1.2.1等差数列的概念及其通项公式(2)课件高二下学期数学北师大版选择性

2.1等差数列的概念与通项公式（第2课时）温故知新变形为1234Onan1234Onana1-d1234Onana1d>0d<0d=0探究1等差数列的函数特性在首项为a1,公差为d的等差数列{an}中,对于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可将an记作f(n),它是定义在正整数集(或其子集)上的函数.其图象是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是正整数,其中公差d是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加d.当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0时,数列{an}为递减数列;当d=0时,数列{an}为常数列.（1）求这个数列的通项公式；（2）画出这个数列的图像；（3）判断这个数列的单调性.试一试

已知（1,1）,（3,5）是等差数列

图像上的两点.解得于是解

（1）由于（1,1），（3,5）是等差数列

图像上的两点，所以（2）图像是直线上一些等间隔的点，如右图所示.1234Onan51234567（3）单调递增.直线的图像单调递增探究2如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么

A叫作a与b的等差中项.A=.思考

若-2,x,6成等差数列,则实数x的值是什么?提示:∵x-(-2)=6-x,∴x==2.思考

是否任何两数都有等差中项?已知两数m,n,它们的等差中项唯一吗?提示:是;唯一.【例1】

在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.

变式

一个木制梯形架的上、下两底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级.试计算梯形架中间各级的宽度.解记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an}，则,由梯形中位线的性质，易知每相邻三项均成等差数列，从而{an}成等差数列,依题意有:答

梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm.【例2】

(1)已知三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数;(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.(1)解:设这三个数依次为a-d,a,a+d,故这三个数为4,3,2.(2)解法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,依题意得,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.解法二:设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d,依题意得,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=2,a=-2.故所求的四个数为-2,0,2,4.【变式训练2】

已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,根据题意,得

探究3思考

对于等差数列{an},首项为a1,公差为d,回答下列问题:(1)a10+a20与a14+a16是什么关系?(2)a6,a10,a14成等差数列吗?(3)2am=am-1+am+1(m∈N+,m>1)是否恒成立?提示:(1)相等.(2)成等差数列.(3)是.等差数列的项与序号的性质①两项关系通项公式的推广:an=am+(n-m)d(m,n∈N+).②多项关系项的运算性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N+),则am+an=2ap.试一试.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若{an}为等差数列,且m+n=p,则am+an=ap.(

)(2)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q.(

)(3)等差数列去掉前面连续的若干项后,剩下的项仍构成等差数列.(

)(4)在等差数列{an}中,若m+n+p=3t,则am+an+ap=3at.(

)××√√【例3】

在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求数列的公差及通项公式.解

设等差数列{an}的公差为d.因为a8=a2+(8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2.又因为an=a2+(n-2)d,所以an=5+(n-2)×2=2n+1,n∈N+.变式训练3已知{bn}为等差数列,若b3=-2,b10=12,则b8=

.

答案

8

解析

∵{bn}为等差数列,∴可设其公差为d,则∴bn=b3+(n-3)d=2n-8.∴b8=2×8-8=8.【例4】

在公差为d的等差数列{an}中,(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求d.解法一:(1)化成a1和d的方程如下:(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,即4(a1+12d)=48.∴4a13=48.∴a13=12.(2)化成a1和d的方程如下:∴d=3或-3.(2)由a2+a3+a4+a5=34,及a3+a4=a2+a5得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17.解法二:(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48,及a2+a24=a3+a23=2a13,得4a13=48,∴a13=12.【变式训练4】

(1)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,求a1+a2+…+a7的值.解:∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12,则a4=4.又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,故a1+a2+…+a7=7a4=28.(2)已知{an}为等差数列,a4+a7+a10=30,则a3-2a5的值为(

).A.10 B.-10 C.15 D.-15答案:B等差数列的其它性质若{an}是公差为d的等差数列,则下列数列:①{c+an}(c为任一常数)是什么数列？公差为

d

的等差数列;②{c·an}(c为任一常数)是是什