2023-2024学年九年级数学中考试题解法的探究

对一道中考试题解法的探究

试题如图1,在梯形ABC党中，AB〃C党，ZB=90°.AB=2,C党=1,B.C=

m,P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连结PA,过点P作PE_LPA交C党所

在直线于点E.设BP=x,CE=y.

图1图2

(1)求y与x的函数关系式；

⑵若点P在线段BC.上运动时，点E总在线段C党上，求m的取值范围;

(3)如图2,若m=4,将APEC沿PE翻折至4PEG位置，ZBAG=90°,求BP长.

解（I）由相似基本图形，易证得:

△ABPs4PCE,

从而得到y与x之间的函数关系式.

由4B〃CD,得Z.B+ZC=180°,

又乙B=90ZC=90°.

,/PE1PA,

・•・/,BAP+LAPB=90°=（EPC+LAPB,

・•.LBAP=乙EPC,：.ACPE,

,ABBP

•'PC=CE*

AB=2,BC=m,BP=",CE=y,

2x12m

1y=N+y

m-x

(2)根据(J)中求出的y与x的函数关系式，利用二次函数性质，求出其最大值列不等式

(或运用其它灵活的方法)确定m的取值范围.

方法1：；y=-y-x2+-yx

1(m\2

*-2r-T)T'

当"=:时,y取得最大值看

•••点P在线段8c上运动时，点E总在线

段Q9上，

/.(W1,解得-24■这mW24.

o

,Jm为正数，

_二m的取值范围为0<mW24.

方法2：•.•点E总在线段CO上，

CEW1,即-}?+今近1,

化简得x-mx+20.

2Tn2171^.

,/x-mx+———2,

44

,--2W0,

解得-2&WmW24，

/.0<mW2y/2.

方法3门点E总在线段C0上，

CEW1,

即-W1,得，-mx+2云0.

令S=x2—mx+2,则此二次函数图象为抛物线且开口向上，而S-0,所以抛物线与

x轴的交点为1个或0个.

根据二次函数与一元二次方程的关系，方程x2-mx+2=0的根为两个相等的实数根

或无解，所以根的判别一式小于或等于0，

即m2—8W0,

-2-J1WmW2a，:.0<znW2y/2.

方法4：如图3,

当工=学时,y的最大值为为1,

即当点P运动到BC的中点时，y有最大值，此时m亦为最大值.

取AE的中点0,连OP,作EFJ_AB,易知四边形BCEF为矩形，OP为梯形ABC党

3

的中位线，则EF=BC=m,AF=1,OP=—.

2

.\AE=2OP=3.

故在RtZ\AEF中，AE2+EF2=AE2.,

l2+m2=32,m2=8,则m=±2a.

：m为最大值，.*.0<mW2.

(3)在翻折的操作中，经常有相等的量转化，并且构造直角三角形利用勾股定理或相似

构建方程求解，由折叠，可知

PG=PC,EC=EC,NGPE=NCPE.

又,.,/GPE+NAPG=90°,

ZCPE+ZAPB=90°,

.\ZAPG=ZAPB.

VZBAG=90°,；.AG〃BC,

；./GAP=/APB.

AZGAP=ZAPG,故AG=PG=PC.

方法1：如图4所示，分别延长CE、A.G,交于点H,易知ABCH为矩形，

且HE=CH-CE=2-y,

GH=AH-AG=4—(4—x)=x,

在RtaCHE中，由勾股定理，得

GH2+HE1=GE1,

即y+(2-y)2=/,

化简得x1-4y+4=0.①

由(1)可知y=-yx2+?,这时m=4,

y——^-x2+2x.

代人①式，得#-8*+4=0,

解得x="|■或*=2,

图4

・•・的长为2年或2.

方法2：如图5所示，过点P作PHLAG于点H.易知四边形ABPH为矩形,

・・・AH=PB=x.PH=AB=2.

•・・AG=PG=PC=4—x,

:.HC=AG-AH=4-x-x=4-2x.

.在RtZ^PGH中，由勾股定理，得

GH2+PH2=PG2,

即(4-2X)2+22=(4-X)2,

图5

化简得3x2—8x+4=0,

2

解得x=-,或x=2.

3

方法3：如图6所示，分别延长CE、AG,交于点H,作PFLAG于点F,易知四边

形ABCH为矩形，且

GH=4—(4—x)=x,HE=2—y.

=2-1-9+2x)

AFH

=-^-x2-2x+2.

易知四边形48。尸为矩形，AF=x,

GF=4-x-x=4-2%

图6

PF-AB2.

由折叠可知LPGE=乙C'=90°,

易知APGFs"EH,

PFFG24-2x

..•丽=而pn叱=宁二,

即3x2-8x+4=0.

解之得x="I-，或x=2.

方法4：如图7所示，过点G作GHJ_AP于点H,前面己.证AG=PG=4-x,

...△APG为等腰三角形，

GH1AP,:.AH=y?IP.

易证得RtZUBPsRt△GHA,t------------"：：^\

・.AP".B利P_AP_即_一陵I--匚-/］'E

.BpC

：.—4P2=彳(4-x)AP2=2x(4-x).图7

在RtAABP中，由勾股定理，得

AP2=AB2+BP2.

即2x(4-X)=22