2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习 不等式与不等关系（基础+重难点）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第03练不等式与不等关系（精练）

【A组在基础中考查功底】

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）若非零实数a,b满足。>6,则下列不等式一定成立的是（）

A.—B.a+b>2y[abC.lga2>IgZ?2D.a3>b3

ab

【答案】D

【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由因为4>b,可得匕_"0,因为必不确定，所以A错误；

abab

对于B中，只有当。>0为>0,6不相等时，才有a+b>2疝成立，所以B错误；

对于C中，例如a=1,6=-2,此时满足但想/<3〃，所以c错误；

对于D中，由不等式的基本性质，当。>6时，可得03>63成立，所以D正确.

故选：D

2.（2023・全国•高三专题练习）若人<。<0,则下列不等式正确的是（）

A.—>—B.ab<6?2C.------>—D.同>网

aba-ba

【答案】C

【分析】根据不等式性质判断即可.

【详解】解：令6=-3,«=-2,满足6<。<0,但不满足故A错误；

ab

2

Qb<a<Q9:.ab>a9故B错误；

QZ?<a<Qa—b>0,-->0,—<0,>一,故C正确；

9a-baa-ba

Qb<a<0f:\b\>\a\,故D错误.

故选：C.

3.（2023・全国•高三专题练习）已知logQX>log“y（OVaVl）,则下列不等式恒成立的是（）

A.y2<x2B.tanx<tanyC.—V—D.

yx

【答案】c

【分析】根据对数函数的单调性判断A、D选项，取特殊值法判断B,根据对数函数的单调性以及不等式性质判断

C.

【详解】Vlogax>logay（0<a<l）,

.\0<x<y,Ay2>x2,,故A和D错误；

1n441TUTT477"

选项B,当〃=不取x=；,y=--0^,loSi—>1O§1—JHtan—>tan—•显然有tanx>tany,故B错误;

234252434

选项C,由OVxVy可得故C正确；

故选：C.

4.（2023・全国•高三专题练习）如果a<6<0,那么下列不等式成立的是（）

A.-<TB.ab<b2C.—ab<—a1D.--<--r

abab

【答案】D

【分析】由于a<b<0,不妨令〃=-2,b=-l,代入各个选项检验，只有。正确，从而得出结论.

【详解】解：由于4<b<0,不妨令。=-2,b=-l,可得』=U=_1,」>：,故A不正确.

a2bab

可得就=2,b2=19ab>b29故B不正确.

可得—ab=-2,_tJ2=~49.-ab>-a2）故C不正确.

故选：D.

二、多选题

5.（2023・全国•校联考模拟预测）若a>0>6>c,则下列结论正确的是（）

A.->-B.b2a>c2a

cb

C.———>—D.a—c>2］（a

【答案】ACD

【分析】由不等式的性质判断.

【详解】：。〉。〉人〉。，则b—c>0,bc>0,=0,即乌>2,A正确；

cbbecb

2a2

例如4=1,b=-2,c=-3,产=（一2）2=4,c=（-3）=9,显然4<9,B错误；

.a—bba（c-b）八a-bb一、

由〃>0>人>。得。一人<0,a-c>0-----------=-------T>°，即---->一，C正确；

9a—ccc（a-c）a—cc

易知a—c〉O,a-b>0,b-c>09

a-c-2yl(a-b)(b-c)=(a-b)-\-(b-c)-2yl(a-b)(b-c)=(y/a-b-y/b-c)2>0,

/.a-c>2&a-b)(b-c),D正确；

故选：ACD.

6.(2023秋•浙江宁波•高三期末)已知H>5>0,则()

A.2一而<2一物B.logfl72<log^V2

C.—+3b>"lyfabD.a+b>2dab

【答案】AD

【分析】根据不等式性质及指数函数、幕函数单调性可判断A；举反例可判断B；利用基本不等式可判断C,D.

【详解】根据幕函数％=«,指数函数%=2'在定义域内均为单调增函数，

a>b>0,:.-4a<-4b,2<2,故A正确；

由a>人>0,取。=2*=:，可得10820=孑>1。8工应=一：，故B错误；

由a>8>0可得q+3b22、口=当且仅当旦=3b即a=96取等号，C错误；

3V33

由基本不等式可知a+6N2，石，当且仅当。=6取等号，

但a>6>0,等号取不到，故D正确，

故选：AD.

7.(2023秋・浙江嘉兴•高三统考期末)若实数满足a<〃<0,则()

A.-<TB.Ina2>In/?2

ab

C.例D.a+4<bT—

【答案】BCD

【分析】运用不等式的性质，结合对数函数的单调性、作差比较法逐一判断即可.

【详解】A：由a<b<0n“b>0ng<3n1<］，因此本选项不正确；

ababba

B：由v0=(-a)>0=〃2>/?2>0=>lntz2>lnZ?2,因此本选项正确；

C：因为a<Z?<0,所以-回4=一々2+Z?2=(._〃)(/?+a)vO=>a问闷v0=>a同vb码,因此本选项正确；

D：因为a<Z?<0,所以

11(a-b\(ab+\\1111厂u—3V小

a-\b—=---------------<0=>QH-----b<0=>a+—<b+—,因此本选项正确，

baabbaba

故选：BCD

三、填空题

8.(2023・高三课时练习)以下三个命题：①“a>6”是>62”的充分条件；②“同>叶，是“片〉〃,,的充要条件;

③是“a+c>6+c”的充要条件.其中，真命题的序号是.(写出所有满足要求的命题序号)

【答案】②③

【分析】根据不等式的性质一一判断求解.

【详解】对于①，若0>a>人，则/<〃，

所以“a>8”不是“标〉小，的充分条件，①错误；

对于②，因为同>同0，>好=/>凡

所以“14>网”是“/>〃”的充要条件,②正确;

对于③，若a>b,贝！|a+c>b+c,

若a+c>Z?+c,贝(Ja+c+(―c)>b+c+(―c)即a>b,

所以是“a+c"+c”的充要条件，③正确，

故答案为:②③.

9.(2023・全国•高三专题练习)已知-4<Q—c4—l,-l<4a-c<5,9a—c的取值范围是.

【答案】[—1,20]

【分析】设9〃-。=机(a-c)+〃(4〃-c),解出再利用不等式的可加性求解即可得出.

【详解】设9a—c=7n(a—c)+〃(4a-c),BP9a—c=(m+4n)a—(m+n)c,

5

m=——

m+4n=9,解得。3

m+n=l

.5/5(x20^

*：^<a-c<-l/.-<——(a-c]<—①,

933V73

OQ4Q

".,-l<4o-c<5,/.--<-(4«-c)<y(2),

①+②，得-149a-c420,即9a-c的取值范围[-1,20].

故答案为：[-1,20].

四、解答题

10.(2023・全国•高三专题练习)已知。>1b>l,M=

a-\b-1a—\b-\

(1)试比较M与N的大小，并证明;

(2)分别求V,N的最小值.

【答案】(DMWN；证明见解析；(2)M,N的最小值都是8.

(a-b)2(a+b)

【分析】(1)利用作差比较法，得到”-N=-WO,即可求解;

(—)

(2)化简M=a-l+'+6-l+J—+4,结合基本不等式，即可求解.

a-1b-1

【详解】(1)"与N的大小为

、十口,a2b1b1a1(a-b)2(a+b)

证明：由M-N=R_R+口-口

(Q-1)3-1)

2

因为a>l,Z?>1,所以a+b>0,6i-l>0,b-l>0f{a-b)>0,

(a-b)2(a+b)

所以-<0,所以MWN.

(a—1)S—1)

7222

(2)因为M=-^+/h-=[(fl-l)+l]][0-D+1]

a-1b-1〃一1b-1

=a-l+^—+Z?-1+—+4>2./(a-l)x^—+2./(Z?-l)x—+4=8,

a-1b-\Va-\Vb-\

当a5=2时取等号,

又由（1）N>M,所以M,N的最小值都是8.

【B组在综合中考查能力】

一、单选题

1.（2023・高三课时练习）已知a>0,6>0且标一6+440，贝包（

a+b

A.有最小值14B.有最大值114C.有最小值1?7D.有最大值1?7

66

【答案】A

【解析】根据"-6+440,变形为心〃+4,再利用不等式的基本性质得到4+62/+4+4,进而得到

aa37,

---->-----------,然后由立==-二利用基本不等式求解.

Q+Z?a?+a+4a+ba+b

【详解】因为片一6+440,

所以》之片+4,

以〃+/?之〃2+〃+4,

aa

所以--------------，

a+ba+Q+4

所以-二，2-a

~~27，

a+bQ+Q+4

2a+3b1cli4

=3———>3------——=3—------->3=——

所以a+ba+b〃2+4+4〃+3]2.la--+l5'

aVa

当且仅当〃=2*=8时取等号,

故选：A.

【点睛】思路点睛：本题思路是利用分离常数法转化为生学=3-二，再由62a?+4,利用不等式的性质构造

a+ba+b

aa

---->-----------,再利用基本不等式求解.

a+ba2+a+4

2.（2023•海南省直辖县级单位•统考模拟预测）给定下列四个命题:

b

命题①：a>b,c>dna—c>b—d；命题②：a>bn<

2

…0<a<l2<a+b<4ba

命题③：｛2<5<3=｛。<仍<3;命题④：a<》<0=>—

ab

其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据不等式的性质逐项分析①③④，利用指数函数的单调性判断②.

【详解】①中，当a=5,〃=4,c=3,d=l时，不成立，是假命题；

②中，y=是R上的单调递减函数，所以0>6时，是真命题；

③中，当a=2,6=1时，右边成立，而左边不成立，是假命题；

④中，a<b<0^>a2>b2^>—<Y，是真命题.

ab

故选：B

3.（2023・全国•高三专题练习）已知\<x-y<3,则8,•（；）》的取值范围是（）

A.[4,128]B.[8,256]C.[4,256]D.[32,1024]

【答案】C

【分析】先把转化为8"，），=23，,，根据l<x-y<3,求出3尤-2y的范围，利用y=2,单

增，求出z的范围即可.

【详解】&'•（!）>=23*%.

4

设3%—2,=机（％+,）_〃（％_,）=（机—〃）%+（机+〃）,,

1

\m-n=3m~2

所以小解得：

\m+n=-2J

<n=—

I2

3x-2y=^（x+y）-^（x-y）9

因为一"x+yVI,l<x-^<3,

所以3x-2y=g（x+y）_g（x_y）e[2,8],

因为y=2'单调递增，

所以z=23f[4,256].

故选：C

319

4.（2023春・山西太原•高三山西大附中校考阶段练习）已知。=三,6=$山不0=刍，贝ij（）

2万24万2

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】D

【分析】先通过简单的放缩比较c和〃的大小，再通过构造函数，利用图像特征比较b和。的大小，由此可得答案.

9333

【详解】C___—__x__v__

4兀之2兀2兀2兀

:.c<a

313

a————x—,

2兀2%

3

设f(x)=smx,g()=—x

x719

、吐兀«_L.兀37c1

当工=一时,sm—=—x—=—

667r62

3711

.・"(彳)=5111*与80)=7相交于点和原点

71Z'5

3

/.xelC0,—%|时Q,smx>—3x

71

71

6

sin->—,即

224

・二c<a<b

故选：D.

5.（2023•全国•高三专题练习）设a>6>0,ceR,则下列结论正确的是（）

A.2a-b<1B.ac3>be3

Cm(a+b)+品司22cZ?+lb

D.----->-

Q+1a

【答案】D

【分析】由。-6>0利用指数的性质可判断A；当,3<0时可判断B；由0<。+6<1得ln（a+6）<0可判断C；作差

比较大小可判断D.

【详解】因为a>b>0,所以a-8>0,所以2->1，故A错误;

因为a>6>0,当°3<0时，ac3Vbe,故B错误;

由。+6>0,且0<。+人<1时，ln(a+/?)<0,

所以可0+6）+曲山河<0,故C错误;

一、.~一6+1bab+a-ab-ba-b八

因为a>b>0,所以//+])=诟而>°

所以怨>々，故D正确.

a+\a

故选：D.

二、填空题

jrjr

6.（2023•江苏南京•南京市第一中学校考模拟预测）已知角满足-0<。+£<兀，则3c-£的取

值范围是__________

【答案】（-%,2%）

【详解】结合题意可知：3a-6=2（a-/）+（a+0,

且：2（a-£）e（-左,〃），（a+/?）e（O,;r）,

利用不等式的性质可知：3a-（3的取值范围是（-％,2万）.

点睛：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此

类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径.

7.（2023•全国•高三专题练习）已知函数”无）=加-b满足-44/⑴W-L,-1</（2）V5,则43）的取值范围是

【答案】

CQ

【解析】把“3）用了⑴"（2）表示，可得〃3）=9〃-6=-|〃1）+|"2）,由4W〃1）WT,TW〃2）W5,利用不等式

的性质可得结论.

【详解】由题意得,

[f（2）=4a-b,

[」⑵-”1）

Cl一,

解得43

y⑴+§“2），

<Q

所以43）=9j=_J⑴+§〃2）,

因为

所以六1"4争

因为一”〃2）W5,

所以予“⑵空.

两式相加得-”〃3）（20,

故”3）的取值范围是[T,20].

【点睛】本题主要考查二次函数的性质以及对不等式的性质掌握的熟练程度，考查灵活应用所学知识解答问题的能

力，属于中档题.

三、解答题

对，试比较与尤2+3的大小，并说明理由;

8.（2023・高三课时练习）（1）已知x>0,4

（2）设0>>>c,a+b+c=l,且/+/+/：=1,证明：c<0.

【答案】（1）x3+^>x2+^,理由见解析;

（2）证明见解析

11X2-1

【详解】（1）d+与一X?-==-

当Ov%vl时，x-l<0,1—白<0,所以"一1)[一去)〉0，即

当X>1时，X—1>0,1>0，所以(X—1)[1BpX3+—>X2H7

综上：兀3-I---->X2-Y

XX

(2)证明：由Q+Z?=1—c得/+〃=(.+人)2一2〃人=(1—。了一？〃6：1—/.

ab=c2—c>

因此构造以。、人为根的一元二次方程f-(1-c)x+，_c=O.

令/(%)=%2-(1-C)X+C2-C.

A>0,

由。、beR及a>b>c,得<〃+/?=l-c>2c,

/(c)>0,

解得-；<c<0,所以。<0

【C组在创新中考查思维】

一、单选题

1.(2023春•四川成都•高三成都七中校考开学考试)关于x方程|lgx|=左的两个根为a,b,且。<b<2a,则以下结

论正确的个数是().

(1)ab=\-,(2)正<a<l；(3)2<a+b〈胆;(4)ba+i>(a+l)\

22v7

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据对数函数的图象与性质判断(1),再由不等式的性质判断(2)(3),构造函数，利用导数的单调性判

断(4).

【详解】方程旭,=左的两个根为a,b,所以|lg〃|=|lgb|,如图，

a<b,「.—lga=lg"BP\gb+lga=igab=O,:.ab=l9故(1)正确;

■■-b=~,;.0<a<-<2a,解得故(2)正确；

aa2

由人=工，a+b=a+-,因为y=x+，在(走,1)上单调递减，故2<x+』<述，所以2<a+b(述，故(3)正

aax2x22

确；

由知，ba+1>(a+1)^(a+1)InZ?>&ln(a+1)<=>—>ln(fl+1),

ba+1

设〃X)=史，贝!J尸(x)=上孚，令尸(无)=匕学=。解得x=e,

XXX

故当xe(O,e)时，Ax)>0,故当方在(0,e)上递增,

因为变<a<l,所以1+变<a+l<2,l<b=-<s/2,

22a

故6,a+]e(O,e),又/1a2+a-a1-a+1~^a+^

aaaa

由/(X)在(O,e)上递增知，则等<生答1,故(4)错误.

故选：C

2.(2023•全国•高三专题练习)己知a,beR,满足e"+e"=l,则下列错误的是()

A.a+Z?<-21n2B.ea+Z?<0

C.ab>lD.2(e2a+e2fc)>l

【答案】C

【分析】根据基本不等式可判断A;判断a,6e(e,0),将e〃+6化为l+b-e",构造函数，利用导数判断B;当

a=b=_ln2时，ab<\,可判断C;利用柯西不等式判断D.

【详解】A,由e"+e〃=lN2je"拓，得a+bV-21n2,当a=6=-ln2时等号成立，正确；

B,e"+e”=1,故0<e"<l,0<e"<1,故a,6«—,0),

由6。=1一6〃>0,^ea+b=l+b-eb^a,〃e(f,0),

令〃x)=e*-x且XW(F,0),贝！]尸(x)=e*-l<。，递减，

所以〃x)>〃0)=l，r>x+l.即e"+b=l+/-e><0成立，正确；

C,当a=6=-ln2时，aZ?=In22<1,错误；

D,(ea+e4)2=1<(1+1)(e2a+eM)=2(e2fl+e2fc),当且仅当a=/=-ln2时等号成立，正确，

故选：C

3.(2023•全国•高三专题练习)已知尤，y是正实数，则下列式子中能使x>y恒成立的是()

21112111

A.%+—>》+—B.x+—>》+—c.x->y——D.%------>y——

yx2yxyx2yx

【答案】B

【分析】特殊化的方法，取x=y可判断A,取xf0,y=l可判断C,D,可排除A,C,D,可得答案B,也可利用不

等式性质证明B正确.

【详解】对于A,取了=九该不等式成立，但不满足工>，

对于C,该不等式等价于尤+工>>+2,取x3o,y=i,该不等式成立，但不满足x>y；

xy

对于D,该不等式等价于x+,>y+4,取x-o,y=l,该不等式成立，但不满足x>y；

x2y

下面证明B

法一

不等式等价于而

x2yx2yy

函数/（x）=x」在（0,内）上单增，故》>%

X

法二

若则故尤+；<，+’,矛盾.

2y尤2yx

故选：B

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，函数的单调性，反证法，属于中档题.

二、填空题

I*?X

4.（2023•全国•高三专题练习）设尤，y为实数，满足3V孙？<8,44—49,则石的最小值是.

yy

【答案】|

【解析】利用方程组形式，可得方=（町，求得〃后结合不等式性质即可求得充的最小值.

【详解】设充=（孙2）“,

即孙与=•产"

m+2n=lm=­l

所以

2…一3’解得n=l

所以.=（盯2]