押题07 第15-17题 导数及其应用（九大题型）-冲刺2024年高考数学考点押题模拟预测卷（新高考）含解析

押题07第15-17题导数及其应用（九大题型）-冲刺2024年高考数学考点押题模拟预测卷（新高考专用）押题07第15-17题导数及其应用（九大题型）1．（2023·全国·高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．押题07导数及其应用高考模拟题型分布表题型序号题型内容题号题型1单调性、极值问题1-6题型2求参数范围7-12题型3最值问题13-16题型4证明不等式17-19题型5零点问题20-21题型6有解恒成立问题22-23题型7导数与三角函数24题型8导数与圆锥曲线25题型9导数与统计概率26题型1：单调性、极值问题1．（2024·重庆·模拟预测）已知函数在时取得极值.(1)求实数；(2)若，求的单调区间和极值.2．（20-21高二下·安徽滁州·开学考试）已知函数在处有极值.(1)求、的值；(2)求出的单调区间，并求极值.3．（23-24高三上·陕西咸阳·期中）已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)求函数的单调区间.4．（23-24高三上·湖北·期中）已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；(2)讨论函数的单调性.5．（2020高二下·河南郑州·学业考试）已知函数.（1）若是函数的极值点，求的值；（2）求函数的单调区间.6．（20-21高二上·山东临沂·期末）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程．（2）时，若，求的定义域，并分析其单调性．题型2：求参数范围7．（2024·山东烟台·一模）已如曲线在处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.8．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若函数在处取到极小值，求实数m的取值范围．9．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．10．（2024·陕西西安·一模）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若在其定义域上单调递增，求k的取值范围．11．（2024·辽宁·一模）已知函数(1)讨论的零点个数;(2)当时，|求a的取值范围.12．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在处的切线与直线平行．(1)求的单调区间；(2)当时，恒有成立，求k的取值范围．题型3：最值问题13．（22-23高二下·河南·期中）已知函数在点处的切线方程为．(1)求实数和的值；(2)求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）．14．（2024·江西南昌·一模）已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)求的最大值.15．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知函数在处取得极小值5．(1)求实数a，b的值；(2)当时，求函数的最小值．16．（2024·安徽黄山·一模）已知函数在处取得极大值．(1)求的值；(2)求在区间上的最大值．题型4：证明不等式17．（2024·广东广州·一模）已知函数，.(1)求的单调区间和极小值；(2)证明：当时，.18．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，其中．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求证：的极大值恒为正数．19．（2024·安徽合肥·一模）已知函数，当时，有极大值.(1)求实数的值；(2)当时，证明：.题型5：零点问题20．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数．(1)若，当时，证明：．(2)若，证明：恰有一个零点．21．（23-24高三上·河南·期末）已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若，研究函数在上的单调性和零点个数．题型6：有解恒成立问题22．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.(1)求函数的极值；(2)若对任意有解，求的取值范围.23．（2024·四川南充·二模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.题型7：导数与三角函数24．（2024·江苏南通·二模）设函数.已知的图象的两条相邻对称轴间的距离为，且.(1)若在区间上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；(2)设l为曲线在处的切线，证明：l与曲线有唯一的公共点.题型8：导数与圆锥曲线25．（2024·四川南充·二模）已知点是抛物线上的定点，点是上的动点，直线的斜率分别为，且，直线是曲线在点处的切线.(1)若，求直线的斜率；(2)设的外接圆为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由.题型9：导数与统计概率26．（2024·全国·模拟预测）公元1651年，一个问题引发了数学家德梅赫、帕斯卡、费马和惠更斯等人的讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元．每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立．在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止．赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注．(1)甲、乙赌博意外终止，若，，，，，求甲应分得的赌注；(2)记事件为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当，，时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率；当时，求事件发生的概率的最大值．押题07第15-17题导数及其应用（九大题型）1．（2023·全国·高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.【解析】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.押题07导数及其应用高考模拟题型分布表题型序号题型内容题号题型1单调性、极值问题1-6题型2求参数范围7-12题型3最值问题13-16题型4证明不等式17-19题型5零点问题20-21题型6有解恒成立问题22-23题型7导数与三角函数24题型8导数与圆锥曲线25题型9导数与统计概率26题型1：单调性、极值问题1．（2024·重庆·模拟预测）已知函数在时取得极值.(1)求实数；(2)若，求的单调区间和极值.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，再检验即可；（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调区间与极值.【解析】（1）因为，所以，由题意得，即，解得，经检验符合题意；（2）由（1）得，，则，由得或，得，即的单调递增区间为，，单调递减区间为，所以的极大值为，极小值为2．（20-21高二下·安徽滁州·开学考试）已知函数在处有极值.(1)求、的值；(2)求出的单调区间，并求极值.【答案】(1)，(2)答案见解析【分析】（1）由题意可得出，即可解得实数、的值；（2）利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间，由此可得出函数的极值.【解析】（1）解：因为，该函数的定义域为，，则，解得，此时，，经检验，，合乎题意.因此，，.（2）解：因为，该函数的定义域为，，令，可得，列表如下：减极小值增所以，函数的递减区间为，递增区间为，函数的极小值为，无极大值.3．（23-24高三上·陕西咸阳·期中）已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)求函数的单调区间.【答案】(1)函数的极大值为，无极小值(2)答案见解析【分析】（1）求导，即可根据函数的单调性求解最值，（2）求导，分类讨论即可根据导函数的正负确定函数的单调性.【解析】（1）当时，，其定义域为，.令，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减，函数的极大值为，无极小值.（2），，当时，，在上单调递增；当时，由，得，若，则,若，则，单调递减，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.4．（23-24高三上·湖北·期中）已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；(2)讨论函数的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出，从而得到，求出切线方程；（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，讨论得到函数的单调性.【解析】（1），由已知，∴得又∴曲线在点处的切线方程为化简得：（2）定义域为R，，令得或①当即时，令得或，令得，故在单调递减，在，上单调递增；②当即时，恒成立，故在R上单调递增；③当即时，令得或，令得，在上单调递减，在，上单调递增；综上，当时，在单调递减，在，上单调递增；当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；5．（2020高二下·河南郑州·学业考试）已知函数.（1）若是函数的极值点，求的值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）利用，解得，再检验可得答案；（2）求导后，对分和讨论，根据可得增区间，可得递减区间.【解析】（1）函数定义域为，，因为是函数的极值点，所以，解得（舍）或经检验，时，是函数的极值点，所以.（2）若，，所以函数的单调递增区间为，无递减区间；若，令，解得，令，解得，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.综上所述：，函数的单调递增区间为，无递减区间；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.【点睛】本题考查了根据函数的极值点求参数，考查了分类讨论思想，考查了由导数求单调区间，属于基础题.6．（20-21高二上·山东临沂·期末）已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程．（2）时，若，求的定义域，并分析其单调性．【答案】（1）；（2）定义域为，单调性见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义，可得切线斜率为，再由根据点斜式即可得解；（2）由可得，再通过导数研究函数单调性即可.【解析】（1）当时，，所以

又，所以曲线在处的切线方程为．（2）当时，，∴函数的定义域为，∴，当时，，当时，，，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减.题型2：求参数范围7．（2024·山东烟台·一模）已如曲线在处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据斜率关系，即可求导求解，（2）求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解.【解析】（1）由于的斜率为，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范围为8．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若函数在处取到极小值，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，（2）求导，分类讨论的取值，即可结合函数的单调性求解极值.【解析】（1）由题意，，则，又，故所求的切线方程为．（2）由题意，，故．若，则，故当时，，当时，，故当时，函数取到极小值；若，则令，解得或，要使函数在处取到极小值，则需，即，此时当时，，当时，，当时，，满足条件．综上，实数m的取值范围为．9．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为(2)【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得；（2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得.【解析】（1）当时，，∴，由，得，由，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）原条件等价于：在上存在实数解．化为在上存在实数解，令，

则，∴在上，，得，故在上单调递增，∴的最小值为，∴时，不等式在上存在实数解．10．（2024·陕西西安·一模）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若在其定义域上单调递增，求k的取值范围．【答案】(1)递增区间是，，递减区间是；(2).【分析】（1）求出函数的导数，把代入并求出的单调区间.（2）由（1）的信息，结合单调性建立恒成立的不等式，再分离参数求解即得.【解析】（1）函数的定义域为，求导得，当时，，当或时，，当时，，因此函数在，上单调递增，在上单调递减，所以函数的递增区间是，，递减区间是.（2）由（1）知，，由在其定义域上单调递增，得，则，当时，，当且仅当时取等号，因此，解得，当时，，在上递增，所以k的取值范围是【点睛】方法点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：①在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；②不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；③利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.11．（2024·辽宁·一模）已知函数(1)讨论的零点个数;(2)当时，|求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)的取值范围为【分析】（1）构造函数，首先利用导数判断函数的大致图象，结合分类讨论思想求解可得答案；（2）将原不等式转化为，再利用导数结合虚设零点的方法解不等式即可.【解析】（1）令，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，作出的大致图象如下图所示：

当时，，无零点；当时，，得，由上图知：当，即时，无零点；当或，即或时，有1个零点；当，即时，有2个零点.（2）当时，显然在上单调递增，由（1）知，在区间上有唯一的零点，即，当时，由得，即，设函数，则，在上单调递减，所以，解得，当时，，由得，即，设，则，由得，所以在上单调递增，所以，解得，综上，由得，综上：的取值范围为.【点睛】方法点睛：求解函数零点个数的步骤：（1）确定函数定义域；（2）计算导数；（3）求出导数等于0的根；（4）用导数为0的根将定义域分成若干个区间，确定函数的单调区间；（5）结合零点存在性定理判断出零点个数.12．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在处的切线与直线平行．(1)求的单调区间；(2)当时，恒有成立，求k的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)【分析】（1）借助导数的几何意义计算可得，借助导数的正负即可得函数的单调性；（2）通过变形，可将原问题转化为在上，恒成立，从而构造函数，借助导数求取在上的最小值即可得.【解析】（1）由已知可得的定义域为，，所以，即，所以，，令，得，令，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）将不等式整理得：，可化为，问题转化为在上，恒成立，即，令，，则，令，则，，所以在单调递减，，即，所以在单调递减，，所以的取值范围是．【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于将原问题通过变形参变分离，转化为在上，恒成立，从而构造对应函数，借助导数求取在上的最小值即可得.题型3：最值问题13．（22-23高二下·河南·期中）已知函数在点处的切线方程为．(1)求实数和的值；(2)求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）．【答案】(1)，(2)【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义可求的值，再根据切线过切点求的值；（2）根据导数与函数单调性的关系，分析函数在给定区间上的单调性，再求函数的最大值.【解析】（1）因为所以，由题意可得，，解得:，.（2）由(1)可得，所以，且，易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，，且，即最大值为：.14．（2024·江西南昌·一模）已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）求导得，令可求的单调递减区间；（2）由（1）易判断在时单增，在时单减，进而求出.【解析】（1），令，得，即，所以的单调递减区间为；（2）当时，单调递增；当时，单调递减，所以，即的最大值为.15．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知函数在处取得极小值5．(1)求实数a，b的值；(2)当时，求函数的最小值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由题意得到，，求出，，检验后得到答案；（2）求导，得到函数单调性，进而得到极值和最值情况，得到答案.【解析】（1），因为在处取极小值5，所以，得，此时所以在上单调递减，在上单调递增所以在时取极小值，符合题意所以，．又，所以．（2），所以列表如下：0123001↗极大值6↘极小值5↗10由于，故时，．16．（2024·安徽黄山·一模）已知函数在处取得极大值．(1)求的值；(2)求在区间上的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，然后令求出，代入验证是否符合题意即可；（2）求导，确定函数在区间上的单调性，进而可求最大值.【解析】（1）由已知令得或，当时，令得或，令得，故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时函数在处取极大值，在处取极小值，与函数在处取得极大值不符；当，即时，令得或，令得，故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意；所以；（2）由（1）得，，令，得，函数单调递增，令，得，函数单调递减，所以.题型4：证明不等式17．（2024·广东广州·一模）已知函数，.(1)求的单调区间和极小值；(2)证明：当时，.【答案】(1)递增区间为，递减区间为，极小值为1；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出单调区间及极值.（2）根据给定条件，构造函数，利用导数结合基本不等式推理即得.【解析】（1）函数，，求导得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减，所以的递增区间为；递减区间为，的极小值为.（2）当时，令，求导得，令，求导得，函数在上单调递增，则，在上单调递增，因此，所以.18．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，其中．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求证：的极大值恒为正数．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）分，和三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得出结论.【解析】（1），当时，，，又，故曲线在处的切线方程为；（2），解得知，，若，当或时，，当时，，所以在，递减，递增，故极大值为；若，则，所以函数单调递减，无极大值；若，当或时，，当时，，所以在，递减，递增，故极大值，综上，的极大值恒为正数．【点睛】思路点睛：利用导数求函数极值的步骤如下：（1）求函数的定义域；（2）求导；（3）解方程，当；（4）列表，分析函数的单调性，求极值：①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值.19．（2024·安徽合肥·一模）已知函数，当时，有极大值.(1)求实数的值；(2)当时，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题中条件列出方程组，解出验证即可；（2）变形不等式，构造函数利用函数单调性证明即可.【解析】（1）函数的定义域为，且，因为时，有极大值，所以，解得，经检验，当时，在时有极大值，所以；（2）由（1）知，，当时，要证，即证，即证：.设，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即，即，故当时，.题型5：零点问题20．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知函数．(1)若，当时，证明：．(2)若，证明：恰有一个零点．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，求导可得，即可得到在上单调递增，再由，即可证明；（2）根据题意，构造函数，求导可得，即在上单调递增，再结合，即可证明.【解析】（1）证明：因为，所以，．当时，，则在上单调递增，所以当时，．（2）．令，则．令，则．当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，所以，则在上单调递增．因为，所以恰有一个零点，则恰有一个零点．21．（23-24高三上·河南·期末）已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若，研究函数在上的单调性和零点个数．【答案】(1)(2)在上单调递增；1【分析】（1）当时，求出，，从而可求出切线方程.（2）当时，利用导数求出在上单调递增．又，从而可求解.【解析】（1）当时，，则，则，，所以曲线在点处的切线方程为．（2）当时，，则，当时，，，，则，故在上单调递增．又因为，所以在上的零点个数为．题型6：有解恒成立问题22．（2024高三·全国·专题练习）已知函数.(1)求函数的极值；(2)若对任意有解，求的取值范围.【答案】(1)极小值为1，无极大值；(2).【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可求极值；（2）由题意可得任意有解，设，分、及讨论即可求解.【解析】（1），得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以的极小值为，无极大值；（2）对任意即，设，，①当时，单调递增，单调递增，，成立；②当时，令单调递增，单调递增，，成立；③当时，当时，单调递减，单调递减，，不成立.综上，.23．（2024·四川南充·二模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出导函数，按照的正负分类讨论，由的正负可得单调性；（2）将不等式变形为，令，对求导，再令，由的单调性判断的符号，进而确定的单调性，求出的最大值即可求出的取值范围.【解析】（1）由题意知的定义域为，

，当时，，在上单调递减；

当时，令，，故方程有两个不同的实数根，分别为，，且，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增.综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由可得，即，设，，则，设，，因为，则在上单调递减，且，所以当时，，即，所以在上单调递增，当时，，即，所以在上单调递减，所以的最大值为，所以，即的取值范围为.题型7：导数与三角函数24．（2024·江苏南通·二模）设函数.已知的图象的两条相邻对称轴间的距离为，且.(1)若在区间上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；(2)设l为曲线在处的切线，证明：l与曲线有唯一的公共点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据周期以及可求解，进而根据整体法即可求解，（2）求导，根据点斜式求解切线方程，进而构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可求解.【解析】（1）由题意可得周期，故，，由于，故，故，当时，，由于在区间上有最大值无最小值，故，解得，故（2），，，故直线方程为，令，则，故在定义域内单调递增，又，因此有唯一的的零点，故l与曲线有唯一的交点，得证.题型8：导数与圆锥曲线25