5.2平行线及其判定2024年七年级数学下学期重点题型方法与技巧（人教版）

第五章相交线与平行线5.2平行线及其判定1平行线（1）定义两直线a，b永不相交，我们说直线a与b互相平行，记作a//b。（2）平行公理同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.（3）平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说，如果a//b，a//c，那么b//c。2平行线的判定①同位角相等，两直线平行；即如果∠1=∠2，则a//b；②内错角相等，两直线平行；即如果∠2=∠3，则a//b；③同旁内角互补，两直线平行；即如果∠2+∠4=180°，则a//b.【题型1】平面内两直线位置关系【典题1】如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是()个．A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个解析当三条直线平行时，交点个数为0；当三条直线相交于1点时，交点个数为1；当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2；当三条直线互相不平行时，交点个数为3；所以，它们的交点个数有4种情形．故选：D．【巩固练习】1.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是()A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对答案C解析在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．故选：C．2.下列说法正确的是()A．同一平面内没有公共点的两条直线平行 B．两条不相交的直线一定是平行线 C．同一平面内没有公共点的两条线段平行 D．同一平面内没有公共点的两条射线平行答案A解析A、平行线的定义：同一平面内没有公共点的两条直线平行，故本选项正确；B、在同一个平面内，两条不相交的直线是平行或重合，故本选项错误；C、同一平面内没有公共点的两条线段不一定平行，故本选项错误；D、同一平面内没有公共点的两条射线不一定平行，故本选项错误．故选：A．3.如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是()A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定答案A解析观察图形可知，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行．故选：A．4.如图，同一平面内经过直线l外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有()A．1条 B．2条 C．3 D．4条答案C解析∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，∴过直线l外一点O的四条直线中，最多只有一条直线与l平行，∴与直线l相交的直线至少有3条，故选：C．5.如图，在正方体中，与线段AB平行的线段有．答案C解析与AB平行的线段是：DC、EF；与CD平行的线段是：HG，所以与AB线段平行的线段有：EF、HG、DC．故答案为：EF、HG、DC．【题型2】平行公理及其推论的应用【典题1】下列说法中，正确的个数为()(1)过一点有无数条直线与已知直线平行(2)如果a∥b，a∥c，那么b∥c(3)如果两线段不相交，那么它们就平行(4)如果两直线不相交，那么它们就平行A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；(2)根据平行公理的推论，正确；(3)线段的长度是有限的，不相交也不一定平行，故错误；(4)应该是“在同一平面内”，故错误．正确的只有一个，故选A．【典题2】作图题：(只保留作图痕迹)如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作：(1)过点A作BC的平行线；(2)过点C作AB的平行线，与(1)中的平行线交于点D；(3)过点B作AB的垂线．解析如图，(1)A所在的横线就是满足条件的直线，即AE就是所求；(2)在直线AE上，到A距离是5个格长的点就是D，则CD就是所求与AB平行的直线；(3)取AE上D右边的点F，过B，F作直线，就是所求．【巩固练习】1.下列推理正确的是()A．因为a∥d，b∥c，所以c∥d B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c D．因为a∥b，d∥c，所以a∥c答案C解析A、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故本选项错误；B、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故本选项错误；C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故本选项正确；D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故本选项错误；故选：C．2.平面内有三条直线a、b、c，下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，其中正确的是()A．只有① B．只有② C．①②都正确 D．①②都不正确答案A解析①若a∥b，b∥c，则a∥c，说法正确；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，说法错误，应为同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c；故选：A．3.下列说法正确的是()A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥c D．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c答案D解析A、∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c，故本选项错误；B、在同一平面内，当a⊥b，b⊥c时，a∥c，故本选项错误；C、当a∥b，b⊥c时，a⊥c，故本选项错误；D、当a∥b，b∥c时，a∥c，故选项正确；故选：D．4.如图所示，在∠AOB内有一点P．(1)过P画l1∥OA；(2)过P画l2∥OB；(3)用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？答案(1)(2)略，(3)相等或互补解析(1)(2)如图所示，(3)l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．5.如图，按要求画图并回答问题：(1)过点A画点A到直线BC的垂线段，垂足为D；(2)过点D画线段DE∥AB，交AC的延长线于点E；(3)∠E的同位角是，内错角是；(4)在线段AB，AC，AD中，最短的是，理由为．答案(1)(2)略，(3)∠ACD，∠CAB．(4)AD，垂线段最短解析(1)如图所示，AD即为所求，(2)如图所示，DE∥AB，(3)∠E的同位角是∠ACD，内错角是∠CAB，故答案为：∠ACD，∠CAB．(4)在线段AB，AC，AD中，最短的是AD，理由为垂线段最短，故答案为：AD，垂线段最短．【题型3】平行线的判定【典题1】如图，已知直线AB、MN、EF交于点O，∠OFD=90°，垂足是F，∠1=40°，∠2=50°，请在括号内补全判断AB∥DN的说理过程或依据．

解：∵∠1=40°（已知），∠1=∠EOM（），∴∠EOM=40°（），∵∠2=50°（已知）

∴∠EOM+∠2=40°+50°（），∴∠EOB=90°（）

∵∠OFD=90°∴∠EOB=∠OFD（）

∴AB∥ND（）解析∵∠1=40°，

∴∠EOM=∠1（对顶角相等），

∴∠EOM=40°（等量代换），

∵∠2=50°，

∴∠EOM+∠2=40°+50°（等式的性质），

∴∠EOB=90°，

∵∠OFD=90°，

∴∠EOB=∠OFD，（等量代换）

∴AB∥ND（同位角相等，两直线平行），【典题2】四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线．求证：(1)∠1+∠2＝90°；(2)BE∥DF．证明(1)∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠ADF，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴2(∠1+∠2)＝180°，∴∠1+∠2＝90°；(2)在△FCD中，∵∠C＝90°，∴∠DFC+∠2＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠DFC，∴BE∥DF．【巩固练习】1.如图，下列推理不正确的是()A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC C．∵∠3＝∠4，∴AD∥BC D．∵∠4＝∠5，∴AB∥CD答案B解析∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故A正确，不符合题意；∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故B不正确，符合题意；∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，故C正确，不符合题意；∵∠4＝∠5，∴AB∥CD，故D正确，不符合题意；故选：B．2.如图，下列条件无法判断AE∥CD的是()A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠BCD C．∠4＝∠5 D．∠AEC+∠DCB＝180°答案C解析A、根据内错角相等，两直线平行，可以判断AE∥CD，不符合题意；B、根据同位角相等，两直线平行，可以判断AE∥CD，不符合题意；C、根据内错角相等，两直线平行，可以判断AD∥BC，符合题意；D、根据同旁内角互补，两直线平行，可以判断AE∥CD，不符合题意．故选：C．3.如图，O是直线AB上一点，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝120°，添加一个条件，仍不能判定AB∥CD，添加的条件可能是()A．∠BOE＝60° B．∠DOF＝30° C．∠AOF＝30° D．∠BOE+∠AOF＝90°答案D解析A、∵OE平分∠BOD，∠BOE＝60°，∴∠BOD＝2∠BOE＝120°，∵∠D＝120°，∴∠BOD＝∠D＝120°，∴AB∥CD，故A不符合题意；B、∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，∵∠DOF＝30°，∴∠DOE＝∠FOE﹣∠DOF＝90°﹣30°＝60°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠DOE＝120°，∵∠D＝120°，∴∠BOD＝∠D＝120°，∴AB∥CD，故B不符合题意；C、∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，∵∠AOF＝30°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOF﹣∠FOE＝60°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠BOE＝120°，∵∠D＝120°，∴∠BOD＝∠D＝120°，∴AB∥CD，故C不符合题意；D、∵∠BOE+∠AOF＝90°，∴∠FOE＝90°，不能判断AB∥CD，故D符合题意，故选：D．4.如图，某工件要求AB∥ED，质检员小李量得∠ABC＝146°，∠BCD＝60°，∠EDC＝154°，则此工件．(填“合格”或“不合格”)答案合格解析作CF∥AB，如图所示：则∠ABC+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣146°＝34°，∴∠2＝∠BCD﹣∠1＝60°﹣34°＝26°，∵∠2+∠EDC＝26°+154°＝180°，∴CF∥ED，∴AB∥ED；故答案为：合格．5.如图，在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝50°，∠C＝60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第t秒时，边CD恰好与边AB平行，则t的值为．答案5.5秒或14.5解析如图1，△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，则∠C′OD′＝∠COD＝90°，∠OC′D＝∠C＝60°，当∠OEC′＝∠B＝50°时，C′D′∥AB，∴∠C′OC＝∠OEC′+∠OC′E＝50°+60°＝110°，∴△COD绕点O顺时针旋转110°得到△C′OD′所需时间为11020=5.5(秒如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，则∠C″OD″＝∠COD＝90°，∠OC″D＝∠C＝60°，当∠OFC″＝∠B＝50°时，C″D″∥AB，∴∠C″OC＝180°﹣∠OFC″+∠OC′F＝180°﹣50°﹣60°＝70°，而360°﹣70°＝290°，∴△COD绕点O顺时针旋290°得到△C″OD″所需时间为29020=14.5(秒综上所述，在旋转的过程中，在第5.5秒或14.5秒时，边CD恰好与边AB平行．故答案为：5.5秒或14.5．6.如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由．

答案AB∥CD，PG∥QH解析AB∥CD，PG∥QH，理由：∵PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，∴∠1=∠GPQ=12∠APQ，∠2＝∵∠1＝∠2，∴∠GPQ＝∠PQH，∠APQ＝∠PQD，∴AB∥CD，PG∥QH．7.如图，这是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=62答案AC∥BD解析AB∥CD，AC∥BD．理由：∵∠1=62°，∠2=62°，∴∠1=∠2，

∴AB∥CD；

∵∠1=62°，∠3=118°，

∴∠1+∠3=180°，

∴AC∥BD．8.已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．

（1）求证：AB∥CD；

（2）试探究∠2与∠3的数量关系．答案（1）略；（2）∠2+∠3=90°解析证明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，

∴∠I=12∠ABD,∠2=12∠BDC；

∵∠1+∠2=90°，

∴∠ABD+∠BDC=180°；

∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）

解：（2）∵DE平分∠BDC，

∴∠2=∠FDE；

∵∠1+∠2=90°，

∴∠BED=180（∠1+∠2）=90°=∠DEF=90°；

∴∠3+【A组基础题】1.下列说法中错误的个数是()(1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行；(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交，平行两种；(4)不相交的两条直线叫做平行线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案C解析(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原来的说法错误；(2)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原来的说法错误；(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交，平行两种，原来的说法正确；(4)在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，原来的说法错误．故说法中错误的个数是3个．故选：C．2.下列说法正确的是()A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c答案A解析先根据要求画出图形，图形如图所示：根据所画图形可知：A正确．故选：A．3.如图，下列条件中，能判断直线AB∥CD的是()A．∠2＝∠1 B．∠1+∠2＝180° C．∠BAD＝∠BCD D．∠3＝∠4答案D解析∵∠2＝∠1，∴AD∥BC，故A不符合题意；由∠1+∠2＝180°，不能判定AB∥CD，故B不符合题意；由∠BAD＝∠BCD，不能判定AB∥CD，故C不符合题意；∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故D符合题意，故选：D．4.如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，则下列说法正确的是()A．AB∥CD B．AC⊥CD C．∠D＝60° D．AD∥BC答案D解析A、因为AB⊥AC，只有CD⊥AC时，AB∥CD，但CD和AC不一定垂直，因此AB和CD不一定平行，故A不符合题意；B、由条件得不到∠ACD＝90°，因此AC和CD不一定垂直，故B不符合题意；C、只有AC⊥CD时，由∠1＝30°，得到∠D＝60°，但AC和CD不一定垂直，故C不符合题意；D、由∠B＝60°，AB⊥AC，得到∠ACB＝30°，因此∠1＝∠ACB，判定AD∥BC，故D符合题意．故选：D．5.如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由．答案经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解析已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．6.直线a,b垂直，记作a⊥b，现有2019条直线a1，a2，a3，…，a2019，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，则直线a1与a2019的位置关系是答案垂直解析如图，a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，∴a1⊥a2，a1⊥a3，a1∥a4，a2∥a5，依此类推，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a2∥a9，∴2019÷4＝504……3，∴a1⊥a2019．故答案为：垂直．7.如图，∠D＝140°，当∠B与∠C满足时，AB∥DE．答案∠B﹣∠BCD＝40°解析过点C作CF∥AB，如图所示．∵AB∥CF，∴∠B＝∠BCF．要证AB∥DE，只需CF∥DE即可，∵∠D+∠DCF＝180°⇒CF∥DE，∴∠DCB＝∠B﹣∠BCD＝40°，即当∠B﹣∠BCD＝40°时，AB∥CF∥DE．故答案为：∠B﹣∠BCD＝40°．8.如图，直线AB，CD交于点O，点E在直线CD上，根据下列语句画图并回答问题：(1)画图：①过点E画直线AB的垂线段EH，垂足为点H；②过点E画直线AB的平行线MN；③画∠AOE的角平分线OP，交直线MN于点P；(2)线段EH与EO的大小关系是，依据是；(3)若∠OEH＝30°，则∠OPE＝°．答案(1)略；(2)EH＜OE，垂线段最短；(3)60解析(1)①如图，线段EH即为所求；②如图，直线MN即为所求；③如图，射线OP即为所求；(2)∵EH⊥AB，∴EH＜OE(垂线段最短)．故答案为：EH＜OE，垂线段最短；(3)∵EH⊥AB，∴∠EHO＝90°，∴∠EOH＝90°﹣∠OEH＝60°，∴∠AOC＝180°﹣∠EOB＝120°，∵OP平分∠AOE，∴∠AOP＝∠EOP＝60°，∵MN∥AB，∴∠OPE＝∠AOP＝60°．故答案为：60．9.如图，已知E，B，C三点共线，BE平分∠DBF，∠1=∠ACB，试说明：BF∥AC．

因为BE平分∠DBF（

），

所以

∠1=∠2，

又因为∠1=∠ACB（

），

所以∠2=∠ACB（

）．

所以BF∥AC（）．答案已知，已知，等量代换，同位角相等，两直线平行解析因为BE平分∠DBF（已知），

所以∠1=∠2，

又因为∠1=∠ACB（已知），

所以∠2=∠ACB（等量代换）．

所以BF∥AC（同位角相等，两直线平行）．10.如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2=90°，且∠2：∠3=2：5．

（1