押题08 第15-17题 圆锥曲线（九大题型）-冲刺2024年高考数学考点押题模拟预测卷（新高考专用）含解析

押题08第15-17题圆锥曲线（九大题型）-冲刺2024年高考数学考点押题模拟预测卷（新高考专用）押题08第15-17题圆锥曲线（九大题型）1．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．2．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．押题08圆锥曲线高考模拟题型分布表题型序号题型内容题号题型1弦长问题1-3题型2求参数的值4-8题型3面积问题9-10题型4定点问题11-12题型5定值问题13-14题型6求直线的方程15-16题型7最值问题17-18题型8向量问题19-20题型9复数与圆锥曲线21题型1：弦长问题1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．(1)求双曲线E的离心率；(2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．2．（2024·河南开封·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且．(1)求的离心率；(2)射线与交于点，且，求的周长．3．（2024·吉林白山·二模）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，.(1)若，且点在第一象限，点关于轴的对称点为，求直线与双曲线相交所得的弦长；(2)探究：的外心是否落在双曲线在点处的切线上，若是，请给出证明过程；若不是，请说明理由.题型2：求参数的值4．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，点M到直线的距离为.(1)求C的标准方程；(2)直线与C相交于A，B两点，若以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O，求k的值.5．（2024·陕西铜川·二模）已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点.(1)求椭圆的标准方程：(2)设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值.6．（2024·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上运动，且，动点满足.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设直线与曲线交于，两点，且，求实数的值.7．（2024·海南·模拟预测）如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则这两双曲线互为“共轭双曲线”.已知双曲线的共轭双曲线的离心率为.(1)求的方程；(2)若直线与的右支交于两点，且以线段为直径的圆与轴相切，求的值.8．（2024·山东潍坊·一模）已知椭圆：（）中，点，分别是的左、上顶点，，且的焦距为．(1)求的方程和离心率；(2)过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，求的值．题型3：面积问题9．（2024·云南贵州·二模）已知椭圆的方程，右焦点为，且离心率为(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围.10．（2024·山东泰安·一模）已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率．题型4：定点问题11．（2024·山东聊城·一模）已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且经过点，动直线不经过点、与相交于、两点，且直线和的斜率之积等于3.(1)求的标准方程；(2)证明：直线过定点，并求出定点坐标.12．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足.(1)求的方程；(2)点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点.题型5：定值问题13．（2024·云南昆明·一模）已知椭圆：的短轴长等于，离心率．(1)求椭圆的方程；(2)过右焦点的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值．14．（2024·湖北武汉·二模）已知椭圆的左焦点为，且过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)过作一条斜率不为0的直线交椭圆于、两点，为椭圆的左顶点，若直线、与直线分别交于、两点，与轴的交点为，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．题型6：求直线的方程15．（2024·甘肃·一模）已知为椭圆的左､右焦点，为椭圆上任意一点，的最大值为6.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程.16．（2024·河南信阳·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点P，Q在椭圆C上，P，Q异于，．(1)若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求的值；(2)若P，Q，三点共线，且的内切圆面积为，求直线PQ的方程．题型7：最值问题17．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，为椭圆上一点，且.(1)求椭圆的方程；(2)过的直线与椭圆交于两点（其中点位于轴上方），记直线的斜率分别为，求的最小值.18．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的直线与曲线交于两点，若曲线在处的切线相交于点．(1)求证：点的轨迹是一条直线；(2)求面积的最小值．题型8：向量问题19．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且.(1)求椭圆的方程；(2)当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.20．（2024·四川·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．点在直线上运动，且直线的斜率与直线的斜率之商为2．(1)求的方程；(2)设点，过点的直线分别交椭圆于、两点，若，求的面积．题型9：复数与圆锥曲线21．（2024·河南·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点为，，Z的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)若，，过F的直线交C于，两点，且平分，求直线的方程.押题08第15-17题圆锥曲线（九大题型）1．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.【解析】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，又，所以椭圆方程为；（2）由（1）得，曲线为，当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；当直线的斜率存在时，设，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线即，由直线与曲线相切可得，解得，联立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：设直线即，由直线与曲线相切可得，所以，联立可得，所以，所以，化简得，所以，所以或，所以直线或，所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.2．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为.(2).【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.（2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案.【解析】（1）如图，

由题意得，解得，所以，所以椭圆的方程为，离心率为.（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，设直线的方程为，联立方程组，消去整理得：，由韦达定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直线的方程为.押题08圆锥曲线高考模拟题型分布表题型序号题型内容题号题型1弦长问题1-3题型2求参数的值4-8题型3面积问题9-10题型4定点问题11-12题型5定值问题13-14题型6求直线的方程15-16题型7最值问题17-18题型8向量问题19-20题型9复数与圆锥曲线21题型1：弦长问题1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．(1)求双曲线E的离心率；(2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得即可得到离心率；（2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解.【解析】（1）由题意知，且，

，所以双曲线的离心率．（2）由（1）知双曲线方程为，将即代入，得，

不妨设，所以．2．（2024·河南开封·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且．(1)求的离心率；(2)射线与交于点，且，求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，可得，的关系，进而求出椭圆的离心率；（2）由（1）可得与，与的关系，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得点的坐标，求出的表达式，由题意可得，的值，由椭圆的性质可得的周长为，即求出三角形的周长．【解析】（1）依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，，所以，，又，所以，即，即，所以，所以离心率；（2）由（1）可得，，则椭圆方程为，射线的方程为，联立，整理可得，解得或，则，即，所以，解得，则，所以的周长．

3．（2024·吉林白山·二模）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，.(1)若，且点在第一象限，点关于轴的对称点为，求直线与双曲线相交所得的弦长；(2)探究：的外心是否落在双曲线在点处的切线上，若是，请给出证明过程；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是，证明见解析【分析】（1）先求出直线方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解即可；（2）先利用直线与抛物线的位置关系求切线方程，再利用圆中弦的性质求出外心坐标，即可证明.【解析】（1）依题意，，则直线的斜率为,则直线，即；联立，得，解得或，故所求弦长为.（2）的外心落在双曲线在点的切线上，证明过程如下，设双曲线在点的切线斜率为，则在点处的切线方程为，联立得，其中，则，而，故，代入上式可得，，解得，故双曲线在点处的切线方程为，即.直线的斜率为，线段的中点为，故直线的中垂线方程为，联立可得，故外心坐标为，其满足，故的外心落在双曲线在点处的切线上.题型2：求参数的值4．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，点M到直线的距离为.(1)求C的标准方程；(2)直线与C相交于A，B两点，若以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O，求k的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）借助点到直线距离公式计算即可得；（2）设交点坐标，联立直线与曲线，得到关于的一元二次方程，列出韦达定理后结合题意计算即可得.【解析】（1）由题意可得，且，则有，故C的标准方程为；（2）设、，联立，有，，即，有，，若以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O，则有，即有，即，故.

5．（2024·陕西铜川·二模）已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点.(1)求椭圆的标准方程：(2)设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆方程.（2）结合椭圆定义由三角形面积表示其内切圆半径，再联立直线与椭圆方程，求出三角形面积的函数关系，然后探讨最值即得.【解析】（1）依题意，椭圆右焦点，即半焦距，又离心率，则，所以椭圆的标准方程为.（2）设的内切圆半径为，而的周长为，由，得，因此的面积最大时，其内切圆半径最大，设，由消去x得：，则，于是，令，则，，当且仅当，即时等号成立，此时，所以的内切圆的半径最大时.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.6．（2024·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上运动，且，动点满足.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设直线与曲线交于，两点，且，求实数的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据相关点法求轨迹方程,求出结果即可；（2）将直线方程与椭圆联立，结合韦达定理，表示出，求实数的值即可.【解析】（1）设，，，，，，即，，，动点的轨迹的方程.（2）设，联立,可得：，由得，化简得,又因为，，，所以，即，化简得，满足，所以.7．（2024·海南·模拟预测）如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则这两双曲线互为“共轭双曲线”.已知双曲线的共轭双曲线的离心率为.(1)求的方程；(2)若直线与的右支交于两点，且以线段为直径的圆与轴相切，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意结合双曲线离心率分析求解即可；（2）根据题意结合渐近线可知：或，联立方程，根据圆的性质结合韦达定理和弦长公式列式求解.【解析】（1）由题可得，因为的离心率为，所以，得，所以的方程为.（2）因为过的右顶点，不妨设，由的方程可得其渐近线方程为，且均在的右支上，可得或，即，联立方程，消去y得，则，可得，以线段为直径的圆的圆心横坐标为，半径为，由题意知，整理得，解得或（舍去），所以的值为.8．（2024·山东潍坊·一模）已知椭圆：（）中，点，分别是的左、上顶点，，且的焦距为．(1)求的方程和离心率；(2)过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由的值，可得，的关系，再由焦距可得的值，又可得，的关系，两式联立，可得，的值，即求出椭圆的方程；（2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线，的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线的斜率的大小．【解析】（1）由题意可得，，可得，，可得，可得，，解得，，所以离心率，所以椭圆的方程为，离心率；（2）由（1）可得，（3）（4）由题意设直线的方程为，则，设，，联立，整理可得，显然，且，，直线，的斜率，，则，因为，即，解得，所以直线的斜率．即的值为3．

题型3：面积问题9．（2024·云南贵州·二模）已知椭圆的方程，右焦点为，且离心率为(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据离心率以及焦点即可求解；（2）①当斜率不存在时，易知；②当斜率存在时，设与椭圆方程联立，得到，利用韦达定理可得，设，转化为，可得答案．【解析】（1）设椭圆焦距为，由题意可得，故椭圆方程为（2）当斜率不存在时，易知；②当斜率存在时，设，,，,，由，得，显然，所以，，因为，，所以，因为，所以，又，设，则，，解得且，所以，综上可得的取值范围为．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.10．（2024·山东泰安·一模）已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率．【答案】(1)(2)直线的斜率或【分析】（1）由题意首先依次得出，，进一步结合离心率公式以及的关系式即可求解；（2），则，进一步表示出点以及的面积，结合已知可得点的坐标，由此即可得解.【解析】（1）圆过，，又圆过，，又，椭圆的方程为.（2）设，则，

由题知且，则，，由，解得，，又，，又，，直线的斜率或.题型4：定点问题11．（2024·山东聊城·一模）已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且经过点，动直线不经过点、与相交于、两点，且直线和的斜率之积等于3.(1)求的标准方程；(2)证明：直线过定点，并求出定点坐标.【答案】(1)(2)证明见解析，定点坐标为【分析】（1）结合抛物线性质设出抛物线方程，代入点坐标计算即可得；（2）设出、两点坐标，由直线和的斜率之积等于3，可得，联立曲线与直线方程，可得，，即可得，即可得直线过定点及顶点坐标.【解析】（1）由抛物线关于轴对称，故可设，由在抛物线上，故，解得，故；（2）设、，，同理可得，即有，联立直线方程与抛物线方程，有，即，，，，即有，化简得，此时，则有解，则，即直线过定点.

12．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足.(1)求的方程；(2)点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，借助向量垂直的坐标表示及双曲线渐近线方程求出即可得解.（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理及向量共线的坐标表示求出的中点纵坐标即可得解.【解析】（1）设，，由，得，解得，即，而曲线的渐近线方程为，由点在的渐近线上，得，即，因此，所以的方程为.（2）由（1）知，设直线为，由消去y得：，则，，由三点共线，得，同理，因此，所以的中点为定点.题型5：定值问题13．（2024·云南昆明·一模）已知椭圆：的短轴长等于，离心率．(1)求椭圆的方程；(2)过右焦点的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值．【答案】(1)(2)证明过程见解析【分析】（1）根据题意，列出的方程组，求得的值，即可求得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，联立方程组得到，进而求得，得出中垂线的方程，求得，再由弦长公式求得，即可求解.【解析】（1）椭圆：的短轴长等于，离心率可得，，解得，所以椭圆的方程为.（2）由椭圆的方程，可得右焦点，当直线斜率不存在时被轴垂直平分，不符合题意；当直线斜率为0时，；直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，，中点为，联立方程组，整理得，可得，所以，则，即，则中垂线的方程为，令，可得，所以，又由，所以（定值）；综上所述，为定值.14．（2024·湖北武汉·二模）已知椭圆的左焦点为，且过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)过作一条斜率不为0的直线交椭圆于、两点，为椭圆的左顶点，若直线、与直线分别交于、两点，与轴的交点为，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】(1)(2)为定值．【分析】（1）由椭圆所过的点及焦点坐标求椭圆参数，即可得方程；（2）设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理，写出直线的方程，进而求纵坐标，同理求纵坐标，由化简即可得结果.【解析】（1）由题知，椭圆的右焦点为，且过点，结合椭圆定义，所以，所以．又，所以，则的标准方程为．（2）设直线的方程为，，，由，得，易知，所以，，直线的方程为，令得，，同理可得，所以，为定值．题型6：求直线的方程15．（2024·甘肃·一模）已知为椭圆的左､右焦点，为椭圆上任意一点，的最大值为6.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程.【答案】(1)(2).【分析】（1）求出后可求的标准方程.（2）直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可求直线方程.【解析】（1）由题意，，解得，所以椭圆的标准方程是（2）由（1）可知当直线的方程为时，，则，不符合题意.不妨设直线的方程为，由，得.此时，.由，得.又，可得：，整理得到：即，解得，所以或.故直线的方程为.16．（2024·河南信阳·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点P，Q在椭圆C上，P，Q异于，．(1)若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求的值；(2)若P，Q，三点共线，且的内切圆面积为，求直线PQ的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆性质求出各点坐标，分别求得直线与直线的方程再求得交点纵坐标，，再由点在椭圆上化简可得结果；（2）设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立并根据椭圆定义得出的周长，再由内切圆面积与周长关系可得面积，利用韦达定理解方程即可求得，可得直线方程.【解析】（1）如下图所示：

依题意可得，，，；设，则，即；直线，令，则；直线，令，则；故；（2）设点，依题意知直线PQ的方程为；与椭圆联立，消去x整理得；显然成立，故，，由椭圆定义得的周长为；而的内切圆半径为，则的面积；又由，得；从而得，即，整理得，解得，故，即直线PQ的方程为．题型7：最值问题17．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，为椭圆上一点，且.(1)求椭圆的方程；(2)过的直线与椭圆交于两点（其中点位于轴上方），记直线的斜率分别为，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆的定义直接求解即可；（2）设直线，，，将椭圆方程与直线方程联立，利用韦达定理求解即可.【解析】（1）由于椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上，且，所以根据椭圆定义可知，，则，所以椭圆的方程为：.（2）由题意可知直线斜率不为0，设直线，，，联立可得，则得，，所以，由于点位于轴上方，所以均大于，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为，形式；（5）代入韦达定理求解.18．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的直线与曲线交于两点，若曲线在处的切线相交于点．(1)求证：点的轨迹是一条直线；(2)求面积的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）设点斜式方程，代入抛物线方程，写出韦达定理，利用导数写出处的切线方程，联立两切线方程，求出点的坐标，依据根与系数的关系，求出点的轨迹，即可得证，（2）利用弦长公式求出的值，到直线的距离，代入三角形面积公式，利用二次函数求出面积的最小值.【解析】（1）依题意，直线的斜率存在，设直线交曲线于．联立直线和曲线方程，化简得，所以，因为，所以，所以曲线在处的切线方程为，化简得，因为，即，所以在处切线方程为，同理，可求曲线在处的切线方程为，联立，解得，所以交点，设，则，因为，