2023-2024学年湖北省黄石市阳新高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年湖北省黄石市阳新高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.数列;，,_±.•的一个通项公式是％=（）

248,16,

C.HT㈠)〃

A.B.D.

2nXT22

【正确答案】C

【分析】结合数列前4项的规律，归纳可得通项公式是%.

111

【详解】解：由己知数列-48--

16

•••数列所有的奇数项为正，偶数项为负，

故可用（-1广’或（-1）向来表示各项的符号，

除了正负号以外的部分该数列的分子均为1,分母为2的次累

故数列；，-7，!,……的一个通项公式是〃=（7）".

24816"2"

故选：C.

2.抛物线V=6y的焦点到准线的距离为（）

A.yB.1C.2D.3

【正确答案】D

【分析】根据抛物线中p的几何意义可求解.

【详解】解：抛物线/=6），的焦点到准线的距离是p=3,

故选：D.

3.等差数列｛q｝中，%+佝=16,%=2,则”[2=（）

A.10B.14C.15D.30

【正确答案】B

【分析】利用等差数列的通项公式即可得出«12的值.

【详解】解：设等差数列｛”“｝的公差为d,

/+。9=16,a=2,

124+14d=16

解得q=_5],J=3|.

[al+3d=2

故选：B.

4.若数列｛%｝的前〃项和S“=：4+1,则应｝的通项公式是()

A.q=(-2广B.a.=3x(-2)iC.4=3x(-3广,D.4=(-2)*'

【正确答案】B

【分析】令〃=1,解得4=3,当wN2时，an=Sn-S„_｝,得数列的递推公式，根据等比数

列的定义，通项公式，即可得到所求.

2

【详解】令〃=1,则%=丁4+1,解得4=3,

2

当“22时，S„_,=-tz„.t+l,

22

则«„=S„-S„-1a,-，即a„=-2",1,n>2,

所以数列｛4｝是以3为首项，-2为公比的等比数列，

所以4=3>(-2)。

故选：B.

5.若直线以+2y+l=0与直线x+y-2=0互相垂直，那么“的值等于

12

A.1B.—C.-D.—2

33

【正确答案】D

【分析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可.

【详解】因为直线以+2y+l=0与直线x+y-2=0互相垂直，

所以axl+2xl=0=a=—2,

故选：D.

对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直

与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）41也=仁=心

（/j&oABz-AB=0）；（2）4，/20K•他=-1（4_u20A•4+8「仄=0）,这类问

题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.

6.在△ABC中，AB=3,BC=4,ZABC=120°,若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形

成的几何体的体积是（）

A.1IKB.12兀C.137rD.147r

【正确答案】B

【详解】试题分析：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是两个底面半径均为以C

到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案.

解：△ABC绕直线AB旋转一周，所形成的几何体是：

两个底面半径均为以C到AB的距离CO为半径，高之差为AB的圆锥的组合体，

VBC=4,ZABC=120°,

：.CO=243,

12

安•冗・0C・AB

...凡何体的体积v=3"=12兀,

故选B

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）.

S,3〃+22+ac.

7.两个等差数列｛q｝和色｝，其前〃项和分别为s.，，，且b=不，则H户7等于（）

〃+J%十”|5

9「25-65_149

A.-B.—C.—D.

4242424

【正确答案】C

【分析】由已知，根据等差数列的通项性质以及前〃项和公式，把式詈转化为黑求解即

4+九T”

可.

生+外o_"+%_菱（《+"21）_S^_3x21+2_65

【详解】解：由等差数列的性质可得,4+九=4+H广|1伍+"）=汇=21+3=五

故选：C.

丫2v2

8.已知F是双曲线j-刍=1（a>0,b>0）的右焦点，A,8分别为其左、右顶点.。为

ab'

坐标原点，。为其上一点，轴.过点A的直线/与线段。尸交于点E,与y轴交于点M,

直线BE与y轴交于点N,若310M=2|0N|,则双曲线的离心率为（）

A.3B.4C.5D.6

【正确答案】C

【分析】设A（-a,0）,M（0,2，w）,8（a,0）,N（0,-3m）,贝lj直线AM:y=（x+2相，直线

BN:y=?x-3m,据两条直线的交点为点£,建立等量关系，求双曲线的离心率.

【详解】如图，设A（-a,0）,M（0,2M）,8（4,0）,N（0,-3〃z）,

9/273777

则直线A/：y=——x+2m直线BMyn2—x-3m.

aaf

直线AM,8N的交点E（c,y）

2mcc3/nc-c

-----F2m=-----3m,则mil一=5c,

a

二・双曲线的离心率为5.

本题考查双曲线的离心率，重点考查转化思想，属于重点题型.

二、多选题

9.已知〃?，〃是互不重合的直线，a,尸是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（）

A.若加//a,mlIp,a/3=n,则B.若，“〃“，nca,则帆//a

C.若〃z_La,nVp,mVn,则eJ_£D.若/n_La,mVn,a11P,则〃〃尸

【正确答案】AC

【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项判断即可.

【详解】解：小，〃是互不重合的直线，名夕是互不重合的平面，

对于A,若m〃a,mM/3,a/?=〃，则由线面平行的性质得加〃〃，故A正确；

对于B,若???〃"，〃ua,则加//a或，“ua,故B错误；

对于C,若mla,〃，夕，加，〃，则由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理得a，

故C正确；

对于D,若机_La,m±n,al1（3,则〃//£或〃u£,故D错误.

故选：AC.

10.设｛“"｝是等差数列，S”为其前"项和，且S7Vs8,Ss—S9>Sio,则下列结论正确的是（）

A.J<0B.。9=0C.SU>S7D.S8、Sg均为S〃的最

大值

【正确答案】ABD

【分析】由题意可得数列的前8项为正数，第9项为0,从第10项开始为负数，各个选项

验证可得答案.

【详解】解：•••57VS8,.•.的乂）,

•S8'=S9,・・〃9=0,

则a9~a8=dV0,

故选项A,B正确；

（一,11x10AJ7x6、」

S〃一S7=[llq+―--—+-^—Jd

=11。/+55d—laj-2\d=4〃/+34d<0,

:。9=。/+8"=0,cii=-8d

：.4a/+34d=-32d+34d=2d<0

：.Sn<S7,故c错误.

易知数列的前8项为正数，第9项为0,从第10项开始为负数，故选项D正确；

故选：ABD.

2222

11.关于双曲线C：二-二=1与双曲线c,：E—上=-1,下列说法正确的是（）.

916■916

A.它们有相同的渐近线B.它们有相同的顶点

C.它们的离心率不相等D.它们的焦距相等

【正确答案】CD

【分析】根据双曲线的几何性质，逐一分析选项即可.

43

【详解】双曲线C1的渐近线为：y=±；x,双曲线G的渐近线方程为：y=?=x，故A错

34

误；

双曲线C1的顶点坐标为（±3,0）,双曲线G的顶点坐标为（±4，。），故B错误;

双曲线C1的离心率《=£1+-=-,双曲线C,的离心率

93

双曲线G的焦距2c=10,双曲线G的焦距2c=10,故。正确.

故选：CD.

本题考查双曲线的简单几何性质，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.

12.设等比数列｛册｝的公比为q,其前〃项和为Sn,前n项积为Tn,并满足条件aAT,a2019a2020

>1,约1二IVO,下列结论正确的是（）

a2O2O-1

A.S20I9<S2020

B.0201902021-l<0

C.小02。是数列｛»?｝中的最大值

D.数列｛7｝?｝无最大值

【正确答案】AB

【分析】根据题意,由等比数列的通项公式可得（a*8）（a]。"=（田）?（产）>1,

分析可得4>0,可得数列｛〃"｝各项均为正值，又由包吟■<（）可得生019<1或1/019>1

。2020一1°2020>1I^2020<1

由等比数列的性质分析可得g的范围，据此分析4个选项，综合即可得答案.

【详解】根据题意，等比数列｛“〃｝的公比为q,若如如。2。>1，则（卬产8）（田产9）=⑵）

2（产7）>1,

又由田>1,必有q>0,则数列他〃｝各项均为正值，

又由斑它<0,即（/。,9-1）（的2。-|）<0,则有/刈9：或什9>\

“2020I[〃2020>1[〃2020<1

仿MQ>1

又由〃/>1,必有0<4<1,则有彳一,

1^2020<1

对于A,有S2020-S20/9=a2020>。,即S2019<S2020,则A正确；

对于B,有〃2020<1，则。20/放202/=（42020）?V1,则B正确；

[>1

对于C,2019,则乃0/9是数歹火刀/｝中的最大值，C错误，同理D错误；

1^2020<1

故选：AB

三、填空题

13.已知在数列｛4｝中，4=1,—=—+1,则即）等于____________.

a”+lan乙

2

【正确答案】-

【分析】根据题意可得数列是以1为首项，5为公差的等差数列，再利用等差数列的

通项公式即可得解.

11I111[111,I

【详解】解：因为——=一+不，所以-------=弓，则数列一是以一=1为首项，g为

4用2an+la„2qq2

公差的等差数列,

11z111111112

则丁厂(〃一1)'5=5〃+5,故晨=5*1r0+5=万，所以须=于

故2.

11

14.经过点p(l,-3)作圆(工+1『+丁=25的弦48,使点尸为弦A3的中点，则弦AB所在直线

方程为.

【正确答案】2x-3y-ll=0

【分析】由圆(X+1?+寸=25得到圆心C(-1,0),利用斜率计算公式可得%＞，由于点尸为弦

AB的中点，利用垂径定理及其推论可得CPLAB.再利用相互垂直的直线斜率之间的关系

可得幻a，再利用点斜式即可得出直线AB的方程.

【详解】解：由圆(工+1)2+'2=25得到圆心。(—1,0),・4”=匚询=-5，

2

点P为弦A3的中点，.•.CPLAB,则心3=§.

7

「•弦A3所在直线方程为y-(-3)=-(x-l),化为2x-3y-ll=0.

故2x-3y-ll=0.

22

15.已知写、F?是椭圆.+与=1在左、右焦点，尸是椭圆上一点，若△0耳心是等腰直角

三角形，则椭圆的离心率等于.

【正确答案】显或近-1

2

【分析】依题意分P为直角顶点与/用丹P或〃鸟尸为直角两种情况讨论，当尸为直角顶点，

由对称性可得尸在上(下)顶点处，即可得到6=。，从而求出离心率，若/丹外尸为直角,

则P(c,y),代入椭圆方程，求出丁的值，再根据|P段=由用即可得到方程，最后转化为

关于e的方程，解得即可.

【详解】解：由△尸与鸟是等腰直角三角形，

若P为直角顶点，根据对称性可得P在上(下)顶点处，所以|0"=|。用，

即为b=c,即有。=7^77=缶.则e=£=立.

a2

若NF"或ZFFP为直角，不妨令NF\F,P为直角，止匕时P(c,y)，代入椭圆方程、+y-

t2=1f

a

得y=±—•

又△尸石鸟为等腰直角三角形，所以「段二内周，

序

故得一二2c,BP2ac=a2-c2,即/+2e-1=0.解得e=-l±0,

又0<e<l,得e=0—l.

故椭圆离心率为日或&-1.

故乎或07

16.已知圆锥的母线长度为3,一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一

周，再回到出发点的最短距离为3,则此圆锥的底面圆半径为.

【正确答案】1##0.5

【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离，由

此求出底面圆的半径.

【详解】解：把圆锥的侧面展开形成一个扇形，

则对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离，

如图所示，由S8=S8'=3,88'=3,得NBSB'=1,

设底面圆的半径为r,则2口=n,

解得r=；,

即底面圆的半径为g.

故；.

四、解答题

17.如图，长方体A8CQ—A/8/C/。/中，AB=AD=2,AA,=4,点P为OD/的中点.

⑴求证：直线B。/平面出C；

(2)求证：直线尸B△平面丛C.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)直接利用三角形的中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理得

到结论.

(2)利用线面垂直的判定和性质定理和勾股定理的逆定理得到线线垂直，进一步利用线面

垂直的判定得到结论.

长方体ABCD—ABCD中，点尸为DD1的中点，

连接AC和BO,相交于点0,连接0P,则。为BO的中点，

所以OPBDi,

8QZ平面B4C,OPu平面B4C,

所以直线8。八?平面处C.

(2)连接0B/,由于四边形ABC。是正方形，所以ACJ.B。,

BB/J.平面ABC。，ACu平面ABC。，所以AC_LBq,

BOu平面38QO,BB[u平面BBRD,BDcBB1=B,

所以AC，平面因为P8/U平面

则AC，叫

长方体ABC£>-A/B/G£>/中，AB=AO=2,AA/=4,

则Pg=j2?+（2夜）'=2A/5，0「=｛2、（可=&，Og=,4?+（应丫=30,

则PB「+O尸=0B；,所以P8/L0P,

ACu平面PAC,OPu平面PAC,ACOP=O,

直线P8△平面PAC,

18.S,为数列｛%｝的前〃项和，已知勺>0,6S,,+4=q：+3a“.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵设勿=——，求数列出｝的前〃项和.

anan+\

【正确答案】（1）%=3〃+1

（2）1--^

129/7+12

【分析】（1）根据前八项和S”，由6s“+4=始+3%,作差即可求解包｝的通项公式;

（2）根据裂项求和法即可求解.

【详解】（1）解：①当”=1时，。；+34=6S1+4=6q+4,

又a“>0,q=4,

②当时，由6s,+4=a；+3%,可得65“_1+4=a+3%

两式相减得：6a“=a：-“；|+3a“-3a,i,整理得（a,+%）（%-岫-3）=0,

•：a„>0,：.an-an_t=3,n>2,

.♦.｛%｝是以首项为4,公差为3的一个等差数列，

.,.〃〃=3〃+1；

,1\（11、

（2）解：由（1）可得勿=7^_■TwT-a―7-o―7-

（3〃+1）（3〃+4）313〃+13/?+4）

数列也｝的前"项和:

2+扑(片〉+(右-熹)]T*焉[*

19.设P是抛物线f=8x上一个动点，尸是该抛物线的焦点.

(1)求点P到定点A(-2,2)的距离与到直线X=-2的距离之和的最小值;

⑵若8(3,2),求|尸8|+4用的最小值.

【正确答案】(1)2石

(2)5

【分析】(1)得出抛物线的焦点坐标，准线方程，利用抛物线的定义，将问题转化为：求P

到点A(-2,2)的距离与点P到尸(2,0)的距离之和最小值.

(2)过B作8Q垂直准线于Q,交抛物线于Pi，可得「/。尸「田，利用|P周+|PF|N|P/B|+|P/Q|,

即可得出结论.

【详解】(1)由V=8x,得F(2,0),准线是》=一2,

则点P到直线x=-2的距离d等于点P到焦点F的距离.

故d+IBAinPFI+IBAlNlAFI，

\AF\=J(2+2『+(O-2『二2后.

故最小值为2逐.

(2)过8作8Q垂直准线于。，交抛物线于B,

如图此时|P/Q|=|P/f],

则|PB|+|PM=|尸8|+|PQ回P/B|+|P/Q|=|BQ=5,故最小值为5.

20.已知等差数列｛“〃｝满足：《=1,>a“(n€N),a/+2,。2+2,o?+5成等比数歹ij,

4〃+310g2加=-2.

(1)求数列｛。〃｝,｛加｝的通项公式;

（2）求数列｛M加｝的前〃项和Tn.

【正确答案】⑴。〃=3〃-2,〃£N*；

(2)7；=4-(3〃+4)(g),“eN*

【分析】（1）设等差数列｛“〃｝的公差为d,由题意可得d>0,运用等差数列的通项公式，和

等比数列的中项的性质，解方程可得d,进而得到数列｛卬?｝的通项公式，再由对数的运算可

得｛〃〃｝的通项公式；

⑵求出/也=（3〃-2）1gj,再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公

式，化简整理即可得到所求和.

【详解】（1）设等差数列｛“〃｝的公差为d,

由a/=l,an^i^>an（〃WN*）,可得：

d>0,〃2=l+d，〃3=l+2d,

由〃/+2,/+2,田+5成等比数列，可得:

（欧+2）2=（句+2）（々§+5）,即为（d+3）2=3（6+2d）,

解得d=3,

贝ij〃〃=〃/+Cn—1）d=1+3（〃-1）=3〃一2,〃WN*,

又an+3\og2bn=­2,/.\og,2bn=­n,

可得"，〃《N*；

（2）a〃也=

则前〃项和+4.（i）+7｛|）++伽-2吗），

京=咽+4.出+7.0++（3”-2）.出，

两式相减可得京430+出+0++（；）-（3〃-2）（；）

(=4_(3〃+4>,〃eN*.

21.如图所示的三棱柱4BC-A/B/G中，棱A4/JL底面A/B/C/,A8=AC=A4/,ZABC=30°,

M,N,。分别是A/8/,A1C1，BC的中点.

（1）求证：MN_LA。；

（2）求为二面角M—AO—N的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

【分析】（1）取&C/的中点D,连接。D,\iDi,可得AR,用G，再由三角形中位线定

理可得MN〃与G，则MN_LAA，由9-L底面A/B/G,得抽，/N,再由线面垂直的判

定可得MN_L平面A/A。。/,则MN/AO；

（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系为。一孙z（点。与点A重合），求

出所用点的坐标，进一步求出平面AOM与平面ACW的一个法向量，由两法向量所成角的余

弦值求得二面角M—A。一N的余弦值.

【详解】（1）证明：如图，取8/G的中点。，

连接。功，AtDh

在三棱柱ABC-48/C/中，由AB=AC,得A/8/=4G,AR，与G,

■：M,N分别是A/B,A/Q的中点，r.MN//qG，得MN上入2,

。A4,JL底面A/B/&,MVu平面A/8/G,：.A\LMN,

又：A41cAR=A,且Adu平面A/AOn,AQu平面A/。。/,

二MN,平面AiAD/%,

'''ADu平面AiADDi,

：.MN1AD,

(2)解：设A4/=2,作A/Z纪C,

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系为O—xyz(点。与点A重合),

则A（0,0,0）,A,（0,0,2）,

由题意，。为BC的中点，AB^AC^AAi,ZABC=30,

AD（0,l,0）,B（73,l,0）,耳（后1,2）,C（-^,l,0）,^（-73,1,2）,

由M,N分别是4/8/,A/G的中点，得M-^-,^