2023年北京西城初二（上）期末数学试卷（教师版）

第1页/共1页2023北京西城初二（上）期末数学第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1−8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它们抽象为几何图形，从整体观察（个别细微之处的细节可以忽略不计），其中大致是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.地处北京怀柔科学城的“北京光源”（）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级．1nmm．将用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.3.下列运算正确的是（）A. B. C. D.4.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.5，5，5 B.5，5，10 C.5，6，12 D.3，4，75.如图，，，．有下列结论：①把沿直线翻折180°，可得到；②把沿线段的垂直平分线翻折180°，可得到；③把沿射线DC方向平移与相等的长度，可得到．其中所有正确结论的序号是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③6.下列各式从左到右的变形正确的是（）A. B.C. D.7.图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x的值为（）A. B. C. D.8.如图，在中，，的度数为α．点P在边上（点P不与点B，点C重合），作于点D，连接，取上一点E，使得，连接，并延长交于点F之后，有．若记的度数为x，则下列关于的表达式正确的是（）A. B.C. D.第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.计算：（1）=_______；（2）_______．10.若分式有意义，则字母x满足的条件是______．11.分解因式：______．12.在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的坐标为______．13.如图，在四边形中，，平分，．（1）画出的高；（2）的面积等于______．14.小王读到关于京唐城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）运行时相应所用的时间比约少，那么可列出关于v的方程为______．区间段区间近似里程区间设计最高时速相应所用时间北京城市副中心站−香河站47.8t1香河站−唐山西站87vt215.三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A，B，C．根据图2与图1的关系写出一个等式：__________（用含a，b，c，d，e，f的式子表示）．16.如图，在中，，于点D，于点C，．点E，点F分别在线段上，，连接．（1）图中与相等的线段是_______；（2）当取最小值时________°三、解答题（共68分，第17题9分，第18题7分，第19−21题，每题8分，第22题9分，第23题10分，第24题9分）17.计算：（1）；（2）；（3）18.已知，求代数式的值．19.解方程：20.如图，A，D两点在所在直线同侧，，垂足分别为A，D．的交点为E，．求证：．21.如图，在平面直角坐标系中，，，，．点B与点C关于直线l对称，直线l与的交点分别为点D，E．（1）求点A到的距离；（2）连接，补全图形并求的面积；（3）若位于x轴上方的点P在直线l上，，直接写出点P的坐标．22.（1）设计作平行线的尺规作图方案：已知：直线及直线外一点P．求作：经过点P的直线，使得．分析：如图1所示，之前我们学过“推”三角尺画平行线，这种画法的实物操作图可以启发我们预设目标示意图，分析尺规作图思路．①请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法；②在①中用到的判定的依据是_______．（2）已知：如图，在中，，．求作：凸四边形，使得，且为等腰三角形．请完成尺规作图并写出所求作的四边形，保留作图痕迹，不必写作法．23.在中，，在上截取，连接．在的外部作，且交的延长线于点E．（1）作图与探究：①小明画出图1并猜想．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：_______°．”请写出小亮所说的条件；②小明重新画出图2并猜想．他证明的简要过程如下：请你判断小明的证明是否正确并说明理由；（2）证明与拓展：①借助小明画出的图2证明；②延长到F，使，连结．补全图形，猜想与的数量关系并加以证明．24.在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，多边形边上的格点数为L．（1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：多边形面积S内部格点数N边上格点数LⅠⅡ7488ⅢⅣ951010Ⅴ1111（2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与的数量关系可用等式表示为_______；（3）已知格点长方形ABCD，设其边长，其中m，n为正整数．请以格点长方形为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．四、选做题（共10分，每题5分）25.阅读两位同学的探究交流活动过程：a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明．①b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：②③④c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）；d．小亮对第n个等式进行了证明．解答下列问题：（1）第⑤个等式是_______；（2）第n个等式是_______；（3）请你证明第n个等式成立．26.在平面直角坐标系中，对于点P，点M给出如下定义：如果点P与原点O的距离为a，点M与点P的距离是a的k倍（k为整数），那么称点M为点P的“k倍关联点”．（1）当时，①如果点的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标为_______；②如果点是点的k倍关联点，且满足，，那么整数k的最大值为___；（2）已知在中，，，，．若，且在的边上存在点的2倍关联点Q，求b的取值范围．

参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1−8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.【详解】解：根据轴对称图形的定义可得：A、B、C均不能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；D是轴对称图形，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握此定义是解题关键．2.【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．【详解】解：.故选B．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方及积的乘方法则法则逐一判断即可得．【详解】解：A、，故此选项错误；B、，故此选项错误；C、，故此选项正确；D、，故此选项错误；故选：C．【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方及积的乘方法则．4.【答案】A【解析】【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边，据此逐一判断即可找到正确选项．【详解】解：A、5，5，5满足三角形三边关系，符合题意；B、5，5，10因为，不满足三角形三边关系，不符合题意；C、5，6，12因为，不满足三角形三边关系，不符合题意；D、3，4，7因为不满足三角形三边关系，不符合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，掌握“任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边”是解题的关键．5.【答案】A【解析】【分析】由已知可得，进而根据对称或平移确定结论是否正确．【详解】解：∵，∴，在、和中．，∴（SAS）把沿直线翻折180°，可得到，故①正确；把沿线段的垂直平分线翻折180°，可得到，故②正确；把沿射线DC方向平移与相等的长度，不能得到．故③错误，综上所述：正确的结论是①②．故选A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和平移和翻折变换，培养良好的空间想象能力是解题关键．6.【答案】D【解析】【分析】按分式的基本性质，逐项约分化简，即可判断出正确答案．【详解】解：，故A选项变形错误，不合题意；的分子、分母中不含公因式，不能化简，故B选项变形错误，不合题意；，故C选项变形错误，不合题意；，故D选项变形正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查分式的变形，掌握分式的基本性质、平方差公式、完全平方公式是解题的关键．7.【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和得出方程求解即可．【详解】解：根据题意得：，解得：，故选：C．【点睛】本题主要考查多边形内角和定理及一元一次方程的解法，熟练掌握多边形内角和定理是解题关键．8.【答案】B【解析】【分析】由等腰三角形的性质求出，由三角形外角的性质可求，由平角的定义即可求出．【详解】∵∴∴∵∴∴∵∴∴∵∴．故选：B．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】①.②.1【解析】【分析】（1）是由在，时转化而来的，也就是说当同底数幂相除时，若被除式的指数小于除式的指数，则转化成负指数幂的形式．（2），即任何不等于0的数的0次幂都等于1．【详解】（1）（2）故答案为：，．【点睛】本题考查了负整数指数幂以及零指数幂的运算法则，掌握运算法则是解题关键．10.【答案】【解析】【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．11.【答案】【解析】【分析】首先提公因式，然后利用平方差公式分解即可；【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．12.【答案】【解析】【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点，即横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可解答．【详解】解：在平面直角坐标系中，，关于x轴对称的点的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于x轴对称的点的坐标特点是解决本题的关键13.【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】【分析】（1）根据三角形高线的作法作图即可；（2）根据角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质得出，再由三角形面积公式求解即可．【小问1详解】解：如图所示，高即为所求；【小问2详解】∵平分，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，故答案为：3．【点睛】题目主要考查三角形高线的作法，角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握运用各个知识点是解题关键．14.【答案】【解析】【分析】根据速度、时间、路程之间的关系及比约少，即可列出关于v的方程．【详解】解：根据题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解决本题的关键．15.【答案】【解析】【分析】根据图形的面积不变原则，分别表示图形的面积即可．【详解】根据图1，得图形的面积为；根据图2，得图形的面积为；∵图形的面积相等，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了图形面积的不同表示法，正确表示图形的面积是解题的关键．16.【答案】①.##②.95【解析】【分析】（1）根据平行线的判定与性质及三角形内角和定理得出，再由全等三角形的判定和性质即可得出结果；（2）根据两点之间线段最短得出当和共线时，和最小，如下图，此时与交于点，利用等边对等角及三角形内角和定理求解即可．【详解】解：（1），∴，∵于点D，于点C，∴，，∵∴，∵，∴，∴，故答案为：；（2）∵，∴，∴当和共线时，和最小，如下图，此时与交于点，∵∴，∴故答案为：95．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及等边对等角，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．三、解答题（共68分，第17题9分，第18题7分，第19−21题，每题8分，第22题9分，第23题10分，第24题9分）17.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）依据单项式的乘法法则进行计算；（2）依据多项式的乘法法则进行计算；（3）依据多项式的除法法则进行计算．【小问1详解】解：【小问2详解】【小问3详解】【点睛】本题考查了整式的乘除；熟练应用乘除法法则是解题的关键．18.【答案】；【解析】【分析】先将分式进行化简，然后代入求解即可．【详解】解：．当时，原式．【点睛】题目主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简方法是解题关键．19.【答案】【解析】【分析】根据解分式方程的步骤，即去分母化为整式方程，解整式方程，检验，解方程即可求解．【详解】解：方程两边同时乘以，去分母，得，去括号，得，移项、合并同类项，解得．检验：当时，．所以，原分式方程的解为．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的步骤与方法是解决本题的关键．20.【答案】见解析【解析】【分析】根据垂直的定义得出，再由全等三角形的判定和性质证明即可．【详解】证明：∵，垂足分别为A，D，∴．∴．在和中，∴．∴．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．21.【答案】（1）5（2），图见解析（3）【解析】【分析】（1）作于点F，得到，进而根据点到直线的距离和点A，B，C的坐标求解即可；（2）根据题意补全图形，首先求出是等腰直角三角形，然后由题意可知，直线l是线段的垂直平分线，于点D，，得到为等腰直角三角形，进而求出，最后根据三角形面积公式求解即可；（3）由（2）可得，，可得到点P和点E重合，然后根据点D的坐标和的长度求解即可．【小问1详解】作于点F，则．由，可得．∴点A到的距离为5．【小问2详解】补全图形如下：由，可得．∴．∴．∴在中，．由题意可知，直线l是线段的垂直平分线，于点D，．∴．∴．∴为等腰直角三角形，．∴．∴∴．【小问3详解】由（2）可得，，∴点P和点E重合，∵，∴点E的坐标为，∴点P的坐标为．【点睛】此题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．22.【答案】(1)①见解析；②同位角相等，两直线平行；(2)见解析【解析】【分析】(1)①过点P任意作一条直线，交直线于点G，以点P为顶点，根据作一个角等于已知角的作法，即可作得；②根据作法，由平行线的判定定理，即可解答；(2)分别以点A、B、D为圆心，长为半径画圆，再作线段的垂直平分线，根据交点即可求得．【详解】解：(1)①作法：a、过点P任意作一条直线，交直线于点G，b、以点G为圆心，任意长为半径画弧交直线于点M，交直线于点N，c、以点P为圆心，长为半径画弧交直线于点K，d、以点K为圆心，长为半径画弧交上一弧于点Q，e、过点P、Q作直线，直线即为所求作的直线作图如下：②由①作法可知：，(同位角相等，两直线平行)，故答案为：同位角相等，两直线平行；(2)分别以点A、B、D为圆心，长为半径画圆，再作线段的垂直平分线，由作法可知：，、、都是等腰三角形，作图见图．则凸四边形、、为所求作的凸四边形．【点睛】本题考查了尺规作图，理解题意要求，熟练掌握和运用基本图形的作图方法是解决本题的关键．23.【答案】（1）①36；②不正确，理由见解析（2）①见解析；②，证明跟图形见解析【解析】【分析】（1）①增加，证明，即可证明结论成立；②他证明时所使用的中的三个条件“，，”不是“两角和它们的夹边”的关系，不能使用“”来证明；（2）①根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即可解决问题；②根据题意可补全图形；作于点G，证明，可得到，然后利用线段的和与差以及等腰三角形的性质即可解决问题．【小问1详解】解：①增加，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故增加时，成立，故答案为：36；②小明的证明不正确．他证明时所使用的中的三个条件“，，”不是“两角和它们的夹边”的关系，不能使用“”来证明；【小问2详解】①证明：如图．∵，∴．∵，，，∴．∴．②补全图形见图．．证明：作于点G，如图．∵，∴，即．∵，∴．在与中，，∴．∴．①∵，于点G，∴．∵，∴，即．又∵于点G，∴．∴．②由①②得，即．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．24.【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）通过网格求解面积即可；然后利用网格确定内部格点数及边上格点数即可；（2）根据（1）中结果可得二者数量关系；（3）根据长方形的特点得出格点长方形内部的格点数，边上的格点数，然后代入（2）中结果证明即可．【小问1详解】解：多边形Ⅰ的面积为：，多边形Ⅲ的面积分成一个三角形与一个梯形计算为：，补全表格如下：多边形面积S内部格点数N边上格点数LⅠ6387Ⅱ7488Ⅲ2