是两个小正方形在长为a，宽为b的矩形内的重叠部分，∴S2＝b²+b²﹣ab＝2b²﹣ab．11．(2023秋•孝义市期末）完全平方公式是多项式乘法（a+b）（p+q）中，p＝a，q＝b的特殊情形．完全平方公式可以用图形表示说明．知识再现如图1，大正方形的面积有两种表示方法．方法一：大正方形可以看作是边长为（a+b）的正方形，则大正方形的面积可以表示为（a+b）2；方法二：大正方形的面积还可以看作是两个正方形的面积与两个长方形的和，即S1，S2，S3，S4的和，则大正方形的面积可以表示为a2+2ab+b2；所以图1中大正方形的面积可以说明的公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2；经验总结完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图1，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1∴a2+b2＝7．方法二：解：∵a+b＝3，即大正方形的面积为9，∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．应用迁移如图2，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，连接BD，若AB＝5，两正方形的面积和S1+S2＝13，求△BCD的面积．（用两种方法解答）分析：知识再现：方法一：根据大正方形的边长为a+b，由面积计算公式得出答案；方法二：分别表示四个部分的面积，再求和即可；应用迁移：从数形两个方面进行计算即可．【解答】解：知识再现：方法一：大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2；方法二：由图1可知，S1＝a2，S2＝ab，S3＝ab，S4＝b2，所以大正方形的面积为S1+S2+S3+S4＝a2+2ab+b2，因此（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2；a2+2ab+b2；（a+b）2＝a2+2ab+b2；应用迁移：方法一：设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，由于AB＝5，两正方形的面积和S1+S2＝13，∴a+b＝5，a2+b2＝13，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，即25＝13+2ab，∴ab＝6，∴阴影部分的面积为12ab＝3，即△BCD方法二：如图，∵AB＝5，即a+b＝5，∴大正方形EMGN的面积为25，又∵S1+S2＝13，∴S正方形BCDM+S正方形ACFN＝25﹣13＝12，即4ab＝12，∴△BCD的面积为12ab12．(2023秋•章贡区期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．分析：（1）根据图2中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案；（2）由（1）的结论，进行应用即可；（3）设两个正方形的边长为a，b，得出a+b＝8，a2+b2＝26，根据完全平方公式计算出ab的值即可．【解答】解：（1）图2，大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，每个长方形的长为a，宽为b，因此面积为ab，由面积之间的关系可得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（2）由（1）得，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，即（m+n）2＝42+4×（﹣3），∴m+n＝2或m+n＝﹣2；（3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1＝a2，S2＝b2，由于AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，因此a+b＝8，a2+b2＝26，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，即64＝26+2ab，∴ab＝19，∴阴影部分的面积为12ab=13．(2023秋•龙岩期末）（1）【观察】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．（2）【应用】若m+n＝6，mn＝5，则m﹣n＝±4；（3）【拓展】如图3，正方形ABCD的边长为x，AE＝5，CG＝15，长方形EFGD的面积是300，四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．分析：（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，可得答案；（2）将m+n＝6，mn＝5代入（1）中公式即可；（3）由正方形ABCD的边长为x，则DE＝x﹣5，DG＝x﹣15，得（x﹣5）（x﹣15）＝300，设m＝x﹣5，n＝x﹣15，mn＝300，得m﹣n＝10，则S阴影＝（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，代入即可．【解答】解：（1）由图形知，大正方形的面积为（a+b）2，中间小正方形的面积为（b﹣a）2，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，将m+n＝6，mn＝5代入得：62﹣（m﹣n）2＝4×5，∴（m﹣n）2＝16，∴m﹣n＝±4，故答案为：±4；（3）∵正方形ABCD的边长为x，∴DE＝x﹣5，DG＝x﹣15，∴（x﹣5）（x﹣15）＝300，设m＝x﹣5，n＝x﹣15，mn＝300，∴m﹣n＝10，∴S阴影＝（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝102+4×300＝1300，∴图中阴影部分的面积为1300．14．(2023秋•巧家县期末）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．方法1：a2+b2；方法2：（a+b）2﹣2ab．（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值．分析：（1）利用阴影部分直接求和和总面积减去空白部分面积两种方法列出正确结果；（2）由图2中阴影部分的面积表示可得：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）①由a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得ab=(a+b)2−(a2+b2)2，故mn=(m+n)2−(②设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，可得（a+b）2＝a2+2ab+b2＝[2（x﹣2022）]2，从而利用a2+b2及ab的值可求得此题结果．【解答】解：（1）阴影两部分求和为a2+b2，用总面积减去空白部分面积为（a+b）2﹣2ab，故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）由题意得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）①由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得ab=(a+b∴m+n＝5，m2+n2＝20时，mn==5=5（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2；＝20﹣2×＝20﹣5＝15；②设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，可得a+b＝（x﹣2021）+（x﹣2023）＝x﹣2021+x﹣2023＝2x﹣4044＝2（x﹣2022），由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，又∵（a﹣b）2＝[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝22＝4，且由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝（x﹣2021）2+（x﹣2023）2﹣[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝34﹣4＝30，∴（x﹣2022）2＝（a+b2）2=15．(2023秋•花都区期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．方法1：（a+b）2；方法2：a2+2ab+b2；请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．分析：（1）由观察图2可得两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，关于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由题意得，a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25，两个等式作差可求得此题结果；（3）由题意得b22+a【解答】解：（1）用两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，关于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由题意得，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25，∴ab=(a+b（3）由题意得图3中阴影部分的面积为：b22+a∴当a+b＝8，ab＝15时，图3中阴影部分的面积为：8216．(2023秋•上蔡县期末）利用平面图形中面积相等的等量关系可以得到某些数学公式．例如：根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）根据图②，可以得到的数学公式是（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）根据图③，请写出（a+b）、（a﹣b）、ab的等量关系是（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（3）根据图④，请写出一个等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；（4）小明同学使用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，恰好拼成一个面积为（3a+b）（a+3b）的长方形，则可得x+y+z的值为16；（5）类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．现请你根据图⑥，写出一个等式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．分析：（1）根据图②利用图形间面积的和差关系可以表示出此题结果；（2）从整体和部分求和两个角度分别表示出图③中正方形的面积即可；（3）从整体和部分求和两个角度分别表示出图④中正方形的面积即可；，（4）由计算（3a+b）（a+3b）可得x、y、z的值，就可以求得此题的结果；（4）从整体和部分求和两个角度分别表示出图⑥中正方体的体积．【解答】（1）图②中左上角正方形的面积可表示为（a﹣b）2或a2﹣2ab+b2，故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）用两种方法表示图③的面积分别为：（a+b）2和（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（3）用两种方法表示图④的面积分别为：（a+b+c）2和a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；（4）∵（3a+b）（a+3b）＝3a2+9ab+ab+3b2＝3a2+10ab+3b2，∴x＝3，y＝10，z＝3，∴x+y+z＝3+10+3＝16，故答案为：16；（5）图⑥的体积可表示为（a+b）3或a3+3a2b+3ab2+b3，故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．17．(2023秋•西峰区期末）阅读材料：若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣3，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2．所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．请仿照上例解决下面的问题：（1）问题发现：若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；（2）类比探究：若x满足(2023﹣x）2+(2023﹣x）2＝2020．求(2023﹣x）(2023﹣x）的值；（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．分析：（1）设3﹣x＝a，x﹣2＝b，则ab＝﹣10，a+b＝1，由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21；（2）设2022﹣x＝a，2021﹣x＝b，则a﹣b＝1，a2+b2＝2020，由完全平方公式可得ab=(（3）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，所以正方形MFNP的面积为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝900．【解答】解：（1）设3﹣x＝a，x﹣2＝b，则a+b＝（3﹣x）+（x﹣2）＝1，由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣10）＝21，即：（3﹣x）2+（x﹣2）2的值为21；（2）设2022﹣x＝a，2021﹣x＝b，则a﹣b＝1，a2+b2＝2020，由完全平方公式可得ab=(即：(2023﹣x）(2023﹣x）的值为20192（3）设DE＝a，DG＝b，则a＝x﹣10，b＝x﹣20，a﹣b＝10，又由ab＝200，∴正方形MFNP的面积为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900．18．(2023秋•宽城区期末）【教材呈现】图①、图②、图③分别是华东师大版八年级上册数学教材第33页、第34页和第52页的图形，结合图形解决下列问题：（1）分别写出能够表示图①、图②中图形的面积关系的乘法公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．（2）图③是用四个长和宽分别为a、b的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、4ab之间的等量关系：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．【结论应用】根据上面（2）中探索的结论，回答下列问题：（3）当m+n＝5，mn＝4时，求m﹣n的值．（4）当A=m+34，B＝m﹣3时，化简（A+B）2﹣（A﹣B）分析：（1）对图①、图②中图形的面积分别从整体和部分和差角度列式表示即可；（2）图③的面积整体计算列式为（a+b）2，将各部分面积求和可列式表示为（a﹣b）2+4ab，将两个算式用等号连接就能得到此题的答案；（3）根据（2）题结果可得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故a﹣b＝±(a+b)2−4ab，由此可利用m+n和mn的值求得m（4）根据（2）题结果可得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故可利用A、B的值求得此题结果为4AB的值．【解答】解：（1）∵图①的面积可表示为（a+b）2或a2+2ab+b2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，∵图②的面积可表示为（a﹣b）2或a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）∵图③的面积可表示为（a+b）2或（a﹣b）2+4ab，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）由（2）题结果（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab可得，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，∴a﹣b＝±(a+b)∴当m+n＝5，mn＝4时m﹣n＝±(m+n)2−4mn=±52∴m﹣n的值为±3；（4）由（2）题结果（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab可得，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∴（A+B）2﹣（A﹣B）2＝4AB，∴当A=m+34，B＝（A+B）2﹣（A﹣B）2＝4AB=4×m+319．(2023秋•南昌县期末）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．图1给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长为a、b的长方形纸片．请解答下列问题：（1）图2是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）请写出图3中所表示的数学等式：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b；（3）请按要求利用所给的纸片在图4的方框中拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为（2a+b）（a+b），进而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2；（4）利用（3）中得到的结论，解决下面的问题：若4a2+6ab+2b2＝5，a+b=12，求2a+分析：（1）利用长方形的面积各部分求和法可得结果；（2）长方形面积分别整体法和各部分求和法可得结果；（3）利用长方形的面积各部分求和法可得结果；（4）根据（3）题结果（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可得4a2+6ab+2b2＝2（2a+b）（a+b），从而将a+b=1【解答】解：（1）∵该长方形的面积用部分求和法表示为：a2+3ab+2b2，故答案为：a2+3ab+2b2；（2）∵该长方形的面积为：（a+b）（3a+b），用部分求和法表示为：3a2+4ab+b2，故答案为：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2；（3）如图，该长方形的面积部分求和法表示为：2a2+3ab+b2，故答案为：2a2+3ab+b2；（4）由（3）题可得，（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，∴2a+b＝（2a2+3ab+b2）÷（a+b）∵4a2+6ab+2b2＝2（2a2+3ab+b2）＝2（2a+b）（a+b）＝5∴（2a+b）（a+b）＝（2a2+3ab+b2）=5∴当a+b=12a+b＝（2a2+3ab+b2）÷（a+b）=5＝5．20．(2023秋•丹棱县期末）阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．分析：（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38作为整式代入即可求出．（3）找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件．【解答】解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（a+b+c）＝（a+b+c）2，各小矩形部分的面积之和＝a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，∴等式为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝112﹣2×38＝45．（3）如图所示21．(2023秋•永春县期中）发现与探索：小丽发现通过用两种不同的方法计算同一几何体体积，就可以得到一个恒等式．如图是棱长为（a+b）的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（1）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；（2）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．分析：（1）根据体积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种是将大正方体棱长表示出来求体积；另一种是将各个小的长方体体积加起来，可得等式（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；（2）根据（1）得出的式子再进行转化，然后把a+b＝4，ab＝2代入计算即可得出答案．【解答】解：∵八个小正方体和长方体的体积之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，∴（a+b）3＝a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，∴（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（2）由（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，得：（a+b）3＝a3+3ab（a+b）+b3，将a+b＝4，ab＝2，代入（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，得（a+b）3＝a3+3ab（a+b）+b3，即43＝a3+3×2×4+b3，解得：a3+b3＝64﹣24＝40．22．(2023春•盐湖区校级期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种方式表示，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图1或图2来表示．（1）上述的方法体现了一种数学思想方法，这种数学思想方法是C．A、转化思想B、方程思想C、数形结合思想D、分类讨论（2）请写出图3中所表示的整式乘法的等式（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2．（3）试画出一个几何图形，使它的面积能够表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．（4）请仿照上述方法写出另一个含有a、b的等式，并画出与之对应的几何图形．分析：（1）数形结合的思想；（2）根据图3表示的图形的面积，写出图3所表示的等式即可；（3）画一个长为a+3b，宽为a+b的矩形即可；（4）类比图1、图2、图3表示图形的方法，画图并表示等式：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．【解答】解析：（1）上述的方法体现了数形结合的数学思想方法；故答案为：C；（2）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；故答案为：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；（3）如图（答案不唯一），（4）如图，等式是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2（答案不唯一）；23．(2023春•龙华区期末）阅读下面的材料，然后解答后面的问题：在数学中，“算两次”是一种常用的方法．其思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如，我们运用“算两次”的方法计算图1中最大的正方形的面积，可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2．理解：（1）运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积，可以得到的等式是（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；应用：（2）七（1）班某数学学习小组用8个直角边长为a、b的全等直角三角形拼成如图3所示的中间内含正方形A1B1C1D1与A2B2C2D2的正方形ABCD，运用“算两次”的方法计算正方形A2B2C2D2的面积，可以得到的等式是（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；拓展：如图4，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D是AB上一动点．求CD的最小值．分析：（1）利用“算两次”方法，先从整体上看是边长为（a+b+c）的正方形的面积，再利用9块“分面积”的和即可；（2）正方形A2B2C2D2的边长为（a﹣b），因此面积为（a﹣b）2，也可以看做边长为（a+b）的正方形ABCD面积减去四个长为a，宽为b的长方形的面积；（3）当CD⊥AB时，CD最短，由三角形的面积计算可得．【解答】解：（1）从整体上看为边长为（a+b+c）的正方形，所以面积为（a+b+c）2，从各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）正方形A2B2C2D2的边长（a﹣b），因此面积为（a﹣b）2，也可以看做边长为（a+b）的正方形ABCD面积减去四个长为a，宽为b的长方形的面积，即（a+b）2﹣4ab，因此有：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；由“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”可得，当CD⊥AB时，CD最短，由三角形的面积可得，12AC•BC=12AB即6×8＝10CD，∴CD＝4.8，答：CD的最小值为4.8．24．(2023春•靖江市月考）如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．（1）根据上述过程，写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）利用（2）中的结论，若x+y＝4，xy=94，则（x﹣y）2的值是（3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图③，请你写出这个等式：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2；（4）如图④，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2…，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为Sn时，试求S2021﹣S2020的值．分析：（1）第①和图中4个长方形的面积之和等于第②个图中大正方形与小正方形的面积之差．（2）根据第（1）问的结论，可以推出（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，分别代入x+y和xy的值就可以求出（x﹣y）2的值了．（3）大长方形的面积等于它的长乘以它的宽．同时，它的面积还等于3个小正方形与1个大正方形和4个小长方形的面积之和．这样就可以得出所求的等式．（4）通过EC∥BG，把△BGE的面积转化为△BGC的面积，再推出△BGC的面积与BC长的关系，再运用平方差公式对S2021﹣S2020进行因式分解，就可以求出所要求的代数式的值了．【解答】解：（1）由图①和图②中矩形的面积为等量得：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，故答案为：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）由（1）中公式可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．同理可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy=4＝7，故答案为：7；（3）分别以大矩形的面积和几个小矩形的面积为等量可得：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2，故答案为：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2；（4）在正方形ACDE和正方形BCGF中，∠ECD＝∠CGB＝45°，∴EC∥BG，∴S△BGE＝S△BGC．当BC＝1时，S1当BC＝2时，S2……当BC＝n时，Sn∴S2021﹣S2020=202=(2021+2020)(2021−2020)=404125．(2023秋•天河区期末）某地产公司为了吸引年轻人购房，推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米（0＜9b＜a）．阴影部分作为入户花园，如图2所示．户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．解答下列问题：（1）设两种户型的主房面积差为M，入户花园的面积差为N，试比较M和N的大小．（2）若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型单价较低，并说明理由．分析：（1）分别计算两种户型的主房面积，相减可得M，再计算两种户型的入户花园的面积，相减可得N，计算M﹣N小于0，可以判断M和N的大小；（2）根据总价÷总面积＝单价，计算两种单价差可作判断．【解答】解：（1）∵M＝a2﹣a（a﹣b）＝a2﹣a2+ab＝ab，N＝（a+b）2﹣a2﹣b（a﹣b）＝a2+2ab+b2﹣a2﹣ab+b2＝ab+2b2，∴M﹣N＝ab﹣（ab+2b2）＝﹣2b2，∵9b＞0，∴﹣2b2＜0，∴M﹣N＜0，∴M＜N；（2）户型一：50(a+b户型二：40(a+b)(a−b)∴50=50(a−b)−40(a+b)=10a−90b=10(a−9b)∵0＜9b＜a，∴a﹣9b＞0，a﹣b＞0，∴10(a−9b)(a+b∴户型二的单价较低．26．(2023春•临渭区期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式．（2）用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你写出这三个代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系．（3）根据（2）中你探索发现的结论，完成下列问题：①当a+b＝5，ab＝﹣6时，则a﹣b的值为±7．②设A=x+2y−34，B＝x﹣2y﹣3，计算：（A+B）2﹣（A﹣B）分析：（1）根据图形面积直接得出即可；（2）用两种方法表示阴影部分的面积可得结论；（3）①根据（2）中的等量关系代入计算可得结论；②同理根据（2）中的公式代入可得结论．【解答】解：（1）图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；图3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（2）图4：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）①由（2）知：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，∵a+b＝5，ab＝﹣6，∴52﹣（a﹣b）2＝4×（﹣6），（a﹣b）2＝25+24＝49，∴a﹣b＝±7，故答案为：±7；②∵A=x+2y−34，B＝x﹣2∴（A+B）2﹣（A﹣B）2＝4×A×B＝4×x+2y−34×（x﹣2y﹣3）＝（x+2y﹣3）（x﹣2y﹣3）＝[（x﹣3）+2y][（x﹣3）﹣2y]＝x2﹣6x+9﹣427．(2023秋•延边州期末）（1）在数学中，完全平方公式是比较熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．若a﹣b＝3，ab＝2，则a2+b2＝13；（2）如图1，线段AB上有一点C，以AC、CB为直角边在上方分别作等腰直角三角形ACE和CBF，已知，EF＝2，△ACF的面积为6，设AC＝a，BC＝b，求△ACE与△CBF的面积之和；（3）如图2，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两